易錯(cuò)拔尖：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)1求最短路徑時(shí)對(duì)立體圖形展開情況考慮不全面導(dǎo)致錯(cuò)解1．（2021春?豐南區(qū)期中）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是（）A．529 B．537 C．105+5 D．思路引領(lǐng)：要求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長(zhǎng)方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．解：只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖1，∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：AB=BD只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖2，∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB=BD2只要把長(zhǎng)方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖3，∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：∴AB=302∵25＜529＜537∴螞蟻爬行的最短距離是25，故選：D．總結(jié)提升：本題主要考查兩點(diǎn)之間線段最短，關(guān)鍵是將長(zhǎng)方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．易錯(cuò)點(diǎn)2考慮不全面導(dǎo)致漏解2．（2022春?海安市校級(jí)月考）如圖，有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長(zhǎng)分別為20cm，15cm，現(xiàn)在將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以20cm為直角邊的直角三角形，求擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：根據(jù)題意分四種情形畫出圖形，構(gòu)造出等腰三角形，根據(jù)等腰三角形及直角三角形的性質(zhì)利用勾股定理解答．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15由勾股定理有：AB＝25，應(yīng)分以下四種種情況：①如圖1，當(dāng)AB＝AD＝25時(shí)，∵AC⊥BD，∴CD＝CB＝15m，∴△ABD的周長(zhǎng)＝25+25+2×15＝80cm．②如圖2，當(dāng)AB＝BD＝25時(shí)，∵BC＝15cm，∴CD＝25﹣15＝10cm，∴AD=AC2+C∴△ABD的周長(zhǎng)＝25+25+105=（50+105）cm③如圖3，當(dāng)AB為底時(shí)，設(shè)AD＝BD＝x，則CD＝x﹣15，由勾股定理得：AD=AC解得x=125∴△ABD的周長(zhǎng)為：AD+BD+AB=1256+1256④如圖4中，當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，AC＝CD＝20cm，此時(shí)AB＝BD＝25cm，可得△ADB的周長(zhǎng)為25+25+40＝90（cm）．總結(jié)提升：本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，在解答此題時(shí)要注意分三種情況討論，不要漏解．拔尖角度角度1利用勾股定理借助水中物體變化情況求水深（方程思想）3．（2021秋?高新區(qū)校級(jí)月考）如圖，在波平如鏡的湖面上，有一朵盛開的美麗的紅蓮，它高出水面3尺．突然一陣大風(fēng)吹過(guò)，紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動(dòng)的水平距離為6尺，則水深4.5尺．思路引領(lǐng)：仔細(xì)分析該題，可畫出草圖，關(guān)鍵是水深、紅蓮移動(dòng)的水平距離及紅蓮的高度構(gòu)成一直角三角形，解此直角三角形即可．解：紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面即AC為紅蓮的長(zhǎng)．設(shè)水深h尺，由題意得：Rt△ABC中，AB＝h尺，AC＝（h+3）尺，BC＝6尺，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，即（h+3）2＝h2+62，解得：h＝4.5．答：水深4.5尺，故答案為：4.5．總結(jié)提升：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．拔尖角度2利用勾股定理求圓柱中最短距離（化曲為直法）4．（2021春?銅官區(qū)期中）如圖，圓柱形無(wú)蓋玻璃容器，高18cm，底面圓的直徑為20πcm，在外側(cè)距下底1cm的點(diǎn)C處有一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口1cm的F思路引領(lǐng)：首先將圓柱展開，將兩個(gè)點(diǎn)放在同一平面上，構(gòu)建直角△FMC，可知捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線就是CF的長(zhǎng)；根據(jù)已知求出FM＝16cm，由題意可知：CM是底面的周長(zhǎng)的一半，根據(jù)底面圓的直徑為20πcm和圓的周長(zhǎng)公式，可以求CM的長(zhǎng)，從而由勾股定理求出CF解：畫圓柱的展開圖，如圖所示：過(guò)C作CM⊥DE于M，由題意得：BC＝DF＝1，DE＝AB＝18，∴FM＝DE﹣DF﹣ME＝18﹣1﹣1＝16，CM＝π×20π由勾股定理得：CF=FM2答：急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線的長(zhǎng)度為289cm．總結(jié)提升：本題考查了最短路徑問(wèn)題，解題思路為：①先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后并畫出展開圖，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短；②構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理列式解出．角度3利用勾股定理解答實(shí)際生活中綜合應(yīng)用問(wèn)題5．（2021春?饒平縣校級(jí)期中）如圖，在高為3米，斜坡長(zhǎng)為5米的樓梯表面鋪地毯，則地毯的長(zhǎng)度至少需要多少米？若樓梯寬2米，地毯每平方米30元，那么這塊地毯需花多少元？思路引領(lǐng)：先求出AC的長(zhǎng)，利用平移的知識(shí)可得出地毯的長(zhǎng)度，然后求出所需地毯的面積，繼而可得出答案．解：在Rt△ABC中，AC=AB2故可得地毯長(zhǎng)度＝AC+BC＝7米，∵樓梯寬2米，∴地毯的面積＝14平方米，故這塊地毯需花14×30＝420元．答：地毯的長(zhǎng)度需要7米，需要花費(fèi)420元．總結(jié)提升：此題考查了勾股定理的應(yīng)用及平移的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度是解答本題的關(guān)鍵．6．（2021春?涼山州期末）如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN＝30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP＝160m，假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說(shuō)明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？思路引領(lǐng)：作AH⊥MN于H，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AH=12AP＝80，則點(diǎn)A到MN的距離小于100，從而可判斷學(xué)校會(huì)受到影響；以A為圓心，100為半徑畫弧交MN于B、C，則AB＝AC＝100，利用等腰三角形的性質(zhì)得BH＝CH，接下來(lái)利用勾股定理計(jì)算出BH＝60，所以BC＝2BH＝解：學(xué)校會(huì)受到噪聲影響．理由：作AH⊥MN于H，如圖，在Rt△APH中，∵∠HPA＝30°，∴AH=12AP=12×160而80＜100，∴拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)學(xué)校會(huì)受到影響；以A為圓心，100為半徑畫弧交MN于B、C，如圖，則AB＝AC＝100m，而AH⊥BC，∴BH＝CH，在Rt△ABH中，BH=1002-8∴BC＝2BH＝120（m），∵拖拉機(jī)的速度＝18km/h＝5m/s，∴學(xué)校受到的影響的時(shí)間=1205總結(jié)提升：本題考查了勾股定理的應(yīng)用：在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．7．（2021春?大安市期末）“中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過(guò)70km/h．如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀A處的正前方30m的C處，過(guò)了2s后，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間距離為50m，這輛小汽車超速了嗎？（參考數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換：1m/s＝3.6km/h）思路引領(lǐng)：本題求小汽車是否超速，其實(shí)就是求BC的距離，直角三角形ABC中，有斜邊AB的長(zhǎng)，有直角邊AC的長(zhǎng)，那么BC的長(zhǎng)就很容易求得，根據(jù)小汽車用2s行駛的路程為BC，那么可求出小汽車的速度，然后再判斷是否超速了．解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；根據(jù)勾股定理可得：BC=AB2∴小汽車的速度為v=402=20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km∵72（km/h）＞70（km/h）；∴這輛小汽車超速行駛．答：這輛小汽車超速了．總結(jié)提升：本題是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可把條件和問(wèn)題放到直角三角形中，進(jìn)行解決．要注意題目中單位的統(tǒng)一．角度4利用勾股定理解最短距離問(wèn)題（將軍飲馬模型）8．（2019春?江岸區(qū)校級(jí)期中）“武黃城際鐵路”是武漢市城市圈內(nèi)一條連通武漢市和黃石市的快速城際鐵路，如圖1，以往從黃石A坐客車到武昌客運(yùn)站B，現(xiàn)在可以在A坐城際列車到武漢青山站C，再?gòu)那嗌秸綜坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運(yùn)站B．設(shè)AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°．請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：（1）求A、C之間的距離；（參考數(shù)據(jù)21≈4.6（2）若客車的平均速度是60km/h，市內(nèi)的公共汽車的平均速度為40km/h，城際列車的平均速度為180km/h，為了最短時(shí)間到達(dá)武昌客運(yùn)站，應(yīng)該選擇哪種乘車方案？請(qǐng)說(shuō)明理由．（不計(jì)候車時(shí)間）思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)勾股定理解答即可；（2）根據(jù)路程與速度的關(guān)系得出時(shí)間即可；解：（1）過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，交AB的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，∵∠ABC＝120°，BC＝20，∴BE＝10，CE＝103，在△ACE中，∵AC2＝8100+300，∴AC＝2021=20×4.6＝92km（2）乘客車需時(shí)間t1=8060=乘列車需時(shí)間t2=92180+∴選擇城際列車．總結(jié)提升：此題考查勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)解答即可．9．如圖，A，B兩村在河邊CD的同側(cè)，兩村到河邊的距離分別為AC＝1km，BD＝3km，且CD＝3km．現(xiàn)要在河邊CD上建一水廠向A，B兩村輸送自來(lái)水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米2000元．請(qǐng)你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最少，并求出此時(shí)鋪設(shè)水管的總費(fèi)用．思路引領(lǐng)：作A點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)F，連接BF交CD于點(diǎn)O，作EF⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，此時(shí)AO+BO的距離最短，在Rt△BEF中，由勾股定理求出BF＝5km，即可求最少費(fèi)用．解：作A點(diǎn)關(guān)于C