2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級(jí)期末必刷?？碱}之直線

和圓的位置關(guān)系

一.選擇題（共7小題）

1.（2025?平房區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AC^BC,以A2上一點(diǎn)。為圓心，04為半徑的圓與BC相

切于點(diǎn)C,若BC=4b，則。。的半徑為（）

2.（2025?洛陽二模）如圖，A8為。。的直徑，PB,PC分別與相切于點(diǎn)8,C,過點(diǎn)C作的垂線,

垂足為E,交O。于點(diǎn)D若CD=PB=2色,則。。的半徑長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2025??？谝荒＃┤鐖D，△ABC是。。的內(nèi)接三角形，ZA=116°,過點(diǎn)C作。O的切線CQ交8。

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，則的度數(shù)為（）

4.（2025?鄭州模擬）如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC的高與。。的直徑相等.。。與BC相切于

點(diǎn)C,與AC相交于點(diǎn)。，則圖中陰影部分的面積為（）

A

一

BC

A.TC-y/3B.2n-C.TI-D.TC——^―

4Z4

5.（2024秋?孝昌縣期末）如圖，。4交。。于點(diǎn)3,AC切。0于點(diǎn)C,。點(diǎn)在。0上.若ND=25。，則

NA為（）

6.（2025?濱江區(qū)開學(xué)）如圖，直線機(jī)與半徑為3的。。相切于點(diǎn)A,。是。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A

垂足為點(diǎn)3,連結(jié)AC,設(shè)AC=%,CB=y,則x-y的最大值為（）

3

A.一B.1C.一D.2

22

7.（2025?九龍坡區(qū)校級(jí)二模）如圖，已知四邊形A8C0是。。的內(nèi)接四邊形，且A0=5C,過點(diǎn)。作。。

的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。連接05、OC,若NBOC=64°,則NAOE的度數(shù)為（）

C.26°D.32.5°

二.填空題（共5小題）

8.（2025?南崗區(qū)模擬）如圖，A3與。。相切于點(diǎn)A,連接。4,點(diǎn)。在。。上，連接5C并延長(zhǎng)8C交。0

于點(diǎn)。，連接。。，若NAOC=80°,ZZ）OC=40°,則N8=度.

9.（2025?沛縣二模）如圖，A8是。。的直徑，陰切于點(diǎn)A,線段P。交。。于點(diǎn)C,連接3c.若/尸=

10.（2025春?江津區(qū)校級(jí)期中）如圖，四邊形48C。內(nèi)接于圓O,AC為圓O直徑，BD、AC交于點(diǎn)E,

點(diǎn)2是左的中點(diǎn)，OG切圓。于。，交CA延長(zhǎng)線于G.若AB=小,點(diǎn)。到。C的距離為匚，貝UAC

2

11.（2025春?大足區(qū)期中）如圖，△ABC內(nèi)接于O。，B4是。。的切線，A為切點(diǎn)，PC交。。與點(diǎn)D若

ZABC=60°,B4=6,PD=4,貝l|PC=,AC=

12.（2025?溫嶺市二模）如圖，RtAABC,NA8C=90°,點(diǎn)。在8c上，以點(diǎn)。為圓心OB為半徑的。。

與AC相切于點(diǎn)。，連結(jié)A。，若NAOB=70°,則NC的度數(shù)為

13.(2025?廬江縣二模)如圖，A8為。。的直徑，8C為。。的切線，連接AC交。。于點(diǎn)。，DHA.AB

于點(diǎn)H,E是皿的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)R交DH,DB于點(diǎn)、M,N.

(1)求證：DM=DN；

(2)AD=4,BD=3,求EF的長(zhǎng).

14.(2025?興慶區(qū)模擬)已知，如圖，A8為。。的直徑，△ABC內(nèi)接于O。，BOAC,點(diǎn)尸是△ABC的

內(nèi)心，延長(zhǎng)CP交。。于點(diǎn)O,連接8P.

(1)求證：BD=PD；

(2)已知O。的半徑是3/，C￡>=8,求BC的長(zhǎng).

15.(2024秋?海港區(qū)期末)如圖，AB為半圓。的直徑，點(diǎn)廠在半圓上，連接。尸，點(diǎn)尸在A8的延長(zhǎng)線

上，PC與半圓相切于點(diǎn)C,與。尸的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)。.連接AC與。尸相交于點(diǎn)E,OD±AB.

(.1)求證：DC=DE；

(2)若。4=2OE,DF=2,求尸。的長(zhǎng).

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級(jí)期末必刷常考題之直線

和圓的位置關(guān)系

參考答案與試題解析

一.選擇題（共7小題）

題號(hào)1234567

答案ABBDBCA

選擇題（共7小題）

1.（2025?平房區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AC^BC,以A8上一點(diǎn)。為圓心，為半徑的圓與相

切于點(diǎn)C,若BC=4百，則。。的半徑為（）

A.4B.3C.3V3D.2遮

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】A

【分析】連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OCLBC,根據(jù)圓周角定理得到/BOC=2/4求出NB=30°,

再根據(jù)正切的定義計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，連接OC,

是。。的切線，

：.OC±BC,

：.ZBOC+ZA=90°,

：AC=BC,

ZA=ZB,

由圓周角定理得：/BOC=2/A,

：.ZB=30°,

；.OC=BC?tanB=4V5X苧=4,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

2.（2025?洛陽二模）如圖，為。。的直徑，PB,PC分別與相切于點(diǎn)8,C,過點(diǎn)C作AB的垂線，

垂足為E,交。。于點(diǎn)D若CD=PB=2網(wǎng),則。。的半徑長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì).

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】B

【分析】連接OD、BD,根據(jù)切線的性質(zhì)得到PC=PB=25根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出

BD,根據(jù)勾股定理求出8E,再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，連接O。、BD,

,:PB,尸C分別與。。相切于點(diǎn)8,C,

:.PC=PB=2W，ABLPB,

'JABLCD,

：.CD//PB,

,:CD=PB,

四邊形CPBD為平行四邊形，

：.BD=PC=243,

"CABLCD,

1

：.DE=jCD=V3,

由勾股定理得：BE=7BD2-DE?=J（2百尸-（百￥=3,

在RtZVDOE1中，OD2=OE2+DE，即。。2=（3-。。）2+（百）2,

解得：OD=2,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

3.（2025??？谝荒＃┤鐖D，△A8C是。。的內(nèi)接三角形，ZA=116°,過點(diǎn)C作。。的切線CO交8。

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，則的度數(shù)為（）

A.36°B.38°C.40°D.42°

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理；三角形的外接圓與外心.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】連接OC,設(shè)DB交O。于點(diǎn)連接CM,切線的性質(zhì)，得到/08=90°,圓內(nèi)接四邊形

的性質(zhì)結(jié)合等邊對(duì)等角，求出NOMC,Z0CM的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系和三角形的外角的性質(zhì)，

進(jìn)行求解即可.

【解答】解：連接OC,設(shè)。B交。。于點(diǎn)連接CM,貝U：OC=OM,

A

D\OMD

由題意可得：/0CD=9U°,

VZA=116°,

：.ZOMC=180°-116°=64°,

???OC=OM,

：.ZOCM=ZOMC=64°,

：.ZMCD=ZOCD-ZOCM=90°-64°=26°,

ZBMC=ZMCD+ZD,

：.ZD=64°-26°=38°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵.

4.（2025?鄭州模擬）如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC的高與。。的直徑相等.。。與相切于

點(diǎn)C,與AC相交于點(diǎn)則圖中陰影部分的面積為（）

A后DO,/3「"/3c3焉

A.Tt—V3B.2Tt—C.Tt—D.it~

4z4

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算；等邊三角形的性質(zhì).

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力.

【答案】D

【分析】過點(diǎn)A作于E,過點(diǎn)。作OfUCD于E連接OC、根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求

出AE,根據(jù)切線的性質(zhì)得到0CL3C,求出/。。。=120。，根據(jù)扇形面積公式、三角形面積公式計(jì)算

即可.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AEL8C于E,過點(diǎn)。作。尸，C。于R連接。C、OD,

：△ABC為等邊三角形，AELBC,

1

：.CE=^BC=2,ZACB=60°,

由勾股定理得：AE=4AB2-BC2=2V3,

???。。與5c相切于點(diǎn)C,

???OCLBC,

：.ZOCF=90°-60°=30°,

OF=|OC=^,CF=V3x=I，

u：OFLCD,

：.ZCOF=60°,CD=2CF=3,

：.ZCOD=120°,

:?S陰影部分=S扇形c。。-S^COD=11。黑，石）—劣x3x字=n一3￡，

DOUZZ4,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、扇形面積計(jì)算，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

5.（2024秋?孝昌縣期末）如圖，0A交。。于點(diǎn)8,AC切。。于點(diǎn)C,。點(diǎn)在。。上.若ND=25。,則

ZA為（）

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOCA=90°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出

【解答】解：：/。=25

AZAOC=2ZZ>=2X25°=50°,

：AC切。。于點(diǎn)C,

：.OC±AC

AZOCA=90°

AZA=90°-ZAOC=90°-50°=40°,故B正確.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A心與切

點(diǎn)的連線垂直切線.

6.（2025?濱江區(qū)開學(xué)）如圖，直線機(jī)與半徑為3的O。相切于點(diǎn)A,C是O。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A

重合），過點(diǎn)C作C3Lw,垂足為點(diǎn)2,連結(jié)AC,設(shè)AC=_r,CB=y,則x-y的最大值為（）

22

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】作直徑AP,連接得出得比例式，得出y=1?，代入所求式配方后即可

解答.

【解答】解：如圖，作直徑AP,連接“，

；.NACP=90°,

'：AB是切線，

：.PALAB,

9：CB±m(xù),

.AP//CB,

：.ZCAP=ZACB.

：.AAPC^ACAB,

ACAP

?e?一,

BCAC

9：CA=x,CB=y,半徑為3,

.x6

.?一=—,

yx

.12

??尸下,

".x-y=x—蕓'一款+x=-.(尤-3)2+1，

,,?,3

當(dāng)x=3時(shí)，x-y有取大值是萬；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性

質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

7.(2025?九龍坡區(qū)校級(jí)二模)如圖，已知四邊形A8CD是。。的內(nèi)接四邊形，且AO=BC,過點(diǎn)。作。。

的切線交54的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接。8、OC,若N8OC=64°,則NADE的度數(shù)為()

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】A

【分析】連接。A,OD,由AO=BC,得到血=就，求得/4。。=/8(^：=64°,根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)得到/OD4=/OAO="1(180°-ZAOZ))=j1x(180°-64°)=58°,根據(jù)切線的性質(zhì)得

到/。。E=90°,于是得到/OD4=90°-58°=32°.

【解答】解：連接OA,OD,

'：AD=BC,

：.AD=BC,

/.ZAOD=ZBOC=64°,

'：OA=OD,

：.ZODA=ZOAD=^x(180°-/AO。)=^x(180°-64°)=58°,

是OO的切線，

：./ODE=90°,

：.ZADE=ZODE-ZODA=90°-58°=32°,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確地找出輔助線是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

8.（2025?南崗區(qū)模擬）如圖，A3與。。相切于點(diǎn)A,連接OA,點(diǎn)C在O。上，連接BC并延長(zhǎng)BC交。。

于點(diǎn)。，連接。。，若NAOC=80°,ZDOC=40a,則80度.

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】多邊形與平行四邊形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】80.

【分析】由切線的性質(zhì)得/A=90°,由0c=。。，得NOCD=ND,WZAOC=80°,ZDOC=40°,

則NAOD=120°,2ZD+400=180°,求得ND=70°,則/2=360°-ZA-ZAOD-ZZ）=80°,

于是得到問題的答案.

【解答】解：：AB與O。相切于點(diǎn)A,

：.AB1OA,

：.ZA=90°,

?/OC=OD,

：.ZOCD=ZD,

VZAOC=80°,ZZ）（9C=40o,且/OCD+/O+/OOC=180°,

：.ZAOD=ZAOC+ZDOC=120°,2/0+40°=180°,

：.ZD=10°,

：.ZB=360°-ZA-ZAOD-ND=80°,

故答案為：80.

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、四邊形的內(nèi)角和等于360°

等知識(shí)，推導(dǎo)出并且求得乙D=70°是解題的關(guān)鍵.

9.（2025?沛縣二模）如圖，A8是。。的直徑，切于點(diǎn)A,線段PO交。。于點(diǎn)C,連接BC.若NP=

46°,則/B=22°.

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力.

【答案】22.

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可得/抬8=90°,進(jìn)而可得/POA的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理即得答案.

【解答】解：由切線的性質(zhì)可得：ZPAB=9Q°,

VZP=46°,

：.ZPOA=90°-46°=44°,

'：AC=AC,

1

：.ZB=^APOA=22°.

故答案為：22.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵.

10.（2025春?江津區(qū)校級(jí)期中）如圖，四邊形ABCZ）內(nèi)接于圓O,AC為圓。直徑，BD、AC交于點(diǎn)E,

點(diǎn)8是左的中點(diǎn)，0G切圓。于。，交CA延長(zhǎng)線于G.若AB=V7,點(diǎn)。到。C的距離為三，貝UAC

3V14

=_V14AG=

-8-

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】V14.噌.

【分析】過。點(diǎn)作于X點(diǎn)，連結(jié)0。，如圖，則。5=苧，先根據(jù)圓周角定理得到NABC=

NAOC=90°,再判斷△ABC為等腰直角三角形得到4。=應(yīng)42=VH,接著證明。以為△AC。的中

位線得到AD=20H=V3,則利用勾股定理可計(jì)算出CD=V11,然后根據(jù)切線的性質(zhì)得到/0￡>G=90°,

接著證明△GADs^GDC得到—=—=~r=,—=—，所以DG—^^-AG,從而得到C^rAG)

DGCDVilDGGC-v3yJ3

2=AG?(AG+E),于是可求出AG的長(zhǎng).

【解答】解：過。點(diǎn)作0HLCQ于H點(diǎn)，連結(jié)0。，如圖，貝！JO"=日，

〈AC為。0直徑，

ZABC=ZADC=90°,

??,點(diǎn)8是尼的中點(diǎn)，

：.AB=BC,

:?△ABC為等腰直角三角形，

,U.AC=V2AB=V2Xy/7—V14,

丁OHLCD,

：.CH=DH,

而OA=OC,

：.AD=2OH=V3,

在Rt/VUDC中，CD=J(V14)2-(V3)2=Vil,

■:DG為切線，

：.ODLDG,

：.ZODG=90°,

VZADG+ZODA=90°,ZODC+ZODA=90°，

：.ZADG^ZODC,

'：OC=OD,

：.ZOCD=ZODC,

：.ZADG^ZOCD,

'：ZAGD^ZDGC,

:.XGMJsXGDC,

AGADV3AGDG

DG~CD~Vll，DG~GC'

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.也考查了圓周角定理和相似三角形

的判定與性質(zhì).

n.（2025春?大足區(qū)期中）如圖，△ABC內(nèi)接于。。，朋是。。的切線，A為切點(diǎn)，PC交。。與點(diǎn)D若

PD=4,貝！|PC=6,AC=3+3V6

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；三角形的外接圓與外心.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】6,3+3V6.

【分析】連接。A、OC,過P點(diǎn)作PHJ_AC于H點(diǎn)，如圖，根據(jù)圓周角定理得到/AOC=120°,再利

用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出N。4c=30°,接著根據(jù)切線的性質(zhì)得到NO4P=90°,

P42

貝i]/B4C=60°,然后根據(jù)切割線定理得到尸C=禽=9,接著利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得

到AH=3,PH=3W，最后利用勾股定理計(jì)算出CH,從而得到AC的長(zhǎng).

【解答】解：連接。A、OC,過產(chǎn)點(diǎn)作于X點(diǎn)，如圖，

VZAOC^2ZABC^120°,

而OA—OCj

1

：.ZOAC=^x(1280°-120°)=30°,

:出是O。的切線，A為切點(diǎn)，

：.OA±PA,

：.ZOAP=9Q°,

：.ZPAC=9Q0-30°=60°,

:用為。。的切線，PC為割線，

：.PJ^=PD'PC,

p%2z-2

,pc————--—Q

??人一PD~4一%

在中，VZB4H=60°,

1

：.AH=^PA=3,

：.PH=V3A//=3V3,

在Rt/XPC“中，CH=VPC2-PH2=J62-(3百尸=36,

.?.AC=AH+CH=3+6A/3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.也考查了切割線定理.

12.(2025?溫嶺市二模)如圖，RtAABC,NABC=90°,點(diǎn)。在8c上，以點(diǎn)O為圓心。8為半徑的。。

與AC相切于點(diǎn)。，連結(jié)A。，若NAOB=70°,則NC的度數(shù)為50°.

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】圖形的全等；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】500.

【分析】連接OD,根據(jù)切線性質(zhì)得到NADO=90,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/4。。=乙4。2=70°,

求得/COO=180°-70°-70°=40°,得到/C=90°-40°=50°.

【解答】解:連接O。，

是。。的切線，

乙4。0=90,

ZABC^ZADO^9Q°,

\'OB=OD,AO=AO,

：.RtAABO^RtAADO(HL),

：.ZAOD^ZAOB^10°,

AZCOZ)=180°-70°-70°=40°,

：.ZC=90°-40°=50°,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

三.解答題(共3小題)

13.(2025?廬江縣二模)如圖，為。。的直徑，BC為。。的切線，連接AC交。。于點(diǎn)。，DHLAB

于點(diǎn)hE是皿的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)R交DH,DB于點(diǎn)”,N.

(1)求證：DM=DN；

(2)AD=4,BD=3),求EF的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】(1)證明見解答過程；

Vio

(2)-----.

6

【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)求出/A8C=90。，結(jié)合垂直的定義、平行線的判定與性質(zhì)、圓周角定理

求出/AND=ZDMF=NAFB=ZFNB,再根據(jù)等腰三角形的判定即可得證；

(2)連接BE,過點(diǎn)N作NGLA8于點(diǎn)G,根據(jù)圓周角定理、角平分線的性質(zhì)定理求出。N=GN,根

據(jù)勾股定理求出A8=5,根據(jù)三角形面積公式求出DN=NG=彖BN=BD-DN=^,根據(jù)勾股定理

45

--則NF=AF-AN=孚，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可.

33

【解答】(1)證明：為。。的切線,

；.NABC=90°,

：.ZFAB+ZAFB^90°,

\'DH±AB,

：.ZAHD=90°=ZABC,

J.DH//BC,

ZDMF=ZAFB,

：AB為。。的直徑，

AZADB=90°,

：.ZFAD+ZAND^90°,

是皿的中點(diǎn)，

：.BE=DE,

：.ZFAD=ZFABf

???ZAND=ZAFB,

：./AND=ZDMF=ZAFB=/FNB,

：.DM=DN；

(2)解：連接BE,過點(diǎn)N作NGLAB于點(diǎn)G,

：.ZFAD=ZFABf

■:NG1AB,ZADB=90°,

:?DN=GN,

VAZ)=4,BD=3,

：.AB=VXD2+BD2=5,

1111

:.S^ABD=aAD.DN+.AB?NG=^(AD+AB)DN=jAD-BD,

4

-

3

5

-

3,

-4

2--

3

由(1)知/AFB=/FNB,

:?BF=BN=4,

：.AF=7AB2+BF2=1V10,

：.NF=AF-AN=孚，

：AB為。。的直徑，

AZAEB^90°,

?Z7Z71ATZTV10

??EF=KNF=

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理等知識(shí)，熟練運(yùn)用切線的性質(zhì)、勾股定理、圓

周角定理是解題的關(guān)鍵.

14.(2025?興慶區(qū)模擬)已知，如圖，A8為。。的直徑，△ABC內(nèi)接于OO,8OAC,點(diǎn)P是△ABC的

內(nèi)心，延長(zhǎng)CP交。。于點(diǎn)。，連接8P.

(1)求證：BD=PD；

(2)已知O。的半徑是3或，C￡>=8,求BC的長(zhǎng).

D

【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；三角形的外接圓與外心.

【專題】推理能力.

【答案】(1)見解析；

(2)4V2+2.

【分析】(1)由圓周角定理得出NAC2=90°,由內(nèi)心得出NACZ)=NBCP=45°,/CBP=NEBP,

ZABD=ZACD=45°,由三角形的外角性質(zhì)得出即可得出結(jié)論；

(2)連接AD,過點(diǎn)B作于X,由圓周角定理得出NA3￡>=45°,證出△A3。是等腰直角三

角形，得出52B=6,由/8。=45°,BHLCD,推出BH=C8,得到=根據(jù)勾股

定理可求8”的長(zhǎng)，即可得出結(jié)果.

【解答】(1)證明：為。。的直徑，

ZACB=90°,

:點(diǎn)尸是△ABC的內(nèi)心，

AZACD=ZBCP=45°,ZCBP=ZEBP,

：.ZABD^ZACD^45°,

:/DPB=NBCP+NCBP=45°+ZCBP,/DBP=/ABD+/EBP=45°+ZEBP,

:./DPB=NDBP,

：.BD=DP；

(2)解：連接A￡>,過點(diǎn)B作①于H,

為。。的直徑，。。的半徑是3VLZABD=45°,

：.AB=6V2,

VZABD=45°,

：.AABD是等腰直角三角形，

BD=5AB=孝x6y/2=6,

'JBHLCD,

:./BHE=90°,

,：ZBCD=45°,

：.ZBCH=ZCBH=45°,

:.BH=CH,

：.BC=y/2BH,

"：BD1=DH2+BH2,

.1.36=(8-BH)2+BH2,

：.BH=4±V2,

：.BC=4y/2+2,

'：BC>AC,AC2+BC2=AB2=12,

：.BC>6,

：.BC=4V2+2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、圓周角定理、三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定、等

腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

15.(2024秋?海港區(qū)期末)如圖，A8為半圓。的直徑，點(diǎn)尸在半圓上，連接。尸，點(diǎn)尸在A8的延長(zhǎng)線

上，PC與半圓相切于點(diǎn)C,與。尸的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)。.連接AC與。尸相交于點(diǎn)E,OD±AB.

(1)求證：DC=DE-,

(2)若。4=2。￡,DF=2,求尸。的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】（1）證明見解析；

【分析】（1）連接OC,由切線的性質(zhì)推出/。。=90°,由余角的性質(zhì)推出NQCE=/AEO,由對(duì)頂

角的性質(zhì)得到因此推出。C=Z）E；

（2）設(shè)OE=x,由勾股定理得到（2r+2）2=（2+x）2+（2%）2,求出x=4,得到。C=6,0c=8,判

定XPCOsXOCD,推出CO：CD=PC：0C,求出PC=學(xué)，即可得到尸。的長(zhǎng).

【解答】（1）證明：連接0C,

??,尸。與半圓相切于點(diǎn)C,

???半徑OCLPC,

：.ZOCD=90°,

ZZ)CE+ZOCE=90°,

VOZ)±AB,

ZAOE=90°,

ZAEO+ZOAE=90°,

9

：OA=OCf

：.ZOCE=ZOAE,

：.ZDCE=ZAEOf

9：ZDEC=ZAEO,

：.ZDCE=/DEC,

：.DC=DE；

(2)解：設(shè)OE=x,

OF=OA=2OE=2x,

EF=OE=x,OD=OF+DF—2x+2,

.'.DE=DF+FE=2+xf

由(1)知：DC=DE=2+x,

9：ZOCD=90°,

：.OD2=CD2+OC2,

(2x+2)2=(2+x)2+(2x)2,

.*.x=4,

DC=2+x=6,OC—2x—8,

VZP+ZPOC=ZCOD+ZPOC=90°,

：.ZP=ZCOD,

'：ZPCO=ZDCO,

:?叢PCOs叢ocD,

??CO：CD=PC：OC,

.\8：6=PC：8,

32

???PC=芋，

32SO

：.PD=PC+DC=芋+6=堂.

D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是由切線的性質(zhì)推出N。。

=90°,由余角的性質(zhì)和對(duì)頂角的性質(zhì)推出N￡)CE=NOEC,由勾股定理列出關(guān)于尤的方程，判定△PC。

s\)CD,推出CO：CD=PC：OC.

考點(diǎn)卡片

1.二次函數(shù)的最值

(1)當(dāng)a>0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨X的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨X的增大而增大，因?yàn)?/p>

圖象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)天=-白時(shí)，>=色祟.

(2)當(dāng)時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)?/p>

圖象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x=-2時(shí)，y=當(dāng)式.

C/vX*vv

(3)確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂

點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從

而獲得最值.

2.全等三角形的判定與性質(zhì)

(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，

關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角

形.

3.等腰三角形的性質(zhì)

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等.【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

(3)在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)

元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論.

4.等邊三角形的性質(zhì)

(1)等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形.

①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況.在等邊三角形中，腰和底、頂

角和底角是相對(duì)而言的.

(2)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°.

等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線

是對(duì)稱軸.

5.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是。，b,斜邊長(zhǎng)為C,那么/+62=02.

（2）勾股定理