絕密★啟用前

2025年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新高考n卷）

數(shù)學(xué)

本試卷共10頁，19小題，滿分150分.

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號，試室號，座位號填寫

在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型和考生號填涂在答題卡相應(yīng)位置上.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)的題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需

改動，用橡皮擦干凈后，再填涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)

位置上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按

以上要求作答的答案無效.

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.樣本數(shù)據(jù)2,8,14,16,20的平均數(shù)為（）

A.8B.9C.12D.18

2.已知z—1+i,貝U=()

z-1

A.-iB.iC.-1D.1

3

3已知集合N={-4,0,1,2,8},5={X|x=%},則=()

A.{0,1,2}B.{1,2,8}

C.{2,8}D.{0,1}

4.不等式^—22的解集是（）

X—1

A.{x|-2<x<1}B.{x\x<-2}

C.{x|-2<x<1}D.{x\x>1}

5.在VN8C中，BC=2,AC=\+也,ZB=而，則4=()

A.45°B.60°C.120°D.135°

6.設(shè)拋物線C:y2=2/(夕>0)的焦點(diǎn)為尸,點(diǎn)/在C上，過/作。的準(zhǔn)線的垂線，垂足為8,若直線

昉的方程為了=-2X+2,則()

A.3B.4C.5D.6

7.記S,,為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若S3=6^5=—5,則$6=，()

A-20B.-15C.-10D.-5

COS—=—.貝Ijsin(a—￡

8.已知0<。<乃，l=()

2514；

A也R6c3V2D.還

1051010

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

9.記S“為等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，9為｛%｝的公比，4>0,若S3=7,%=1,則()

11

A.q=-B.a.=—

259

C.S5=8D,an+S,=8

10.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，/(x)=(x2-3)ex+2,貝i]()

A.y(0)=0B.當(dāng)x<0時，/(x)=—(x?—3)e"—2

C./(x)22當(dāng)且僅當(dāng)百D.x=—1是/(x)的極大值點(diǎn)

H.雙曲線C：W—乙=1(?！?,6〉0)的左、右焦點(diǎn)分別是片、F2,左、右頂點(diǎn)分別為4,A2,以

5萬

耳月為直徑的圓與C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)，且=——,貝I]()

6

71

A.AA.MA,=-B.四||=2|"|

126

C.C的離心率為屈D.當(dāng)。=正時，四邊形N4M42的面積為

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知平面向量1=(》,1),3=(%一1,2%),若2，(，一3),貝!!|即=

13.若x=2是函數(shù)/(x)=(x—l)(x—2)(x—a)的極值點(diǎn)，則/(0)=

14.一個底面半徑為4cm,高為9cm的封閉圓柱形容器(容器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)有兩個半徑相等的鐵

球，則鐵球半徑的最大值為cm.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(x)=cos(2x+e)(0<e<7i)J(0)=g.

(1)求。；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)+/，求g(x)的值域和單調(diào)區(qū)間.

16.已知橢圓。：[+.=1伍〉6〉0)的離心率為《，長軸長為4.

(1)求C的方程；

(2)過點(diǎn)(0,-2)的直線/與c交于48兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△048的面積為行，求|A8].

17.如圖，在四邊形45CD中，AB//CD,NDAB=90°,尸為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)￡在上，EF//AD,

AB=3AD,CD=2AD,將四邊形EFDA沿EF翻折至四邊形EFD'A'，使得面EFD'A'與面EFCB所成

的二面角為60°.

(1)證明:H8//平面C0F；

(2)求面BCD'與面EFQW所成的二面角的正弦值.

?1

18.已知函數(shù)=ln(l+x')—x+—x"—kx,其中0<左<§.

(1)證明：/(X)在區(qū)間(0,+8)存在唯一的極值點(diǎn)和唯一的零點(diǎn);

(2)設(shè)王,分別為/(X)在區(qū)間(0,+8)的極值點(diǎn)和零點(diǎn).

(i)設(shè)函數(shù)g?)=/(xi+?！?(西一》)?證明：g?)在區(qū)間(o,xj單調(diào)遞減;

(ii)比較2萬與馬的大小，并證明你的結(jié)論.

19.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球練習(xí)，每個球勝者得1分，負(fù)者得0分.設(shè)每個球甲勝的概率為

P\k<p<y乙勝的概率為/p+q=L且各球的勝負(fù)相互獨(dú)立，對正整數(shù)上之2,記入為打完左

個球后甲比乙至少多得2分的概率，qk為打完k個球后乙比甲至少多得2分的概率.

(1)求夕3，,4(用p表示).

(2)右二4,求夕.

夕4一名

(3)證明：對任意正整數(shù)m,p2m+i~q2m+i<p2m-q2m<p2m+2~q2fn+2.

參考答案

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.樣本數(shù)據(jù)2,8,14,16,20的平均數(shù)為()

A.8B.9C.12D.18

【答案】C

【解析】

【分析】由平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解.

【詳解】樣本數(shù)據(jù)2,8,14,16,20的平均數(shù)為2+8+14+16+20=絲=葭.

55

故選：C.

2.已知z=1+1,則一--=()

z-1

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】A

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)除法即可求解.

111

【詳解】因?yàn)閦=l+i,所以---=-一；一-=T=4-=-i.

2—11+1-111

故選：A.

3.已知集合2={—4,0」,2,8},8={x|丁=",則/口3=()

A.{0,1,2}B.{1,2,8}

C.{2,8}D.{0,1}

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合B后結(jié)合交集的定義可求

【詳解】5={X|X3=X}={0,-1,1},故Zn5={0,l},

故選：D.

V—4

4.不等式——之2的解集是()

X—1

A.{x|-2<x<1}B.{x|x<-2}

C.{x|-2<x<1}D.{x\x>1}

【答案】C

【解析】

【分析】移項(xiàng)后轉(zhuǎn)化為求一元二次不等式的解即可.

x-4x+2f(x+2)(x-l)<0

【詳解】——22即為——即1八)，故?2￡x〈l,

x—1x—1x—IwO

故解集為［-2,1),

故選：C.

5.在VN8C中，BC=2,ZC=1+百，AB=而，則4=()

A.45°B,60°C.120°D,135°

【答案】A

【解析】

由余弦定理cos』=ABr"U-BC-直接計(jì)算求解即可.

【分析】

2AB?AC

AB?+AC2—BC2+W-2?

【詳解】由題意得cosZ=

2AB*AC2XV6X(1+A/3)2

又0°</<180°,所以4=45°.

故選：A

6.設(shè)拋物線C:歹2=28(夕＞0)的焦點(diǎn)為歹,點(diǎn)/在C上，過/作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為8,若直線

皮7的方程為了=-2X+2,則|4F|=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】先由直線//求出焦點(diǎn)尸和。即拋物線C的方程，進(jìn)而依次得拋物線的準(zhǔn)線方程和點(diǎn)2,從而可依

次求出為和與,再由焦半徑公式即可得解.

【詳解】對"尸：V=-2x+2,令＞=0,則x=l,

所以E(l,0),夕=2即拋物線C：「=4x,故拋物線的準(zhǔn)線方程為x=—1,

故8(-1,4),則”=4,代入拋物線C：/=人得貓=4.

所以以/|=以同=%+§=4+1=5.

故選：C

7.記S,為等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，若S3=6,S5=—5,則工=()

A.-20B.-15C,-10D.-5

【答案】B

【解析】

【分析】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合題意列出關(guān)于首項(xiàng)G和公差d的方程求出首項(xiàng)為和公差d,再由等差

數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可計(jì)算求解.

3q+3d=6d=-3

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則由題可得＜

5%+10d——5a\=5

所以Se=6ax+15d=6x5+15x(—3)=—15.

故選：B.

cos—=——,貝!Jsin]a一丁1=（）

8.已知0<a<〃，

2514,

AOR后c3V2D7V|

D.-------

1051010

【答案】D

【解析】

【分析】利用二倍角余弦公式得cosa=-：,則sinc0!,最后再根據(jù)兩角差的正弦公式即可得到答案.

【詳解】cosa=2cos2--1=2x——一1二——,

2I5J5

因?yàn)?<a<乃，則T<a<7i,則sina=Jl—cos?a=—=g，

.(*.乃.714V2<3^V2772

則nilsin|a----=sin6Zcos------costzsin—=—x------------x——=-------.

4452151210

故選：D.

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

9.記S.為等比數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，4為｛4｝的公比，q〉0,若S3=7,%=1，則（）

11

AQ——B.etc——

.259

C.§5=8D,an+S,,=8

【答案】AD

【解析】

【分析】對A,根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前九項(xiàng)和公式得到方程組，解出為應(yīng)，再利用其通項(xiàng)公式和前〃

項(xiàng)和公式一一計(jì)算分析即可.

2%=4%=9

a.1q—1八

【詳解】對A,由題意得2r，結(jié)合9>0,解得《1或<1(舍去)，故A正確;

a+aq+aq=7q=—q=一一

xxx23

|=；,故B錯誤;

對B,則a5=a4=4x

4x(1」

ai(i-BI3231

對C,工=—,故C錯誤;

i—q4

2

n-\4x1-

對D,4=4x1+3

S,、―-_J=8_2-?>

I1--

2

則a,+S.=23-”+8—23-"=8,故D正確;

故選：AD.

10.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，/(x)=(x2-3)eA+2,則()

A./(0)=0B.當(dāng)x<0時，/(x)=-(x2-3)e-x-2

C./0)22當(dāng)且僅當(dāng)》26D.x=—l是/(x)的極大值點(diǎn)

【答案】ABD

【解析】

【分析】對A,根據(jù)奇函數(shù)特點(diǎn)即可判斷對B,利用/(x)=-f(-x)代入求解即可對C,舉反例/(-I)>2

即可；對D,直接求導(dǎo)，根據(jù)極大值點(diǎn)判定方法即可判斷.

【詳解】對A,因?yàn)?(x)定義在R上奇函數(shù)，則/(0)=0,故A正確;

2x

對B,當(dāng)x<0時，-x>0,貝！l/(x)=—/(-x)=一—X「一3e「'+2=-(x-3)e--2,故B正確;

對C,/(-l)=-(l-3)e-2=2(e-l)>2,故C錯誤;

對D,當(dāng)x<0時，f(x)=(3-x2e-'-2xe-'=(x2-2x-3]e-Y

令/'(x)=0,解得x=—1或3(舍去),

當(dāng)xe(-oo,-l)時，f'(x)>0,此時/(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)xe（-1,0）時,f\x）<0,此時/（x）單調(diào)遞減，

則x=-1是/（X）極大值點(diǎn)，故D正確；

故選：ABD.

22

H.雙曲線。：二一與=1（?！?力〉0）的左、右焦點(diǎn)分別是公、F2,左、右頂點(diǎn)分別為4,A2,以

ab

5萬

大用為直徑的圓與C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)，且NN4"=—,則（）

AZA^MA,=-B,\MA\=2\MA^

?6

C.C的離心率為至D.當(dāng)°=血時，四邊形N4跖%的面積為

【答案】ACD

【解析】

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)判斷A；由大且|"。|=。結(jié)合M在漸近線上可求/的坐標(biāo)，從

而可判斷B的正誤，或者利用三角函數(shù)定義和余弦定理也可判斷；由中線向量結(jié)合B的結(jié)果可得

c2=13a2,計(jì)算后可判斷C的正誤，或者利用=?=G并結(jié)合離心率變形公式即可判斷結(jié)合BC

|4即2a

的結(jié)果求出面積后可判斷D的正誤.

【詳解】不妨設(shè)漸近線為y=2x,M在第一象限，N在第三象限，

a

57171

對于A,由雙曲線的對稱性可得4Mz2N為平行四邊形，故/4上伍。=?！?—，

66

故A正確；

對于B,方法一：因?yàn)镸在以耳工為直徑的圓上，故片M_L巴M且|MO|=c,

X-2

xn=a

設(shè)/(/Jo),則W,,故＜,,故阪4,

為=2U=b-

x0a

由A得/聞1=，故|"^|=|跖小義年叫腿/=￥|用闋，故B錯誤;

則COS/MO4=3,又因?yàn)橐远鶮為直徑的圓與C的一條漸近線交于M、N,則(W=c,

C

則若過點(diǎn)M往X軸作垂線，垂足為H,則|0印二0.3="|。闋，則點(diǎn)8與4(〃)重合，則蛆，X

軸，貝1J|兒僅21=yJc2-a2=b，

方法三：在朋4利用余弦定理知，W92「T%f+|。闋2—2|(W||O4|COS/〃C%2,

即\MA^「=，+/_2cle.巴=b?,則\MA2\=b,

則△44〃為直角三角形，且/&叫=，貝U21K42仁兩人⑷，故B錯誤；

對于C,方法一：因?yàn)樵?g(函+祝1),故4函2=西？+2兩?磯+磯)

由B可知1Mz21=仇|朋4|=苧6，

故4c2=〃+為2+2'"型"且=上〃=勺/_昌即。2=13°2,

33233v'

故離心率6=而，故C正確；

方法二：因?yàn)閷W(xué)|=2=百，則2=2百，則e，=Jl+￡=Jl+(2G)2=5，故c正確;

44|2aaa\a2N

對于D,當(dāng)°=&時，由C可知e=JW，故c=J記，

故6=2指，故四邊形N41M42為2s△,國=2x3x2&x2拒=86,

故D正確，

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知平面向量1=(x,l),B=(x-l,2x),若方，(，一3),貝!)|G|=

【答案】V2

【解析】

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)化運(yùn)算得B=(l,l-2x),再利用向量垂直的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.

【詳解】5-^=(l,l-2x),因?yàn)槿f，(。一3),則,?(a-B)=O,

則x+1-2x=0,解得x=l.

則5=(1,1),貝修初=血.

故答案為：V2-

13.若x=2是函數(shù)/(x)=(x—l)(x—2)(x—°)的極值點(diǎn)，則/(0)=

【答案】-4

【解析】

【分析】由題意得/'(2)=0即可求解。，再代入即可求解.

【詳解】由題意有/(x)=(x—l)(x—2)(x—a),

所以++(x-a)(x-2),

因?yàn)?是函數(shù)/(x)極值點(diǎn)，所以/'(2)=2—a=0,得a=2,

當(dāng)a=2時，/'(X)=2(x-2)(x-l)+(x-2)"=(x-2)(3x-4),

當(dāng)xe(―8,1),f(x)>0/。)單調(diào)遞增，當(dāng)xe[2](x)<0J(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(2,+“),/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

所以x=2是函數(shù)/(x)=(x—l)(x—2"x—a)的極小值點(diǎn)，符合題意；

所以/(0)=-1*(-2卜(-。)=-2。=-4.

故答案為：-4.

14.一個底面半徑為4cm,高為9cm的封閉圓柱形容器(容器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)有兩個半徑相等的鐵

球，則鐵球半徑的最大值為cm.

【答案】-

2

【解析】

【分析】根據(jù)圓柱與球的性質(zhì)以及球的體積公式可求出球的半徑；

圓柱的底面半徑為4cm,設(shè)鐵球的半徑為心且r<4,

由圓柱與球的性質(zhì)知=(2r)2=(8-24+(9-2r>,

即4r2-68r+145=（2r-5）（2r-29）=0,-1?r<4,

5

：.r=—.

2

故答案為：一

2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(x)=cos(2x+(0<^<7i),/(0)=—.

(1)求。；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)+求g(x)的值域和單調(diào)區(qū)間.

7T

【答案】(1)(p=-

(2)答案見解析

【解析】

【分析】(1)直接由題意得?050=。,(0<°<兀)，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解；

(2)由三角恒等變換得g(x)=Gcos12x+：

由此可得值域，進(jìn)一步由整體代入法可得函數(shù)g(x)的

單調(diào)區(qū)間.

【小問1詳解】

由題意/(0)=cos0=g,(0<o<7r),所以0_71

~3；

【小問2詳解】

由(1)可知/(x)=cos[2x+m],

所以g(X)=/(X)+/1X-=COS[2x+g]

+cos2x

1cG."c3c7自?077八兀)

=—cos2x----sm2x+cos2x=—cos2x——

222：2I6j

所以函數(shù)g(x)的值域?yàn)椴钒?G],

71715兀

令2kiiV2xH—?兀+2kit,keZ,解得-----Fk7i<x<—+/cJi,keZ

612f

兀5兀1］兀

令71+2左兀V2xH—<2兀+2左兀,左eZ,解得---FkitVxV------Fku,kuZ,

61212

TT57r

所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為-歷+E,五+E,keZ,

57rI1jr

函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為—+A7t,—+hr,keZ.

16.已知橢圓。：三+如=1伍〉6〉0)的離心率為，，長軸長為4.

(1)求C的方程；

(2)過點(diǎn)(0,-2)的直線/與c交于48兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△048的面積為求|48|.

22

【答案】(1)—+^-=1

42

(2)V5

【解析】

【分析】(1)根據(jù)長軸長和離心率求出基本量后可得橢圓方程；

(2)設(shè)出直線方程并聯(lián)立橢圓方程后結(jié)合韋達(dá)定理用參數(shù)f表示面積后可求才的值，從而可求弦長.

【小問1詳解】

因?yàn)殚L軸長為4,故。=2,而離心率為手，故c=5,

故bf,故橢圓方程為：—+^=1.

42

【小問2詳解】

由題設(shè)直線48的斜率不為0,故設(shè)直線/：x=/(y+2),4(再,％),3(々,%)，

由Iv‘(了：2)可得+2)J?+4/y+4/2_4=0,

x+2j/=4'7

故A=16t4-4(t2+2)(4t2-4)=4(8-4t2)>0即-72<t〈也,

4/4/—4

且必+%=-Qp%%=

「+2

故S.OAB=g*|2/|X|%一8|=MJ(%+%)2-4JV2=1"；］:=行，

解得/=±---，

3

17.如圖，在四邊形48C。中，AB//CD,ZDAB=90°,尸為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)￡在42上，EF//AD,

AB=3AD,CD=2AD,將四邊形屏‘D4沿斯翻折至四邊形EFD'H,使得面EWH與面EFC3所成

的二面角為60°.

(1)證明:H8//平面CAN；

(2)求面BCD'與面EFQW所成的二面角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵叵

7

【解析】

【分析】(1)先應(yīng)用線面平行判定定理得出HE//平面CDR及E8//平面CAN,

再應(yīng)用面面平行判定定理得出平面HE8//平面CD戶，進(jìn)而得出線面平行；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用已知條件將點(diǎn)民C,D',E,尸的坐標(biāo)表示出來，然后將平面BCD'及平面

EFD'A'的法向量求出來，利用兩個法向量的數(shù)量積公式可將兩平面的夾角余弦值求出來，進(jìn)而可求得其

正弦值.

【小問1詳解】

設(shè)/￡>=1,所以Z5=3,C￡>=2,因?yàn)槭瑸镃D中點(diǎn)，所以。尸=1,因?yàn)镋F//AD,AB//CD,所以

/￡尸￡)是平行四邊形，所以4E//DF,所以AE//D'F,

因?yàn)镈'Fu平面CD'F,A'E(Z平面CD'F,所以//平面CD'F,

因?yàn)镕C11EB,FCu平面CD'F,EB<Z平面CD'F,所以E8//平面CD'F,

又EBCA，E=E,E5,4Eu平面所以平面//平面CDF,

又H8u平面所以HB//平面CDF.

【小問2詳解】

因?yàn)镹￡U8=90。，所以又因?yàn)锳B/1FC,EF//AD,所以￡尸，尸C,

以廠為原點(diǎn)，莊，/C以及垂直于平面3ECF的直線分別為x/，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)镈RLEfCELEb,平面EFDW與平面EEC8所成二面角為60°,

所以N￡）RC=60°.

（14

則8（120）,C（0,l,0）,D'0,-,^-,￡（1,0,0）,尸（0,0,0）,.

所以5C=（TT0）,CD'=0,--,^-，/￡=（1,0,0）,W=0,-,^-

\\7

設(shè)平面8c￡>'的法向量為方=(xj,z),則

1"30

BCn=0---VH----Z—(J令y=G，則2=l,x=_g\則方=卜6,6,1).

，所以2-2

CD'-n=0

-x-y=O

設(shè)平面EED'H的法向量為應(yīng)=（xi，%,zj,

L+也=n

FE-m=0y

則—.,所以,22z—

FD'-m=0

x=0

令y=6,則z=-l,x=O,所以應(yīng)=(0,6,-l).

\m-n\0+3-11

所以cos兩方=七六

\m\\n\V3+3+1XVT+3V7

V42

所以平面BCD'與平面EFD'A'夾角的正弦值為

?1,1

18.已知函數(shù)=ln(l+x')—x+—x~9—kx,其中0＜左＜§.

（1）證明：/（X）在區(qū)間（0,+8）存在唯一的極值點(diǎn)和唯一的零點(diǎn)；

（2）設(shè)西,》2分別為/（X）在區(qū)間（0,+co）的極值點(diǎn)和零點(diǎn).

⑴設(shè)函數(shù)g?）=/（xi+r）—/（西一。?證明：g?）在區(qū)間（0,再）單調(diào)遞減；

（ii）比較2西與馬的大小，并證明你的結(jié)論.

【答案】（1）證明見解析；

（2）（i）證明見解析；（ii）2X[>x2,證明見解析.

【解析】

【分析】（1）先由題意求得/'（x）=x2（」一-3左],接著構(gòu)造函數(shù)g（x）=」--3k,x>0,利用導(dǎo)數(shù)工

U+x）1+x

具研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性和函數(shù)值情況，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得證函數(shù)/（X）在區(qū)間（0,+8）上

存在唯一極值點(diǎn)；再結(jié)合/（0）=0和X->+00時/⑴的正負(fù)情況即可得證f（X）在區(qū)間（0,+8）上存在唯

一零y占八、、.，

（2）（i）由（1）西+1=4和g（）=/'（xi+/）-/'（西一）結(jié)合（1）中所得導(dǎo)函數(shù)/'（占）計(jì)算得到

g'")=T7—匕?一不+7—匕2―7T-再結(jié)合'e(O，xJ得

+%+1)(玉+1)(%-￡+1)(再+1)

g'?)<0即可得證；

(ii)由函數(shù)g")在區(qū)間(0,匹)上單調(diào)遞減得到0>/(2項(xiàng))，再結(jié)合/仇)=0,

和函數(shù)/(x)的單調(diào)性以以及函數(shù)值的情況即可得證.

【小問1詳解】

由題得f'{x}=-----]+x-3丘2=----3kx2=x2f—----3k

1+x1+xll+x

因?yàn)閤e(0,+co),所以》2〉0,設(shè)g(x)=」_一3左,x〉0,

1+x

則…一占

<0在(0,+8)上恒成立，所以g(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

g(0)=l-3左〉0,令g(xJ=0nxi=1一1,

3k

所以當(dāng)xe(O,Xo)時,g(x)>0,則/(x)〉0；當(dāng)xe(xo，+oo)時,g(x)<0,則/'(x)<0,

所以/(X)在(0,%)上單調(diào)遞增，在(%,+8)上單調(diào)遞減,

所以/(X)在(0,+co)上存在唯一極值點(diǎn)，

1V

對函數(shù)>=ln(l+x)-x有y'=-----1=-----<0在(0,+8)上恒成立,

1+x1+X

所以J7=ln(l+x)-x在(0,+co)上單調(diào)遞減，

所以y=ln(l+x)-x<yko=O在(0,+oo)上恒成立，

2

又因?yàn)?(0)=0，X-+00時g/—日3=lx(1_2^)<0,

所以Xf+00時/(x)<0,

所以存在唯一々e(0,+8)使得/(9)=o，即/(X)在(0,+8)上存在唯一零點(diǎn).

【小問2詳解】

(i)由(1)知X]=----1,則X]+1=—，/'(幻=》2(------3k|,

3k3k\l+xJ

1

則g'（/）=/'（西+/）—/'（為一/）=（西+/）~一上一1

4]?L?1

（11\（1

=（xi+02-7i~7Ti/TPVt+i

〈％]十，十JL/十JL,1％]一，十JL再+lJ

T（國+f）￡（X]-%）（西+。2?（西一）2

（X]+/+1）（X]+1）（X]—/+1）（X]+1）（X]+/+1）（X]+1）（X]—看+1）（玉+1）

X2

_t（l+0,

——r-----------------1----------------------------------f

（X]+1+1）（X]+1）（X]—/+1）（X]+1）

因?yàn)椋琫（O,xJ,所以再一7+1〉0,所以7一區(qū)，——7+7~區(qū)可——?>0,

（石+￡+1）（再+1）（再―/+1）（再+1）

所以g'（7）<0,所以函數(shù)g。）在區(qū)間（O,xJ上單調(diào)遞減；

（ii）2陽>々，證明如下：

由（i）知：函數(shù)g?）在區(qū)間（0,七）上單調(diào)遞減，

所以g（0）>g（xJ即0>/（2項(xiàng)），又/（%）=0，

由⑴可知/（x）在（%,+8）上單調(diào)遞減，x2e（x0,+oo）,且對任意工€（0,々）/（x）〉0，

所以2》]>x2.

19.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球練習(xí)，每個球勝者得1分，負(fù)者得0分.設(shè)每個球甲勝的概率為

尸乙勝的概率為q,p+q=l,且各球的勝負(fù)相互獨(dú)立，對正整數(shù)上22,記外為打完左

個球后甲比乙至少多得2分的概率，qk為打完k個球后乙比甲至少多得2分的概率.

（1）求P3，,4（用〃表示）.

（3）證明：對任意正整數(shù)%,-q2m+l<p2m-q2m<p2m+2-q2m+2.

【答案】（1）P3=P：P4="（4—3p）

(3)證明過程見解析

【解析】

【分析】(1)直接由二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式即可求解；

(2)由題意外=/,%=/(4—3夕)，聯(lián)立231=4,0+q=l即可求解；

%一%

(3)首先%，一P.-同理有%優(yōu)一森+廣仁禽叫/1,

%a+2—%a+1=。黑+1[/"+2?"，作差有22加+1—%a+1(夕2加一%加，另一方面

(2m+1)!(my(2m+l)!(m

P…&"+產(chǎn)"^-y-7＞且同理有或+2一服=%一^Pmqm-q\q-~一-

+I2m+lJ機(jī)!(m+1)!(2m+1

作差能得到P2",一矽"，＜P2加+2—%加+2，由此即可得證.

【小問1詳解】

23為打完3個球后甲比乙至少多得兩分的概率，故只能甲勝三場，

故所求為2=C：(1—0°p3=p3,

24為打完4個球后甲比乙至少多得兩分的概率，故甲勝三場或四場，

故所求為P4=Cj(l-p)p3+C：p4=423(]_p)+°4="4—30；

【小問2詳解】

由⑴得P3=23，24="(4一32)，同理/=/必=q3(4-3q),

什24一23_4,.

若--------4,0+q=l,

%一%

(、2

則夕4—夕3=-3(4—32)一夕3=3P"I一2)=包

P_=4,

Q4-Q3/(4-3q)一/3/(1—q)q3P

2

由于0＜夕應(yīng)＜1,所以夕=2q=2(1—2)＞0,解得夕=]；

【小問3詳解】

我們有

m-1m-1rn-l-Tm-l

Pz“-Pw=ESWqkECpiqk=_￡C獷…才_￡MpZkqk

k=Gk=0k=0k=0k=Q

加一1一一1加一1冽一1

=(i-0)￡服*”力圖*+"應(yīng)以產(chǎn)』產(chǎn)工點(diǎn)產(chǎn)”

k=0k=0k=0k-0

加一1m—2

X1ck”2m—k5+1、、ck^2m-k?后+1C加一1?加+1?加

=LC^,Pq-工c2mpq=。Pq-

k=0k=0

以及

mtn—\tnmm—1

2m+2i2m+I-i

p.2-p=ZcL+2P-V-EcL+1pV=Zc黑爐"w+ZCM+/M與*-Z4+獷心廳

m+Mk=0k=0k=0k=0k=0

mm-\

、、c左一1。2加+2—左~左,一掰+2~"z,(°1\、、ck一2m+l—k~k

C+C+C

=L2n,+lP口2n,+lPQ~L2m+1^

k=0k=0

mm-\

、、C2m+2-kk.Cm+2m、、/~>k2m+1—kk+1

=L2m+lPq+2m+lPq-Uzm+iPq

k=0k=0

加一1m-\

、、ck^2m+\-k~左+1,cm-掰+2、、ck^2m+\-k?左+1c加_八冽+2

CC

=X2，n+iPq+2m+iPq2c2NPq=C2m+ljpq.

k=0k=0

m+mm+lm

至此我們得到P2m-P2m+1=C^p'q,Pim+2-pM=C*p2q*,同理有q2m-q2m+l=C^qp,

_入加+2m

夕2加+2一夕2冽+1—。2冽+19P,

“，—―/~<加一1—m+1—加~tn\~\c加一1^m+1~加??口口

=J>?

故22加—。2加+i=C2apqP'\C2nipqq'\Clmpq)=C2mqp=q2fn-q2m+i即

Plm+\~%加+1<P2m—%加?

另一方面，由于

P2m+2~Pim=(22m+2-Plm+1)-(^-22”+1)=CM+/+24nl-C"^pm+'qm=P"q",p(p-C%+「CM)

((2m+1)!(2m)!)+(機(jī)、

=PmQm-PP------777-7-----7TT7-----而=f----今夕"0"-P\P------7

(2m+1)!(m\

且同理有q2m+2一％,"=一不；p"'一"'q'q----

m\^m+\)\I2zn+l)

故結(jié)合—Jq—y^)=(P-g)(P+4)-y^(P-4)=(P-<7)-y^(P-q)=^^(P-4)>0,

I2m+1J\2m+1)2m+12m+12m+1

就能得到夕2%+2一22m>%加+2—，即夕2機(jī)一%加<22加+2一夕2冽+2，證畢.

絕密★啟用前

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)I