2024-2025學(xué)年北師大版（2024）七年級數(shù)學(xué)下冊期末真題

專項練習(xí)04解答題

一'解答題

1.（2024七下.潮南期末）如圖，四邊形ABCD中，NBAD=90。，ZDCB=90°,EF分別是BD、AC

的中點(diǎn)，

（1）請你猜測EF與AC的位置關(guān)系，并給予證明；

（2）當(dāng)AC=8,BD=10時，求EF的長.

2.（2024七下?豐城期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn)，連接AE,BC垂直平分71E,垂

足為F,交AC于點(diǎn)D.連接DE.

(1)若△ABC的周長為19,ADEC的周長為7,求AB的長.

(2)若N4BC=30°,ZC=45°,求NCDE的度數(shù).

1

3.（2024七下?榕城期末）生活中的數(shù)學(xué):

D

圖1圖2

（1）啟迪中學(xué)計劃為現(xiàn)初一學(xué)生暑期軍訓(xùn)配備如圖1所示的折疊凳，這樣設(shè)計的折疊身坐著舒

適、穩(wěn)定，這種設(shè)計所運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是.

（2）圖2是折疊凳撐開后的側(cè)面示意圖（木條等材料寬度忽略不計），其中凳腿AB和CD的長相

等，。是它們的中點(diǎn).為了使折疊凳坐著舒適，廠家將撐開后的折疊凳寬度40設(shè)計為30cm,則由以上

信息可推得CB的長度也為30c加，請說明AD=CB的理由.

4.（2024七下?重慶市期末）如圖1,已知八邊形4BCDEFG4相鄰的兩邊互相垂直，且4B=44,

DC=DE,動點(diǎn)P從八邊形頂點(diǎn)A出發(fā)，沿著八邊形的邊以每秒acm的速度逆時針運(yùn)動，當(dāng)P運(yùn)動

到點(diǎn)E時調(diào)頭，以原來的速度原路返回，到A點(diǎn)處停止運(yùn)動.APAH的面積為S（sn2）,運(yùn)動時間為

t（秒），S與t的圖象如圖2所示，請回答以下問題：

2

圖1圖2

(1)AB=cm,DE=cm,a=cm/s-,

(2)當(dāng)點(diǎn)P第一次在邊CD上運(yùn)動時，求S與t的關(guān)系式；

(3)點(diǎn)P在返回過程中，當(dāng)時間t為何值時，AAHP為等腰三角形？請直接寫出t的值.

5.(2022七下?北儲期末)如圖，△PBC和APAC都是直角三角形，ADBP=/.CAP=90°.

(1)如圖1,PA,PB與直線MN重合，若NBQP=45。,乙4cp=30。，求乙DPC的度數(shù)；

(2)如圖2,若乙BDP=45。,乙4cp=30。］280保持不動，△P4C繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)一周.在旋

轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)PCIIBD時，求NAPN的度數(shù)；

圖2

3

（3）如圖3,ABPA=a（90°<a<180°）,點(diǎn)E、F分別是線段BD,AC上一動點(diǎn)，當(dāng)△PEF周長

最小時，直接寫出NEPF的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）.

圖3

6.（2023七下?臥龍期末）如圖，在△ABC中，ZB=30°,ZACB=110°,AD是BC邊上高線，AE

平分NBAC,求/DAE的度數(shù).

7.（2024七下?棲霞期末）某商場的打折活動規(guī)定：凡在本商場購物，可轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次,

4

并根據(jù)所轉(zhuǎn)結(jié)果付賬.

(1)分別求出打九折，打八折的概率；

(2)小紅和小明分別購買了價值200元的商品，活動后一共付錢360元，請你分析他倆獲得優(yōu)惠

的情況.

8.(2024七下?肇慶期末)三角形ZBC與三角形/B'C'在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.

(1)分別寫出下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：A(,),B(,),C(,

______);

(2)若三角形/B'C'是由三角形ABC平移得到的，點(diǎn)PO，y)是三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，則三角形

A'B'C'內(nèi)與點(diǎn)P相對應(yīng)點(diǎn)P,的坐標(biāo)為(，);

(3)求三角形A'B'C'的面積.

5

9.(2024七下?蘭州期末)若5n=3,25m=ll,求53"2優(yōu)的值.

10.(2024八下?大埔期末)如圖，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交4C于P點(diǎn).

(1)若乙4=35。，求乙BPC的度數(shù)

(2)若AB=5cm,BC-3cm,求^PBC的周長

6

11.(2024七下?中衛(wèi)期末)圖①是一個長為26，寬為2九的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊

小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形.

①②③

(1)圖②中的陰影部分的面積為一;

(2)觀察圖②請你寫出三個代數(shù)式(m+刃2、(血-")2、nm之間的等量關(guān)系是.

(3)若x+y=5,xy=2,則(x—y)2=.

(4)實際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示.如圖③，它表示了—.當(dāng)血=2,

n=1,計算③的面積.

12.(2024七下?中衛(wèi)期末)數(shù)學(xué)實踐課上，王老師在一個不透明的袋子里裝有除顏色外完全相同的

紅、白、黑三種顏色的球.其中紅球3個，白球5個，黑球若干個，若從中任意摸出一個白球的概

率是最

(1)求任意摸出一個球是黑球的概率；

(2)小明從盒子里取出m個白球(其他顏色球的數(shù)量沒有改變)，使得從盒子里任意摸出一個球

是紅球的概率為上，請求出m的值.

7

13.（2024七下,涼州期末）如圖，直線AB||CD,直線EF與ZB、CD分別交于點(diǎn)G、H,乙EHC=

a（0。<a<90。）.小新將一個含30。角的直角三角板PMN按如圖①放置，使點(diǎn)N、M分別在直線

（2）若PM||EF,ZMNG的角平分線N。交直線CD于點(diǎn)O.

①如圖②，當(dāng)NO||EF時，求a的度數(shù)；

②小新將三角板PMN向右平移，直接寫出ZMON的度數(shù)（用含a的式子表示）.

14.（2024七下?涼州期末）如圖，已知EF1BC,AC||DG,41+42=180。.試說明直線與的

位置關(guān)系.

8

A

15.（2024七下?深圳期末）定義：在一個三角形中，如果有一個角是另一個角的會我們稱這兩個角

互為“和諧角”，這個三角形叫做“和諧三角形例如：在△ABC中，如果乙4=70。，ZB=35。，那

么乙4與NB互為"和諧角”，△為''和諧三角形

（1）如圖1,△ABC中，乙4cB=90。，乙4=60。，點(diǎn)D是線段AB上一點(diǎn)（不與A、B重合），連

接CD.

①AABC（填“是”或“不是”）“和諧三角形”；

②若CD14B,請判斷ABC。是否為“和諧三角形”？并說明理由.

（2）如圖2,△ABC中，^ACB=60°,乙4=80。，點(diǎn)D是線段AB上一點(diǎn)（不與A、B重合），連

接CD,若△4CD是“和諧三角形”，請直接寫出乙4CO=.

9

16.（2024七下?深圳期末）如圖，已知等腰三角形ABC的底邊BC=15cm,。是腰AC上的一點(diǎn)，且

BD=12cm,CD=9cm.

(1)求證：BDLAC-,

(2)求△ABC的面積.

（2024七下?深圳期末）在一個不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的

球，共15個.其中紅球3個，白球5個.

（1）從中任意摸出一個球，是紅球的概率比是白球的概率（填“大”或“小”）；

（2）從中任意摸出一個球，是黑球的概率為；

（3）小明從盒子里取出m個黑球（其他顏色的球數(shù)量沒有改變），使得從盒子里任意摸出一個球

是紅球的概率為上請求出m的值.

4

10

18.(2024七下?龍湖期末)探索與實踐：

數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)后.用一副三角板進(jìn)行探索.

如圖：在三角板4BC和三角板DEC中，^ACB=ACDE=90°,AABC=30°,/.DCE=45°,將三

角板DEC繞著點(diǎn)C做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動.

圖1圖2

(1)當(dāng)ZB||DC時，如圖1所示.Z.DCB=

(2)如圖2所示，當(dāng)4B||EC時，求ADCB的度數(shù).

(3)當(dāng)4BIIED時，直接寫出4CB的度數(shù)

19.(2024七下?龍湖期末)如圖，直線AB、CD相交于O,OE是乙4。。的平分線，OFLOE,若

AAOC=80°.求：乙4OF的度數(shù).

CB

11

20.（2024七下?黔東南期末）如圖，已知點(diǎn)E、F在直線AB上，點(diǎn)G在線段CD上，ED與FG交于點(diǎn)

H,乙C=KEFG,乙CED=AGHD.

（1）試判斷乙4ED與ND之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（2）若乙EHF=85。，ZD=25°,求乙4EM的度數(shù).

21.（2024七下?永壽期末）如圖，A、B、C、D是四個村莊，B、D、C三村在一條東西走向公路的

沿線上，且D村到B村、C村的距離相等；村莊A、C,A、D間也有公路相連，且公路AD是南北

走向；只有村莊A、B之間由于間隔了一個小湖，所以無直接相連的公路.現(xiàn)決定在湖面上造一座

斜拉橋，測得AC=3千米，AE=1.2千米，BF=0.7千米.試求建造的斜拉橋至少有多少千米？

12

A

22.（2024七下?永壽期末）如圖，在△ABC中，E為上一點(diǎn)，連接CE,=BC,過點(diǎn)（;作。。=

AC,連接。E,且41=Z2.若NB=75°,求43的度數(shù).

23.（2024七下?永壽期末）把一些相同規(guī)格的碗整齊地疊放在水平桌面上,這摞碗的高度隨著碗的數(shù)

量變化而變化的情況如表格所示：

13

碗的數(shù)量(只)12345

高度(cm)45.26.47.68.8

(1)上述兩個變量之間的關(guān)系中，哪個是自變量？哪個是因變量?

(2)求當(dāng)碗的數(shù)量為7時，這摞碗的高度.

24.(2024七下,新華期末)已知4=(a+2b)(a—b)—a54-a3—(2b)2.

(1)先化簡4再求當(dāng)a=1,b=—3時，4的值；

(2)若a=6b,求力的值.

25.(2024七下?建平期末)自五月中旬開始，教育局開始組織縣域內(nèi)各校八年級學(xué)生進(jìn)行生物實驗加

試，某校把參加加試的學(xué)生分成5個組，以抽簽方式?jīng)Q定各組加試順序，工作人員準(zhǔn)備背面完全一

樣的5張紙牌，在紙牌的另一面分別寫上1,2,3,4,5,將紙牌洗均后背面朝上，由每個組的帶隊

老師隨機(jī)抽取一張紙牌，請思考以下問題：

(1)抽到的數(shù)字有幾種可能的結(jié)果？

(2)抽到紙牌數(shù)字是1的概率是多少？

(3)抽到紙牌數(shù)字大于3的概率是多少？

14

26.（2024七下,朝陽期末）如圖，在△ABC中，乙4=50。，DE垂直平分BC,乙4BC的角平分線BP交

DE于AABC內(nèi)一點(diǎn)P,連接PC.若N4CP=28。，求的度數(shù).

27.（2024七下?朝陽期末）某人制成了一個如圖所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被分成8個相同的扇形，取名為

“開心大轉(zhuǎn)盤”.游戲規(guī)定：參與者自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，若指針指向字母“A”，則交費(fèi)2元;

若指針指向字母“B”，則獲獎3元；若指針指向字母“C”，則獲獎1元.

（1）任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，轉(zhuǎn)盤停止后，參與者交費(fèi)2元，參與者獲獎3元，參與者獲獎1元的概

15

率各為多少？

（2）任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，參與者獲獎的概率是多少?

28.（2024七下?朝陽期末）如圖，在△ABC中，BD平分NZBC,DEIIBC交AB于點(diǎn)E,NC=50。,

LBDC=95°,求ZBED的度數(shù).

29.（2024七下?懷柔期末）完成下面的證明：

如圖，AB||CD,n1=22,N3=Z4,求證：AC||BD.

證明：,.,Z_1=Z_2,（已知）

Z1+乙CBP=42+N①,（等式性質(zhì)1）

即44BC=N②.

'：AB||CD,（已知）

16

.?.z③=^ABC.（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

???z3=Z4,（已知）

.?.23=Z④,（等量代換）

.??⑤.（同位角相等，兩直線平行）

30.（2024七下,定邊期末）已知||CD,點(diǎn)E是平面內(nèi)一點(diǎn).

（1）如圖1,若NO=65。，ZB=40°,求ABE。的度數(shù);

（2）如圖2,若乙BE。=108。，求NB+N。的度數(shù).

17

答案解析部分

1.解：(1)EF，AC.理由如下：連接AE、CE,

VZBAD=90°,E為BD中點(diǎn)，

.,.AE=1DB,

VZDCB=90°,

ACE=|BD,

；.AE=CE,

?.?F是AC中點(diǎn)，

AEFXAC；

(2)VAC=8,BD=10,E、F分別是邊AC、BD的中點(diǎn),

；.AE=5,AF=4,EF±AC,

.,.EF=Vs2_42=3.

2.(1)解：???BD是線段ZE的垂直平分線，

：.AB=BE,AD=DE,

的周長為19,△DEC的周長為7,

：.AB+BE+CE+CD+AD19,CD+EC+DECD+CE+AD=7,

J.AB+BE=19-7=12,

：.AB=BE=6

(2)解：'：/.ABC=30°,ZC=45°,

：.^BAC=180°-30°-45°=105°,

在^B力。和△BED中,

BA=BE

BD=BD,

.DA=DE

18

Z.△BADBED(SSS),

:.乙BED=^BAC=105°,

，乙CDE=乙BED一乙C=105°-45°=60°

(1)根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等得出4B=BE,AD=DE,結(jié)合AABC的周長為

19,△￡)￡1(7的周長為7,可得AB+BE=19—7=12,即可求解；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和是180。求出NB4C=105。，根據(jù)三組對應(yīng)邊分別相等的兩個三角形全等可證

明仆BAD=△BED,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可求解.

3.(1)三角形具有穩(wěn)定性

(2)證明：：。是AB和CD的中點(diǎn)，

???AO=BO,CO=DO,

在^AOD^QABOC中，

AO=BO

ZAOD=ZBOC,

DO=CO

AOD^ABOC(SAS),

???AD=BC.

解：(1)三角形具有穩(wěn)定性.

(2)理由如下：

TO是AB和CD的中點(diǎn)，

；.AO=BO,CO=DO,

VAO=BO,ZAOD=ZBOC,DO=CO,

.*.△AOD^ABOC(SAS),

AAD=BC.

(1)三角形的穩(wěn)定性.

(2)先證明三角形全等，運(yùn)用全等三角形性質(zhì)得對應(yīng)邊相等.

4.(1)10；5；2

(2)S=110-10t(6<t<8.5)

(3)t=12或14或17時，△AHP為等腰三角形

5.⑴解:VZOBP=/.CAP=90°,ZBDP=45°,ZXCP=30°,

，乙BPD=45°,^APC=60°,

:.乙DPC=180°-45°-60°=75°；

⑵解:?."CAP=90。,Z/CP=30。，

19

：.^APC=60°,

當(dāng)PCIIB￡)時,分情況討論：

①當(dāng)△PAC旋轉(zhuǎn)到如下圖所示:

'：PC||BD,且NDBP=90。，

:.乙CPN=90°,

:.乙APN=30°；

②當(dāng)△P4C旋轉(zhuǎn)到如下圖所示:

VPC||BD,1.ZDBP=90°,

：.^BPC=90°,

：.AAPB=30°,

:.乙APN=150°,

綜上,4APN=30。或150。；

(3)解：作點(diǎn)P關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Pi，作點(diǎn)P關(guān)于AC的對稱點(diǎn)22，連接P/2，與BD交于點(diǎn)E,與

ZC交于點(diǎn)F,如圖所示：

20

圖3

此時APEF的周長最小，

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得EPi=EP,

"i=Z.EPP1,

同理，NP2=NFPP2，

"：^BPA=a(90°<a<180°),

z.P|+Z.P2=180°一a,

:.乙EPF=a—(180°—a)=2a-180°,

BAPEF周長最小時,乙EPF=2a-180°.

(1)根據(jù)直角三角形兩銳角互余可求NBPD=45。/力PC=60。，再利用角的和差即可求解；

(2)易求乙4PC=60。，當(dāng)PC||BO時，分情況討論：當(dāng)PC在直線MN上方時和當(dāng)PC在直線MN下

方時，據(jù)此分別畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)分別解答即可；

(3)作點(diǎn)P關(guān)于的對稱點(diǎn)Pi，作點(diǎn)P關(guān)于4C的對稱點(diǎn)P2,連接Pi22，與BO交于點(diǎn)E,與4c交于

點(diǎn)F,可得此時APEF的周長最小，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得EPi=EP,從而得到NPi=ZEPP1，同

=^FPP2,再由三角形內(nèi)角和定理可得NPi+NP2=180。一a,即可求解.

(1)解:,:乙DBP=/.CAP=90°,乙BDP=45°,Z.ACP=30°,

:.乙BPD=45。,乙4PC=60°,

:.乙DPC=180°-45°-60°=75°；

(2)解：'：/.CAP=90。,44cp=30°,

：.^APC=60°,

當(dāng)PCII時,分情況討論：

①當(dāng)△PAC旋轉(zhuǎn)到如下圖所示：

21

VPC||BD,且乙DBP=90。，

"CPN=90°,

:?乙APN=30°；

②當(dāng)△P4C旋轉(zhuǎn)到如下圖所示：

D

T

'：PC||BD,且NDBP=90。，

:.乙BPC=90°,

：.^APB=30°,

:.乙APN=150°,

綜上，乙APN=30。或150。；

(3)解：作點(diǎn)P關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Pi，作點(diǎn)P關(guān)于ZC的對稱點(diǎn)P2,連接p〃2，與B。交于點(diǎn)E,與

AC交于點(diǎn)F,如圖所示：

MPAN2

圖3

此時APEF的周長最小，

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得EPi=EP,

22

z.P1=乙EPP、,

同理，zP2=/-FPP2,

U：^BPA=a(90°<a<180°),

「?z"Pi+4P2=180°—CLf

C.Z.EPF=a-(180°-a)=2a-180°,

，當(dāng)周長最小時,/-EPF=2a-180°.

6.解：VZB=30°,ZACB=110°,

.,.ZBAC=180°-ZB-ZACB=180o-30o-110o=40°,

VAE平分NBAC,

ii

^Z.BAE="BAC=JX40°=20。，

TAD是BC邊上的高線，

???ND=90。，

.,.ZBAD=180°-ZD-ZB=180o-90o-30o=60°,

???ZDAE=NBAD—NBAE=60。一20。=40。；

根據(jù)三角形的內(nèi)角和求得NBAC的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得NBAE的度數(shù)，接下來根據(jù)

三角形高的性質(zhì)求得ND=90。，從而利用三角形內(nèi)角和定理得NBAD的度數(shù)，進(jìn)而求

ZDAE=ZBAD-ZBAE,即可求解.

7.(1)1J

(2)①一個不打折，一個打八折；②都打九折；兩種情況

8.(1)4(1,3),B(2,0),C(3,l)；

(2)P(x—4,y—2);

(3)解：由題意可得，

23

Ill

：-S^ABC=2x3-2X1X3-^xlxl-2X2x2=2.

(1)解：由圖形可得，

4(1,3),B(2,0),C(3,l),

故答案為：1,3,2,0,3,1；

(2)解：由圖形可得，4(1,3),1(-3,1)，

平移規(guī)律是：向左平移4個單位向下平移2個單位，

,,P(%—4,y—2)，

故答案為：x-4,y-2.

(1)根據(jù)平面直角坐標(biāo)系直接求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)即可；

(2)利用點(diǎn)坐標(biāo)平移的特征(上加下減、左減右加)分析求解即可;

(3)利用三角形的面積公式及割補(bǔ)法求出小ABC的面積即可.

(1)解：由圖形可得，

A(l,3),B(2,0),C(3,l),

故答案為：1,3,2,0,3,1；

(2)解:由圖形可得,4(1,3),4(—3,1)，

平移規(guī)律是：向左平移4個單位向下平移2個單位，

：P(Xy)，

'?P(%—4,y—2)，

故答案為：x-4,y-2；

(3)解：由題意可得，

111

.?S△44c'=2x3-2X1X3--2、2*2=2.

9.297

24

10.(1)解???4B的垂直平分線交ZC于P點(diǎn)

??.AP=BP

???=乙ABP=35°

,/ZBPC是^BPC的外角

???(BPC=+4ABP=35°+35°=70°

(2)解：

/.△PBC的周長=BP+PC+BC

VAP=BP,AB=AC

???△PBC的周長=AP+PC+BC

=AC+BC

=AB+BC

AB=5cm,BC=3cm

PBC的周長=5+3=8cm

(1)根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)可得/尸=BP,因此乙4=乙430，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得:

乙BPC=匕4+^ABP=70°.

(2)因為aPBC的周長=BP+PC+3C,再木艮據(jù)AP=BP,AB=AC可得△PBC的周長=4B+BC,

代入數(shù)據(jù)計算即可.

11.(1)(6—71)2或(771+九)2—4nm

(2)(m—n)2=(m+n)2—4mn

(3)17

(4)(2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2,15

12.⑴P=4

(2)3

13.(1)90

(2)①Za=60。；②30。+2a或60?！?a

14.BC1AD

15.⑴解：①由題意知，Z-B=180°-/_A-^ACB=30°,'：/_B=l^A,

...△ABC是“和諧三角形”，

故答案為：是；

②△BCD是''和諧三角形”，理由如下；

25

VCDLAB,

"CDB=90°,

:?乙BCD=180°一乙CDB一乙B=60°,

i

VzB="BCD,

??.△BCD是，和諧三角形”;

(2)40。或

解：(2)由題意知，ZB=180°-LA-Z.ACB=40°,

C.2LADC+^ACD=180°一4力=100°,

：./-ADC=乙13+乙BCD>ZB=40°,

又<^ACB=60°,2匕4=160°>100°,

???當(dāng)△力CD是“和諧三角形“，分乙4=2^ACD^ADC=2乙4CD兩種情況求解;

當(dāng)心力=2ZACD時，^ACD==40。；

當(dāng)N40C=2NACD時，

'：^ADC+^ACD=180°-ZA=100°,

綜上所述，乙4CD的值為40。或苧；

故答案為：40?；蚱r.

(1)①根據(jù)題意，結(jié)合NB=180°—乙4—乙4CB,求得B的度數(shù)，得到乙4,進(jìn)而可得小

4BC是“和諧三角形”；

②由CD1/B,得至!UCDB=90°,求得NBC。=180。-NCDB—NB=60。，結(jié)合4B=/NBCD,得

到仆BCD是“和諧三角形”；

(2)由NB=180°-ZX-AACB=40°,得至IJNADC+乙4CD=180°-zX=100°,AADC=NB+

乙BCD>NB=40°,再由UCC<Z.ACB=60°,2/2=160°>100°,當(dāng)小ACD是“和諧三角形”，可

得分乙4=2/ACD或乙4DC=2乙4CD,兩種情況，討論求解，即可得到答案.

(1)①解：由題意知，ZB=180。一乙4一乙4cB=30。，

?Z-B—2,

...△4BC是“和諧三角形”，

故答案為：是；

26

②解：△BCD是“和諧三角形”，理由如下；

■:CDLAB,

：.Z.CDB=90°,

;?乙BCD=180°-乙CDB一乙B=60°,

■:乙B乙BCD,

...△BCD是''和諧三角形”；

(2)解：由題意知，Z.B=180°-/.A-AACB=40°,

：.^ADC+^ACD=180°-ZA=100°,

：.AADC=AB+乙BCD>ZB=40°,

X'-'ACD<^ACB=60°,2ZA=160°>100°,

...當(dāng)△AC。是“和諧三角形"，分乙4=2乙4co或乙4CC=2乙4CD兩種情況求解；

當(dāng)乙4=2乙4C。時，^ACD=*乙4=40°;

當(dāng)4ADC=24ACD時，

9：Z.ADC+Z.ACD=180°-=100°,

.100°

??Z-ACD=-可-；

綜上所述，乙4CD的值為40?；蚱r；

故答案為：40?；蚱r.

16.(1)解：BD-12cm,CD—9cm,BC-15cm,

???CD2+BD2=BC2,

???乙BDC=90°,

???BDLAC.

(2)解：設(shè)力B=%,則4。=%,AD=x-S,在At△力BD中，

■:BD1AD,

：.AD2+BD2即(％—9)2+12?=x2,

25

??.x\,

25

：?AC=-y-

_125_

?.?S>ABC=2xx12=75(cm)

(1)根據(jù)題意，得到+=BC2,結(jié)合勾股定理的逆定理，證明/3。。=90。，即可得證;

27

(2)設(shè)AB=%,得到AC=K，4。=X-9,在出△ABD中，由勾股定理得(久一9尸+12?=/,求得

久=苧，結(jié)合直角三角形的面積公式，即可得解.

(1)解：BD=12cm,CD=9cm,BC=15cm,

CD2+BD2=BC2