第01講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

目錄

01考情解碼?命題預(yù)警..........................................................1

02體系構(gòu)建?思維可視............................................................3

03核心突破?靶向攻堅(jiān)............................................................3

知能解碼....................................................................3

知識(shí)點(diǎn)1平均變化率.....................................................3

知識(shí)點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的概念....................................................4

知識(shí)點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)的幾何意義.................................................5

知識(shí)點(diǎn)4基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.........................................5

知識(shí)點(diǎn)5導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則.................................................6

知識(shí)點(diǎn)6曲線的切線問(wèn)題.................................................6

題型破譯....................................................................7

題型1導(dǎo)數(shù)的概念.......................................................7

題型2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.…?…..8

題型3在點(diǎn)P處的切線|重10

【方法技巧】“在”型切線求解步驟

題型4過(guò)點(diǎn)P處的切線重11

【方法技巧】“過(guò)”型切線求解步驟

題型5已知切線或切點(diǎn)求參數(shù)重13

題型6公切線問(wèn)題難15

【方法技巧】公切線求解關(guān)鍵點(diǎn)

題型7已知切線條數(shù)求參數(shù).............17

【方法技巧】己知切線求參數(shù)關(guān)鍵求解點(diǎn)

題型8距離最值轉(zhuǎn)化為相切問(wèn)題|難19

【方法技巧】平移切線法

題型9奇偶函數(shù)切線問(wèn)題.....22

吆真題溯源?考向感知..........................................................23

05課本典例?高考素材..........................................................25

01

考情解碼-命題預(yù)警

考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年

全國(guó)甲卷（理）T6（5全國(guó)乙卷（文）T20（1）

全國(guó)一卷T12（5

（1）導(dǎo)數(shù)的定義分）（5分）

回單選題分）

全國(guó)n卷T16（1）（5全國(guó)甲卷（文）T8（5分）

（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算口多選題天津卷T20（1）

口填空題分）全國(guó)乙卷（理）T21（1）

（3）導(dǎo)數(shù)的幾何意義13解答題（4分）

全國(guó)I卷T13（5分）（4分）

天津卷T20（l）（4分）天津卷T20（1）（4分）

考情分析：高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查相對(duì)穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大.重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、四

則運(yùn)算法則的應(yīng)用和求切線方程為主，也涉及到公切線問(wèn)題.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

（1）了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

（2）通過(guò)函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

（3）能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

02

體系構(gòu)建-思維可視

函數(shù)/（X）作工=*。處瞬時(shí)支化率岫lim生=limWf%）,ftfJWt：為函ft

37Ax*-*oAi

概念一產(chǎn)人0於；=*0處的上》,

導(dǎo)數(shù)的概念_必作/W或＞'11八如尸媽導(dǎo)媽"3T""

和幾何意義

函數(shù)P=/（X）在點(diǎn)X=%處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線丁=/（X）在點(diǎn)尸（所,.%）處的切

幾何意義

線的斜率上，即斤=/（%）.

雄本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)

/（x）=c（c為常數(shù)）/V)=o

/(x)=x"(〃eR)/(X)=*T

的㈱

意

義y(x)=sinxf(x)=COSX

運(yùn)

算/(x)=cosxf\x)=-sinx

/(x)=ex/v)=/

基本初等函數(shù)f(x)=，(a>0)f\x)="Ina

導(dǎo)數(shù)公式

/(x)=lnx/'(x)=i

X

/(x)=log*(a>0,a61)/?")=*

xm<7

/(x)=Vx

導(dǎo)數(shù)運(yùn)算"古

()

/M=-r*=-4-

X.V

(1)[/(x)±g(x)T=〃x)±g'(x)

(2)[/(X).g(*)]'=/(.v)-g(*)+/(x)-g'(*)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

/V)g(x)-/(x)g'(x)

需‘g&)

03

核心突破?靶向攻堅(jiān)

知識(shí)點(diǎn)1平均變化率

1.變化率

事物的變化率是相關(guān)的兩個(gè)量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值.

2.平均變化率

r1/(X2)-/(X.)

一般地，函數(shù)/(X)在區(qū)間［再,工』上的平均變化率為：—；.

3.如何求函數(shù)的平均變化率

求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：

①作差：求出△丁=/(%)-/01)和8=々一%

Ay/(x)-/(x)

②作商：對(duì)所求得的差作商，即/=2.

Axx2-Xj

自主檢測(cè)I函數(shù)f(%)=%2在區(qū)間［1,3］上的平均變化率為()

A.6B.3C.2D.4

【答案】D

【詳解】/(x)=/在區(qū)間［1,3］上的平均變化率為粵9===4.

故選：D

知識(shí)點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的概念

L定義:函數(shù)/(幻在為=%0處瞬時(shí)變化率是lim包=lim/卜+，我們稱它為函數(shù)y=/(%)

——oAx―一。Ax

在X=X°處的導(dǎo)數(shù)，記作/'(%)或汽一即/'(x0)=lim包=lim/fc"上小』.

°oAx-Ax

2.定義法求導(dǎo)數(shù)步驟：

①求函數(shù)的增量：Ay=/(x0+Aj;)-/(x0)；

②求平均變化率：包="一；

AxAx

③求極限，得導(dǎo)數(shù)：(/^o+Ax)-/(x)

f'Xo)=lim=limo

自主檢測(cè)|設(shè)函數(shù)〃久)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),且尸(右)=2,則忠為生吐誓出二()

A.1B.4C.3D.2

【答案】B

【詳解】因?yàn)槭?而)=2,所以“l(fā)imfg+2名)-fg)=2廣(&)=4

故選：B

知識(shí)點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x=/處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=/(x)在點(diǎn)P(xo，%)處的切線的斜率左，即

k=/(x°).

宜生檢遮若曲線y=/-Inx在x=0.5處的切線的斜率為()

A.1B.-1C.立D.

2

【答案】B

【詳解】定義域?yàn)?0,+8),/(%)-x2—Inx,則廣(%)=2x-}='二

則廣(0.5)=-1,即f(x)在久=0.5處的切線的斜率為—1.

故選：B

知識(shí)點(diǎn)4基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)

/(X)=C(C為常數(shù))尸(x)=0

/'(X)=〃X"T

f(x)=sinxf\x)=COSX

f(x)=cosxf\x)=-sinx

/。)=蜻f'M=ex

f(x)=ax(a>0)fr(x)=axlna

f(x)=lnxr?=-

X

/(x)=log：(a>0,awl)

xlna

f(x)=4xf^=7~r

2y[x

ru)=-4

/?=-

X

自主檢測(cè)|已知fix)=一專，則/(久)=()

【答案】B

【詳解】因?yàn)?（%）=-妥=*3,則廣（%）=3%-4=*

故選：B

知識(shí)點(diǎn)5導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

若/'(x),g'(x)存在,則有

(1)"(x)±g(x)]'=/'(x)±g'(x)

⑵[/(%)-g(x)]'=f'(x)-g(x)+/(%)-g\x)

⑶1W=Pw

自主檢測(cè)|若函數(shù)/（X）=x\nx,則廣加）=.

【答案】lnir+1

【詳解】由/'（x）=xln久，尸（x）=ln無(wú)+1,貝=Inir+1.

故答案為：lnit+1.

知識(shí)點(diǎn)6曲線的切線問(wèn)題

1.在型求切線方程

已知：函數(shù)/（X）的解析式.計(jì)算：函數(shù)/（X）在x=x0或者（4,/（4））處的切線方程.

步驟：第一步：計(jì)算切點(diǎn)的縱坐標(biāo)/（X。）（方法：把x=x。代入原函數(shù)/（X）中），切點(diǎn)（%,/（x。））.

第二步：計(jì)算切線斜率左=/'（%）.

第三步：計(jì)算切線方程.切線過(guò)切點(diǎn)（%,/（%））,切線斜率左=/'（x。）。

根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：y-/（x0）=f\x0Xx-x0）.

2.過(guò)型求切線方程

已知：函數(shù)/（X）的解析式.計(jì)算：過(guò)點(diǎn)4（X1，%）（無(wú)論該點(diǎn)是否在y=/（x）上）的切線方程.

步驟：第一步：設(shè)切點(diǎn)6（%,為）

第二步：計(jì)算切線斜率左=/'（/）;計(jì)算切線斜率左=2~如"；

第三步：令：左=/'(%)=干&,解出X。，代入左=/'(%)求斜率

X]—x0

第三步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：y-%=/(%)(X-/).

自主檢測(cè)I已知函數(shù)f(x)=x3-x+l,則/(X)的圖象在點(diǎn)(1,1)處的切線方程是()

A.4比+y—5=0B.4x—y—3—0

C.2x+y-3=0D.2x—y-1=0

【答案】D

【詳解】對(duì)/(x)=x3—x+1求導(dǎo)：/'(x)=(%3—x+1)'=(x3y—(x)'+(1)'=3x12—1.

將X=1代入r(x)中，可得切線的斜率k=r(1)=3x12—1=2.

已知切線過(guò)點(diǎn)(1,1),斜率為2,根據(jù)點(diǎn)斜式方程，可得切線方程為y-1=2(%-1).

將其化簡(jiǎn)為一般式：2x—y—1=0,

/(x)的圖象在點(diǎn)(1,1)處的切線方程是2x-y-1=0.

故選：D.

題型1導(dǎo)數(shù)的概念

例1-1已知函數(shù)/(%)=log2x,則畫⑵=

【答案】專

【詳解】尸(x)=焉，貝U麗爺髻=廣⑵=△?

故答案為：

例1-21已知函數(shù)/(x)=X2+-,則lim"1+柴-"1)=()

-------，\，XAx-^o2Ax

1

A.1B.-C.2D.4

2

【答案】B

【詳解】由題意知，((%)=2%—2，則的(1)=1.

f(l+A%)-f(l)=1j，m-4⑴=1,⑴=1

所以媽2Ax-2△%-2，I2,

故選：B

【變式訓(xùn)練1-11已知/'(%)=4,lim"4+2：%)于二。)的值為()

A.4B.2C.8D.16

【答案】C

【詳解】因?yàn)槭?。）=4,

則］而f(%o+2.%)-f(%0)_2］麗f(%o+2A%)-fg)

"△%->()AX△%T02-AX2/'Oo)=8.

故選：C.

【變式訓(xùn)練1-2］設(shè)函數(shù)f(x)滿足Jim=i,則/I。)=()

△x—>0乙dx

A.1B.2C.-D.3

2

【答案】B

【詳解】由limfg+Ax)-fg)=1,得工limf(Xo+Ax)-fg)=1,

△x-?02Ax2Ax->0△%

所以尸（而）=limf&+Ax）-f（x。）=2.

Ax^O△%

故選：B

2

【變式訓(xùn)練1-3］已知函數(shù)f(x)=-1x+lnx,貝Ulim⑴的值為()

2111△x—OAx

1

A.aB.-2C.--D.0

e2

【答案】D

【詳解】因?yàn)槭?)=-x+5

所以尸(1)=-1+1=0,

f(l+A%)-f(l)

=0.

所以總與△x

故選：D

題型2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

例2-1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

2

(l)y=xsinx；

1

(2)y=］nx+-；

(3)y=嗒

e

(4)y=ln(x2+1)；

【詳解】(1)y'=(%2)，sin%+/(sin%)'=2xsinx+%2cosx.

⑵/=(lnx+iy=(lnxy+gy=i-^.

，xx/

(cosx)e-cosx(e)_sinx+cosx

(J/=一■

例2-2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(l)y=-3x2-5%+6；

x

(2)y=x-sinx+e

(3)yIn%

x2+l

【詳解】(1)因?yàn)閥=—3/—5%+6,所以y'=(—3/)，—(5%y+(6)'=-6%-5；

(2)因?yàn)閥=%?sinx+J，

zx

所以y'=(x)-sinx+%?(sin%)'+(「)'=sinx+xcosx+e；

(3)因?yàn)閥=黑，

所以M=(ln%)'(久2+1)-1戶(“2+1)'_

y22

—(X+l)=(N+l)2_X(X2+1)2'

【變式訓(xùn)練2-1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

⑴y=x2cosx

1

(2)y=Inx+—

(3)y=嘮-log3%

【詳解】(1)y'—(%2)7-cosx+x2-(cosx)7=2xcosx—x2sinx.

/\,7111、，12X%2_2

(2o)y=(lnx+/)=—

⑶/，(=-/匕㈤-金

【變式訓(xùn)練2-2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

⑴/■(X)=x-cosx

(2)/(%)=/

-+

xn

XX

⑸-X---

)y22

(6)y=tanx

【詳解】(l)f'M=1-cosx+X-(-Sjnx)=COSX-xsjnx；

x._X.-ix(x-l>

(2),(%)=r^^=唉"；

(3)/=(ln%+0=(]m)，+(3=//.

(4)因?yàn)閥=(2x2—1)(3%+1)=6x3+2x2—3x—1,

所以y'=(6x3+2x2—3x—1)'

=(6/y+(2x2y-(3xy-(iy=is%2+4%-3..

(5)因?yàn)閥=x_sin：cos2=x_RinX，

所以/=sin%)=x，-(jsinx)=1_icosx-

cosxcosx-sinx(-sinx)_cos2x+sin2x_1

(6)y'=

cos2xcos2xcos2x

題型3在點(diǎn)P處的切線

例3-11曲線y=sin久cos*—1在點(diǎn)(。，一D處的切線方程為()

A.%—2y+2=0B.%+2y-2=0

C.x—y—1=0D.%—y+1=0

【答案】c

【詳解】由)7=sin"cos%_1，得丫=cos2%—sin2%=cos2x,

r0

??.y\x=o-cos=L

?,?曲線y=sinxcos%-1在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程為y=x-lf即％-y-1=0.

故選：C.

例3-2|曲線y=e—在x=0處的切線方程為()

A.y=^xB.y=血％c.y="+；D.y=呢%+?

J4/4,42

【答案】c

【詳解】因?yàn)閥==，所以「/第^(x+l)ex+1

(%+2)21

所以切線的斜率為k=y（o）=等=今又y（o）=f，

所以切線方程為丫-3=其％-0）,即y=+1

Z44Z

故選：C.

方法技巧（在型切線求解步驟）

已知：函數(shù)/（X）的解析式.計(jì)算：函數(shù)/（X）在x=x。或者（x°,/（x。））處的切線方程.

步驟：第一步：計(jì)算切點(diǎn)的縱坐標(biāo)/（X。）（方法：把X=X。代入原函數(shù)/（X）中），切點(diǎn)（4,/（4））.

第二步：計(jì)算切線斜率左=/（%）.

第三步：計(jì)算切線方程.切線過(guò)切點(diǎn)（%,/（%））,切線斜率左=/'（4）。

根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：y-f（.x0）=/'（x°）（x—X。）.

【變式訓(xùn)練3-1】（2025?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（%）=|%3-2x的圖象在點(diǎn)（3,/（3））處的切線方程為

【答案】y=16%-36

【詳解】求導(dǎo)得尸（x）=2尤2-2,則有k=r（3）=2X9-2=16,

又因?yàn)閒（3）=|x27-2X3=12,

所以在點(diǎn)（3,/（3））處的切線方程為：y-12=16（x-3）,

整理得：y=16%—36,

故答案為：y—16%—36

【變式訓(xùn)練3-2?變考法】已知函數(shù)/⑺=]第7(既8)'則/(X)在點(diǎn)(3/(3))處的切線方程為

()

A.8%+y—40=0B.2x+y-10=0

C.2%—y—10=0D.2%+y—2=0

【答案】D

【詳解】由題意可得/(3)=2/(3-2)=2/(1)=2(1-3)=-4,

當(dāng)x=3時(shí)，%—2G[0,2],此時(shí)/(x—2)—(x—2尸—3(%—2),

所以/(x)=2/(%-2)=2[(x-27-3(x-2)]=2x2-14x+20,

求導(dǎo)可得f'(久)=4x-14,

所以尸(3)=-2,

所以切線方程為y—(—4)=—2(x—3),即2x+y—2=0.

故選：D.

【變式訓(xùn)練3-3?變考法】(2025?黑龍江齊齊哈爾?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=sinx+/'(0)cos，則/(無(wú))在

點(diǎn)tJC))處的切線方程為一■

【答案】x+y-尸1=0

【詳解】/'(%)=cosx-/,(0)sinx,故尸(0)=1,

故尸(%)=cosx—sin久且/(%)=SE%+cos%'

尸(1)=cos2-sin]=-1,f0=sin]+cos^=1,

故切線方程為：y-l=—(%—9,化簡(jiǎn)得乂+丫一5-1=0?

故答案為：x+y-^-l=0.

題型4過(guò)點(diǎn)P處的切線

例4-11過(guò)點(diǎn)(0,-4)作函數(shù)〃久)=x-[圖像的切線,則切線方程為()

A.y=5%—4B.y=4x-4

C.y=3x—4D.y=2x—4

【答案】D

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為(x(),XoO(久0豐o),

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得尸⑺=1+/(xK0),

則切點(diǎn)處的斜率為尸(殉)=1+所以切線方程為y_(沏_￡)=(1+3(x_X。)，

因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)(0,-4),代入切線方程，可得-4—殉+±=(1+3(-%0),

整理得X。=2,則所求切線方程為y=2x—4.

故選：D.

例4-2|已知/(%)=M_2%+3,則過(guò)點(diǎn)4(2,-6)且與f(%)相切的直線方程為.

【答案】4%+y—2=0或8%—y—22=0

【詳解】方法1：f(x)=2x-2,設(shè)切點(diǎn)為(久o，y°),切線的斜率k=/<&)=2g-2,

得2與一2="，y°=蜉-2K。+3,兩式聯(lián)立方程解得X。=-1或5,

xQ=時(shí)，k=((-1)=-2—2=—4,

此時(shí)切線方程y+6=-4(%-2),

x0=5時(shí)，k=尸(5)=2x5—2=8,

此時(shí)切線方程y+6=8(%—2),

即4%+y—2=0或8%—y—22=0.

方法2：由題意切線的斜率存在，設(shè)為限

切線方程為y+6=fc(x—2),

與拋物線方程聯(lián)立，F(xiàn)+6；二?，整理得

(y=片一2%+3

x2+(—2—k)x+2/c+9=0,

由A=(—2—k)2—4(2fc+9)=0得k=—4或k=8,

切線方程為y+6=—4(%—2)或y+6=8(x—2),

即4%+y-2=0或8%-y-22=0.

故答案為：4x+y-2=0或8%-y-22=0.

方法技巧“過(guò)”型切線求解步驟

已知：函數(shù)/（X）的解析式.計(jì)算：過(guò)點(diǎn)6（占，%）（無(wú)論該點(diǎn)是否在y=/（x）上）的切線方程.

步驟：第一步：設(shè)切點(diǎn)發(fā)（小,為）

第二步：計(jì)算切線斜率左=/（%）；計(jì)算切線斜率左="為；

第三步：令：左=/'（%）=三&,解出馬,代入左=/（不）求斜率

X]—XQ

第三步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：y-yQ=fW（x-xQ）.

【變式訓(xùn)練4-1]（多選）過(guò)點(diǎn)（0,1）向曲線y=%3—3/作切線，切線方程可能是（）

A.4%—15y+15=0B.3%+y—1=0

C.%+3y-3=0D.15%—4y+4=0

【答案】BD

【詳解】設(shè)切點(diǎn)P(%o，y。)，因?yàn)閥=%3-3/,則y，=3x2-6x,

x

則切線方程為y-y0=(3%o一6x0)(一％o)，又M)=就一3賄,

所以y-(H-3%o)=(3XQ-6x0)(x-%。)，又切線過(guò)點(diǎn)(0,1),

所以1—(%o—3%o)=(3%o—6x0)(—x0)?整理得到2端—3XQ+1=0,

2

即(&-l)(2%o-x0-1)=(%。-l)(2x0+1)=0,所以％。=1或久o=

當(dāng)?shù)?=1時(shí)，切線方程為y—(1—3)=(3—6)(x—1),即3%+y—1=0,

當(dāng)久o=-泄，切線方程為丫一卜鄉(xiāng)-3^-0j=3-6^-0(%+})，即15%-4y+4=0,

故選：BD.

【變式訓(xùn)練4-2】已知曲線y=2j，過(guò)點(diǎn)(0,2)作切線Z,貝加的方程為.

【答案】y=2%+2

【詳解】因?yàn)閥=2J,所以y'=2e為則y'|%=o=2,顯然點(diǎn)(0,2)在y=2e%上，

所以過(guò)點(diǎn)(0,2)作切線/的方程為y-2=2(%-0),即y=2x+2.

故答案為：y=2%+2

【變式訓(xùn)練4-3-變題型】若曲線y=(%+a)-存在過(guò)原點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】(一8,-4]U[0,+oo)

x

【詳解】Vy=(x+a)/,「.y'=(久+1+a)e,

設(shè)切點(diǎn)為(&,yo)，則yo=(%o+。)/。，切線斜率k=(%o+1+a)/。，

切線方程為：y-(x0+a)/。=(%o+1+。)/°(久一、o)，

xx

;切線過(guò)原點(diǎn)，，一(%o4-a)e°=(x0+1+a)e°(-x0),

整理得：XQ+ax0—a=0,

???存在過(guò)原點(diǎn)的切線，；?△=a2+4a>0,解得a<一4或a>0,

???。的取值范圍是(一8,-4]u[0,+8),

故答案為：(-oo,-4]U[0,+oo)

題型5已知切線或切點(diǎn)求參數(shù)

例5-1|若曲線/O)=——m川11(22+1)在點(diǎn)P(Lf(1))處的切線與直線y=x—2垂直,則實(shí)數(shù)。的值為()

A.3B.V5C.2D.1

【答案】A

【詳解】由題意有廣(%)=2工—|a?六=2支一券，所以尸⑴=2—詈=2—a,

因?yàn)樵邳c(diǎn)P(L/(1))處的切線與直線丫=*—2垂直,

所以尸(1)=2—a=—1=a=3,

故選：A.

例5-2|(2025?河南鄭州?三模)若直線y=x為曲線丫=/，+》的一條切線，則2的最小值為.

【答案】-1

ax+b

【詳解】y'^ae,

設(shè)直線y=x與曲線y=e^+b相切于點(diǎn)(%,%),貝h=6。“+〃且=1，

解得ax+b=±所以x=L,從而得b=—1-Ina,所以2=土吧，

caaaa

設(shè)g(a)=千(a>。)，“①)==當(dāng)，

aa2a2

令g'(a)<0得0VaV1,令g'(a)>0得a>1,

所以g(a)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(Q)min=9(1)=一1，即3的最小值為一1.

故答案為：-1.

【變式訓(xùn)練5-1】函數(shù)/(%)=丁+在汽=0處的切線與直線3%-2y-5=0平行，則實(shí)數(shù)a=()

A.-1B.1C.-D.-

24

【答案】C

【詳解】函數(shù)/(%)=e*+a%的導(dǎo)函數(shù)為f'(%)=9+a，

函數(shù)在％=0處的切線的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率為廣(0)=e°+。=1+。，

且切線與直線3%-2y-5=0平行，

則有1+a=|,可得a=I.

故選：C

【變式訓(xùn)練5-2］設(shè)曲線y=e"在點(diǎn)(。,1)處的切線斜率為2,則a的值是()

A.-B.--C.2D.-2

22

【答案】c

x

【詳解】由題意可得y'=a^,y'\x=0=a,又在(0,1)處的切線斜率為2

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得a=2.

故選：C.

【變式訓(xùn)練5-3】(2025?河北張家口?三模)已知曲線C:y=(2a+歷乃鼠”在久=1處的切線與y軸垂直，則

實(shí)數(shù)a的值為.

【答案】|/0.5

-x

【詳解】對(duì)函數(shù)y=/(x)=(2a+歷?一”求導(dǎo)得，/'(%)=\一(2a+in%)e,

因?yàn)榍€C:y=(2a+巾%)屋”在％=1處的切線與y軸垂直，

所以廣⑴=11一2^-!=0,解得a=i

故答案為：

題型6公切線問(wèn)題

例生1J若直線2是曲線y=Inx-1與y=ln(x-1)的公切線，則直線/的方程為.

【答案】y-x-2

【詳解】求導(dǎo):y=Inx—1導(dǎo)數(shù)/%y=ln(x-1)導(dǎo)數(shù)y'=-p

設(shè)切點(diǎn)寫切線方程：

設(shè)與y=Inx-1切點(diǎn)4(久i，In/-1),切線方程y=［刀+In/-2.

設(shè)與y=ln(x-1)切點(diǎn)B(K2/n(X2-1))>切線方程y=焉、％+ln(x2-D-W?

11

列方程組求解：由公切線性質(zhì)得《X1X2-1

In/-2=ln(x2-1)-含

由言三三得X1="2-L代入另一式解得%2=2,%1=1.

求直線方程：把久1=1代入y=；x+ln/-2,得y=%—2.

X1

故答案為：y=x-2.

例6-2|(2025?遼寧?模擬預(yù)測(cè))曲線y=丁與曲線y=的公切線方程為.

【答案】24刀—2y+=0

【詳解】設(shè)公切線與曲線丫=:切于點(diǎn)4(/，/1)，與曲線丫=用切于點(diǎn)雙如/帝)，

易知公切線的斜率存在，對(duì)丫=/求導(dǎo)得丫'=/，

可得公切線的斜率k=ea

X1X1X1

所以公切線方程為y=e(x-%1)+e,即y=丁4+e(l-久i)①.

對(duì)y='求導(dǎo)得y'=言，

所以公切線方程為V=■(%一&)+Jg，

即y=會(huì)=%+1⑤

(xi=-e—

由①②得|6Et所以e2z(xi-D+：=0，

1%(1_久1)=看，

2x2x

令f(x)=(X-l)e+1,X<1,所以尸(X)=(2x-l)e,

當(dāng)Xe(—8，m時(shí)，尸(X)<0,/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)Xe6,1)時(shí)，尸(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，所以f(x)2/=0,

所以

所以公切線方程為y=式刀+*,即24％-2丫+4=0.

故答案為：2式％—2y+4=0

方法技巧公切線求解關(guān)鍵點(diǎn)

公切線問(wèn)題應(yīng)根據(jù)兩個(gè)函數(shù)在切點(diǎn)處的斜率相等，并且切點(diǎn)不但在切線上而且在曲線上，羅列出有關(guān)切點(diǎn)

橫坐標(biāo)的方程組，通過(guò)解方程組進(jìn)行求解.

x

【變式訓(xùn)練6-1?變考法】(2025?黑龍江哈爾濱?二模)已知曲線y=In久在久=1處的切線與曲線y=e+a

相切，貝.

【答案】-2

【詳解】由y=Inx,則y'=《，則y'lx=i=1，又當(dāng)x=1時(shí)y=Ini=0,

所以曲線y=Inx在x=1處的切線為y-x-

對(duì)于y=e*+a，可得y'=e”，設(shè)切點(diǎn)為Oo,Vo)，

，e&=1(a=-2

則Vo=%o-1，解得，=0.

xa1

<y0=e°+bo=~

故答案為：-2.

【變式訓(xùn)練6-2?變考法】已知曲線f(%)=ln%+l與0(%)=。%2+|(口>())有公共切線，求實(shí)數(shù)〃的取值

范圍是

【答案】\^2>+°°)

【詳解】由題意可知在/(%),9(%)上分別存在兩個(gè)點(diǎn)久1/2,使得f(%)在血處的切線與0(%)在久2處的切線為同

一條直線，

因?yàn)槭?%)=-,g\x)=2ax,由同一條切線的斜率相等可得g=2ax2=上=煮，

由同一條切線的截距相等，可得=9(%2)-9'(%2)%2，

即ln/i+1—1=a%2+|—2a%2=>In/=—ax2+|,

將斜率相等的表達(dá)式代入可得In/=一急+|,

即方程5=/(3-21nx)在(0,+8)上有解，

令/i(x)=X2(3—21nx),x>0,則//(%)=2x(3—21nx)+/(-|)=4x(1—Inx),

令"(%)=0,得％=已，當(dāng)久€(0個(gè))時(shí)，/'(%)>0；當(dāng)％€",+8)時(shí)，((%)V0,

且當(dāng)％t0時(shí)，ft(x)->0；當(dāng)％f+8時(shí)，h(x)->—oo,

2

所以九(%)存在極大值同時(shí)也是最大值h(e)=e,所以h(%)的值域