2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定1．了解直線與平面垂直的定義．(重點(diǎn))2．理解直線與平面垂直的判定定理，并會(huì)用其判斷直線與平面垂直．(難點(diǎn))3．理解直線與平面所成角的概念，并能解決簡(jiǎn)單的線面角問(wèn)題．(易錯(cuò)點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1直線與平面垂直的定義閱讀教材P64倒數(shù)第1行以上的內(nèi)容，完成下列問(wèn)題．文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直，直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們惟一的公共點(diǎn)P叫做垂足l⊥α直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能()A．平行 B．相交C．異面 D．垂直【解析】由直線與平面垂直的定義可知，l⊥m，l與m可能相交或異面，但不可能平行．【答案】A教材整理2直線與平面垂直的判定定理閱讀教材P65“例1”以上的內(nèi)容，完成下列問(wèn)題．文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a?α,b?α,a∩b＝P))?l⊥α一條直線和三角形的兩邊同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．不確定【解析】直線和三角形兩邊垂直，由線面垂直的判定定理知，直線垂直三角形所在平面，則直線垂直第三邊．【答案】B教材整理3直線與平面所成的角閱讀教材P66“探究”以下至“例2”以上的內(nèi)容，完成下列問(wèn)題．1．定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角．2．范圍：設(shè)直線與平面所成的角為θ，則0°≤θ≤90°.3．畫(huà)法：如圖2-3-1所示，斜線AP與平面α所成的角是∠PAO.圖2-3-1若斜線段AB是它在平面α內(nèi)射影長(zhǎng)的2倍，則AB與平面α所成角的大小為()A．60° B．45°C．30° D．90°【解析】斜線段、垂線段以及射影構(gòu)成直角三角形．如圖所示，∠ABO即是斜線段AB與平面α所成的角．又AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq\f(OB,AB)＝eq\f(1,2)，所以∠ABO＝60°.【答案】A[小組合作型]線面垂直的定義及判定定理的理解下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是()①如果直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則l⊥α；②如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直，則l⊥α；③如果直線l不垂直于α，則α內(nèi)沒(méi)有與l垂直的直線；④如果直線l不垂直于α，則α內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與l垂直．A．0 B．1C．2 D．3【精彩點(diǎn)撥】利用線面垂直的定義及判定定理準(zhǔn)確判斷．【自主解答】由直線和平面垂直的定理知①對(duì)；由直線與平面垂直的定義知，②正確；當(dāng)l與α不垂直時(shí)，l可能與α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，故③不對(duì)；④正確．【答案】D1．對(duì)于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說(shuō)法與“直線垂直于平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”不是一回事，后者說(shuō)法是不正確的，它可以使直線與平面斜交、平行或直線在平面內(nèi)．2．判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線．[再練一題]1．下列說(shuō)法中，正確的是()A．若直線l與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直，則l⊥αB．若直線l垂直于平面α，則l與平面α內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可能平行C．若a∥b，a?α，l⊥α，則l⊥bD．若a⊥b，b⊥α，則a∥αC[當(dāng)l與α內(nèi)的任何一條直線都垂直時(shí)，l⊥α，故A錯(cuò)；當(dāng)l⊥α?xí)r，l與α內(nèi)的直線相交或異面，但不會(huì)平行，故B錯(cuò)；C顯然是正確的；而D中，a可能在α內(nèi)，所以D錯(cuò)誤．]線面垂直判定定理的應(yīng)用如圖2-3-2，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC.圖2-3-2(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.【精彩點(diǎn)撥】題設(shè)條件中的三棱錐的三條側(cè)棱相等，AB⊥BC，D是AC的中點(diǎn)，要證(1)需在平面ABC內(nèi)找兩條相交直線與SD垂直，故等腰三角形底邊的中線是可以利用的垂直關(guān)系，要證(2)，需設(shè)法在平面SAC內(nèi)找兩條相交直線與BD垂直，而(1)的結(jié)論可利用．【自主解答】(1)∵SA＝SC，D為AC的中點(diǎn)，∴SD⊥AC.連接BD.在Rt△ABC中，有AD＝DC＝DB，∴△SDB≌△SDA，∴∠SDB＝∠SDA＝90°，∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，D是AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，且AC∩SD＝D，∴BD⊥平面SAC.證線面垂直的方法1．線線垂直證明線面垂直：①定義法(不常用，但由線面垂直可得出線線垂直)；②判定定理最常用：要著力尋找平面內(nèi)哪兩條相交直線(有時(shí)作輔助線)；結(jié)合平面圖形的性質(zhì)(如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等)及一條直線與平行線中一條垂直也與另一條垂直等結(jié)論來(lái)論證線線垂直．2．平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)(1)a∥b，a⊥α?b⊥α；(2)α∥β，a⊥α?a⊥β.[再練一題]2．如圖2-3-3所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D求證：AD⊥平面A1DC1.圖2-3-3【證明】∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC∴AA1⊥平面A1B1C1∴A1C1⊥AA1.又∠B1A∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1＝A1∴A1C1⊥平面AA1B1B.又AD?平面AA1B1B∴A1C1⊥AD由已知計(jì)算得AD＝eq\r(2)，A1D＝eq\r(2)，AA1＝2.∴AD2＋A1D2＝AAeq\o\al(2,1)，∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1[探究共研型]直線與平面所成的角探究1若圖2-3-4中的∠POA是斜線PO與平面α所成的角，則需具備哪些條件？圖2-3-4【提示】需要PA⊥α，A為垂足，OA為斜線PO的射影，這樣∠POA就是斜線PO與平面α所成的角．探究2根據(jù)線面角的定義，我們可以如何求線面角的大小？【提示】作(或找)出斜線在平面內(nèi)的射影，將空間角轉(zhuǎn)化為平面角，放在三角形內(nèi)求解．探究3求線面角的關(guān)鍵是什么？【提示】確定斜線在平面內(nèi)的射影．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)求直線A1C與平面ABCD(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．【精彩點(diǎn)撥】解答本題關(guān)鍵是結(jié)合正方體的性質(zhì)．【自主解答】(1)∵直線A1A⊥平面ABCD∴∠A1CA為直線A1C與平面ABCD設(shè)A1A＝1，則AC＝eq\r(2)，∴tan∠A1CA＝eq\f(\r(2),2).(2)連接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1DA1C1⊥B1D1∵BB1⊥平面A1B1C1D1A1C1?平面A1B1C1D∴BB1⊥A1C1又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足為O∴∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°.即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.求直線和平面所成角的步驟1．尋找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線．2．連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角即為所求的角．3．把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形，求出該角．[再練一題]3．如圖2-3-5所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)．求直線BE與平面ABB1A圖2-3-5【解】取AA1的中點(diǎn)M，連接EM，BM，因?yàn)镋是DD1的中點(diǎn)，四邊形ADD1A1所以EM∥AD.又在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A所以EM⊥平面ABB1A1從而B(niǎo)M為直線BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即為直線BE與平面ABB1A設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則EM＝AD＝2，BE＝eq\r(22＋22＋12)＝3，于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝eq\f(EM,BE)＝eq\f(2,3)，即直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值為eq\f(2,3).1．垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關(guān)系是()A．垂直 B．相交但不垂直C．平行 D．不確定【解析】梯形的兩腰所在直線相交，由線面垂直的判定定理知，垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面垂直，故選A.【答案】A2．若兩條不同的直線與同一平面所成的角相等，則這兩條直線()A．平行 B．相交C．異面 D．以上皆有可能D[在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1A，B1B與底面ABCD所成的角相等，此時(shí)兩直線平行；A1B1，B1C1與底面ABCD所成的角相等，此時(shí)兩直線相交；A1B1，BC3．在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點(diǎn)，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，則ED＝________.【解析】如圖，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴CD＝5.在Rt△ECD中，EC＝12，∴ED＝eq\r(52＋122)＝13.【答案】134．正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2eq\r(3)，側(cè)棱與底面所成角為60°，則該四棱錐的高為_(kāi)_______.【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)S作SO⊥平面ABCD，連接OC，則∠SCO＝60°，∴SO＝sin60