初中教學(xué)

實(shí)數(shù)（知識(shí)歸納+題型突破）

課標(biāo)要求

1.了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根、立方根.

2.了解開方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會(huì)用立方運(yùn)算求某些數(shù)的立方根，

會(huì)用計(jì)算器求平方根和立方根.

3.了解無理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，有序?qū)崝?shù)對與平面上的點(diǎn)一對應(yīng)；了解

數(shù)的范圍由有理數(shù)擴(kuò)大為實(shí)數(shù)后，概念、運(yùn)算等的一致性及其發(fā)展變化.

4.能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)的大致范圍.

基礎(chǔ)知識(shí)歸納

知識(shí)點(diǎn)一：平方根和立方根

型

平方根立方根

被開方數(shù)非負(fù)數(shù)任意實(shí)數(shù)

符號(hào)表示±yl~a

一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且互為一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；

性質(zhì)相反數(shù)；零的平方根為零；負(fù)數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；

沒有平方根；零的立方根是零；

(新)2=a(a>0)(V^)3=a

重要結(jié)論^=\a\=[a(a-0)=a

\-a{a<0)\l-a=-\[a

知識(shí)點(diǎn)二：實(shí)數(shù)

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

1.實(shí)數(shù)的分類

按定義分：按與0的大小關(guān)系分:

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工勤［正有理數(shù)

正數(shù)《

…粕f有理數(shù)：有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)〔正無理數(shù)

實(shí)數(shù)4實(shí)數(shù)

無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)0

名粕［負(fù)有理數(shù)

負(fù)數(shù)4［負(fù)無理數(shù)

特別說明：(1)所有的實(shí)數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù).其中有限小數(shù)和無限

循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

(2)無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如石，蚯等；②有特殊意義的數(shù)，如“；③有特定結(jié)

構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…

(3)凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式.

(4)實(shí)數(shù)和數(shù)軸上點(diǎn)是---對應(yīng)的.

2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)--對應(yīng).

數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之對應(yīng).

3.實(shí)數(shù)的三個(gè)非負(fù)性及性質(zhì)：

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負(fù)數(shù)有如下三種形式：

(1)任何一個(gè)實(shí)數(shù)。的絕對值是非負(fù)數(shù)，即

(2)任何一個(gè)實(shí)數(shù)。的平方是非負(fù)數(shù)，即

(3)任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即620(?>0).

非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)：

(1)非負(fù)數(shù)有最小值零；

(2)有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)；

(3)幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0.

4.實(shí)數(shù)的運(yùn)算：

數(shù)。的相反數(shù)是一a；一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.

有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先乘方、開方、再乘除，最

后算加減.同級(jí)運(yùn)算按從左到右順序進(jìn)行，有括號(hào)先算括號(hào)里.

5.實(shí)數(shù)的大小的比較：

有理數(shù)大小的比較法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.

法則L實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；

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法則2.正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而小;

法則3.兩個(gè)數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.

重要題型

【題型一無理數(shù)的識(shí)別】

例題：在實(shí)數(shù)0、生、―，叵、我、2.010101...（相鄰兩個(gè)1之間有1個(gè)0）中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)有（）

1個(gè)2.2個(gè)C.3個(gè)D4個(gè)

【變式訓(xùn)練】

1.在實(shí)數(shù)近,午,匹-4,右,3.1415,0.010010001…（每兩個(gè)1之間多一個(gè)0）中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)有（）

2個(gè)3.3個(gè)C.4個(gè)D5個(gè)

2?

2.在亍，一兀，0，3.14,-41，0.3,三，3'，0.101001000L..（兩個(gè)“1”之間依次多一個(gè)“0”）中，

無理數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【題型二實(shí)數(shù)的分類】

例題：把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里：

,—22,,-------”“八I---------.n

—V12?0,,J—125,0.1010010001???,-\J10~2>0,3,——

有理數(shù)集合：｛｝；

無理數(shù)集合：：｝；

負(fù)實(shí)數(shù)集合：｛｝.

【變式訓(xùn)練】

1.把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi):

冷,-"，（，點(diǎn)，-1,0,-0.2121121112…（相鄰兩個(gè)2之間的1的個(gè)數(shù)逐次加1）

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2.把下列各數(shù)填到相應(yīng)的集合內(nèi)（只填序號(hào)）：

①26；②③舛；@0.54：⑤0」3；⑥/；⑦°；⑧一23；⑨（e了；⑩0.3020020002…（相鄰

兩個(gè)2之間0的個(gè)數(shù)逐次加一）

有理數(shù)集合：｛???}

無理數(shù)集合：｛_______________________________-}

正實(shí)數(shù)集合：｛

負(fù)實(shí)數(shù)集合：｛

【題型三求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、平方根、立方根】

例題：1的平方根為，8的立方根為，9的算術(shù)平方根為

【變式訓(xùn)練】

1.J語的平方根是,衣了的算術(shù)平方根是-

2.25的平方根是,J話的算術(shù)平方根是_______,-27的立方根是

【題型四利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題】

例題：若而1+（6-2）2=0,貝1]0+6=.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023上?浙江杭州?七年級(jí)?？计谥校┤舳?+|6+3|=0,則僅產(chǎn)3的值是（）

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A.-1B.1C.52023D.2024

2.(2023下?江蘇?八年級(jí)專題練習(xí))已知而^+(。-2『=0,則/=.

3.(2023下?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))已知y=J尤一3+J3-尤+1,則x+y的算術(shù)平方根是.

【題型五利用平方根、立方根解方程】

例題：求出下列x的值：

(l)4x2-9=0(2)8(x+1)3=125

【變式訓(xùn)練】

1.求x的值：

(1)361(1-^)2=16；(2)64(2%+1)3=27.

2.解方程：

2="125

(1)3/_27=0；(2)(x-1)(3)8(x-1)3=-

4

【題型六算術(shù)平方根和立方根的綜合應(yīng)用】

例題：(2023上?貴州貴陽?八年級(jí)?？茧A段練習(xí))已知。+3的立方根是2,6-1的算術(shù)平方根為3,°?=16.

⑴分別求。c的值；

(2)求3a-6+c的平方根.

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【變式訓(xùn)練】

1.（2023上?山東濟(jì)南?八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：3a+1的立方根是-2,26-1的算術(shù)平方根3.

（1）求a,6的值；

⑵求-5a+2b的平方根.

2.（2023上?甘肅定西?七年級(jí)?？计谀┮阎?加-4的兩個(gè)平方根分別是±4,4〃-加的立方根為2.

⑴求4刃+3〃的平方根；

⑵若p+2m的算術(shù)平方根是3,求-10〃?-9〃+3P的立方根.

【題型七實(shí)數(shù)與數(shù)軸】

例題：如圖，正方形Z8CD的面積為7.頂點(diǎn)/在數(shù)軸上表示的數(shù)為1,點(diǎn)￡在數(shù)軸上，且/。=/石，則點(diǎn)E

表示的數(shù)是（）

A.V7B.V7-1C.1+77D.1-77

【變式訓(xùn)練】

1.如圖所示，面積為5的正方形N3C。的頂點(diǎn)/在數(shù)軸上，且點(diǎn)/表示的數(shù)為1,若點(diǎn)￡在數(shù)軸上（點(diǎn)￡

在點(diǎn)/左側(cè)），且則點(diǎn)E所表示的數(shù)為（）

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A.V5B.-V5C.-V5-1D.-V5+1

2.如圖，在數(shù)軸上A,8兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為1,6,CA=AB,則點(diǎn)C所表示的數(shù)為（

CAB

_______I|【1?

0______1J2

A.1-V2B.2-V2C.-1+V2D.V2-2

【題型八實(shí)數(shù)的大小比較】

例題：比較大?。?二1--

2---------5

【變式訓(xùn)練】

1.比較大?。航?2.

5--------10

2.比較大?。?/p>

⑴2733V2；(2)-