量子力學(xué)授課教案

第一章：緒論

教學(xué)目的：了解經(jīng)典物理在解釋微觀世界運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)遇到的主要困難以及為克服

這些困難所提出的一些新的假設(shè)。

教學(xué)重點(diǎn)：普朗克假設(shè)的基本思想；德布羅意假設(shè)的基本思想和數(shù)學(xué)表述。

教學(xué)難點(diǎn)：物質(zhì)波概念。

教學(xué)時(shí)數(shù)：6課時(shí)

教學(xué)方法：講述法為主，輔以瀏覽部分歷史人物圖片以提高學(xué)習(xí)興趣。

量子力學(xué)課程介紹

一、量子力學(xué)研究內(nèi)容

量子力學(xué)是研究微觀粒子（分子、原子、原子核、基本粒子）運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理

論，是在上世紀(jì)二十年代總結(jié)大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)和舊量子論的基礎(chǔ)上建立起來的。

二、量子力學(xué)在物理學(xué)上地位

1、量子力學(xué)是物理學(xué)三大基本理論之一。

物理學(xué)基本理論分三大塊：

經(jīng)典物理學(xué)--研究低速、宏觀物體；

相對論---------研究高速運(yùn)動(dòng)物體；

量子力學(xué)------研究微觀粒子。

2、相對論、量子力學(xué)是近代物理的二大支柱。

3、量子力學(xué)與現(xiàn)代林學(xué)技術(shù)是緊密相連，凡涉及原子分子層次的現(xiàn)代科技

都離不開量子力學(xué)，如半導(dǎo)體技術(shù)、納米材料、激光、量子通訊、量子計(jì)算機(jī)等。

現(xiàn)代醫(yī)學(xué)、生物基因工程也與量子力學(xué)緊密相關(guān)，許多疾病、有關(guān)生命現(xiàn)象只有

在原子分子層次上才能加以解釋。

三、量子力學(xué)特點(diǎn)

1、抽象

獨(dú)立于經(jīng)典物理，自成一套系統(tǒng)，脫離人們的日常生活經(jīng)驗(yàn)，難以理解，如

波粒二象性、微觀粒子沒有運(yùn)動(dòng)軌道等。理論本身一些內(nèi)容小能直接用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,

如薛定娉方程、E=hv等，原因是微觀粒子太小，目前實(shí)驗(yàn)無法直接觀察。

2、理論形式本身不是唯一的。

量子力學(xué)目前主要有二種理論形式：

薛定鑼波動(dòng)力學(xué)；海森堡矩陣力學(xué)；另外還有路徑積分理論（比較少用）。

其原因是量子力學(xué)理論基本上結(jié)合實(shí)驗(yàn)假設(shè)、猜測出來的，主觀成份較多。

3、量子力學(xué)參考書很多，較適中的有：

量子力學(xué)教程周世勛

量子力學(xué)惠和興

量子力學(xué)導(dǎo)論曾謹(jǐn)言

量子力學(xué)曾謹(jǐn)言

量子力學(xué)基礎(chǔ)關(guān)洪

還有各高校的量子力學(xué)教材等。

四、本章概述：

本章作為講述量子力學(xué)的緒論，主要介紹在十九世紀(jì)末、二十世紀(jì)初物理學(xué)

的研究領(lǐng)域拓展到微觀世界時(shí)人們發(fā)現(xiàn)的經(jīng)典物理理論在解釋微觀現(xiàn)象時(shí)出現(xiàn)

的困難。為了克服這些困難人們所提出的新的假設(shè)。

第一講：經(jīng)典物理學(xué)的困難（1課時(shí)）

一、經(jīng)典物理學(xué)的體系簡介

到十九世紀(jì)末期，經(jīng)典物理已建立起十分完整的理論體系：

1、牛頓力學(xué)體系：牛頓三人定律，萬有引力等。用來描述物體的機(jī)

械運(yùn)動(dòng)在其速度遠(yuǎn)小于真空中光速時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

2、熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理體系：熱力學(xué)三大定律與統(tǒng)計(jì)方法，用來描述分

子無規(guī)熱運(yùn)動(dòng)及宏觀熱現(xiàn)象。

3、Maxwell經(jīng)典電磁理論、光學(xué)：Maxwell理論、Lorentz力公式

等，用來描述宏觀電磁現(xiàn)象及規(guī)律；光的波動(dòng)理論最后也歸結(jié)到Maxwell理論。

經(jīng)典物理如此完善，以致使一部分物理學(xué)家認(rèn)為,物理學(xué)已建立了極終理論。

二、經(jīng)典物理學(xué)的困難

到十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初，隨著生產(chǎn)力的發(fā)展，物理學(xué)己經(jīng)發(fā)展到了深

入研究微觀現(xiàn)象的階段，其結(jié)果是發(fā)現(xiàn)許多實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象無法用經(jīng)典物理理論來

解釋。比較典型的有：

邁克爾遜-莫雷的以太實(shí)驗(yàn)、能量均分定理、黑體輻射、光電效應(yīng)、氫原子

光譜、康普頓散射等。19。0年，開爾文說：“在物理學(xué)晴朗天空的遠(yuǎn)處，還有二

朵不祥的烏云”基本上描述了當(dāng)時(shí)物理學(xué)的狀況。

歸結(jié)起來，當(dāng)時(shí)經(jīng)典物理遇到了嚴(yán)重困難有兩類：一類是光（電磁波）的的

量子性質(zhì)問題；一類是原子結(jié)構(gòu)問題。

第二講：光的波粒二象性（2課時(shí)）

一、光的波動(dòng)性

光的波動(dòng)性早在十七世紀(jì)就已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)。光的干涉、衍射從實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證了光

的波動(dòng)性。

其中耳、心分別表示穿過狹縫S|、S2到達(dá)P點(diǎn)的光波振動(dòng)。則P點(diǎn)的總的光波

振動(dòng)為:

E=E[+E[=2E0cos(。/+^^sin0\

A

2

/=4/ocos(^sin0,(/o=^)

A>

sin<9=^y,/?=(),1,2,W,/=4/0,

當(dāng)該點(diǎn)強(qiáng)度為極大;

sin<9=2^衛(wèi),〃=0,1,2,時(shí),/=0,

當(dāng)2d該點(diǎn)強(qiáng)度為極小。

二、光的粒子性

1、黑體輻射普朗克量子假設(shè)

黑體；如果一個(gè)物體能完全吸收投射到它上面的輻射而無反射，則稱該物體

為絕對黑體。如開有小孔的空腔。

黑體輻射問題所研究的是輻射與周圍物體處于平衡狀態(tài)時(shí)的能量按波長（或

頻率）的分布規(guī)律。實(shí)驗(yàn)表明：在某一溫度T下（熱平衡時(shí)），頻率在卜到》+法/

之間的輻射的能量密度只與丫和T有關(guān)，即

p（y）dv=F（v,T）dv

此處尸（匕乃表示與空腔的材料、形狀沒有關(guān)系的普適函數(shù)。當(dāng)時(shí)雖然不能寫出

它的具體解析表達(dá)式，只能畫出它的實(shí)驗(yàn)曲線，但許多人企圖用經(jīng)典無力學(xué)來說

明這種規(guī)律，比較有代表性的有：

?\瑞利一金茶線

*

*

?

RK<M*X1O*)

ffl2黑體輜射能量分布曲找

（1）.維恩（Wien）公式：由熱力學(xué)得出，在短波部分與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合，在

長波部分與實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯著的不一致。

（2）.瑞利（Rayleigh）--金斯（Jeans）公式：根據(jù)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理

學(xué)得出，在長波部分吻合很好，在短波部分完全不吻合，導(dǎo)致“紫外災(zāi)難”。

（3）.普朗克假設(shè)：1900年，普朗克提出黑體以配為能量單位不連續(xù)地發(fā)射

和吸收頻率為肥的輻射，而不是像經(jīng)典物理所要求的那樣可以連續(xù)地發(fā)射和吸收

輻射能量。能量單位加稱為能量子，〃是普朗克常數(shù)，數(shù)值為

/，=6.62559（16）x10"焦耳.秒

由此，得到與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合的很好的普朗克公式

81hv1

—---1：—dv

ce^-\

式中2小，是黑體內(nèi)頻率在i，到v+五之間的輻射能量密度，c是真空中光速，k

是波爾茲曼常數(shù)，T是黑體絕對溫度。

普朗克假設(shè)的重大意義：普朗克的理論開始突破J'

經(jīng)典物理學(xué)在微觀領(lǐng)域內(nèi)的束縛，打開了認(rèn)識(shí)光的微粒

性的途徑。

德國物理學(xué)家普朗克：普朗克，1858年4

月23日生，德國物理學(xué)家，量子論之父。從師于名家

亥姆霍茲和基爾霍夫，年僅21歲即獲物理學(xué)博士學(xué)位,

次年任慕尼黑大學(xué)講師，1885年任基爾大學(xué)特命教授。他在1900年黑體輻射和

吸收的理論研究中，首先提出適用于電磁波譜所有波段的經(jīng)驗(yàn)公式，即著名的普

朗克輻射公式。把當(dāng)時(shí)只能分別在短波波段和長波波段與實(shí)驗(yàn)相符的維恩能量分

布公式和瑞利輻射公式巧妙而成功地統(tǒng)一起來。1913年丹麥物理學(xué)家玻爾用量

子理論第一次成功地計(jì)算出光譜的特殊譜線的位置，普朗克的理論開始被人們看

作是一項(xiàng)驚人的成就。他在1912年任普魯士科學(xué)院教學(xué)和自然科學(xué)部的終身秘

書，自1894年以來一直是該學(xué)院的院士；他也是英國皇家學(xué)會(huì)的外籍會(huì)員。從

1930年起任柏林威廉研究所的所長；第二次世界大戰(zhàn)后，該所以他的名字命名

為馬克斯-普朗克研究所。1947年10月4日逝世。

2、光電效應(yīng)愛因斯坦光子理論

（1）光電效應(yīng)現(xiàn)象

光電效應(yīng)是當(dāng)光照射到金屬表面時(shí)，有電子從金屬中逸出的現(xiàn)象。其主要特

征有三點(diǎn)：

（1）.對于一定的金屬，存在一個(gè)確定的臨界頻率，當(dāng)照射光的頻率低于臨界

頻率時(shí)，無論光有多么強(qiáng)，受照的金屬不會(huì)放出電子。

（2）.每個(gè)光電子的初動(dòng)能僅取決于照射光的頻率，并與之成線性關(guān)系，而與

照射光的強(qiáng)度無關(guān)。

<3）.不論光多么微弱，從開始照射到打出光電子，延遲時(shí)間極短，大約不超

過10"秒。

（2）愛因斯坦光子理論

不僅發(fā)射和吸收電磁輻射時(shí)以“量子”的方式進(jìn)行、而且輻射場本身也是由

“量子”組成，稱為“光量子”或“光子”，每個(gè)光子的能量為七=麻。

按照愛因斯坦的理論.光照射到金屬表面上時(shí)，能量為機(jī)的光子被電子吸

收，故存在關(guān)系式

hv=Wn+^pv）n

如果機(jī)<叱，則電子不能脫出金屬表面。

E=^d=

光子的動(dòng)量：由,對于光子，v=j故光子的靜質(zhì)量為零

卬2.22p=Eh=曳上

由能量一動(dòng)量關(guān)系：Er°c+c〃，有〃c、"

（3）愛因斯坦關(guān)系式

E=hv=h(o,p=^n=hk

A=—=1.0545x1034焦耳.秒k=二二

其中2乃,尤為波矢量。

美國物理學(xué)家愛因斯坦：愛因斯坦

（AlbertEinstein,1879-1955）,舉世聞名

的德裔美國科學(xué)家，現(xiàn)代物理學(xué)的開創(chuàng)者和奠

基人。愛因斯坦1900年畢業(yè)于蘇黎士工業(yè)大

學(xué)，1909年開始在大學(xué)任教，1914年任威廉

皇家物理研究所所長兼柏林大學(xué)教授。后被迫

移居美國，1940年入美國籍。

十九世紀(jì)末期是物理學(xué)的變革時(shí)期，愛因

斯坦從實(shí)驗(yàn)事實(shí)出發(fā)，從新考查了物理學(xué)的基

本概念，在理論上作出了根本性的突破。他的

一些成就大大推動(dòng)了天文學(xué)的發(fā)展。他的量子理論對天體物理學(xué)、特別是理論天

體物理學(xué)都有很大的影響。理論天體物理學(xué)的第一個(gè)成熟的方面一恒星大氣理

論.就是在量子理論和輻射理論的基礎(chǔ)上建立起來的△愛因斯坦的狹義相對論成

功地揭示了能量與質(zhì)量之間的美系，解決了長期存在的恒星能源來源的難題。近

年來發(fā)現(xiàn)越來越多的高能物理現(xiàn)象，狹義相對論已成為解釋這種現(xiàn)象的一種最基

本的理論工具。其廣義相對論也解決了一個(gè)天文學(xué)上多年的不解之謎，并推斷出

后來被驗(yàn)證了的光線彎曲現(xiàn)象，還成為后來許多天文概念的理論基礎(chǔ)。

愛因斯坦對天文學(xué)最大的貢獻(xiàn)莫過于他的宇宙學(xué)理論。他創(chuàng)立了相對論宇宙

學(xué)，建立了靜態(tài)有限無邊的自洽的動(dòng)力學(xué)宇宙模型，并引進(jìn)了宇宙學(xué)原理、彎曲

空間等新概念，大大推動(dòng)了現(xiàn)代天文學(xué)的發(fā)展。

（3）康普頓（Compton）效應(yīng)

1922年，康普頓發(fā)現(xiàn)被原子中電子散射后的X射線的波長］大于入射時(shí)的波長力,并

且波長的改變”二才一義隨數(shù)射角的增大而增大。

由能量守恒：

hco+40c2=hco'-\--j=^.-----

和動(dòng)量守恒:

hk^hk'+~=J^=

Vl-v2/c2

式中的4。為電子靜止質(zhì)量。解方程(1.7),(1.8)可得

綜上所述，可以看出力在微觀世界中的作用與地位。在宏觀現(xiàn)象中。I【和其它物

理量相比可以略去，量子現(xiàn)象無法體現(xiàn)，因此凡是h在其中起重要作用的現(xiàn)象都

可以成為量子現(xiàn)象。同時(shí)可以看到，人們對光的本性的認(rèn)識(shí)的不全面，即光應(yīng)具

有波動(dòng)性和粒子性的兩重性。

作業(yè)：P.16,1.2、1.3

第三講：原子結(jié)構(gòu)的玻爾理論(1學(xué)時(shí))

一、氫原子光譜的實(shí)驗(yàn)規(guī)律

氫原子光譜的實(shí)驗(yàn)規(guī)律可以歸納為以卜三點(diǎn)：

1、光譜是線狀的，譜線有一定的位置。這就是說，譜線有確定的波長值,

而且是彼此分立的。

2、譜線間有一定的關(guān)系，例如譜線構(gòu)成一個(gè)譜線系，它們的波長可以用一

個(gè)公式表達(dá)出來，即

v=Rfl[-L--Li

nrn-

式中〃?=1,2,3,;對于每一個(gè)〃?,〃=6+1,m+2,〃?+3,?，構(gòu)成一個(gè)譜線系。不同系

的譜線有些也有關(guān)系，例如有共同的光譜項(xiàng)。

3、每一譜線的波數(shù)都可以表達(dá)為二光譜項(xiàng)之差，v=T(m)-T(n)o

二、玻爾的氫原子理論

1、原子只能較長久地停留在一些穩(wěn)定狀態(tài)(簡稱為定態(tài))。原「在這些狀態(tài)

時(shí)，不發(fā)出或吸收能量；各定態(tài)有一定的能量，其數(shù)值是彼此分隔的。原子的能

量不論通過什么方式發(fā)生改變，這只能使原子從一個(gè)定態(tài)躍遷到另一個(gè)定態(tài)。

2、原子從一個(gè)定態(tài)躍遷到另一個(gè)定態(tài)而發(fā)射或吸收輻射時(shí)，輻射的頻率是

一定的。如果用&和E?代表有關(guān)兩定態(tài)的能量，輻射的頻率以取決于如下關(guān)系：

hv=E2-E、

式中，h是普朗克常數(shù)。

這里第一條是關(guān)于原子的量子化的定態(tài)的陳述。第一條是輻射的頻率法則。

這些規(guī)律不僅對一切原子是正確的，而且對于其他微觀客體也是適用的，因而是

重要的普遍規(guī)律，量子化是微觀世界的基本性質(zhì)。

三、玻爾理論的成就和局限性

玻爾理論第一次把光譜的事實(shí)納入一個(gè)理論體系中，在原子核式模型的基礎(chǔ)

上進(jìn)一步提出了一個(gè)動(dòng)態(tài)的原子結(jié)構(gòu)輪廓。這個(gè)理論指出經(jīng)典物理的規(guī)律不能完

全適用于原子內(nèi)部，提出了微觀體系特有的量子規(guī)律。這個(gè)理論承前啟后，是原

子物理學(xué)中的一個(gè)重要進(jìn)展。

玻爾理論雖然有很大的成就，居重要地位，但也有很大的局限性。這理論只

能計(jì)算氫原子和類氫離子的光譜頻率。對于稍復(fù)雜?些的原子，這理論不能算出

能級和光譜的頻率，玻爾理論還不包括對光譜線強(qiáng)度的處理。

玻爾理論的問題在于理論結(jié)構(gòu)本身。這理論作了一些在經(jīng)典規(guī)律中所沒有的

假設(shè)，如定態(tài)假設(shè)、頻率假設(shè)等。但這理論又是建立在經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)之上的。而

引進(jìn)量子條件又沒有理論依據(jù)。玻爾理論是經(jīng)典理論和量子條件并放在一起的一

個(gè)結(jié)構(gòu)，缺乏邏輯的一致性。

更完整的，更準(zhǔn)確的，應(yīng)用面更廣的關(guān)于原子的理論是1925年發(fā)表的一個(gè)

新的理論體系一一量子力學(xué)。

作業(yè)：P.16,1.5

第四講：微觀粒子的波粒二象性學(xué)時(shí))

一、德布羅意(deBroglie)假設(shè)

具有確定動(dòng)量〃和確定能量E的自由粒子，相當(dāng)于頻率為^和波長為4的平

面波，二者之間的關(guān)系如同光子與光波的關(guān)系一樣，有

h.-

E=hv=hco,p=—ii=hk

上式被稱為德布羅意關(guān)系式。

二、自由粒子平面波

1、由于自由粒子E、〃不變，故卜、丸也不變，為平面波。

2、用波函數(shù)：

X

乎=4cos|21(——vt)]

A

表示頻率為U、波長為義，沿X方向傳播的平面波。若波沿〃方向傳播，則

f?fl

甲=Acos[2^-(----vt)}=/\cos[A:r-cot]

x.

3、復(fù)數(shù)形式(通常采用)

=一砌

4、德布羅意波長

ihh

/u=---=-,

P

對于V伏電壓加速的電子，E=eV,可得

geVy/V

5、德布羅意波長很短：如150V電壓加速的電子，/=1A；10000V電壓加

速的電子，其德布羅意波長是%=0/22A。而可見光波長為4000-7600A,可見

物質(zhì)波波長很短，難以發(fā)現(xiàn)。

三、德布羅意波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

1927年，戴維遜(Dawisson)和革末(Germer)通過電子衍射實(shí)驗(yàn)證實(shí)了

物質(zhì)波的存在。爾后許多實(shí)驗(yàn)都證實(shí)了一切微觀粒子

均具有波動(dòng)性。

814電子次晶體裹IS的防射圖5電f的總縫衍見

法國物理學(xué)家德布羅意(LouisVictorDe

Broglie)

量子力學(xué)起源于原子結(jié)構(gòu)的研究，玻爾、德布羅意、海森伯、薛定港、狄拉

克等人對其建立分別作出「杰出的貢獻(xiàn)。1923年，當(dāng)日量子論面臨困境時(shí)，法

國物理學(xué)家路易?德布羅意(LouisVictorDeBroglie,1892?1987)在權(quán)威

的英國《哲學(xué)研究》雜志上發(fā)表論文，提出了物質(zhì)波的概念和理論，把量子論發(fā)

展到一個(gè)新的高度。

德布羅意本來是學(xué)歷史的，他的哥哥是研究X射線的著名物理學(xué)家。受兄長

的影響，德布羅意大學(xué)畢業(yè)之后改學(xué)物理，1924年獲理學(xué)博士學(xué)位，并與兄長

一起研究X射線的波動(dòng)性與粒子性問題。德布羅意在長期思考后，突然意識(shí)到愛

因斯坦的光量子理論應(yīng)該推廣到一切物質(zhì)粒子、特別是電子。1923年9?10月，

他連續(xù)發(fā)表3篇論文，提出了電子也是一種波的理論。他還預(yù)言，電子束穿過小

孔時(shí)也會(huì)發(fā)生衍射現(xiàn)象。1924年，他寫出博士論文《關(guān)于量子理論的研究》，更

系統(tǒng)地闡述了物質(zhì)波理論，愛因斯坦對此十分贊賞。不久，實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家真的觀

測到了電子的衍射現(xiàn)象，證實(shí)了他的理論是完全正確的。1929年，德布羅意被

授予諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

作業(yè)：補(bǔ)充題1求下列各自由粒子的德布羅意波長

(1).被100V電壓所加速的電子;

(2).被100V電壓所加速的質(zhì)子；

(3).能量為100電子伏特，質(zhì)量為1克的質(zhì)點(diǎn)。

補(bǔ)充題2一個(gè)具有5MeV能量的夕粒子穿過原子時(shí)，可否用經(jīng)典力學(xué)來

處理？設(shè)槍彈的質(zhì)量為2x1。二根，飛行速度為1000〃?L,求其德布羅意波長，

并討論有無必要用量子力學(xué)處理。

第五講：第一章內(nèi)容小結(jié)（1學(xué)時(shí)）

1、經(jīng)典物理的困難

黑體輻射，光電效應(yīng)，原子光譜線系

2、舊量子論

<1〉普朗克能量子論

<2>愛因斯坦對光電效應(yīng)的解釋；光的波粒二象性；光電效應(yīng)的規(guī)律

愛因斯坦公式

/匕…也

光子能量動(dòng)量關(guān)系

E=hv=ha）,p=—n=hk

A

<3>玻爾的原子理論

定態(tài)的假設(shè)、頻率條件

h

量子化條件

Ipda=nh

3、微觀粒子的波粒二象性,德布羅意關(guān)系

E=hv=ho）,p=—h=hk

戴維孫,革末等人的電子射實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了德布羅意關(guān)系c

4、量子力學(xué)的建立

物質(zhì)波一一＞薛定渭方程一一＞非相對論量子力學(xué)一一＞相對論量子力學(xué)

一一＞量子場論

第二章波函數(shù)和薛定造方程

這一章開始介紹量子力學(xué)的基本理論與方法。

主要介紹：

1.二個(gè)基本假設(shè)：

A.微觀粒子行為由波函數(shù)描述，波函數(shù)具有統(tǒng)計(jì)意義。

B.描述微觀粒子行為的波函數(shù)由薛定將方程解出。

2.用定態(tài)薛定蜉方程求解三個(gè)簡單問題：

C.一維無限深勢阱

D.一維諧振子

E.勢壘貫穿（隧道效應(yīng)）

§2.1波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋

微觀粒子既然有波動(dòng)性，類似經(jīng)典波，應(yīng)用波函數(shù)來描述。經(jīng)典平面機(jī)械波與電磁波的波函

y=ACOS[2^（--vt）]

數(shù)為：4

y表示振動(dòng)位移或電磁場（E,B）,

__-（/ir-En

微觀粒子的波函數(shù)應(yīng)表示什么物理量？比如德布羅意波函數(shù)：中（尸"）=人/，

中二?

開始有幾種解釋觀點(diǎn)：

觀點(diǎn)一：波函數(shù)代表粒子疏密波，波函數(shù)表示疏密程度。這與電子干涉實(shí)驗(yàn)不符。

觀點(diǎn)二：一個(gè)粒子本身是一個(gè)波包，波函數(shù)表示一個(gè)波包。但波包在傳播過程中會(huì)擴(kuò)

散，也與電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)不符。

波函數(shù)的合理的物理解釋是1927年由玻恩提出：

波函數(shù)中（r,t）的模平方1+1與此粒子在t時(shí)刻在r處單位體積內(nèi)出現(xiàn)的幾率成正

比。（P18倒6）

以電子雙健十涉實(shí)驗(yàn)加以說明。

所以，微觀粒子波函數(shù)描述的是幾率波。

微觀粒子波粒二象性的統(tǒng)一：

粒子本身仍為粒子，不是波，

但粒子的行為是一種幾率波。

（玻恩因此獲諾貝爾物理獎(jiǎng)）

二.波函數(shù)歸一化

1.相差一個(gè)常數(shù)的二個(gè)波函數(shù)是描述同一粒子行為（或狀態(tài)，或量子態(tài)）。

2.為了統(tǒng)一，規(guī)定波函數(shù)模平方在整個(gè)空間積分為1一一稱波函數(shù)歸一化。

波函數(shù)歸一化如何歸一化？

iS

說明：A。歸一化波函數(shù)仍有一個(gè)相因子e不確定。

B.有些波函數(shù)不能按上面方式歸一化。

如德布羅意波函數(shù)，積分無窮大。

C.波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋是一種基本假設(shè)。至今仍有爭論。（見P245）

§2.2態(tài)迭加原理

態(tài)迭加原理是量子力學(xué)中一個(gè)很重要的原理，這一節(jié)先作一些初步介紹，隨著學(xué)習(xí)量子

力學(xué)內(nèi)容的不斷深入，會(huì)不斷加深對態(tài)迭加原理的理解。

一.態(tài)迭加原理

經(jīng)典物理中，光波或聲波遵守態(tài)迭加原理：二列經(jīng)典波5與中2線性相加，4，-a<h+b

4）2,相加后的用也是一列波，波的干涉、衍射就是用波的迭加原理加以說明的。

量子力學(xué)的二個(gè)態(tài)的迭加原理（P22倒7行）：

如果叫與中2是體系的可能狀態(tài),那么它們的線性迭加態(tài)甲=C1%+C2%,3、C2是復(fù)

數(shù)）

也是這個(gè)體系的一個(gè)可能狀態(tài)。

以雙縫干涉為例說明。

推廣到任意多態(tài)的一般態(tài)迭加原理：（P23第二段）。

如果中1、%、中3…是體系可能的狀態(tài)，則它們的線性迭加態(tài)甲=5中|+6中2+C3

也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。當(dāng)體系處在迭加態(tài)中時(shí)，體系部分處在態(tài)、也部分處在中2

態(tài)，…等，即各有定幾率處在送加之前的各個(gè)態(tài)1匕。

二.一個(gè)結(jié)論：任意一個(gè)波函數(shù)中（r,l）都可以看成是各種不同動(dòng)量的平面波的迭加。

數(shù)學(xué)表示式：

+（?）=［：匚*）dp,dp、dp:

1-p-r

=----'----

其中，是動(dòng)量一定的平面波。這在數(shù)學(xué)上是成立的，這正好是非

周期函數(shù)的富葉立展開。

一維情況見（2.2-10）與（2.2-11）式。

§2.3薛定律方程

薛定道方程是1926年由奧地利物理學(xué)家薛定常提出。薛定謂方程是量子力學(xué)中最重要

的一個(gè)方程，它在量子力學(xué)中地位如同牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位一樣。這一節(jié)先對薛

定譚方程作一個(gè)初步介紹，在以后章節(jié)的學(xué)習(xí)中可以進(jìn)一步加深對它的理解與掌握它的應(yīng)

用。

薛定謂方程（單粒子情況）

當(dāng)一個(gè)粒子在勢場(或勢能)V(r,t)中運(yùn)動(dòng)，其波密數(shù)中(r,t)應(yīng)滿足如卜方程：

訪?%(八。=一"-+(尸,。+V(r,r)T(r,r)

ct2m

--------叫薛定源方

程◎

V2：拉普拉斯算符，在直角坐標(biāo)下的形式為：

da2a2a2

dx28y2dz~

勢場V(r,t)依具體問題而定，

如彈簧振子，其勢場V(x)=(l/2)mQ2x2,

其薛定評方程為(一維)：

訪—中(蒼n=--+(%,，)+工)

dt2mdx22

這是一個(gè)線性偏微方程。

為了加深對薛定謂方程理解，下面講講薛定謂方程的建立。先講自由粒子波函數(shù)應(yīng)滿足什

么樣方程，再推廣到一般的情況應(yīng)滿足的方程。

二.薛定謂方程建立

1.自由粒子波函數(shù)應(yīng)滿足的方程

自由粒子所處的勢場v=o,

—(八?萬一口)

其波函數(shù)已知：產(chǎn)")=

應(yīng)滿足方程：

■.3、力2合2

d2d2

th一T(x,r)=-----(-----yd----7)+(工,/)

dt2mdx~dy28z2引入算符?

?、

ET詼一,p—>-itN

dt

按如下方法，就可得自由粒子的薛定謂方程：

A.寫出自由粒子能量公式：E=P2/2m.

B.將能量公式變?yōu)樗惴剑?/p>

d方22

iii——=---------

c?r2m.

C.將算符公式同時(shí)作用在自由粒子波函數(shù)上，這樣就得到自由粒子的薛定渭方程。

2.按上述方法，就可以推廣到勢場非零的一般的薛定譚方程。

說明幾點(diǎn)：

A.薛定洋方程實(shí)質(zhì)上是一種基本假設(shè)，不能從其他更基本原理或方程推導(dǎo)出

來，它的正瑜性由它解出的結(jié)果是否符合實(shí)驗(yàn)來檢聆。

B.薛定常方程是線性方程。

C.自由粒子波函數(shù)必須是復(fù)數(shù)身式，否則不滿足自由粒子薛定將方程。

D.薛定詩方程是非相對論的方程。

多粒子的薛定諾方程

按上述方法同樣得到：

A.寫出多粒子體系的能量

后=2尸/2%+丫(%忑產(chǎn)?/)

B.將能量公式變?yōu)樗惴剑?/p>

法§=2-方

%/

C.將算符公式同時(shí)作用在多粒子波函數(shù)

w（rbr2,…,t）上，這樣就得到多粒子的薛定謂方程：

法?中代，5，.一，/）=

ot

Z1——中拆工,…"）］+v（m，……"）

z2%

§2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律

（或幾率流密度和幾率守恒定律）

本節(jié)要引入幾率流密度概念,有了它就可以把幾率與電流聯(lián)系起來。

設(shè)牛已歸一化，q為單粒子的電荷，則

2

1*1=幾率密度（w）；l+「dV=dV的幾率；

22

=電荷密度（P）;qdV=dV的電荷。

幾率流密度（J）含義=單位時(shí)間垂直流過單位面積幾率。

J公式=?先介紹幾率的連續(xù)方程

一.幾率的連續(xù)方程與幾率流密度

空+▽?/=O

已知電荷有連續(xù)方程：6,

其中，P電荷密度，j電流密度

若從數(shù)學(xué)上能推出如下公式：

3vv__一

---------h▽?A=O

at

通過類比，N就可定義為幾率流密度j,這個(gè)方程也就是幾率的連續(xù)方程。下面推導(dǎo)這

個(gè)公式，得

°（V）+▽?旦（+▽￥*-+*▽+）=0

dt2m

ih

(中▽+*—+*▽+)

定義：幾率流密度尸2m

一+7=o

得幾率的連續(xù)方程：一工

二.幾率守恒定律

3w—八

—4-V-J=0

St

對幾率的連續(xù)方程:兩邊對一個(gè)封閉的體積V積分，并利

wdv=-fJ-ds

用高斯公式，得「

表示：左=體積v內(nèi)單位時(shí)間幾率的增加量=右=單位時(shí)間從體積外流向體積內(nèi)的幾率量,

這就是幾率守恒定律。有連續(xù)方程一定有守恒定律，兩者是等價(jià)的。

幾率守恒定律表明幾率不會(huì)憑空產(chǎn)生，也不會(huì)憑空消失，

對束縛態(tài)(r-8時(shí)，中—0),讓V-8,

則得

Jwdv=c

8,束縛態(tài)中粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)幾率不隨時(shí)間而變。

三.質(zhì)量、電荷守恒定律

1.mW：質(zhì)量密度，mJ：質(zhì)量流密度。

dmw「二八

----F▽-mJ=0

說,質(zhì)量守恒定律

2.qW：電荷密度，qj:電流密度。

也+▽.〃=()

8t，電荷守恒定律

四.波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件：連續(xù)，單值，有限。

單值與有限，由波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義所確定，

連續(xù)，由幾率的連續(xù)方程所確定。

另外，一般情況下，還要求波函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)也連續(xù)。

§2.5定態(tài)薛定鏢方程

定態(tài)薛定修方程

條件：V(r,t)=V(r),與t無關(guān)。

用分離變量法，令W=4)(r)f(t),代入薛定讒方程，得兩個(gè)方程：

清等=￡/(，)—產(chǎn)

令，求解得JU)一c

h2V2____

--------69(r)4-V(r)0(r)=E(p{r)

2切，此稱定態(tài)薛定謗方程

_--EI

整個(gè)定態(tài)波函數(shù)形式:*=h

特點(diǎn)：

A.波函數(shù)由空間部分函數(shù)與時(shí)間部分函數(shù)相乘；

Et

方

B.時(shí)間部分函數(shù)是確定的，為：e

定態(tài)波函數(shù)幾率密度,與t無關(guān)，幾率分布不隨時(shí)間而變，因此稱為

定態(tài)。

重點(diǎn)要掌握如何用定態(tài)薛定謂方程求解問題。

本征方程、本征函數(shù)與本征值

算符A本征方程：一2中工

x：本征值，有多個(gè)，甚至無窮多個(gè)。

巾入：本征值為人的本征函數(shù)。也有多個(gè)，甚至無窮多個(gè)，有時(shí)一個(gè)本征值對應(yīng)多個(gè)不

同的本征函數(shù)，這稱為簡并。若一個(gè)本征值對應(yīng)的不同本征函數(shù)數(shù)目為N,則稱

N重簡并。

上述用分離變量得到兩個(gè)方程都是本征方程：

訪等;助力

或前"）=￡/?（，）

(Do

八a

C=i/i一

其中6t

力2力

((

（2）。2m或Hp(r)=Ep(^r)其中

八方

H=----------4-V（r）

26稱為定態(tài)哈密頓算符。

定態(tài)薛定謂方程就是包的本征方程。

薛定謂方程就可簡寫成：

，方曇+（介'，）=（尸，,）

定態(tài)情況下（即V（r）與t無關(guān)）的薛定譚方程一般解

設(shè)定態(tài)薛定印方程的本征值為&,本征函數(shù)為0〃（〃），定態(tài)波函數(shù)為

匕=0〃(下)e

,它是定態(tài)情況下的薛定田方程:

fJ八

/k￥〃（戶"）=

St

的解◎

定態(tài)情況卜的薛定得方程的一般解，是所有定態(tài)波函數(shù)明的線性迭加:

*（元/）=匯。0〃（尸）￡力”

§2.6一維無限深勢阱

竺孕+左2+"）=0

一.微分方程dx~的三種形式解。

這是二階常系數(shù)微分方程，有三種等價(jià)的解：

ikx

卜=A/n+Be-

a.1

b.%=Csin4x+Dcos-

%=Gsin（kx+cp）

依方便，隨取一種形式的解.

二.一維無限深勢阱求解

1.一維無限深勢阱

=|X|-阱內(nèi)i

8|x|>a阱夕卜

V(x)

一個(gè)粒子處在這樣勢阱

OO

內(nèi)，其質(zhì)量為

具體例子：金屬中電子可以

看成處在有限深勢阱內(nèi).

2.一維無限深勢阱的薛定潮方程與求解.---------------k

這是定態(tài)問題，只需解出定態(tài)波函數(shù)。n與定態(tài)能量當(dāng)即可.

X

定態(tài)薛定將方程：C(

分區(qū)求解，再利用波函數(shù)連續(xù)條件,求出各個(gè)系數(shù),本征波函數(shù)與能量本征值.

一方2d2（p（X）7〃、/、萬/、

----------廠廠~+v（x）0（x）=E（p3

2max

定態(tài)波函數(shù)：

Asin—x,阱內(nèi)

（Pn=2a

0阱外厘貂

n=偶數(shù)；

或者,

^cos—X,阱內(nèi)

%=2〃

0阱外臺(tái)熱

n=奇數(shù)。

可合并為一個(gè)式子:

A'sin=（x+a）,〃=l,2,3,…阱內(nèi)

（pn=12a

0阱外

4’由歸一化定出，為“=西

總定態(tài)波函數(shù)為：

匕g）=.Asin愛+/阱內(nèi)

阱外

J=--------

能量本征值,n=l,2,3,…

3.波函數(shù)與幾率分布圖（P37圖8,圖9）

0a

圖8

A每一態(tài)里口可看成向x方向傳播與向r方向傳播的二列平面波合成的駐波。

中“=Asin-----(x+6/)e力

2ci

△利用駐波條件也可得量子化能量公式。

駐波條件：2a=nX/2,n=l,2,3,…,得入=4a/n.

???E=p72n=h7(2uX-)

=h2n2n2/(8pa2),n=l,2,3,

4.勢阱坐標(biāo)不同時(shí)的波函數(shù)與能量

A.勢阱從0-2a.

波函數(shù)(空間部分)為

_口sin飪x,〃=1,2,3,…阱內(nèi)

?！ㄒ籮Va2a

0阱外

能量公式不變。

B.勢阱從0-a.

波函數(shù)(空間部分)為

_］、口^5由絲了,〃=1,2,3,?一阱內(nèi)

?！ㄒ籮，2aa

0阱外

7r~ti~n~

E=

能量2JLICI~

（此即書上52頁習(xí)題2.3解。今后通常都用B的勢阱坐標(biāo)，故其波函數(shù)與能量要用B的

波函數(shù)與能量）。

三.宇稱

a）空間反演算符巨定義：將尸—一尸的操作叫空間反演算符。即：

戶于（產(chǎn)"）=￥（—尸"）

?宇稱定義：若小玖尸，，）=%（—尸，力=±+（尸M,

則稱波函數(shù),（r,t）具有宇稱。

若￥（-尸/）=*（』），稱為偶宇稱

若中（-尸/）=-%（心力，稱為奇宇稱

在一維情況下，宇稱的奇偶性與函數(shù)的奇偶性是一致的。

c）若一維勢能是對稱的，即V（x）=V（-x）,則其波函數(shù)一定具有宇稱（見P52習(xí)題

2.6）。

例如，一維無限深勢阱，勢阱坐標(biāo)為-a-a,勢能是對稱的，則其波函數(shù)具有

宇稱，

Asin飪x,阱內(nèi)

%=Jla

°切的卜"偶數(shù)，奇宇稱：

。"改OS簽X,阱?內(nèi)

0阱外

n=奇數(shù)，偶宇稱。

宇稱是一個(gè)十分重要的物理概念。傳統(tǒng)認(rèn)為高能物理中某一物理過程宇稱是守恒的。

楊振寧與李政道發(fā)現(xiàn)了弱作用下宇稱不守恒，并被吳健雄所做實(shí)驗(yàn)證實(shí)，從而獲諾貝爾物

理獎(jiǎng).

§2.7線性諧振子

什么叫諧振子？彈簧振動(dòng)、單擺就是諧振子，它們的位移或角位移滿足方程:

X+692X=0

諧振子在物埋中很重要，很多物埋問題都可以近似按諧振子處埋。比如固體中的每個(gè)

原子的微振動(dòng)，就可以看成在各自平衡位置作簡諧振動(dòng)。

這節(jié)介紹求解線性諧振子(一維)的定態(tài)薛定譚方程，解出波函數(shù)與能量，并作些討

論。

「+?)

經(jīng)典諧振子：x=Asin'3/

JLA2r92

—"3-A—"3-X-

能量：E=2,勢能=2

量子能量：E=(n+l/2)hv,n=0,1,2,???.

一.線性諧振子的定態(tài)薛定那方程

122

——113X

勢能v(x)=2與t無關(guān)，是定態(tài)問題。定態(tài)薛定譚方程:

h2d之

H——/.ICO2X21//（X）=El//{x）

2Mxi

A.先作簡化，引入無量綱變量

令人=2E/h3。

定態(tài)薛定譚方程簡化為:

2

d“（看）+（%—42）”（看）=。

d~>

(4—于)“?)=()

二.。彳求解

思路：先求。在￡-±8時(shí)的漸近解形式，再在漸近解基礎(chǔ)上提出一般解的形式，再求解。

1.求&一±8時(shí)的漸近解形式

"=ce一占?2/2

W=H（小產(chǎn)2

2.一般解的形式：

代入原方程，得H(g)應(yīng)滿足的方程：

嘿一2看北+—

也,這是厄米方程，要有合理的解，必

須X=2n+l,n=0,1,

”=(_1)〃/當(dāng)￡Y

其解為："J，稱厄米多項(xiàng)式。

厄米方程求解過程見P248附錄2。

波函數(shù)為：

f產(chǎn)乩?,^=OOC

(_____—_____)2

歸一化系數(shù)：N產(chǎn)

△厄米多項(xiàng)式

A.前幾個(gè)厄米多項(xiàng)式見P41。

B.這推公式：

肛

C)=2皿7(4)

①

H向?-2亞尼)+2〃乩70=0

由①得：②

吟出=戊碧*1?)—舊久^(初

axV2V2

由②得：

皿/、1/九\n-\-\

%+〃(%)=一[J;(%)+、〃+1(%)]

a\2V2

△能量：由入=2n+l與入=2E/ha得：

En=(n+l/2)hv,n=0,1,2,

當(dāng)n=0時(shí)，除(1/2)hv,稱為零點(diǎn)能。

即使在絕對零度下，零點(diǎn)能還要存在，這是量子效應(yīng)，已被許多實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。這是經(jīng)典物

理所沒有的。

小結(jié)：

a.線性諧振子的定態(tài)薛定謂方程：

aW〃(x)=E,w〃(x)