第13講函數(shù)的奇偶性

期內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

井：教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框也思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

士關(guān)測穩(wěn)提升小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

3析教材學(xué)知識(shí)

①知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對于函數(shù)f(X)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有f(-X)=

偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱

f(x),那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)

如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有f(―x)=—

奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱

f(x),那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)

注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)X,-X

也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱).

?知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論

(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)=0.

(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(|x|).

(3)奇函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

(4)定義在Joo,+oo)上的任意函數(shù)f(x)都可以唯一表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和.

(5)若函數(shù)y=f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則f(x)+f(-x)為偶函數(shù)，f(x)-fjx)為奇,f(x).f(-x)為偶

函數(shù).

(6)f(x),g(x)在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：

f(X)g(X)f(X)+g(x)f(X)-g(x)f(x)g(x)f(g(x))

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

①；知識(shí)點(diǎn)3分段函數(shù)強(qiáng)制奇偶對稱

口訣：奇函數(shù)定奇變偶，偶函數(shù)定偶變奇，奇雙負(fù)，偶單負(fù).

定義在(-00,+00)上任意的函數(shù)f(x)都可以唯一的表示成一個(gè)奇函數(shù)g(x)與一個(gè)偶函數(shù)h(x)之和.當(dāng)f(X)

以分段函數(shù)形式出現(xiàn)奇偶性的時(shí)候，則函數(shù)一定滿足：①奇函數(shù)f(x)=_f(_x)=g(x)_h(x)；②偶函數(shù)f

(x)=f(_x)=_g(x)+h(x),我們理解為奇函數(shù)定奇變偶，偶函數(shù)定偶變奇.在f(x)不好拆分出奇函數(shù)g(x)與

一個(gè)偶函數(shù)h(x)之和時(shí)，則直接采用：①奇函數(shù)f(x)=_f(-x)；②偶函數(shù)f(x)=f(_x),即口訣：奇雙負(fù),

偶單負(fù).其實(shí)通俗的說就是奇函數(shù)內(nèi)外兩層都為負(fù)，偶函數(shù)只有內(nèi)層為負(fù).

知識(shí)點(diǎn)4對稱中心或?qū)ΨQ軸平移求值

若f(x)都可以唯一表示成一個(gè)奇函數(shù)g(x)與一個(gè)偶函數(shù)h(x)之和，當(dāng)h(x)=m時(shí)，則f(x)關(guān)于點(diǎn)(0,m)

中心對稱，即可以理解為將奇函數(shù)g(x)向上平移了m個(gè)單位，即f(x)+f(-x)=2f(0)=2m；當(dāng)h(x)wm時(shí),

則有f(x)+f(-x)=2h(x).

推論若f(x)=g(X)+m,貝!|f(x)max+f(x)min=2f(o)=2m.

知識(shí)點(diǎn)5函數(shù)的周期

(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)7,使得當(dāng)X取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有/\x+

7)=f(x),那么就稱函數(shù)尸/"(x)為周期函數(shù)，稱7為這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)/"(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做/"(X)

的最小正周期.

對/<x)定義域內(nèi)任一自變量的值￡

①若y(x+a)=—/>(￡),則7=2a(a>0).

1

②若f(x+a)=――,則7=2a(a>0).

I<x)

1

③若/1(x+a)=,貝|7=2a(a>0).

I<x)

(3)對稱性的三個(gè)常用結(jié)論

①若函數(shù)尸/1(x+a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

②若對于R上的任意x都有f(2a—x)=f(x)或f(~x)=f(2a+x),則y=f{x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

③若函數(shù)尸/1(x+b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=『(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(兒0)中心對稱.

fQ練習(xí)題講典例

解題方法

教材習(xí)題01因?yàn)楹瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且

根據(jù)定義證明：函數(shù)在

=(-X)2+(-x)4=x2+x4=/(x),

定義域R上是偶函數(shù).

所以函數(shù)/(X)為偶函數(shù).

【答案】見解析

解題方法

VXGR,者B有-XGR,

教材習(xí)題02

且/(-X)=3(-x)3=-3/=-/(X),

根據(jù)定義證明：函數(shù)/(月=3/在定義域R上是奇函

數(shù).所以，函數(shù)/(耳=3/在定義域R上

是奇函數(shù).

【答案】見解析

解題方法

3

(I)/(x)=其定義域?yàn)?/p>

{X|xw0},

3

/(-x)=-=-/?，則函數(shù)/(x)為奇

X

教材習(xí)題03函數(shù)；

畫出下列函數(shù)的圖象，并判斷其奇偶性：

圖象如圖：

3

(1)/(^)=--:

(2)/(x)=-^-+l；

O

(3)/(x)=2(x+l)2+1.

±■+1;其定義域?yàn)?/p>

(2)/(x)=

{x|xw0},

/(-%)=4+i=/(x),則函數(shù)/(X)為

X

8練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)

考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的定義與判斷

1.函數(shù)/(x)=d的奇偶性為()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)

【答案】A

［詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)的定義域?yàn)镽,/(-x)=(-x)3=-x3=-/W，

所以函數(shù)”X)為奇函數(shù).

故選：A.

2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間(0,+對)上單調(diào)遞增的是()

A.f(x)=x+—B./(x)-x--

xx

【答案】B

【詳解】對于A,定義域?yàn)?-8,0)"0,+"),y(f)=r-：=-/(x),則函數(shù)為奇函數(shù)，又函數(shù)在(0,1)遞

減，在(L+8)上單調(diào)遞增，則A錯(cuò)誤；

對于B,定義域?yàn)?一叫0)"0,+8),/(-x)=-x+|=-/M)則函數(shù)為奇函數(shù)，又函數(shù)在(0,+功上單調(diào)遞

增，故B正確；

對于C,定義域?yàn)?一叫0)"0,+8),/(-x)=--^=/(x),則函數(shù)為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對于D,定義域?yàn)?-8,2)。(2,+8),定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，為函數(shù)非奇非偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：B

(多選題)3.已知函數(shù)/(x)=x+：,則下列結(jié)論中正確的是()

A.“X)最小值是2B.〃x)是奇函數(shù)

C.“X)在(0』)上單調(diào)遞減D.“X)在(1,+⑹上單調(diào)遞增

【答案】BCD

【詳解】對于A,因/(-1)=-1+[=-2,故A錯(cuò)誤；

對于B,因函數(shù)/(x)=x+g的定義域?yàn)?-8,0)U(0,+8),關(guān)于原點(diǎn)對稱，

B.f(-x)+f(x)=-x+—+x+-=0,故/(x)是奇函數(shù)，B正確；

-XX

]1X—X

對于C,任取/(X1)-/(X2)=(X1+—)-(X2+—)=-~1),

X]x2X]?x2

因網(wǎng)-工2<0,占?工2>0m環(huán)2-1<0,故/'(再)>/(%)，即“X)在(0,1)上單調(diào)遞減，故C正確；

對于D,任取1<工1<%2，/(X1)~/(X2)-(X1+-)-(X2+—)=-!-1),

X]無2X1'X2

因網(wǎng)-/<0，毛/2>°，網(wǎng)尤2-1>。，故/'(再”/?),即“X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：BCD.

flX為有理數(shù)

(多選題)4.設(shè)函數(shù)/(無)==％三麗將，則下列結(jié)論正確的是()

[0,x為無理數(shù)

A.“X)的定義域?yàn)镽B.〃x)的值域?yàn)椋?,1｝

C.是偶函數(shù)D.是單調(diào)函數(shù)

【答案】ABC

【詳解】根據(jù)函數(shù)的解析式可知，定義域是全體實(shí)數(shù)，值域?yàn)椋?』，故AB正確；

當(dāng)X是有理數(shù)時(shí),-X是有理數(shù),/(-X)=/(%)=1,

當(dāng)尤是無理數(shù)時(shí)，-x是無理數(shù)，/(-x)=/(x)=O,所以/(x)是偶函數(shù)，故C正確;

因?yàn)?(Oh/Q,WJ(0)=0,所以/(x)不是單調(diào)函數(shù)，故D錯(cuò)誤；

故選：ABC.

5.判斷下列函數(shù)的奇偶性：

⑴〃X)=X4+2X2；

(2)/(X)=X3+^；

⑶〃x)

x+2-2

【答案】(1)偶函數(shù)

(2)奇函數(shù)

(3)奇函數(shù)

【詳解】(1)因?yàn)椤▁)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱,

又/(-x)=(-x)4+2(-x)2=x4+2x2=/(x),

所以為偶函數(shù).

(2)因?yàn)椤▁)的定義域?yàn)?-8,0)U(0,+s),它關(guān)于原點(diǎn)對稱,

又/(-X)=(-X)3+工=一(工3+』]=-/(X),

-X卜X)

所以“X)為奇函數(shù).

[1-x2>0

(3)由題設(shè)得：,、°°,所以函數(shù)Ax)定義域?yàn)?1,0)u(0內(nèi)，關(guān)于原點(diǎn)對稱,

卜+2|-2w0

且x+2>0,所以|x+2|=x+2,

所以小)=匚="=4

所以x)=Jl-==_/(x),

—xX

所以“X)是奇函數(shù).

考點(diǎn)二由奇偶性求函數(shù)解析式

(多選題)1.已知函數(shù)〃x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)XNO時(shí)，f(x)=x-x2,則下列說法正確的是

()

A."X)的最大值為:B.“X)在(-1,0)上單調(diào)遞增

C.〃幻>0的解集為(-1,1)D./(x)+2x2。的解集為[0,3]

【答案】AD

【詳解】當(dāng)x20時(shí)，/(x)=x-x?=,易求得當(dāng)x<0時(shí)，

/(x)=-x-x2=-^+1J+l<；J(x)的最大值為。/正確；/(x)在，0)上單調(diào)遞減，2錯(cuò)誤；/(X)>0

的解集為(-1,0)U(0,1),C錯(cuò)誤；當(dāng)xNO時(shí)，/(x)+2x=3x-x2?o的解集為[0,3],當(dāng)了<0時(shí)，

/(x)+2x=x-x220無解，故。正確.

2.已知函數(shù)“X)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)尤>0時(shí)，/(x)=x2-l,則/(-2)=.

【答案】-3

【詳解】依題意，/(-2)=-〃2)=-(22-1)=-3.

故答案為：-3

3.己知函數(shù)”X)是奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=xI-2x,則當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=.

【答案】-X2-2X

【詳解】設(shè)無>。，則-x<0,

所以/(—x)=(―x)—2(—x)=x~+2x,

又函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，

所以/(x)=—f(~x)=—x2—2x,

即x>0時(shí)，/(%)=-x2-2x,

故答案為：—X2—2x;

4.已知函數(shù)/'(x)=^m是定義在R上的偶函數(shù).其中。、Z>eRM/(l)=1.

⑴求尸的表達(dá)式；

(2)若g(x)=|x|-/(x),實(shí)數(shù)/滿足g(3"2)<g(f-l),求f的取值范圍.

【答案】(1)〃司=6

⑵“Al

【詳解】(1)由題意/。)=/(-1)=3，即學(xué)=三也=3,解得。=0力=1,

當(dāng)。=0力=1時(shí)，/(尤)=.,此時(shí)/(x)定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對稱，

且/(f)=/(x),即/(x)=S/是偶函數(shù)，

故/(村=，滿足題意；

1顯然3Hxi，尸臺(tái)是偶函數(shù),

(2)由題意g(x)=|x|-

1+x2

所以g(x)=|x|-出也是偶函數(shù)，

當(dāng)在°時(shí)'g(x)=國一二一一占

4|="一占都是增函數(shù)'

顯然當(dāng)x之0時(shí)，y

即名卜戶國-丁二在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)8(力=忖一1;在(一叱0)上單調(diào)遞減,

1-I人1I-人

而g(3"2)<g(/-l)o|3/-2|<"l］,

00I3

所以(3t-2)-(/-1)'=(4z-3)(2?-l)<0,解得/〈/〈屋

5.若函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=2x2-4x.

⑴求函數(shù)/(x)的表達(dá)式;

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間［a-1,a\上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2x2-4x,x>0

【答案】(l)/(x)=

-lx1-4x,x<0

⑵(-1,0)51,2)

【詳解】(1)當(dāng)x=0時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)〃x)是奇函數(shù)，故/(0)=0=2x0-4x0,滿足條件;

當(dāng)x<0時(shí)，—X>0,f(―x)=2(—x)~—4(—x)=2x2+4x

由/(X)是奇函數(shù)，得=-x)=-2/-4x,

2x2-4x,x>0

所以〃x)=

—2、2—4x,x<0

(2)由(1)的解析式，作出丁=/(力的圖象:

可知函數(shù)/(x)的在(-*-1),(1,+8)上單調(diào)遞增，在［-M］上單調(diào)遞減區(qū)，要使/(x)在卜-1,力上不單調(diào),

a-l<-l

則…1,解得-1<”。.

味a->l<1\，解得I-

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(T,0)U(l,2)

考點(diǎn)三函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

1.已知函數(shù)〃x)定義域?yàn)镽j(x-l)為偶函數(shù)，/(x)-1是奇函數(shù)且〃1)=0,則

/(0)+/(1)+/(2)+/(3)+……+/(2025)=()

A.2024B.2025C.2026D.2027

【答案】B

【詳解】因?yàn)?(”-1為奇函數(shù)，則〃0)=1,且函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于(0,1)中心對稱，即

/(X)+/(T)=2,

因?yàn)?(x-l)為偶函數(shù),所以/(x—l)=/(—x-1),則/(x-2)=/(-x),

所以〃x)+/(x-2)=2,/(x-2)+/(x-4)=2,所以/(x)=〃x-4),故的周期為4,

因?yàn)椤?)+/⑶=2,/(0)+/(2)=2,

所以〃。)+/⑴+〃2)+〃3)+……+/(2025)=506[/(0)+/(1)+/(2)+/(3)]+/(0)+/(1)

=506x4+1+0=2025.

故選：B.

2.設(shè)函數(shù)/⑺的定義域?yàn)镽,7(x+1)為奇函數(shù)，2(x+2)為偶函數(shù),當(dāng)無41,2]時(shí),/(x)=+6.若

【答案】A

【詳解】因?yàn)?(x)的定義域?yàn)镽,/(x+1)為奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù)，

所以/(f)=_f(+x),f(2-x)=f(2+x),

故〃0)=-〃2),/(3)=/(1),

當(dāng)xe[1,2]時(shí),/(x)=ax2+b,

則〃0)+〃3)=〃l)-/(2)=(a+b)-(4a+6)=-3a=6,解得。=-2,

在等式/(1-力=_/(1+力中,令尤=0可得〃1)=一〃1),可得〃1)=0,

即/⑴=a+6=b-2=0,解得6=2,故當(dāng)xe[l,2]時(shí),/(x)=2-2x2,

在等式-x)=-〃l+x)中，用x+1替代x得/(1-(x+l))=〃f)=_〃2+x),

所以/(一元)=一〃2+力=一〃2-力，所以/(x)-2),

即〃x+2)=-〃x),所以〃x+4)=-〃x+2)=/(x),

故函數(shù)〃x)是周期為4的周期函數(shù)，故,3=/^=2-2x^|J=-|.

故選：A.

3.設(shè)/(、)=爾+加+巾+26+。是偶函數(shù)，且定義域?yàn)?b-l,2b),則4+6—。=()

A.gB.-C.~D.一

2345

【答案】B

【詳解】由偶函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，所以6-l+2b=0nb=；,

顯然Q=0,C=0,所以Q+b-C=g.

故選：B.

4.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)滿足〃2x+l)+/(-l-2x)=0,且當(dāng)無>0時(shí)，恒有：

5x-7<f(x)<x2-3x+9,則使得了(⑼的值可以確定的M個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】根據(jù)條件/(2X+1)+/(T-2X)=0,令f=2x+l,則/。)+/(T)=0,

BP/(-0=-/(0,可知〃x)為R上的奇函數(shù),所以"0)=0,

當(dāng)x>0時(shí)，5X-7=X2-3X+9,即尤2_8X+16=0,解得X=4,

此時(shí)5x4-7=7(4)=42-3x4+9=13,即不等式兩側(cè)的函數(shù)圖象相切于點(diǎn)(4,13)(如圖所示),

所以有"4）=13,

又“X)為R上的奇函數(shù)，所以/(-4)=-13,所以機(jī)=-4,0,4,有3個(gè).

故選：C

5.設(shè)函數(shù)/（尤）=2°24（關(guān)；2）2+/。27

(xe[-100,100])的最大值為M,最小值為加，則M+/M=

X+4

【答案】4048

【詳解】由題意得

r,、2O24(X-2)2+X20272024(X2-4X+4)+X2027-2024x4x+x2027

/(x)=------------n--------------------------------;-------------------=2024H----------------------------，

X2+4X2+4X2+4

2024x-27

4g(x)=/(x)-2024=-^4x+°,(xe[-100,100])

/、2O24x4x-x2027/、,、

則g(f)=―(_療+4—=Y(x),即g(x)為奇函數(shù)，

則8⑸曲+8口卷廣。，

又函數(shù)/(x)=2024(X；2)2+x-027,(xe[_ioo,ioo])的最大值為/,最小值為加，

x+4

得M—2024+加-2024=0,則M+加=4048,

故答案為：4048.

考點(diǎn)四抽象函數(shù)的奇偶性

1.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)〃x),滿足〃2x)是奇函數(shù)，"3x7)是偶函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.“X)的圖象關(guān)于直線x=T對稱B./(-3)=1

C.〃x)的一個(gè)周期為4D.〃x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0。對稱

【答案】B

【詳解】由〃3x-l)是偶函數(shù)，可知〃-3x-l)=/(3x-l),則關(guān)于x=-l對稱，故A正確；

因?yàn)?(2”是奇函數(shù)，所以“X)也是奇函數(shù)，關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱，故D正確；

由AD可知,f(-2-x)=f(x)=-f(-x),即/(-2+x)=-/(x),即/(x)=-/(x+2),

則〃x)=-/(x+2)=〃x+4),所以〃x)是周期函數(shù)，周期為4,故C正確;

由/(x)=-/(x+2)可知,/(-3)=-/(-1)，函數(shù)關(guān)于x=-l對稱，

但/(T)不確定，故B錯(cuò)誤.

故選：B

2.已知/⑺是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意x，N,都有/("+/(力=/(x+y)+a,則”()

A.2B.1C.0D.-1

【答案】C

【詳解】令夕=-肛則/(x)+/(f)=/(O)+a,

因?yàn)椤▁)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以〃x)+〃-x)=0J(0)=0,則a=0.

故選：C.

3.若定義在Z上的函數(shù)/(%)滿足對任意x，蚱Z均有/(x+y)=〃x)/(2-y)+/(2-x)/(y),則稱〃x)

為“S-2函數(shù)”.已知〃x)為“S-2函數(shù)"，且"2)=1,/(-1)<0,則/(0)+/(47)=()

A.-也B.0C.—D.1

22

【答案】A

【詳解】令下=尸0,則/(0)=/(0)/(2)+/(2)/(0)=2/(2)/(0)=2/(0),所以/(0)=0；

令7=2,貝lJ〃x+2)=/(x)〃0)+/(2-x)42)=/(2—“，

所以〃x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱；

令k-X,則/⑼=/(x)〃2+x)+〃2-x)〃r)=[〃x)+〃r)]〃2+x)=0,

因?yàn)?(2+x)=0不恒成立，所以/(x)+〃-x)=0恒成立，所以〃x)為奇函數(shù)，

所以/(x+4)=/(—x)=-/(%),所以/(x+8)=-/(x+4)=/(x),

所以〃x)是周期為8的周期函數(shù)，令x=l,y=l,則"2)=2[/⑴]2=1,

解得/'(1)=土[，又/(T)<OJ(x)為奇函數(shù)，所以1)=一〃1)=一日，

所以/(0)+/(47)=0+〃6x8-1)=/(-1)=一孝.

故選：A.

(多選題)4.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)不是常值函數(shù)，當(dāng)x>l時(shí)，/(%)>0,而且對任意的x,yeR有

〃M=〃x)f(y)+/(x)+〃y),則下列說法正確的有()

A./(1)=0

B.若xe(O,l),則〃x)?TO)

C.在(0,+e)上單調(diào)遞減

D.若=⑶=2,則不等式/(x-l)<8的解集為{止8Vx<10}

【答案】ABD

【詳解】對于A,令x=y=l,則有/(1)=/2(1)+/(1)+/(1),得/。)=0或/(1)=一1,

但當(dāng)〃1)=-1時(shí)，/(x)=/(x-l)=/(x)/(l)+/(x)+/(l)=/(l)=-l,

與/(x)不是常值函數(shù)矛盾，故/。)=0,故A正確；

對于B,令了=1，xw0,貝=++=

當(dāng)xe(O,l),則:>1,故

對于C任取再>%>0,令/=—>1,則/⑴>0,/(%)+1>0,

X2

則〃xJ=〃％)=〃f)〃X2)+〃/)+〃X2)=〃/)[〃X2)+l]+〃xJ>〃X2)，故"X)在(0,+“)上單調(diào)遞

增，故c錯(cuò)誤；

對于D,令y=T可得：/(-x)=/(x)/(-l)+/(x)+/(-l)=/(x),

故/(尤)是偶函數(shù)，

又/(9)=/(3)/(3)+/(3)+/(3)=8,于是原不等式可轉(zhuǎn)化為何x-l|)<〃9),

又由/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增可得：|x-l|<9,解得：-8<x<10,

故不等式/(x-l)<8的解集為{48Vx<10},故D正確.

故選：ABD.

(多選題)5.已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,則下列說法正確的是()

A./(x)可以表示為一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)之和

B.若“X)是奇函數(shù),則r(x)是偶函數(shù)

C.若〃x)是偶函數(shù)，則x3/(x)是偶函數(shù)

D.若“X)是奇函數(shù)，則/(/)是奇函數(shù)

【答案】ABD

【詳解】對于A,/(x)=/(x)1"r)+/(x)?(f),令g(x)=〃x)1/(一刈/㈤:/⑴；"一),

則gjx)=，(_x)；/(x)=g(x),/z(x)=-"-x)；J(x)=_〃(x),即g(x)是偶函數(shù)，〃(x)是奇函數(shù)，

而/(x)=g(x)+秋X),因此/(X)可以表示為一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)之和，A正確；

對于B,“X)是奇函數(shù)，則—/(x),f2(-x)=[-f(x)f=f2(x),r(x)是偶函數(shù)，B正確;

對于C,“X)是偶函數(shù)，則/(-x)=/(x),(_幻3/(_乃=-//(幻，》3/(刈是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；

對于D,/(X)是奇函數(shù)，則〃-x)=-/(x),/[(-X)3]=/(-X3)=-/(^3)>/(一)是奇函數(shù)，D正確.

故選：ABD

(多選題)6.己知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,對任意x,yeR,都有〃肛=+且

/⑴=0,則下列選項(xiàng)正確的是()

A./(0)=-1B.為減函數(shù)

C.7(100)=99D.尸/(X)+1為奇函數(shù)

【答案】ACD

【詳解】選項(xiàng)A：解法一：令x=0,y=l,則由題意得/(0)-/(0)/⑴

將/⑴=。代入解得/(O)=T，A說法正確；

解法二:令x=y=0,則由題意得/(0)-(/(0))2=/(0)-1,即(40))2=1,解得〃0)=±1,

若〃0)=1,令x=0,y=l,則/(0)-/(0)/(1)=/(1)-1,得"1)=1,與〃1)=0矛盾,故/(0)=-1,

A說法正確；

選項(xiàng)B：令＞=1,則由題意得“X)-〃=+

將"1)=0代入得〃x+l)-〃x)=l,故〃x)不是減函數(shù)，B說法錯(cuò)誤；

(另解：也可以根據(jù)〃1)=0,〃0)=-1直接判斷〃x)不是減函數(shù))

選項(xiàng)C：由B可知〃x+l)=〃x)+l,

所以/(100)=/(99)+1=/(98)+2=--=〃1)+99=99,C說法正確;

選項(xiàng)D：令x=l,y=-L則由題意可得/(一1)一/(1)/(一1)=/(0)-1,

將〃0)=-1,/⑴=0代入解得=一2,

令＞=一1，貝1]/(一力+2〃力=/(》一1)—1屯，

由B可知/(x+l)=/(x)+l,所以/(力=/(尤一1)+1,

代入①式可得〃-x)+/(x)=-2,gp/(x)+l=-/(-x)-l,

所以了=/(x)+l為奇函數(shù)，D說法正確；

故選：ACD

考點(diǎn)五由函數(shù)奇偶性解不等式

1.已知函數(shù)/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)國,馬€(0,+8)時(shí)，都有“再)]〃切＞0成立,且

/(-3)=0,則滿足獷(x)W0的尤的取值范圍是()

A.[―3,0)u(0,3]B.(—3,3)C.(―°0,—3]U[3,+co)D.[-3,3]

【答案】D

【詳解】根據(jù)題意，/(x)在(0,+s)上為增函數(shù)，

又函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，所以/(X)在(-8,0)上也為增函數(shù)，

又/■(一3)=0,所以/(3)=0,

所以當(dāng)xe(-s,-3)u(0,3)時(shí)，/(x)＜0,

當(dāng)xe(-3,0)U(3,+8)時(shí),/(x)＞0,

若力(x)40,則xe［T0)50,3］,

又〃0)=。，所以當(dāng)xe卜3,3］時(shí),xf(x)<0.

故選：D

2.設(shè)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且"2)=0.若“X)在(0,+⑹上單調(diào)遞減，則不等式(x-D/(x)>0的

解集是()

A.(-叫-2)U(1,2)B.(-2,0)U(l,2)

C.(-2,0)U(0,2)D.(-2,0)U(2,+s)

【答案】B

［詳解】由題意可知/?>0的解集是(-*-2)u(0,2),

/(x)<0的解集是(-2,0)U(2,+?0.

(無一1>0,fx—1<0,

因?yàn)椴坏仁健?1)/(幻>0等價(jià)于不等式組；或〃、；

l/W>0［/(X)<0,

所以不等式(x-l)/(x)>0的解集是(-2,0)U(l,2).

故選：B.

3.若/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且〃x)在(0,+。)上是嚴(yán)格增函數(shù)，/⑴=0,則不等式(》-1)/3<0

的解集是.

【答案】(T，0)

【詳解】因/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(x)在(0,+8)上是嚴(yán)格增函數(shù)，

則/(O)=/(l)=/(-l)=O,在(-8,0)上單調(diào)遞增.

則/(x)>0=>xe(-l,0)U(l,+8)，/(x)<0=>xG(^=0,-1)U(0,1)

x-1>0x—1<0

又(x-l)/(x)<0o〃尤)<0或'

y(x)>o

x—1>0x-l<0

由可得不等式組無解，由［〃x)>0可得xe(T”

綜上可得xe(-1,0)滿足題意.

故答案為：(-L0)

4.已知函數(shù)/(》)=不上是定義在區(qū)間［7,1］上的函數(shù).

(1)判斷/'(無)的奇偶性；

⑵證明在區(qū)間［-1,1］上是增函數(shù)，并求不等式/［x+￡|+〃x-l)<0的解集.

【答案】(1)函數(shù)”X)為奇函數(shù);

⑵*

【詳解】(1)由已知，函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽.

VxeR,者B有-XGR,

-XX

f（-x）==-/（x）.

（-x）2+lx2+]

所以函數(shù)/(X)為奇函數(shù).

（2）任取網(wǎng)廣2e,>-1<XJ<x2<1,則再-%<°，

那么/'（占）-/（%）=士-上

+1x2+1

=X］（X；+1）—%（X；+1）=（西一工2）（一西無2+1）

（x；+l）x（x；+l）（x；+1）x（尤；+1）

因?yàn)?1<x；<x2<1,所以一1<再/<1,1-xxx2>0,Xj-x2<0,x；+1>0,x；+1>0

所以）-/5）<0,

所以/（再）</（%）,

所以/（X）在上是增函數(shù).

因?yàn)?1X+￡|+/（XT）<0,所以/+=且/（x）在［-1,1］上是增函數(shù).

-1<X-1<1

所以+所以

11

XH--<1—X

［2

所以不等式/1+：+/仃-1)<0的解集0,j

5.已知函數(shù)/卜)=?『卜《-1,1］)是奇函數(shù).

⑴求b的值.

(2)判斷函數(shù)/(x)在［-U］上的單調(diào)性并說明理由，并求/(x)的最值;

(3)若函數(shù)/(x)滿足不等式/(?-1)+/(2。<0,求出/的范圍.

【答案】(1)6=1

(2)增函數(shù)，理由見解析，最大值為最小值為

⑶網(wǎng)

【詳解】（1）因?yàn)樵冢跿1］是奇函數(shù)，則=

—x+b—1x+Z?—1

即FT-E可得2（6-1）=0,解得6=1,故〃月=扁

（2）/（司=舄是區(qū)間卜15上的增函數(shù)，理由如下：

任取為、%e［T/］且不</，

皿Ifix*x?x"x；+l）_X2（x；+l）?蒼一.）+（匹一%）

人」八J一八馬卜門一初一（x；+i./+i）--儲(chǔ)+12；+1）-

二百%（%2一玉）一（尤2一再）.（％2-占）（西無2—1）

（X；+l）（xf+1）（x；+l）（g+l）,

XX

因?yàn)橐??再V工2V1所以—1<i2<1，X2-Xx>0,XxX2-1<0,

所以/（西）一/（9）<0,即/（再）</（9），

所以/卜）=言是區(qū)間［-1』上的增函數(shù)，

所以函數(shù)“X）的最小值為〃-1）=-;，最大值為了⑴=，

（3）因?yàn)?（x）=/t是區(qū)間［-1』上的增函數(shù)，且是奇函數(shù)，

由—1）+7（2/）<0可得/（-l）<-/（2f）=/（-2f）,

-1</-1<1

所以一1W2/W1,解得0W；,故實(shí)數(shù)/的取值范圍是0,11

考點(diǎn)六奇偶函數(shù)對稱性的應(yīng)用

1.已知函數(shù)“X）是定義在R上的奇函數(shù)，對任意占了240,+動(dòng)，且X產(chǎn)馬，都有〃：）：/（*）<0,且

-3）=0,則不等式加x）>0的解集為（）

A.（-8,-3）。（3,+8）B.（-3,0）u（3,+oo）

C.（一叫一3）u（0,3）D.（-3,O）U（O,3）

【答案】D

【詳解】由玉,馬?0,+8）,且西片馬，都有〃?［；』）<°，則“X）在（0,+“）上單調(diào)遞減，

又函數(shù)/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則/（x）在（一嗎0）上單調(diào)遞減，

由/（一3）=0,則/（3）=0,且〃0）=0,

故1<—3或0<x<3時(shí)/（x）>0,—3<%<0或］>3時(shí)/（X）<0,

所以4(x)>0的解集為(-3,0)“0,3).

故選：D

2.已知圖甲中的圖象對應(yīng)的函數(shù)V=/(x),則圖乙中的圖象對應(yīng)的函數(shù)在下列給出的四式中只可能是(

C.>>=/(-1.VI)D.廣-/(-附

【答案】C

【詳解】由圖乙知，圖象關(guān)于y軸對稱，對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)，

對于A,當(dāng)x>0時(shí)，y=f(\x\)=f(x),甲在y軸右側(cè)圖象與圖乙的不相同，不合，故A錯(cuò)；

對于B：丁=|/。)|時(shí)，^>0,圖乙在x軸下方有圖象，故B錯(cuò).

對于D：當(dāng)x<0時(shí)，y^-f(x),其圖象在y軸左側(cè)與圖乙的不相同，不合，故D錯(cuò)；

故選:C

3.(多選)已知定義在R上的偶函數(shù)“X)滿足〃x+4)=〃x)+〃2),且在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，則下

列說法正確的是()

A.函數(shù)/(x)的一個(gè)周期為4

B.直線x=-4是函數(shù)“X)圖象的一條對稱軸

C.函數(shù)在［-6,-5)上單調(diào)遞增，在15,-1)上單調(diào)遞減

D.函數(shù)/(x)在［0,100］內(nèi)有25個(gè)零點(diǎn)

【答案】ABD

【詳解】/(x+4)=/(x)+/(2)①，

在①中令x=-2,得〃-2+4)=/(-2)+〃2),得〃-2)=0,

由于函數(shù)“X)為偶函數(shù)，故/(2)=/(-2)=0,

所以/(x+4)=/(x)②，函數(shù)/(X)是以4為周期的函數(shù)，故A正確；

因/(x)為偶函數(shù),則/'(x)=/(-x)③，

在③式中，用x-4代替x得，/(x-4)=/(4-x),

由周期性可得了(x-4)=/(4-x-8),即/(x-4)=/(-x-4)

所以直線x=-4是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故B正確；

結(jié)合函數(shù)在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，畫出函數(shù)/(x)的大致圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)在［-6,-5)上單調(diào)

遞減，故C錯(cuò)誤；

根據(jù)圖象可知，〃2)=/⑹=/(10)=…=〃98)=0,故在［0,100］內(nèi)共有25個(gè)零點(diǎn)，故D正確.

4.(多選)已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足對任意的實(shí)數(shù)X/,均有/(x+y)=/(x)+/(y)+叼-1,且當(dāng)

x>o時(shí),恒有y(x)>i,則()

A./(0)=1

B.當(dāng)。=。時(shí)，函數(shù)〃x)為減函數(shù)

C.當(dāng)。=0時(shí)，“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱

D.當(dāng)。=2時(shí)，為偶函數(shù)

【答案】AC

【詳解】解：令x=y=0,得〃0)=2/(0)-1,

所以/(0)=1,故A正確；

當(dāng)。=0時(shí)，f(x+y)=f(x)+f(y)-l,

當(dāng)x>0時(shí)，恒有/(x+y)-/3)=/(x)-l>0,

令玉=x+y,x2=y,

即對任意XiEzcR,玉時(shí)，

/(不)-〃2)>。，

即函數(shù)〃x)為增函數(shù)，故B錯(cuò)誤.

令尸-X,則/(0)=/(X)+/(T)-1,

又"0)=1,

所以〃X)+/(T)=2,

即〃x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱，故C正確；

當(dāng)a=2時(shí)，若取/(x)=x2+x+l,

貝lj/(x+y)=(x+y)2+(無+y)+1=x2+「+(x+y)+1+2xy,

f(x)+f(y)+2xy-1=x2+y2+(x+y)+l+2xy,

即f(x+>)=/(%)+f(y)+2xy-1,

且當(dāng)x>0時(shí)，/(x)單調(diào)遞增，恒有

顯然，/(x)不為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

2

5.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,”x-l)為奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)xe［-1,2］時(shí)，f(x)=ax+b.若

13

/(1)+/(3)=0,且-4)+/(3)=-3,則/

3

【答案】4

4

【詳解】已知"x-l)為奇函數(shù)，則=換元得/(x)=-〃-x-2),

已知/(x+2)為偶函數(shù)，則〃x+2)=/■(-x+2),換元得/(x)=f(-x+4),

則當(dāng)x=l時(shí)，〃1)=/(-1+4)即/⑴=〃3),因?yàn)椤?)+〃3)=0,所以〃1)=/(3)=0,

則/(一4)=一3,當(dāng)》=一4時(shí)，/(-4)=-/(4-2)=-3,解得/(2)=3,

/⑴=0a+b=r<2=1

可知解得[b=-1

/⑵=34。+6=3

所以當(dāng)xe[-1,2]時(shí)，/(x)=x2-l,

當(dāng)x*時(shí)，遣)=〃-畀4)=〃管，"一|)=①")=一4)=.(”=：,

133

所以/

3

故答案為：

6.已知函數(shù)仆)=—￡在區(qū)間R