專題03平行四邊形

（考題猜想，10種易錯重難點與解題模型63題專項訓練）

墨型人集合

駁型大通關

題型一：證明平行四邊形（易錯）

1.（24-25八年級下?全國?期中）已知：如圖，在口ABCD中，E、尸是對角線50上的兩點，且

BE=DF.請判斷AF與CE的關系，并說明理由.

2.（23-24八年級下?廣東中山?期中）如圖，在VA3C中，AB=AC,。是8C的中點，過點A作

AE//BC,使=連接8E,求證四邊形AEBD是矩形.

3.（23-24八年級下?四川瀘州?期中）如圖，已知DABCD中，。是AC的中點，過點。作EF,交8c于點

E,交AO于點凡求證：四邊形AECP是平行四邊形.

4.（23-24八年級下?四川瀘州,期中）如圖，四邊形A2CD是菱形，交54的延長線于E,

DF1BC,交BC的延長線于?請你猜想DE■與。產(chǎn)的大小有什么關系，并證明你的猜想.

EAB

5.（22-23八年級下?江蘇淮安?期中）如圖，點C是班的中點，四邊形是平行四邊形.

⑴求證：四邊形ACED是平行四邊形;

（2）當AABE滿足時，四邊形ACED是矩形.并說明理由.

6.（23-24八年級下?江蘇揚州?期中）如圖，在平行四邊形A2CD中，E、歹分別在AD、BC邊上，且

AE=CF.

⑴求證：ZABE=/CDF；

（2）求證：四邊形5網(wǎng)走是平行四邊形.

7.（21-22八年級下?西藏拉薩?期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，邊的垂直平分線交于點。,

交CB的延長線于點E,連接AE.

⑵試判斷四邊形的形狀，并說明理由.

8.(23-24八年級下?貴州黔東南?期中)已知正方形ABC。，E為對角線AC上一點.

【建立模型】

(1)如圖L連接BEDE.BE和。E的數(shù)量關系是；

【模型應用】

(2)如圖2,尸是OE延長線上一點，F(xiàn)BLBE,EF交AB于點G.證明NfGB=NFBG；

【模型遷移】

(3)如圖3,尸是DE延長線上一點，F(xiàn)B±BE,EF交AB于點G,BE=BF.寫出GE和3E的數(shù)量關

系，并說明理由.

9.(23-24八年級下?四川瀘州?期中)如圖所示，四邊形A2CD是正方形，M是4B延長線上一點.直角三

角尺的一條直角邊經(jīng)過點。，且直角頂點E在48邊上滑動(點E不與點A、8重合)，另一直角邊與

Z.CBM的平分線BF相交于點F.

圖1圖2

(1)如圖1,當點E在邊的中點位置時，若DE=EF,連接點后與AD邊的中點N,請猜想與BF的數(shù)

量關系，并加以證明.

⑵如圖2,當點E在A3邊上的任意位置時，猜想此時DE與所有怎樣的數(shù)量關系并證明你的猜想.

10.（23-24八年級下?福建廈門?期中）如圖，點E在正方形ABCD的A3邊上（不與點A,B重合），BD是

對角線，延長48到點/，使BF=AE,過點E作8。的垂線，垂足為M,連接AM,CF.

備用圖

⑴根據(jù)題意補全圖形，并證明MB=ME；

⑵①求證：CF=?AM;

②探究線段A",BM,之間的數(shù)量關系.

題型二：60°菱形問題（易錯）

11.（22-23八年級下?寧夏石嘴山?期中）如圖，在菱形ABCZ）中，點、E、尸分別是邊AD、的中點，連

接BE、DF.

⑴求證：BE=DF.

（2）設BE、DF交于點H.ZA=60°,BE=y/3,求四邊形3HDC的面積.

12.(23-24八年級下?云南昆明?期中)如圖，菱形ABCD中，對角線AC,8。交于點0,點歹是的中

點，延長。/到點E,使EF=0F,連接CEDE.

⑴求證：四邊形。。CE是矩形；

(2)若OE=2,ZBCD=60°,求菱形A2CD的面積.

13.(23-24八年級下?河南潺河?期中)如圖，在四邊形ABCD中，AB//DC,AB=AD,對角線AC、BD

交于點0,AC平分/BA。，過點C作CEJ_AB交延長線于點E,連接OE.

⑴求證：四邊形ABCD是菱形

(2)若CE=4若，ZADC=120°,求四邊形A3CO的面積.

14.（22-23八年級下?廣東廣州?期中）在四邊形ABCD中，對角線AC、3。相交于點。.在線段49上任取

一點尸（端點除外），連接尸口、PB.點。在54的延長線上且PQ=P。.

⑴如圖1,若四邊形ABC。是正方形.

①求/。尸。的度數(shù)；

②探究AQ與OP的數(shù)量關系并說明理由.

（2）如圖2,若四邊形ABC。是菱形且NABC=60。.探究AQ與CP的數(shù)量關系并說明理由.

題型三：四邊形中折疊問題（難點）

15.（23-24八年級下?廣東廣州?期中）在矩形中，AB=5,8c=13,在。C上取一點E,將ABCE

沿直線BE折疊，得到△5EF.

圖1圖2

（1）如圖1,若點尸剛好落在上時，求OE的長;

（2）如圖2,若點￡從C到。的運動過程中，NABb的角平分線交的延長線于點求M到AD的距

離.

16.（23-24八年級下?云南紅河?期中）如圖，將矩形A2CD沿直線80折疊，使點C落在點C處，BC交

AD于點E,AD=8,AB=4,求BE的長度.

17.（23-24八年級下?天津濱海新?期中）如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD,使點。落在2C邊的點尸

處，已知AB=8cm,BC=10cm

(1)BF=_cm,FC=_cm

(2)求EC的長.

18.（23-24八年級下?貴州銅仁?期中）矩形折疊探究

在矩形紙片ABCD中，AB=8,BC=32,點M是邊BC上的一點.

圖1圖2

⑴如圖1,王歡在邊CO上取一點N,將紙片沿直線折疊，使點C落在邊4）上，記為點P,若

DP=4,求CN的長；

（2）如圖2,張樂在邊上取一點N,將紙片沿直線折疊，當點C與點A重合時，求的長.

19.（22-23八年級下?重慶潼南?期中）如圖，將一矩形紙片ABC。折疊，使兩個頂點A,C重合，折痕為

FG.若AB=12,BC=24,求△AEG的面積.

20.（23-24八年級下?安徽合肥?期中）如圖，將長方形紙片A5CD沿EF折疊，使C、A兩點重合.點。落

在點G處.已知AB=2,BC=4.

⑴求證：是等腰三角形;

⑵求線段FD的長.

21.（23-24八年級下?河南安陽?期中）如圖，在正方形紙片ABC。中，E是邊CO上一點，連接AE,折疊

該紙片，使點A落在AE上的G點，并使折痕經(jīng)過點3,得到折痕點尸在A￡＞上.

⑴試判斷AE與砥的數(shù)量關系并證明你的結(jié)論;

（2）若AD=12,DE=5,則GE的長為.

22.（23-24八年級下,廣西北海?期中）【問題情境】已知在四邊形ABCD中，M為邊AD上一點（不與點

A,。重合），連接將△ASM沿折疊得到ANBM,,點A的對應點為點N.

【問題初探】（1）如圖（1）,若四邊形ABCD是正方形，點N落在對角線上，連接AN并延長交CD于

點G,寫出與ZDG4相等的角：（寫出一個即可）：

【拓展變式】（2）如圖（2）,若四邊形ABC。是矩形，點N恰好落在川的垂直平分線所上，EF與BM

交于點G.求證：AGMN是等邊三角形；

【問題解決】（3）如圖（3）,若四邊形ABC。是平行四邊形，BC=2AB=4,NABC=60。，點N落在線段

BC上，P為A8的中點，連接￡＞尸，PN,DN,求△PND的面積.

圖⑴圖⑵圖⑶

23.（23-24八年級下?河南潦河?期中）正方形中，點”為射線54上的一個動點，連接CH,把

V比〃沿C"翻折，得到△*”，直線龍交射線AD于點M,連接CM,過G作￡F〃AD,分別交

AB,CM,DC于E,N,F.

⑴如圖1,當點“在線段AB上時，填空:

的度數(shù)為；GM與GN的數(shù)量關系為

（2）如圖2,當點H在線段的延長線上時，（1）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，請結(jié)合圖2情形寫出證

明過程；若不成立，請說明理由.

24.（23-24八年級下,福建廈門,期中）按照國際標準，A系列紙為矩形紙.如圖①，將A0紙沿長邊對開便

成了兩張加紙，將A1紙沿長邊對開便成了兩張A2紙；.…，將A4紙沿長邊對開便成了兩張舊紙.……將

一張A4紙按如圖②所示的方式進行折疊：第一步:將邊折疊到AD邊上，折痕為AE,點2落在點8'

此時AE與AD恰好重合，點C落在點C處.

國⑨

⑴求A4紙的長寬之比;

（2）利用圖②，求證：△DCP是等腰直角三角形;

⑶按照國際標準，/紙的長寬之比是.（填空）

25.（23-24八年級下?山西大同?期中）問題情境：

在綜合與實踐課上，老師讓同學們以"正方形的折疊"為主題展開數(shù)學活動.

①②③

動手操作：

第一步：如圖①，四邊形至。是正方形紙片，將該紙片對折，使。C與重合，折痕為砂，展開鋪

平，如圖②；

第二步：沿直線CE折疊，使點。落在3處，設C。'交EF于點G.如圖③；

第三步：延長ED'交48于點連接CH交跖于點如圖④.

解決問題：

⑴線段9與DH的數(shù)量關系是；

⑵若正方形ABCD的邊長為4.

（I）求8”的長；

（II）求竺￡的值.

題型四：四邊形中最值問題（難點）

26.（22-23八年級下?江蘇蘇州?期中）如圖，己知菱形ABC。的邊長為6,點Af是對角線AC上的一動

點，且NABC=120。，則的最小值是（）

DC

C.6+73D.6出

27.（23-24八年級下?重慶?期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為3,點M在。C上，DM=1,點、N是

AC上的一個動點，那么DN+MN的最小值是（）

A.3B.4C.V13D.VTT

28.（22-23八年級下?山東臨沂?期中）如圖，正方形ABCD的邊長為2,E是8C的中點，點尸是AC邊上

的一個動點，連接3尸，EP,則3尸+EP的最小值為

29.（22-23八年級下?湖南永州,期中）如圖，在矩形ABC。中，AB=2.,AD=6,。為對角線AC的中點,

點尸在AD邊上，且AP=2,點。在BC邊上，連接尸。與0Q,則尸。-。。的最大值為

PQ+0Q的最小值為

30.（22-23八年級下,福建廈門,期中）如圖1,將矩形ABOC放置于第一象限，使其頂點。位于原點，且

點、B,C分別位于x軸，y軸上.若AO,"）滿足已川-20+|〃-12|=0.

圖1

⑴求點A的坐標;

(2)取AC中點連接MO,△CWO與△AMO關于所在直線對稱，連接⑷V并延長，交x軸于點P.

①求AP的長；

②如圖2,點。位于線段AC上，且CD=16.點E為平面內(nèi)一動點，滿足。連接PE.請你求

出線段PE長度的最大值.

31.(22-23八年級下?廣東廣州?期中)如圖,正方形ABCD中，點P是線段50上的動點.

圖1圖2圖3

⑴當PELAP交于E時,

①如圖1,求證：PA=PE.

②如圖2,連接AC交8。于點。，交尸E于點R試探究線段尸發(fā)、PO\尸產(chǎn)之間用等號連接的數(shù)量關

系，并說明理由；

(2)如圖3,已知M為BC的中點，PQ為對角線8。上一條定長線段，若正方形邊長為4,隨著產(chǎn)的運動,

CP+QM的最小值為30,求線段PQ的長.

題型五：四邊形中動點問題（難點）

32.（22-23八年級下?浙江紹興?期中）已知，四邊形A2CE（中，AB//CD,AB=8,DC=4,點M、N

分別為邊A3、DC的中點，點尸從點。出發(fā)，以每秒1個單位的速度從。一C方向運動，到達點C后停止

運動，同時點。從點B出發(fā)，以每秒3個單位的速度從A方向運動，到達點A后立即原路返回，點尸

到達點C后點。同時停止運動，設點P、Q運動的時間為/秒，當以點Af、N、尸、。為頂點的四邊形為

平行四邊形時，/的值為.

33.（23-24八年級下?湖北鄂州?期中）如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,AD=6cm,BC=10cm,動

點尸，。分別從A,C同時出發(fā)，點尸以lcm/s的速度由A向。運動，點。以2m/s的速度由C向B運

動，其中一個動點到達終點時，另一個動點隨之停止運動.設運動時間為ts.

（1）PD=cm,BQ=cm；（分別用含/的式子表示）

（2）當點P,。與四邊形ABC。的任意兩個頂點所形成的四邊形為平行四邊形時，求/的值；

⑶在（2）的條件下，若NC=45。，（2）中的平行四邊形為菱形時，直接寫出DC的長：DC=

34.（23-24八年級下?廣東廣州?期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,

NA=9（F,AB=12cm,AD=4cm,CZ）=15cm,點尸從點A出發(fā)，以lcm/s的速度向點B運動；點。從點C出

發(fā)，以2cm/s秒的速度問點。運動，規(guī)定其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設。點運動的

時間為/秒.

⑴若P,Q兩點同時出發(fā).

①當/為何值時，四邊形PQCB為平行四邊形?

②當f為何值時，PQ=BC?

⑵若P點先運動3秒后停止運動，此時。點從C點出發(fā)，到達。點后運動立即停止，貝卜為何值時,

VDP。為直角三角形.

35.（23-24八年級下?福建莆田?期中）如圖，在四邊形中，AD//BC,?B90?,AB=8cm,

AD-12cm,BC=18cm,點尸從點A出發(fā)，以lcm/s的速度向點。運動；點。從點C同時出發(fā)，以

2cm/s的速度向點8運動.規(guī)定其中一個動點到達端點時,另一個動點也隨之停止運動.設點P,。運動

的時間為、.

備用圖

⑴從運動開始，當f取何值時，PQ//CD?

(2)從運動開始，當f取何值時，PQ=CD2

⑶在整個運動過程中是否存在f值，使得四邊形是菱形？若存在，請求出f值；若不存在，請說明

理由.

36.(23-24八年級下?湖北咸寧?期中)如圖，在Rt^ABC中，ABAC=90°,ZACB=30°,AB=6,點尸

為3C上一個動點，連接P4,以P4,PC為鄰邊作平行四邊形APCQ,連接尸。交AC于點0.

(2)當班長為何值時，平行四邊形APCQ是菱形？為什么？

⑶在點尸的運動過程中，線段尸。的長度是否存在最小值，若存在，請直接寫出最小值；若不存在，請說

明理由.

37.(23-24八年級下?廣東東莞?期中)如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,?B90?,AD=24cm,

AB=8cm,BC=26cm,動點P從點A出發(fā)沿邊以Icm/s的速度向點。勻速運動，同時動點。從點C

出發(fā)沿CB邊以3cm/s的速度向點B勻速運動，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運

動.設運動的時間為人.

BQ

⑴當r=時，四邊形ABQP是矩形.

⑵當t為何值時，四邊形PQC。是平行四邊形？

⑶四邊形尸。。是否能成為菱形？若能，求出/的值；若不能，請說明理由.

38.（23-24八年級下?廣東湛江?期中）如圖，在梯形A2CD中，

AD//BC,=90°,AD=24cm,BC=26cm,動點尸從點A出發(fā)沿AD方向向點。以lcm/s的速度運動，動

點。從點C開始沿著CB方向向點8以3cm/s的速度運動.點P、。分別從點A和點C同時出發(fā)，當其中

一點到達端點時，另一點隨之停止運動.

（1）若AP=tcm,則尸￡）=BQ=_.

⑵經(jīng)過多長時間，四邊形尸。。是平行四邊形?

⑶經(jīng)過多長時間，四邊形PQBA是矩形？

39.（22-23八年級下?吉林長春?期中）如圖，在平行四邊形A5CD中，AB=5,BC=9,平行四邊形

ABCD的面積為36,動點尸從A點出發(fā)以1個單位長度的速度在AD上相。運動，同時動點。從點8出發(fā)

以3個單位長度的速度在BC間往返運動，當點尸到達點。時，動點尸和。同時停止運動，連結(jié)尸。設運動

時間為/秒.

A._《-------iDA-----------------------，D

BB'C

Q（備用圖）

⑴直線AO與BC之間的距離是.

⑵當點。從點C向點B運動時（點。不與點8、C重合），設四邊形A8QP的面積為S,求S與t之間的函

數(shù)關系式

（3）當PQLBC時,求f的值.

⑷當PQ平分平行四邊形ABC。的面積時，直接寫出/的值.

40.（23-24八年級上?吉林長春?期中）如圖，在DABCD中，A8=10,80=40,8。邊上的高為8.點尸從點

A出發(fā)，沿以每秒5個單位長度的速度運動.點。從點8出發(fā)沿3-C-B以每秒8個單位長度的速度

運動.尸、Q兩點同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，P、。兩點同時停止運動.設點運動的時間為t

（秒）。*0）,連結(jié)PQ.

（2）當點。沿B-C運動時，求QC的長（用含/的代數(shù)式表示）.

（3）當時，求/的值.

⑷當尸。=10時，直接寫出/的值.

41.（22-23八年級下?吉林?期中）如圖，在nABCD中，ZDC4=90°,AB=6,AC=8,動點尸從點A出

發(fā)沿AD以2cm/s速度向終點。運動，同時點。從點C出發(fā)，以8cm/s速度沿射線CB運動，當點P到達

終點時，點。也隨之停止運動，設點尸運動的時間為f秒（f>0）.

(1)CB的長為；

(2)用含/的代數(shù)式表示線段。8的長；

(3)連接尸0,

①是否存在f的值，使得尸。與AC互相平分？若存在，求出/的值；若不存在，請說明理由;

②是否存在f的值，使得與互相平分？若存在，求出r的值；若不存在，請說明理由；

⑷若點P關于直線AQ對稱的點恰好落在直線AB1.,請直接寫出/的值.

42.(22-23八年級下?福建龍巖?期中)如圖，矩形ABCD中，AD=9cm,AB=4cm,E為邊AD上一動

點，從點。出發(fā)，以lcm/s向終點A運動，同時動點P從點8出發(fā)，以acm/s向終點C運動，運動的時間

為ts.

⑴當f=3時，若EP平分NAEC,求〃的值；

(2)若。=1,且△CE尸是以CE為腰的等腰三角形，求物值；

⑶連接DP,直接寫出點C與點E關于OP對稱時的。與/的值.

43.(22-23八年級下?湖北孝感?期中)如圖1,正方形的邊長為40,點尸從點B出發(fā)，沿射線A3

方向以每秒也個單位長度的速度移動，點E從點。出發(fā)，向點A以每秒垃個單位長度的速度移動(不到

點A).設點E,尸同時出發(fā)移動f秒.

圖1圖3

⑴在點E,歹移動過程中，連接CE,CF,EF,請判斷△CEF的形狀并說明理由:

（2）如圖2,連接跖，設EF交.BD于點M,當/=1時，求40的長;

（3）如圖3,點G,H分別在邊A3,CD上，且GH=2M，連接交GH于點、P,當砂與GX的夾角

為45°,求f的值.

題型六：中點四邊形模型（易錯）

44.（22-23八年級下?山東德州?期中）如圖，點E、F、G、以分別是四邊形ABCD邊43、BC、CD、DA

的中點，則下列命題中：①若AC=B。，則四邊形跳為矩形；②若AC2BD,則四邊形EFGH為菱

形；③若四邊形EFGH是平行四邊形，則AC與30互相平分；④若四邊形EFGH是正方形，則AC與

80互相垂直且相等.其中是真命題的序號是.

45.（23-24八年級下?全國?期中）如圖，在菱形ABCD中，邊長為10,ZA=60°.順次連結(jié)菱形ABCZ）各

邊中點，可得四邊形順次連結(jié)四邊形AqGA各邊中點，可得四邊形4層CzA；順次連結(jié)四邊

形4與Q2各邊中點，可得四邊形AB3c3。3；按此規(guī)律繼續(xù)下去.…則四邊形4與62的周長

是；四邊形4024-^2024Go24。2024的周長是

D

46.（22-23八年級下?湖北武漢?期中）如圖，口ABCD的對角線AC、3。相交于點。，且E、F、G、X分別

是AO、BO、CO、。。的中點.

⑴求證：四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）若AC+B￡）=42,AB=14,求的周長.

47.（23-24八年級下廣西玉林?期中）己知：如圖1,四邊形A5CD四條邊上的中點分別為E、F、G、H,

順次連接砂、FG、GH、HE,得到四邊形EPGH（即四邊形A2CD的中點四邊形）.

⑴四邊形EFG"的形狀是,證明你的結(jié)論.

（2）如圖2,請連接四邊形ABCD的對角線AC與3￡>,當AC與滿足條件時，四邊形EFGH

是正方形，證明你的結(jié)論.

題型七：十字架模型（難點）

48.（23-24八年級下?河南開封?期中）（1）如圖1,在正方形ABCD中，點E,尸分別在邊8cCD上，且

BE=CF,連接AE,BF,設AK3產(chǎn)交于H.請判斷AE與BF的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；

（2）如圖2,在正方形ABC。中，E是邊4。的中點，尸是CE上點.過點/作分別交

AB.CD于點G、H,若BG=1,CH=5,求AG的長.

圖1圖2

49.（22-23八年級下?山東煙臺?期中）問題解決

（1）如圖1,在矩形ABCD中，點E,尸分別在AB,8C邊上，連接DE,AF,且DE=AF,DEYAF

于點G.

①求證：矩形A58是正方形；

②延長CB到點“，使得BH=AE,請直接寫出八4/m的形狀；

類比遷移

（2）如圖2,在菱形ABC。中，點E,尸分別在AB,BC邊上，連接DE,AF,DE=AF,DE與AF相

交于點G,且ZAED=60。，AE=6,BF=2,求OE的長.

圖1圖2

50.（22-23八年級下,海南省直轄縣級單位?期中）如圖，四邊形ABC。是正方形，點、E,K分別在BC,

上，點G在區(qū)4的延長線上，S.CE=BK=AG.

⑴判斷CK與GD的位置關系為一，判斷四邊形GKCD的形狀為二

（2）求證：DE=DG；

⑶求證：DE1CK.

51.（23-24八年級下?新疆喀什?期中）如圖，在正方形中，邊長為3,點N是邊48,上兩

點，且BM=CV=L連接CM,DN；

(2)若點E,尸分別是ON與CM的中點，計算所的長；

⑶延長CM至尸，連接"，若NBPC=45。，試求PM的長.

52.(23-24八年級下,湖北宜昌,期中)如圖1,,在正方形ABC。中，E,F,G,H分別為邊

上的點，HA=EB=FC=GD,連接EG,切，交點為O..

D

H

(1)如圖2,連接EF,FG,GH,HE,試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論;

(2)若正方形A3CD的邊長為3acm,HA=EB=FC=GD=acm,小豪將正方形ABC。沿線段EG,HF剪

開，再把得到的四個四邊形按圖3的方式拼接成一個正方形.則該正方形的邊長為多少？圖3中陰影部分

的面積為多少？(用含。的代數(shù)式表示)

53.(22-23八年級下?山東煙臺?期中)問題背景：如圖，在正方形ABC。中，邊長為4,點N是邊

上兩點，且RW=av=l,連接CM,ON,CM與DN相交于點。.

⑴探索發(fā)現(xiàn)：探索線段DN與。/的關系，并說明理由;

（2）探索發(fā)現(xiàn)：若點、E,尸分別是DN與CM的中點，計算所的長；

⑶拓展提高：延長CM至P,連接3P,若NBPC=45°,請直接寫出線段尸M的長.

題型八：中心直角模型（難點）

54.（23-24八年級下?江蘇鎮(zhèn)江?期中）如圖，已知四邊形ABCD是正方形，AB=3,點E為對角線AC上一

動點，連接OE,過點E作砂LDE,交射線于點區(qū)以DE,EF為鄰邊作矩形。E/G,連CG.

⑴求證：矩形DEBG為正方形；

（2JCE+CG=____________________

55.（23-24八年級下?河南鄭州?期中）如圖，正方形ABCD的對角線交于點。，點E、歹分別在AB、BC

±（AE<BE）,且NEO=90。，OE與ZM的延長線交于點M,0P與AB的延長線交于點N,連接"N.

M

⑴求證：OM=ON.

⑵若正方形A2CD的邊長為8,E為的中點，求的長.

56.（23-24八年級下?貴州遵義?期中）（1）【課本再現(xiàn)】如圖1,正方形ABC。的對角線相交于點。，點。

又是正方形ABC。的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長都為1,四邊形西步為兩個正方形重疊部

分.正方形4月G?？衫@點。轉(zhuǎn)動，則下列結(jié)論正確的是（填序號即可）.

①△AEOZABFO；②OE=OF；③四邊形OEB廠的面積總等于;S正方形枷。；④連接EF,總有

AE2+CF2=EF2.

G

圖1圖2圖3備用圖

（2）【類比遷移】

如圖2,矩形A5CZ）的中心0是矩形ABiG。的一個頂點，4。與邊相交于點E，CQ與邊CB相交于點

F,連接跖，矩形A4G?？衫@著點。旋轉(zhuǎn)，猜想AE,CF,EF之間的數(shù)量關系，并進行證明；

（3）【拓展應用】

如圖3,在Rt^ACB中，ZC=90°,AC=3cm,3c=4cm,直角尸的頂點。在邊AB的中點處，它的

兩條邊OE和O尸分別與目線AG3c相交于點E,F,NEDF可繞著點D旋轉(zhuǎn),當AE=2cm時，求線段

所的長度.

題型九：外角平分線模型（難點）

57.（23-24八年級下?江蘇鹽城?期中）如圖，M為正方形ABC。邊AB的中點，E是A3延長線上的一點,

MN1DM,且交/C3E的平分線于N.

AMBE

⑴求證：MD=MN；

⑵若將上述條件中的"〃為AB邊的中點"改為為AB邊上任意一點”，其余條件不變，則結(jié)論

"MD=MN"成立嗎?如果成立，請證明；如果不成立，說明理由.

58.（22-23八年級下?江蘇蘇州,期中）綜合與實踐，【問題情境］數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題:

如圖1,在正方形ABC。中，E是2C的中點，AE1.EP,￡P與正方形的外角〃CG的平分線交于P

點.試猜想AE與EP的數(shù)量關系，并加以證明；

圖1圖2圖3

（1）【思考嘗試】同學們發(fā)現(xiàn)，取的中點/，連接斯可以解決這個問題.請在圖1中補全圖形，并解

答老師提出的問題.

⑵【實踐探究】數(shù)學第一小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2,在正方形

ABC。中，E為BC上一動點（點E,8不重合），△AEP是等腰直角三角形，ZAEP=90°,連接CP,可

以求出/DCP大小，請你思考并解答這個問題.

⑶【拓展遷移】數(shù)學第二小組深入研究第一小組提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3,在正

方形ABCZ）中，E為BC邊上一動點（點E,3不重合），△AEP是等腰直角三角形，ZAEP=90°,連接

DP,已知DP的最小值為那么在點E的移動過程中，請你求出△加）尸周長的最小值為.

題型十：半角模型（難點）

59.（22-23八年級下?四川南充?期中）（1）如圖1的正方形A2CZ）中，點E,歹分別在邊BC,CD上，

ZE4F=45。，延長到點G,使DG=BE,連接所，AG.求證：EF=FG；

（2）如圖2,等腰RtZ\ABC中，ABAC=90°,AB=AC,點N在邊BC上，且/MAN=45。，若

BM=1，CN=3,求MV的長.

圖1圖2

60.（23-24八年級上,湖北黃石?期中）（1）特例探究：如圖①，在正方形ABC。中，E,尸分別為3C,

CD上的點，ZE4F=45。，探究BE,EF,DP之間的數(shù)量關系.小明是這么思考的：