課程基本信息課例編號20學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二學(xué)期上課題等差數(shù)列的概念（1）教科書書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(A版)出版社：人民教育出版社出版日期：教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：（1）理解并掌握等差數(shù)列、等差中項的概念，能用定義判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列；（2）經(jīng)歷由等差數(shù)列的遞推公式推導(dǎo)通項公式的過程，掌握等差數(shù)列的通項公式，并掌握其與一次函數(shù)之間的關(guān)系；（3）對等差數(shù)列的通項公式進行簡單應(yīng)用，體會函數(shù)與方程的思想在研究等差數(shù)列時的重要意義．教學(xué)重點：等差數(shù)列的定義，等差數(shù)列的通項公式.教學(xué)難點：等差數(shù)列的通項公式.教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動師生問答、共同探究問題1什么是等差數(shù)列？追問1：看下面幾個問題中的數(shù)列，你能發(fā)現(xiàn)它們的規(guī)律嗎？(1)北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)向外各圈的石板數(shù)依次為9，18，27，36，45，54，63，72，81．①(2)S，M，L，XL，XXL，XXXL型號的服裝上衣對應(yīng)的尺碼分別是：38，40，42，44，46，48．②(3)測量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大氣溫度，得到從距離地面20m起每升高100m處的大氣溫度（單位：℃）依次為25，24，23，22，21．③追問2：你能給出等差數(shù)列的定義嗎？如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.追問3：判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列.(1)5，9，13，17，21，…是，公差為4；(2)9，7，5，3，1，…是，公差為-2；(3)6，6，6，6，6，…是，公差為0；(4)0，1，0，1，0，1，…不是，1－0＝1，0－1＝－1，不是同一個常數(shù).可以看到，等差數(shù)列的公差可以為正數(shù)、負(fù)數(shù)或者0.公差為正數(shù)時，等差數(shù)列單調(diào)遞增；公差為負(fù)數(shù)時，等差數(shù)列單調(diào)遞減；公差為0時，數(shù)列為常數(shù)列.追問4：如果在a與b中間插入一個數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？由等差數(shù)列的定義，有：A－a＝b－A，所以A＝.此時，我們把A叫做a和b的等差中項.也就是說，兩個數(shù)a和b的等差中項是它們的算術(shù)平均數(shù).這個性質(zhì)在等差數(shù)列的研究中有重要的意義.問題2如何推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式呢？追問1：你能根據(jù)定義，寫出等差數(shù)列的遞推公式嗎？設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則由定義可得：an＋1－an＝d，n∈N*.追問2：你能根據(jù)遞推公式，推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式嗎？由遞推公式，有a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，….于是a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，……歸納可得an＝a1＋(n－1)d，由于剛才的推導(dǎo)過程是從a2＝a1＋d開始的，所以這里n的范圍是n≥2.當(dāng)n＝1時，上式為a1＝a1＋(1－1)d＝a1，這就是說，上式對n=1也成立.因此我們得到首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項公式為：an＝a1＋(n－1)d，n∈N*.在剛才的推導(dǎo)過程中，我們根據(jù)等差數(shù)列的遞推公式，先寫出一些具體的遞推關(guān)系式，觀察它們的規(guī)律，歸納得到一般結(jié)論.這種由特殊到一般的推理方式，是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)新規(guī)律和新結(jié)論的重要方法.追問3：還能用其他方法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式嗎？an－an－1＝d，an－2－an－3＝d，…a3－a2＝d，a2－a1＝d.一共有多少個等式呢？共有n個，我們可以從減項或被減項的角標(biāo)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這也是我們在數(shù)列中數(shù)清項數(shù)的常用方法.我們把這n個等式進行累加求和.我們看到，在等式的左邊，每一個式子的減項和下一個式子的被減項都消去了，最后只剩下第一個式子的被減項an＋1和最后一個式子的減項a1；每一個等式的右邊都是常數(shù)d，一共有n個式子，所以累加后有an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d，n∈N*我們推導(dǎo)通項公式時用的累加法的過程，是由遞推公式，寫出了從a1到an＋1的所有遞推關(guān)系式，對他們求和，最終得到an和a1、d與n的關(guān)系，并對n＝1時的情況進行了驗證，是一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)方法.這種方法在處理由形如等差數(shù)列的遞推公式，推導(dǎo)通項公式時，有非常廣泛的應(yīng)用.追問4：你能寫出下面這些數(shù)列的通項公式嗎？(1)5，9，13，17，21，…an＝5＋(n－1)×4＝4n＋1；(2)9，7，5，3，1，…an＝9＋(n－1)×(－2)＝－2n＋11；(3)6，6，6，6，6，…an＝6＋(n－1)×0＝6.問題3觀察等差數(shù)列的通項公式，它與哪一類函數(shù)有關(guān)？因為an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以當(dāng)d＝0時，an＝a1是常值函數(shù)；當(dāng)d≠0時，an是一次函數(shù)f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)當(dāng)x＝n時的函數(shù)值，即an＝f(n強調(diào)一下這種對應(yīng),為后面運用帶來方便,如an-1＝強調(diào)一下這種對應(yīng),為后面運用帶來方便,如an-1＝f(n-1)追問1：等差數(shù)列{an}的圖象和一次函數(shù)f(x)＝dx＋(a1－d)的圖象有什么關(guān)系?追問2：由一次函數(shù)f(x)＝kx＋b（k，b為常數(shù)）得到全腳括號，下同的數(shù)列an＝kn＋b一定是等差數(shù)列嗎？全腳括號，下同任給f(x)＝kx＋b（k，b為常數(shù))，則an＝kn＋b，a1＝f(1)＝k＋b，a2＝f(2)＝2k＋b，…，an＝f(n)＝nk＋b，…，an＋1＝f(n＋1)＝(n＋1)k＋ban＋1－an＝f(n)－f(n)＝(nk＋b)－[(n＋1)k＋b]＝k，n∈N*.所以，數(shù)列{an}是以k＋b為首項，k為公差的等差數(shù)列.實際上，數(shù)列{an}為公差不為0的等差數(shù)列的充要條件是，數(shù)列{an}的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù).追問3：可以從函數(shù)的角度，研究等差數(shù)列的單調(diào)性嗎？根據(jù)一次函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論，當(dāng)一次項系數(shù)大于0時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)一次項系數(shù)小于0時，函數(shù)單調(diào)遞減.等差數(shù)列通項公式看做一次函數(shù)時，一次項系數(shù)為公差d，因此，我們有：問題4利用通項公式，可以解決等差數(shù)列的哪些問題呢？例1已知等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝5－2n，求等差數(shù)列表述完整，下同。{an}的首項a1和公差d.表述完整，下同。分析：有了通項公式，只要將n＝1代入，就能求得a1；由通項公式寫出an－1的表達(dá)式，由an－an－1可求得公差d.解：把n＝1代入通項公式，得a1＝5－2×1＝3.當(dāng)n≥2時，an－1＝5－2(n－1)=7－2n.于是d＝an－an－1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2.所以，數(shù)列{an}的首項a1為3，公差d為－2表述完整,下同..表述完整,下同.追問1：還有其他方法求公差d嗎？分析：由于已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，所以每一項與它前一項的差都等于公差d，已求出首項a1＝3，只需再求出a2，a2－a1即為公差d.解法2：把n＝2代入通項公式，得a2＝5－2×2＝1.于是d＝a2－a1＝1－3＝－2.追問2：能直接從通項公式看出公差d的值嗎？分析：由于等差數(shù)列通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，即an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d).一次項系數(shù)記為公差d，可以直接從通項公式看出公差d的值.解法3：因為an＝5－2n，所以公差d＝－2.思路小結(jié)：數(shù)列是一種特殊的函數(shù).研究數(shù)列時，運用函數(shù)觀點，將數(shù)列的通項公式或前n項和公式，看成關(guān)于n的函數(shù)，用函數(shù)方法研究數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，是研究數(shù)列時的常用方法.例2求等差數(shù)列8，5，2，…的通項公式an和第20項，并判斷－289是否是數(shù)列中的項，若是，是第幾項？分析：只要知道首項a1和公差d，就可以求得數(shù)列的通項公式，從而可以求得第20項.公差d可以由任意一項和它前一項的差求得.求得通項公式以后，它是一個關(guān)于n的方程，判斷－289是否是數(shù)列中的項，只需要看－289是否能使得該方程有正整數(shù)解即可．解：由已知條件，得d＝5－8＝－3.把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝8＋(n－1)×(－3)＝－3n＋11.所以a20＝－3×20＋11＝－49.令－3n＋11＝－289，得n＝100.所以－289是該數(shù)列中的第100項.思路小結(jié)：等差數(shù)列的首項a1和公差d是等差數(shù)列的“基本量”，知道了這兩個基本量，就可以求得等差數(shù)列通項公式和數(shù)列中的任意一項.實際上，等差數(shù)列的通項公式中共有四個量a1、d、n和an，知道其中3個，就可以列出方程，求出另外一個.根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等差數(shù)列的通項公式中未知量的方程或方程組，求得未知量，是解決等差數(shù)列相關(guān)問題的常用方法.問題5回顧本節(jié)課的探究過程，你學(xué)到了什么？1.從知識角度，我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列、等差中項的定義，推導(dǎo)了通項公式，并進行了簡單的應(yīng)用.在此過程中，我們由等差數(shù)列的定義，寫出等差數(shù)列的遞推公式；由遞推公式，分別用歸納和累加的方法，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項公式.我們分別從函數(shù)和方程的角度，