專題21圓的方程(考題猜想，?？家族e11個考點40題專

練)

易混易猾

1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(1)圓的定義：平面上到定點的距離等于定是的點的集合叫做圓，定點稱為圓心，定長稱為

圓的半徑.

⑵確定圓的基本要素是圓心和半徑,如圖所示.

(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為A(a,b),半徑長為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x—a)2+(y—6)2=為

當(dāng)。=6=0時，方程為^+產(chǎn)二戶，表示以原點。為圓心、半徑為廠的圓.

2.點與圓的位置關(guān)系

(x—tz)2+(y—Z?)2=rCr>0),其圓心為C(a,b),半徑為r,點P(xo,yo),設(shè)d=\PC\=

、(xo—a)2+(yo—Op.

位置關(guān)系d與r的大小圖示點p的坐標(biāo)的特點

點在圓外d>r三(xo-a)2+(yo-力2>戶

點在圓上d=r運(xo-a)2+(yo—/2=戶

點在圓內(nèi)d<r(xo-a)2+(yo-/2〈注

3.圓的一般方程

(1)圓的一般方程的概念

當(dāng)。2十石2—4十>0時,二元二次方程^+y2+Dx+Ey+F=Q叫做圓的一般方程.

其中圓心為(二!一二S圓的半徑為r=/]D2+E2—4F.

(2)對方程f+產(chǎn)+瓜+石丁+R=。的討論

22

@D+JE-4F>0時表示圓.

@D2+E2-4F=0時表示點(二f一二f).

③。2十七2—4R<0時，不表示任何圖形.

4.直線與圓的三種位置關(guān)系

位置關(guān)系交點個數(shù)

相交有兩個公共點

相切只有一個公共點

相離沒有公共點

2.直線Ax+By+C=O與圓(x一。尸十。一萬)2=/的位置關(guān)系及判斷

位置關(guān)系相交相切相離

公共點個數(shù)兩個二個雯個

幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d—H"藍(lán)紇。

d<rd=rd>r

判定代數(shù)法：由

方法Ax~\~By~\~C=0,

(*J>0/三0J<0

—Q)2+(y—,

消元得到一元二次方程的判別式/

5.用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”

第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何要素,如點、直線、

圓，把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題:

第二步：通過代數(shù)運算,解決代數(shù)問題;

第三步：把代數(shù)運算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.

6.圓與圓的位置關(guān)系

兩圓相交有兩個公共點

兩圓相切外切和內(nèi)切只有一個公共點

兩圓相離外離和內(nèi)含沒有公共點

7.圓與圓位置關(guān)系的判定

(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為n,m兩圓的圓心距為d,則兩圓的位置關(guān)系的判斷方

法如下：

位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

圖示0??

d與門,「2的歷一也VdVOVdV|ri

d>6]+不2d=6]+r2d=l〃一「2|

關(guān)系為+及一加

⑵代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數(shù)進(jìn)行判斷.

圓C1方程］消元.相交,

元二次方程1/=0次內(nèi)切或外切,

圓Q方程一—V0一外離或內(nèi)含.

型大集合

A圓的標(biāo)準(zhǔn)方程A圓的一般方程

＞二元二次方程表示圓的條件A點與圓的位置關(guān)系

A關(guān)于點、直線對稱的圓的方程A圓的切線方程

A直線與圓相交的性質(zhì)A直線與圓的位置關(guān)系

A圓與圓的位置關(guān)系及其判定A相交弦所在直線的方程

A直線和圓的方程的應(yīng)用

駁型丈通關(guān)

一.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（共2小題）

【分析】由題意利用待定系數(shù)法求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【解答】解：?.?圓心在第一象限，且同時與X,y軸相切，

【點評】本題主要考查用待定系數(shù)法求圓的方程，屬于基礎(chǔ)題.

【點評】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓相切，是基礎(chǔ)題.

圓的一般方程（共2小題）

【分析】根據(jù)題意，由二元二次方程表示圓的條件，可得關(guān)于加的不等式，解可得答案

故選：D.

【點評】本題考查二次方程表示圓的條件，注意圓的一般方程，屬于基礎(chǔ)題.

【分析】根據(jù)題意，由圓的方程求出圓的圓心，由點到直線的距離公式計算可得答案.

故答案為：2.

【點評】本題考查圓的一般方程和點到直線距離的計算，注意求出圓的圓心坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題.

三.二元二次方程表示圓的條件（共1小題）

【分析】利用二元二次方程表示圓的充要條件，列出不等式求解即可.

【點評】本題考查二元二次方程表示圓的條件的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

四.點與圓的位置關(guān)系（共1小題）

【點評】本題考查點與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

五.關(guān)于點、直線對稱的圓的方程（共1小題）

【分析】先求出已知圓關(guān)于點P對稱的圓的圓心及半徑，進(jìn)而可求圓的方程.

故原的圓心為（1,2）,半徑r=4,

【點評】本題主要考查圓的對稱問題，圓方程的求解，屬基礎(chǔ)題.

六.圓的切線方程（共2小題）

【分析】由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，然后求出M與圓心的距離判斷出M在圓上即M為切點，根

據(jù)圓的切線垂直于過切點的直徑，由圓心和M的坐標(biāo)求出確定直線方程的斜率，根據(jù)兩直線垂直時斜

率乘積為-1,求出切線的斜率，根據(jù)〃坐標(biāo)和求出的斜率寫出切線方程即可.

【點評】此題考查學(xué)生掌握點與圓的位置關(guān)系及直線與圓的位置關(guān)系，掌握兩直線垂直時斜率所滿足的關(guān)

系，會根據(jù)一點的坐標(biāo)和直線的斜率寫出直線的方程，是一道綜合題.

【分析】考慮所作切線斜率是否存在，存在時，設(shè)出其方程，利用圓心到切線的距離等于半徑，列式計算，

求得參數(shù)，即可求得答案.

【點評】本題主要考查圓的切線方程，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

七.直線與圓相交的性質(zhì)（共2小題）

A.1B.2C.3D.4

故選：B.

【點評】本題考查直線與圓相交的弦長公式，屬于中檔題.

【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓心坐標(biāo)以及半徑.因為點P在圓內(nèi)，則過點P且被點P平分的

弦至所在的直線與點尸與圓心的連線垂直.根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)確定此直線的斜率.從而確定直線方程.

.?.點P在圓內(nèi)

又?.?點尸平分弦AB

弦AB所在直線的斜率k=1

【點評】本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，中點弦，直線方程等知識.屬于中檔題.

八.直線與圓的位置關(guān)系（共22小題）

A.相交B.相切C.相離D.不確定

【分析】表示出圓心到直線的距離，比較與半徑的大小的比較.

,點A/在圓內(nèi)，且異于圓心，

故直線與圓相離.

故選：C.

【點評】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系.主要是看圓心到直線的距離與圓的半徑大小關(guān)系來判斷.

故選：B.

【點評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，圓中的范圍問題等知識，屬于基礎(chǔ)題.

A.直線與圓相交但不過圓心B.相切

C.直線與圓相交且過圓心D.相離

則圓與直線的位置關(guān)系是相切.

故選：B.

【點評】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點到直線的距離公式，直線與圓

相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

故選：B.

【點評】本題考查直線的斜率的取值范圍的求法，考查直線、圓、點到直線距離公式、直線與圓相切等基礎(chǔ)

知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔

題.

對于3,利用基本不等式即可得解；

圖2

故選：D.

【點評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查運算求解能力，屬于中檔題.

故選：C.

【點評】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查圓的切線方程，考查圓的方程的求法，是中檔題.

【分析】由直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合點到直線的距離公式求解即可.

V

【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，重點考查了點到直線的距離公式，屬中檔題.

【分析】化簡曲線方程，判斷曲線的形狀，利用數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化求解上的范圍.

【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，是中檔題.

所以直線/被圓C所截得的弦長的最小值為2幣.

故答案為：2幣.

【點評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

x

【點評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

當(dāng)且僅當(dāng)A,B,P,。共線，且A,3在P,。中間時取等號，

所以點。到點尸的距離的最大值為8,

故答案為：8.

【點評】本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，屬于中檔題.

故答案為：相交.

【點評】本題考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷，屬于中檔題.

【點評】本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

（1）求圓心。到點A的距離；

【分析】（1）確定圓心坐標(biāo)，利用兩點間距離公式即可求解；

（2）圓與圓O有兩個不同公共點，即兩圓相交，利用圓心距介于半徑差與和之間求解即可.

因為與圓O有兩個不同公共點，

【點評】本題考查圓的方程的應(yīng)用，屬于中檔題.

（I）求圓C的方程.

【分析】（I）根據(jù)已知設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將點A,3的坐標(biāo)代入標(biāo)準(zhǔn)方程，解方程組即可求出圓心及半

徑，從而得到圓C的方程.

.?.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

①若直線斜率不存在，

②若直線斜率存在，設(shè)斜率為左，

???直線與圓相切，

【點評】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓相切的性質(zhì)，點到直線的距離公式等知識的綜合應(yīng)用，屬于中檔

題.

【分析】（1）求出半徑，寫出圓的方程，再解出A、3的坐標(biāo)，表示出面積即可.

【解答】解：（1）?.?圓C過原點O,

【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等有關(guān)知識，是中檔題.

（3）對于線段AC上的任意一點Q,若在以點5為圓心的圓上都存在不同的兩點N,使得點M是線

段QN的中點，求圓3的半徑r的取值范圍.

【分析】（1）求出圓心C到直線/的距離，利用勾股定理建立方程，即可求直線/的方程；

（2）求出尸的軌跡方程，利用兩圓的位置關(guān)系，即可得出結(jié)論.

所以點尸的個數(shù)為2.

又M,N都在半徑為r的圓3上，

【點評】本題考查了直線與圓的方程的求法，考查了圓與圓的位置關(guān)系，考查運算求解能力，屬中檔題.

【分析】（1）利用點斜式，設(shè)出過P點的直線/,利用與圓的弦長為如，求出％的值，可得直線/的方程；

當(dāng)動直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=l時，顯然不滿足題意；

即直線/的斜率等于±若，

【點評】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷，根據(jù)直線和圓相交的弦長公式是解決本題的關(guān)鍵，是中

檔題.

【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合垂徑定理，以及點到直線的距離公式，即可求解；

（2）先求出直線AC的方程，再結(jié)合圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系，即可求解.

兩圓外切，且點A為切點，

【點評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

（1）求圓C的方程；

【分析】（1）利用點關(guān)于線對稱可求得圓心C的坐標(biāo)，從而可得其方程;

【點評】本題考查圓的方程和性質(zhì)，以及直線和圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題.

（1）求與直線“垂直且經(jīng)過圓心的直線方程；

（2）求與直線機(jī)平行且與圓C相切的直線方程.

【解答】解：（1）由兩條直線垂直的性質(zhì)，

（2）由兩條直線平行的性質(zhì)，

【點評】本題考查圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題.

33.（2023秋?惠州期末）如圖，這是某圓弧形山體隧道的示意圖，其中底面池的長為16米，最大高度CD

的長為4米，以C為坐標(biāo)原點，AB所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.

（1）求該圓弧所在圓的方程；

（2）若某種汽車的寬約為2.5米，高約為1.6米，車輛行駛時兩車的間距要求不小于0.5米以保證安全，同

時車頂不能與隧道有別蹭，則該隧道最多可以并排通過多少輛該種汽車？（將汽車看作長方體）

【分析】（1）由圖形求得A,B,。的坐標(biāo)，判斷圓心在y軸上，設(shè)該圓的半徑為r米，由勾股定理可得r

的方程，求得小圓心坐標(biāo)，可得所求圓的方程；

（2）設(shè)與該種汽車等高且能通過該隧道的最大寬度為4