北京市昌平區(qū)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:..姓名:.班級:考號:

一、單選題

1.已知集合4=,忖＜2},2={-2,-1,0』,2,3},則()

A.{-1,0,1}B.{-2,-1,0,1}

C.{-2,-1,0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2,3}

2.已知a>b>0,d<c<0,則下列大小關(guān)系正確的是（）

abab

At.—>—B.—<—

cdcd

「abcab

C.—>-D.—<-

dcdc

3.從3名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，則所選3人中恰有2名男生的概率是

（）

A.—B.—C.—D.-

12510255

4.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在（0,—）上為增函數(shù)的是（）

A.y=--B.y=cosx

X

C.y=MD.>=喀國

2

5.已知函數(shù)〃x）=sin（2x-野，則下列說法中正確的是（）

A.函數(shù)“X）的圖象可由V=sin2x的圖象向右平移￡個單位得到

0

B.函數(shù)“X）的圖象關(guān)于直線x卡對稱

C.函數(shù)?。┑膱D象關(guān)于點“對稱

D.函數(shù)“X）在（0㈤內(nèi)有2個零點

6.若“大?1,3]/+、4相”是真命題，則實數(shù)機的最小值為（）

A.y/2B.2^2C.3D.—

A

7.某城市甲區(qū)域的人口總數(shù)A約為2",乙區(qū)域的人口總數(shù)5約為3口：則下列各數(shù)中與g最

D

接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：1g2a0.30,lg3^0.48）

A.0.5B.1C.VlOD.10

8.設(shè)無窮等比數(shù)列｛%｝的公比為q,前〃項積為小貝廣（有最大值”是的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.在VABC中，若cos2A+cos23—cos2c>1,則VABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.不能確定

10.已知函數(shù)/（x）=2x,g（x）=f+2,若存在%e[0,3],（i=1,2,3,…,〃），使得

/（%）+/（當(dāng)）+…+〃％-1）+8（%）=8（%）+8（々）+~+8&1）+/（尤“），貝!1”的最大值為（）

A.6B.7C.8D.9

二、填空題

11.函數(shù)/（x）=~1+ln（無+1）的定義域是.

X-L

12.已知｛%｝為等差數(shù)列，S“為前〃項和.若10為生與知的等差中項，則$=

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a與角￡均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于原點對稱.若

sin<7=—,貝Ucos/3=

2

,,,八/、[a（x-2a\（x+a+3\,x<a

14.已知函數(shù)〃尤）='"八'

2—2,x>a

①當(dāng)。=-1時，若函數(shù)g（x）=〃x）-左有三個不同的零點，則實數(shù)上的一個取值為;

②若函數(shù)/（X）在（F,a）,（a,y）上都是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為

15.已知數(shù)列｛q,｝滿足q=。，且4+]=亞—2%+4（〃=1,2,L）,給出下列四個結(jié)論：

①｛%｝可能為等比數(shù)列；

②若a=3,則｛%｝為遞減數(shù)列；

③｛4｝不可能為遞增數(shù)列；

試卷第2頁，共4頁

④存在實數(shù)。，使得VweN*,都有4<2.

其中所有正確結(jié)論的序號是

三、解答題

16.設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d,前w項和為心等比數(shù)列也｝的公比為名若4=1,

S5=25,b2=2,q=d.

⑴求數(shù)列｛%｝，也｝的通項公式；

(2)求和：仿+&+么+…+&“_].

17.某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)〃x)=Asin(0x+9)，o>O,|曰<])在某一周期，內(nèi)的圖象時,

列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：

713兀

GX+夕0兀2兀

2~2

兀771

X

8T

Asi〃（s+（p）00-夜0

(1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整，填寫在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)/(x)的解析式和單

調(diào)遞減區(qū)間；

⑵若函數(shù)g(x)=/(%)-2sin%+2cos2x,求函數(shù)g(x)在0,g上的最小值.

18.近年來，中國機器人科技水平在政策支持、技術(shù)創(chuàng)新及市場需求的多重驅(qū)動下實現(xiàn)了顯

著提升，尤其在工業(yè)機器人、服務(wù)機器人及特種機器人領(lǐng)域表現(xiàn)突出.國內(nèi)某科技公司致力

于服務(wù)機器人的發(fā)展與創(chuàng)新，近期公司生產(chǎn)了甲、乙、丙三款不同的智能送餐機器人，并對

這三款機器人的送餐成功率進行了測試，獲得數(shù)據(jù)如下表：

甲款機器人乙款機器人丙款機器人

測試次數(shù)50100100

成功次數(shù)105080

假設(shè)每款機器人的測試結(jié)果相互獨立，用頻率估計概率.

(1)估計甲款機器人單次送餐成功的概率；

(2)若讓這三款機器人分別執(zhí)行1次送餐任務(wù)，設(shè)成功的總次數(shù)為X,估計X的數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)若讓這三款機器人分別執(zhí)行10次送餐任務(wù)，設(shè)成功的次數(shù)分別為備務(wù)專，直接寫出

方差D*。務(wù)的大小關(guān)系.

19.在VABC中，(bcosC+ccos3)cosA=5〃.

⑴求A；

⑵若a=7,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得VABC存

在且唯一，求VABC的面積.

條件①：b=8；

條件②：c=5；

條件③：cosC=&

14

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別解

答，按第一個解答計分.

20.已知函數(shù)/'(尤)=(2-x)e「*一依3+弧2.

⑴當(dāng)。=。力=。時，

(i)求曲線＞=/(元)在點(1，/Q))處的切線方程；

(ii)當(dāng)xZO時，求函數(shù)“X)的最大值；

(2)若x=3是函數(shù)的極大值點，求實數(shù)”的取值范圍.

21.已知集合5=｛習(xí),52，53廣?,為｝(?22),其中s,.eZ(i=l,2,…J),由S中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)

的集合：M=(Ca,b)|a6S,eS,a+beS｝,N=｛(a,/?)|ae5,e5,a—beS｝,其中(a,6)是

有序?qū)崝?shù)對，集合M和N中的元素個數(shù)分別為相和機若對于任意的aeS,總有-a拓S,則

稱集合S具有性質(zhì)P.

⑴檢驗集合｛T0,2,3｝與｛-2,1,3｝是否具有性質(zhì)P并對其中具有性質(zhì)P的集合，寫出相應(yīng)的

集合M和N；

(2)對任意具有性質(zhì)P的集合S,證明：/W也二

2

(3)判斷加和〃的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

試卷第4頁，共4頁

《北京市昌平區(qū)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號12345678910

答案ABDCDBCBCA

1.A

【分析】先求集合A,根據(jù)集合的交集運算即可求解.

【詳解】由題意有4={引一2cx<2},

所以=

故選：A.

2.B

【分析】根據(jù)兩個分子相同的分?jǐn)?shù)，分母越大，分?jǐn)?shù)值越小，以及不等式兩邊同時乘一個正

數(shù)，不等號方向不變，不等式兩邊同時乘一個負(fù)數(shù)，不等號方向改變，再結(jié)合不等式的傳遞

性，進行大小比較即可.

【詳解】因為d<c<0,所以,<1,

ca

因為4>0,所以QX—VQX—即一<—,

caca

nh

因為a>匕>0,所以=<g，

aa

nh

綜上，因此選項A錯誤，選項B正確；

ca

因為d<c<0,所以

ac

Hh

因為1>人>0,所以一<一,

cc

綜上，二和2無法判斷正負(fù)，故選項C錯誤，選項D錯誤.

ac

故選：B.

3.D

【分析】令事件A表示：所選3人中恰有2名男生，利用組合數(shù)和古典概型公式即可求解.

C2cl3

【詳解】令事件A表示：所選3人中恰有2名男生，所以尸（匈=彳產(chǎn)=。

故選：D.

4.C

【分析】利用偶函數(shù)和增函數(shù)，逐項驗證是否滿足題意即可.

答案第1頁，共12頁

【詳解】對于A：由y=-工為奇函數(shù)，故A錯誤；對于B：由>=cosx在

[2祈+兀,2/+2可（左€2）為增函數(shù)，故B錯誤；

對于C：令/(x)=/，/(-x)=eH=eH=/(x),所以y=朋為偶函數(shù),當(dāng)x>0時,y=ex

為增函數(shù)，故C正確;

對于D：令g（無）=國，g（-尤）=bgjH==g（%）,所以g（x）為偶函數(shù)，令/=|尤|,

y=logj,由>=bgj在（0,+oo）為減函數(shù)，

f=W在（0,+8）為增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性有g(shù)（無）T°g/X在（0,+功單調(diào)遞減，故

2

D錯誤.

故選：C.

5.D

【分析】對于A由圖像的變換即可判斷，對于B計算了1^即可判斷，對于C計算（-

即可判斷，對于D計算在（0,兀）內(nèi)的零點即可判斷.

【詳解】對于A：由『山2了的圖象向右平移聿個單位得『小天-鼻，故A錯誤;

對于B：由/住卜出（2*]-。=0,故B錯誤；

對于D：令2彳一巴=加水€2,解得》=包+三次€2,當(dāng)左=0時，尤=E，當(dāng)左=1時，尤=9，

62121212

當(dāng)人=2時，彳=兀+?（0,可，所以?。┰冢?㈤內(nèi)的零點為限和故D正確.

故選：D.

6.B

【分析】由題意有根2（彳+2],利用均值不等式即可求解.

【詳解】由題意有根N（X+2],由工+222、11=20,

當(dāng)且僅當(dāng)x=2,即尤=&時，等號成立，所以m22應(yīng)，

X

即實數(shù)m的最小值為20，

故選：B.

答案第2頁，共12頁

7.C

A

【分析】由對數(shù)運算法則求出Igg,然后與選項中的各數(shù)的對數(shù)值比較可得.

B

A?214221

【詳解】則1g5=1g鏟=21Ig2-121g3?21x0.30-12x0.48=0.54,

Xlgl=O,lglO=l,lg71O=O.5,所以金與麗最接近,

D

故選：C.

8.B

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

、〉.〃（〃一1）

【詳解】充分性：Tn=ata2...an=??…的力=心血一+…=四丁

11〃（〃T）

例如q=l,q=5，則<=（—）=，在"=1時，取最大值，因此是不充分的,

必要性：當(dāng)時，對任意的無窮等比數(shù)列｛4｝,

若同21,必存在正整數(shù)加，使得心加時，⑷<1,〃V加時，同21,所以"=，"時，園

最大（若㈤=1,則圜=|附|是最大值）,

若。>。，則3“是｛￡｝中的最大值，若看,<0,只要比較爆前后的正項的大小即可得（注

意｛[“｝中正負(fù)項是兩項兩項間隔的）

若同<1,則㈤<1,｛園｝是遞減數(shù)列，區(qū)｝中第一個正項即為最大值，

因此是必要的，

所以應(yīng)為必要不充分條件，

故選：B.

9.C

【分析】利用二倍角的余弦公式得sidA+sirBvsiYC,利用正弦定理得1+62<02,利

用余弦定理即可求解.

【詳解】因為cos2A=1-2sin?A,cos2B=1—2sin2cos2c=l-2sin2C,

由cos2A+cos2B-cos2C>1Wsin2A+sin2B<sin2C,

222222

利用正弦定理有：a+b<cfBPa+b-c<0,

由余弦定理有8sC<。，所以VABC是鈍角三角形，

故選：C.

答案第3頁，共12頁

10.A

【分析】由已知得〃—2=(玉—I)?—[(%―1)2+?—1了+…+(%T—IT],又不，X2,…，

e[0,3],可求〃的最大值.

【詳解】???/(%)+〃％)+…+/(%〃-1)+g(%)=2(%+%2+???+%〃.1)+%；+2,

+x

g(h)+g(%2)+?-+g(x〃-i)+/(x〃)=k2+?一+%；1+2(n-l)+2xn,

222

(玉-I)+(/-I)?+..?+(%—I)+(n—1)=(xn—I)+1,

2—2

：.n—2=(Xn—I)_[(玉I)+(%2_1)2+.??+_1)2]

=x=x2

當(dāng)％2~???n-\=1，=3時，(n—2)max=(3—I)=4,

/.n-2<4,X,/neN,nmax=6.

故選：A.

11.(Tl)U(l,+8)

【分析】求出使函數(shù)式有意義的自變量范圍即可.

?fx+l>0

【詳解】由題意1八，解得%>—1且xwl,

所以定義域為(-U)U(l,+8).

故答案為：(TI)UQ+8).

12.100

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)有。1+%0=。3+。8,最后利用等差數(shù)列前〃項和公式即可求解.

【詳解】由題意有生+。8=2x10=20,所以4+40=。3+。8=20,

1Oxa

所以Wo=(^+.o)=lOj2O=loo,

故答案為：100.

13.土也

2

【分析】由同角三角函數(shù)平方的關(guān)系求得cose,又a+6=0,利用誘導(dǎo)公式即可求解.

【詳解】因為sin?cr+cos2a=1,所以cos2a=l-sin2a=1-J=g,所以cosa=±B,

442

所以cosQ=±^^,

答案第4頁，共12頁

故答案為：土也.

2

14.一1(答案不唯一)a<-3

【分析】①/(%)=%有三個不同的交點，同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出〃》)與，=上的圖象，數(shù)形結(jié)合

得到—1W左<0,進而即得;②只需y=a(x—2a)(x+a+3)在(—e,a)上單調(diào)遞增，當(dāng)o=0時，

不合要求，舍去；需。<0,對稱軸為需滿足—2a,解得a<-3.

【詳解】①。=-1時，&)=1(*+2)，*4-1,

2「2,尤>-1

g(x)=/(x)M有三個不同的零點，即〃力=%有三個不同的交點，

同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出了("與>=后的圖象，如下：

需滿足-1W上<0,故實數(shù)上的一個取值為-1;

②由于y=2'-2在(a,+8)上單調(diào)遞增，

所以只需〉=4(%-2(7)(%+4+3)在(-8,4)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a=0時，y=a(x-2<7)(x+a+3)=0為常數(shù)函數(shù)，不合要求，舍去;

,./八?6?—3?9。+18a+9

顯然，a<0fy=a[x-2a)(x+a+3)=alx-----I-----------------,

對稱軸為彳=二，需滿足胃Na,解得aV-3,

22

故答案為：-1；a<-3

15.①②④.

【分析】構(gòu)建Y-2x+4,分析/(x)的值域以及外可與4的大小關(guān)系.分a<0、a=0、

0<。<2、a=2和a>2五種情況，分析數(shù)列｛%｝的單調(diào)性以及取值范圍，結(jié)合相應(yīng)項逐項

答案第5頁，共12頁

分析判斷即可.

【詳解】構(gòu)建/(x)=x?—2x+4,

可得/(x)=(x—iy+3Z3,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時，等號成立；

令/(x)=4,解得x=0或尤=2；令/(x)>4,解得尤<0或無>2；令/(x)<4,解得0<x<2.

因為4+1=個%-2?！?4(〃=1,2,…)，

則an+l="(4)>V3>0,且a；l+1-a；=-2a?+4,

(1)若a<0,貝I]g="(4)>2,即％>2>q；

可得—cij=~~2a、+4<0,且/=J/)>2,可得％<2<q</,

依次類推可得4<2<…<%<g；

(2)若。=0,則阻=Jf(a)=2,a3-小于(4)=2,…；

[0,?=1

依次類推可得?！?；、.；

\2,n>2

(3)若0<a<2,貝!=-2%+4>0,且％="(卬)?[),2卜可得％<出<2,

可彳導(dǎo)/一=—2a,+4>0,^J/(“2)e2),可彳導(dǎo)q<a,<的<2,

依次類推可得q<%<的<…<2；

(4)若。=2,則出="(4)=2,%="(%)=2,…,

依次類推可得%=2；

(5)若a>2,貝I]a；-a；=-2%+4<0,且出="&)>2,可得2<%<囚，

可得a]—=—2a,+4<0,且4=J/(%)>2,可得2<%</<"i，

依次類推可得2<…<%<"2<q；

對于①：由(4)可知：若a=2,則%=2,

此時數(shù)列｛風(fēng)｝為公比為1的等比數(shù)列，故①正確；

對于②：由(5)可知：若a=3>2,貝!12<…//<4,

答案第6頁，共12頁

此時數(shù)列｛凡｝為遞減數(shù)列，故②正確；

對于③：由(3)可知：若。＜a＜2,則＜2,

此時數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，故③錯誤；

對于④：由(3)可知：若。＜a＜2,則q＜的＜華＜…＜2,

即V〃eN*,都有為＜2,故④正確；

故答案為：①②④.

1

16.⑴為=2〃-1；bn=2"-

【分析】(1)利用$5求出d可得｛%｝；為求出q可得bn.

(2)利用等比數(shù)列求和公式可得答案.

5x4

【詳解】(1)若％=1，則S5=5xl+下一d=25,解得d=2,

所以q=1+2(〃-1)=2〃-1；

q=d=2,b2=2b1=2,所以4=1,則2=2"、

n1

(2)由⑴bn=2-,

242/7-2

所以瓦+a+b5T--Fb2n_x=1+2+2H---F2

1—4〃4n-l

-1-4-3

17.⑴見解析；/(%)=0sin(2x-g］；稱=+E(^eZ)

⑵-1

【分析】(1)根據(jù)五點法完成表格，根據(jù)五點法即可求“X)和單調(diào)減區(qū)間；

(2)由三角恒等變換得g(x)=^sin(2x+￡|,由得:V2x+：Vq，進而求得

式叫.

【詳解】(1)由題意有：

713兀

cox+(p0兀2兀

2T

答案第7頁，共12頁

713n5兀7兀9兀

X

8VTTT

Asin(⑷;+(p)000

由五點法得：/(x)=^sin(2x-：\3717兀

,單調(diào)減區(qū)間為—+k7t,—+ht(%eZ)；

)|_0O

(2)g(x)=0sin2x~—+2cos2x=sin2x+coslx=A/2sin2x+—

,_兀71_71571

由0W%(一有：—<2x+—<——,

2444

所以當(dāng)X、時，g(x)1ra“=一1，

所以g(x)在o,|-上的最小值為一1.

18.(1)|

(2)1

【分析】(1)先計算甲款機器人單次送餐成功的頻率，利用頻率估計概率即可求解；

(2)先求X的可能取值，再求對應(yīng)的概率，利用數(shù)學(xué)期望公式即可求解；

(3)由。??a?Bpoq),利用二項分布即可求。務(wù)嶼，進

而求解.

【詳解】(1)設(shè)甲款機器人單次送餐成功的概率為B，則R=2=(;

(2)設(shè)乙款機器人單次送餐成功的概率為P2,設(shè)丙款機器人單次送餐成功的概率為23，

,501804

所cei以>P2=----=—，P3=---二一，

2100231005

X的可能取值為0,1,2,3,

411?

所以P(X=O)=(l_R)(l_p2)(l_03)=MX5><《=R,

P(X=1)=P](1—P2)?！?2)+(1一月)22(1一。3)+(1一月乂1一22)。3

11141141421

——x_X__|—x_x__|—x_x_=__

52552552550’

P(X=2)=0也(1-P3)+P](1-P2)n+(1一R)P223

答案第8頁，共12頁

11111441421

=—X—X—+—X—X—+—X—X—=——,

52552552550

-1142

P（X=3）=Ap2ft=-x-x-=-,

771Qi7Q

^f^E（X）=0x—+lx—+2x—+3x—=-

V7255050252

(3)由題意有。???

所以=10x1x3=§,￡）&=10x』xL=9,O4=10x±x!=B,

555222555

所以

JT

19.(1)-

⑵答案見解析

【分析】(1)由正弦定理和兩角和的正弦公式即可求解;

(2)先判斷VABC存在且唯一，由正弦定理和余弦定理以及三角形的面積公式即可求解.

【詳解】（1）由正弦定理有：（sinBcosC+sinCeosB）cosA=sinA,又

sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sin（兀-A）=sinA,

所以sinAcosA=」sinA,又OVAVTI,所以sinA>0,所以cosA='，

22

所以A=1;

TT

（2）由（1）有A=§,a=7,由余弦定理有：a1=1^+C1-2bccosA=b2+c2-be=49

條件①：b=8,

由正弦定理有：.bsinA4^/3,又Z?>a有5>A,

sinBD=-----=----=<1

〃77

所以三<8<無，又sin3=M>遮，所以VABC有兩個解，不滿足題意;

372

條件②：c=5,

由正弦定理有：sinC=24=%叵，又有0<C<g,又巫<B,

a143142

所以VA3C有唯一解，當(dāng)c=5時，由tz2=Z?2+c2-be=49^b1-5Z?-24=0,解得8=8,

所以SMe=—Z?csinA=—x8x5x

AADC22

條件③：

答案第9頁，共12頁

由sinC=，l一cos2c=更,又由正弦定理得。=色華=>^=5,

14sinA。3

由條件②即可求解.

20.(1)(i)y=-2x+3；(ii)在％=0處函數(shù)/(尤)取得最大值為26.

【分析】(1)(i)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)條件((x)的解析式，求出廣⑴、/(l)的值即

可求出；

(ii)分析出尸(x)的單調(diào)區(qū)間，得到極值，分析得出最值即可.

(2)利用(⑶=0,/73)<0,聯(lián)立解出不等式即可.

【詳解】(1)(i)當(dāng)。=0,6=0時，/(x)=(2-x)e1-\/(l)=(2-l)ell=l,

f\x)=(-1)e1^+(2-x)(-1)eI-x=(x-3)e1-x,/(l)=(l-3)ew=-2-e°=-2,

切線方程的點斜式為：y-l=-2(x-l),

整理得：y=-2x+3.

(ii)f，(x)=(x-3)e1-\心>0,對任意實數(shù)恒成立

??"'(x)的符號由彳-3決定:

當(dāng)x<3時/''(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>3時/'(">0,函數(shù)單調(diào)遞減.

.?.*=3是極小值點，尤=0時，/(0)=(2-0)e1-°=2e,

xf+8時，廣工30,故-0,

...當(dāng)xNO時，在》=0處函數(shù)/(無)取得最大值為26.

(2)/(%)=(2-%)e1-x-ax3+bx2,

尸(x)=-ej+(2-x)(-l)e「x-3ax2+2bx=(-X-3)e1-x-3ax2+2bx,