第7講三角形的中位線專題探究

類型一三角形中位線定理

知識點(diǎn)睛：

三角形中位線定理的應(yīng)用

(1)證明平行問題；

(2)證明一邊是另一邊的2倍或

(3)解決"中點(diǎn)問題

注意：在處理這些問題時(shí)，要求出現(xiàn)三角形及其中位線：

①有中點(diǎn)連線而無三角形，要作輔助線產(chǎn)生三角形；

②有三角形而無中位線，要作中點(diǎn)的連線或過中點(diǎn)作平行線.

類題訓(xùn)練

1.(羅湖區(qū)校級期末)如圖，ZkABC的面積是16,點(diǎn)。、E、F、G分別是BC、A。、BE、

CE的中點(diǎn)，則△APG的面積是()

A.6B.7C.8D.9

【分析】根據(jù)中線的性質(zhì)，可得：的面積=的面積=的面

24

積=的面積=2,ZWEG的面積=2,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得△EPG的

8

面積=的面積=2,進(jìn)而得到△ABG的面積.

4

【解答】解：：點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，

是△A8C的中線，

/.AABD的面積=Z\ADC的面積=_lxZ\42C的面積，

2

同理得：AAEF的面積="lx/\ABE的面積=」XZ\A2。的面積=_Lx/XABC的面積=

248

"1x16=2,

8

△AEG的面積=2,

△BCE的面積的面積=8,

2

又,?FG是△BCE的中位線，

4EFG的面積的面積=」X8=2,

44

，AAFG的面積是2X3=6,

故選：A.

2.（壽光市期末）如圖，OE是△ABC的中位線，/ABC的角平分線交DE于點(diǎn)孔AB=S,

BC=12,則EF的長為（）

A.1B.1.5C.2D.2.5

【分析】延長AF交8C于”，由三角形中位線定理得到OE〃BC,DE=LBC=6,AF

2

=FH,再證△BE!之ZiB尸H（A4S）,得BH=AB=8,然后由三角形中位線定理得。尸=4,

求解即可.

【解答】解：連接4F并延長交BC于H,如圖所示:

;點(diǎn)。、E分別為邊AB.AC的中點(diǎn)，

J.DE//BC,DE=LBC=6,AF=FH,

2

在△8E4和中，

，ZABF=ZHBF

,ZAFB=ZHFB>

FA=FH

.?.△BFA/ABFH（AAS）,

：.BH=AB=8,

"：AD=DB,AF=FH,

：.DF是AABH的中位線，

：.DF=1BH=4,

2

：.EF=DE-DF=2,

故選：C.

3.（海陽市期末）如圖，△ABC中，點(diǎn)。，iiSC上，/ABC的平分線垂直AE,垂足

為點(diǎn)N,ZACB的平分線垂直AD,垂足M,連接MN.若BC=7,MN=3；則4

2

4BC的周長為（

A.17B.18C.19D.20

【分析】利用ASA定理證明之ABNE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AN

=NE,同理得到CO=C4,AM=MD,根據(jù)三角形中位線定理求出DE,根據(jù)三角形的

周長公式計(jì)算，得到答案.

【解答】解：在△BNA和△BNE中，

，ZNBA=ZNBE

'BN=BN，

ZBNA=ZBNE

:.ABNA咨/XBNE（ASA）,

：.BE=BA,AN=NE,

同理，CD=CA,AM=MD,

\'AM^MD,AN=NE,MN=3,

2

：.DE=2MN=3,

'JBE+CD-BC=DE,

：.AB+AC=BC+DE=10,

/.AABC的周長=AB+AC+BC=10+7=17,

故選：A.

4.（江干區(qū)期末）如圖，△ABC中，。是BC邊的中點(diǎn)，AE平分/BAGBE±AEE,已

知48=10,AC=18,則DE的長為（）

【分析】延長BE交AC于F,證明△AEbgAAEB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=AB

=10,BE=EF,根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可.

【解答】解：延長BE交AC于F,

'：BE±AE,

：.ZAEB=ZAEF=90°,

在△AEF和△AEB中，

，ZEAF=ZEAB

'AE=AE，

ZAEF=ZAEB

/.（ASA）

：.AF=AB=IO,BE=EF,

；.CB=AC-AF=8,

?：BE=EF,BD=DC,

：.DE=1CF^4,

2

故選：A.

5.（吳興區(qū)二模）如圖，在AABC中，點(diǎn)。、E、廠分別是各邊的中點(diǎn)，若AABC的面積為

4cm2,則△￡＞田的面積是（）cm2.

A.0.5B.1C.2D.4

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到EF=1AB,ED=1AC,DF=1BC,進(jìn)而證明^

222

EFDs^ABC,根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算即可.

【解答】解：???點(diǎn)。、E、尸分別是各邊的中點(diǎn)，

：.EF=^AB,ED=^AC,DF=4C,

222

?EF_ED_DF_1

ABACBC2

:.XEFDSXABC,且相似比為工，

2

.SAEDF包）2=工

,△ABC24

?/Z^ABC的面積為4a"2,

AD￡F的面積是1cm2,

故選:B.

6.（廣饒縣期末）如圖，是△ABC的中線，E是AD的中點(diǎn)，尸是8E延長線與AC的交

點(diǎn)，若AC=4,則（）

A.&B.AC.1D.Z

533

【分析】取BF的中點(diǎn)H,連接根據(jù)三角形中位線定理得到。"DH//AC,

2

證明△AEF四△OEH,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=DH,計(jì)算即可.

【解答】解：取的中點(diǎn)X,連接力/,

,:BD=DC,BH=HF,

：.DH=1.FC,DH//AC,

2

:.NHDE=ZFAE,

在和△OEH中，

,ZAEF=ZDEH

<AE=DE，

ZEAF=ZEDH

.?.△AEF烏ADEH(ASA),

：.AF=DH,

：.AF=^FC,

2

?：AC=4,

:.AF=A,

3

故選：B.

7.（龍口市期末）如圖，△ABC的周長為a,以它的各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△431C1,再以△

A81C1各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作AA282c2,…如此下去，則△A/“Cn的周長為（）

BC

A1

A.-^-aB.-^aC.―--aD.---a

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到△4B1C1的周長=工“，AA2B2C2的周長=工“=

24

上。，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可.

22

【解答】解：：點(diǎn)4、81、Q分別為BC、AC.AB的中點(diǎn)，

.?.BiCi=AfiC,AICI=1AC,AIBI=^AB,

222

AAiBiCi的周長=1,

2

同理，△42B2C2的周長=工4=」:。，

422

則△A/aCn的周長=-1-a>

2n

故選：A.

8.（東莞市校級期末）如圖，已知△ABC中A2=AC,是N2AC的平分線，AE^ZBAC

的外角平分線，EO〃A8交AC于點(diǎn)G,下列結(jié)論：?AD±BC；?AE//BC；?AE=AG；

@ZDAE^90°.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】連接EC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出小>，2C,即可判斷①；求出N切E=N3,

再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出AE〃BC,即可判斷②；求出四邊形ABDE是平行四邊形，根

據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AE=BD,求出AE=CD,根據(jù)矩形的判定推出四邊形ADCE

是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AC=DE,AG=CG,DG=EG,求出。G=AG=CG=EG,

根據(jù)勾股定理判斷④即可；根據(jù)AE=BD=LBC和AG=1AC判斷③即可.

22

【解答】解：連接EC,

■：AB=AC,AD是NBAC的平分線,

：.AD±BC,故①正確；

'：AB=AC,

：.ZB=ZACB,

平分/剛C,

ZFAC=2ZFAE,

'：ZFAC=ZB+ZACB,

：.ZFAE=ZB,

J.AE//BC,故②正確；

'JAE//BC,DE//AB,

四邊形ABDE是平行四邊形，

：.AE=BD,

"：AB=AC,ADLBC,

：.CD=BD,

J.AE^CD,

\'AE//BC,ZADC=90°,

四邊形AQCE是矩形，

：.ZDAE=90°,故④正確；

\"AE=BD=^BC,AG=AAC,

22

.?.AG=AE錯(cuò)誤（已知沒有條件AC=BC）,故③錯(cuò)誤；

即正確的個(gè)數(shù)是3個(gè)，

故選：C.

類型二三角形中位線在四邊形中的應(yīng)用

知識點(diǎn)睛：

四邊形中中位線的構(gòu)造

（1）四邊形邊上有中點(diǎn)時(shí)，取其對角線中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線；

（2）四邊形對角線上有中點(diǎn)時(shí)，取邊的中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線.

此類中位線的構(gòu)造常出現(xiàn)在等對邊四邊形或等對角線四邊形題目中，用于判斷線段關(guān)系或

由線段引發(fā)的角度關(guān)系。

注意：構(gòu)造出的中位線往往是相等的，且正好是等對邊或等對角線的一半.

類題訓(xùn)練

1.（孟津縣期末）如圖所示，已知四邊形ABC。，R、尸分別是。C、8c上的點(diǎn)，點(diǎn)E、F

分別是AP、R尸的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上從點(diǎn)8向點(diǎn)C移動，且點(diǎn)R從點(diǎn)D向點(diǎn)C移

動時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是（）A_________________D

A.線段所的長逐漸增大\JR

B

PC

B.線段EF的長逐漸減少

C.線段EP的長不變

D.AAB尸和的面積和不變

【分析】連接AR,根據(jù)三角形的中位線定理可得EF=LR,根據(jù)AR的變化情況即可

2

判斷.

【解答】解：連接4兄

,:E,P分別是AP,RP的中點(diǎn)，

：.EF^1.AR,

2

?.?當(dāng)點(diǎn)P在BC上從點(diǎn)C向點(diǎn)8移動，點(diǎn)R從點(diǎn)。向點(diǎn)C移動時(shí)，4R的長度逐漸增大,

.?.線段班的長逐漸增大.

SAABP+SACRP=—BC*CAB+CR）.

2

,:CR隨著點(diǎn)R的運(yùn)動而減小，

AABP和的面積和逐漸減小.

觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)A符合題意.

故選：A.

2.（新城區(qū)校級期末）如圖，四邊形A5CD中，AD=BC,點(diǎn)尸是對角線5。的中點(diǎn)，E、F

分別是45、CD的中點(diǎn)，若NEP尸=130°,則N尸砂的度數(shù)為（）

A.25°B.30°C.35°D.50°

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到PF=IBC,PE=1AD,進(jìn)而證明PF=PE,根據(jù)

22

等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算，得到答案.

【解答】解：：P、尸分別是BD、CO的中點(diǎn)，

：.PF=^BC,

2

同理可得：PE=1AD,

2

'：AD=BC,

:,PF=PE,

VZEPF=130°,

/.ZPEF=ZPFE=^X（180°-130°）=25°，

2

故選：A.

3.（南陽模擬）如圖，四邊形ABC。中，AD//BC,AD=2,BC=5,點(diǎn)、E,尸分別是對角

線AC,5。的中點(diǎn)，則￡產(chǎn)的長為（）

AD

A.1B.1.5C.2.5D.3.5

【分析】延長尸E交C。于點(diǎn)G,由點(diǎn)E,尸分別是對角線AC,3。的中點(diǎn)，從而得FG

是△以?的中位線，則有FG=2.5,再由AO〃BC,則有EG是△AC。的中位

線，則有EG=1,從而可求取的長.

AD

【解答】解：：取DC中點(diǎn)G,連結(jié)FG、EG,如圖所示：

；點(diǎn).E,尸分別是對角線AC,8。的中點(diǎn)，/G

：.FG//BC,EG//AD,1/\\

------------------------------C

U：AD//BC,

：.EG//BC,FG//EG,

:.E、F、G三點(diǎn)共線，

；.FG是/\BCD的中位線，

：.FG=^BC=2.5,

2

'JAD//BC,

J.EG//AD,

；.EG是△AC。的中位線，

：.EG=^AD=\,

2

:.EF=FG-EG=L5.

故選：B.

4.（龍崗區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABC。中，E,尸分別是邊AB,CD的中點(diǎn)，則AD,

BC和EE的關(guān)系是（）

m

AEB

A.AD+BO2EFB.AD+BCN2EFC.AD+BC<2EFD.AD+BCW2EF

【分析】取AC的中點(diǎn)G,連接EREG,GF,根據(jù)三角形中位線定理求出EG=1BC,

2

GF=1AD,再利用三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，即可得出AD,BC和的

2

關(guān)系.

【解答】解：如圖，取AC的中點(diǎn)G,連接EEEG,GF,p0

■:E,尸分別是邊AB,CD的中點(diǎn)，

：.EG,GF分別是△ABC和△ACQ的中位線，//\\

：.EG=^BC,GF=1AD,AEB

22

在aEG尸中，由三角形三邊關(guān)系得EG+G/OER即JiBC+LoAER

22

J.AD+BO2EF,

當(dāng)AO〃BC時(shí)，點(diǎn)E、F、G在同一條直線上，

:.AD+BC=2EF,

所以四邊形ABCD中，E,尸分別是邊AB,CD的中點(diǎn)，則AD,BC和EF的關(guān)系是AD+BC

22EF.

故選：B.

5.（宛城區(qū)期中）如圖，在△A8C中，ZA=90°,AC>AB>4,點(diǎn)。、E分別在邊A3、

AC上，BD=4,CE=3,取?！?、BC的中點(diǎn)M、N,線段跖V的長為（）

A.2.5B.3C.4D.5

【分析】如圖，作C/Z〃42,連接ZW,延長DN交CH于H,連接首先證明CE

BD,NECH=90°,解直角三角形求出EH,利用三角形中位線定理即可解決問題.

【解答】解：作CH〃AB,連接rw并延長交C8于連接由，

■:BD//CH,B

：.ZB=ZNCH,ZECH+ZA=180°,

VZA=90°,

：.ZECH=ZA=90°,

在△DNB和中，

，ZB=ZNCH

-BN=CN>

ZDNB=ZHNC

：./\DNB^/\HNCCASA）,

：.CH=BD=4,DN=NH,

在RtZ\CE8中，CH=4,CE=3,

￡//=VCH2CE2=V42+32=5'

,:DM=ME,DN=NH,

：.MN=^EH=2.5,

2

故選：A.

6.（鳳山縣期末）如圖，在四邊形ABC。中，ZA=90°,AB=4,M,N分別是邊BC,AB

上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)8重合）點(diǎn)、E,尸分別是線段。M,MN的中點(diǎn)，若線

段EF的最大值為2.5,則AD的長為（）

A.5B.^41C.2.5D.3

【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得出所從而可知DN最大時(shí)，E尸的最大值

2

為2.5,因?yàn)镹與8重合時(shí)。N最大，此時(shí)根據(jù)勾股定理求得

【解答】解：?.?點(diǎn)E,尸分別是線段DM,MV的中點(diǎn)，

：.ED=EM,MF=FN,

:.EF=LDN,

2

.??DN最大時(shí)，EF最大,

:線段E尸的最大值為2.5,

：.DN=2EF=5.

與8重合時(shí)。N最大，

止匕時(shí)DAf=Z)B=^Ar)2+AB2=^AD2+42=5,

：.AD^3.

故選：D.

7.（鄲州區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，ZB=90°,A8=8,BC=6,點(diǎn)〃是對角線AC

的中點(diǎn)，點(diǎn)N是A。邊的中點(diǎn)，連結(jié)MN,若BM=3MN,則線段CD的長是（）

匡

BC

A.上B.3C.妝D.5

33

【分析】首先由勾股定理求得AC的長度，結(jié)合直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得到

X4C,三角形中位線定理得到CD=2MN.

2

【解答】解：如圖，在直角△ABC中，ZB=90°,AB=S,BC=6,則由勾股定理知，

AC=VAB2+BC2=V82+62=1°-

?點(diǎn)N是4￡＞邊的中點(diǎn)，'卜、

.?.BM=LC=5.\7\

27\^

:BM=3MN,/\/

33BC

:點(diǎn)M是對角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊的中點(diǎn)，

MN是△AC。的中位線.

'：CD=2MN=2XL=H.

33

故選：C.

8.（陳倉區(qū)期末）如圖所示，在四邊形ABC。中，AB=CD=4,M、N、尸分別是A。、BC、

的中點(diǎn)，/ABD=20°,/BDC=8Q°,則MN的長是

【分析】作于H,根據(jù)三角形中位線定理求出PM、PN、/MPN,根據(jù)等腰三

角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可.

【解答】解：作PHLMN于H,

'：M,N、尸分別是A￡>、BC、2。的中點(diǎn)，

,\PM=AAB=2,PN=LCD=2,PM//AB,PN//CD,

22

：.ZMPD=ZABD=20°,NBPN=NBDC=80°,PM=PN,

：./MPN=120°

一

?：PM=PN,

：.ZPMN=30°,MH=HN,

BNC

2

由勾股定理得，M//=^pH2_pH2=V3>

:.MN=2MH=2M，

故答案為：2T.

9.（墾利區(qū)期末）如圖，在四邊形A2OC中，E、F、G、8分別為A3、BC、CD、D4的中

點(diǎn)，并且E、F、G、8四點(diǎn)不共線.當(dāng)AC=63￡>=8時(shí)，四邊形EPGW的周長是.

BD

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到FG//EH,FG;=EH,根據(jù)平行四邊形的判定定理和

周長解答即可.

【解答】解：：尸，G分別為8C,CD的中點(diǎn)，

:.FGnBD=4,FG//BD,

2

■:E,H分別為AB,D4的中點(diǎn),

：.EH=^BD=4,EH//BD,

2

J.FG//EH,FG=EH,

四邊形EFGH為平行四邊形，

.,.EF=GH=￡C=3,

2

，四邊形EFGH的周長=3+3+4+4=14,

故答案為：14

10.（商丘四模）如圖，四邊形48CD中，點(diǎn)E、尸分別為A。、8C的中點(diǎn)，延長FE交CD

延長線于點(diǎn)G,交54延長線于點(diǎn)若/BHF與NCGF互余,A8=4,CD=6,則所

的長為—.

【分析】根據(jù)三角形的中位線定理和勾股定理解答即可.

【解答】解：連接8。，取的中點(diǎn)連接EM,FM,

：￡、廠分別為A。、8C的中點(diǎn)，M為8。的中點(diǎn)，

：.EM,MF分別為△AOB、△BCD的中位線，

J.EM//AB,MF//DC,EM=^AB=2,MF=1DC=3,

22

?:MF"DC,

：.ZFGC=ZEFM,

'.,EM//AB,

:.NFEM=NFHB,

；NBHF與NCGF互余,

：.NCGF+/BHF=ZEFM+ZFEM=9O°,

：.ZEMF=18Qa-ZEFM-ZFEM^90°,

二.△EM尸是直角三角形，

???EF=VEM2+FM2=A/22+32=V13,

故答案為：

11.(萊州市期末)如圖，兩個(gè)等腰RtZvlBC和RtZkCEF,點(diǎn)8在CE上，ZABC=ZE=

90°,連接AR取A尸的中點(diǎn)M,連接求證：BM//CF.

【分析】如圖所示，延長A8交B于點(diǎn)D根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到推出

是△A￡)尸的中位線，于是得到結(jié)論.

【解答】證明：如圖所示，延長AB交CF于點(diǎn)。.

ZABC=90°

：.ZCBD=90°

VRtAABC和RtaCEF是等腰直角三角形,

AZACB=ZECF=45°,

,:BC=BC,

:.4ACB咨ADCB(ASA),

：.AB=BD,

:點(diǎn)M是AF的中點(diǎn),

：.AN=FM,

：.BM是乙ADF的中位線，

J.BM//CF.

類型三中位線的構(gòu)造方法總結(jié)

(-).連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線

如圖，點(diǎn)8為AC上一點(diǎn)，分別以AB,為邊在AC同側(cè)作等邊和等邊△BCE,

點(diǎn)尸，M,N分別為AC,AD,CE的中點(diǎn).

(1)求證：PM=PN；

(2)求NMPN的度數(shù).

【分析】(1)連接。C和AE,AE交CD于點(diǎn)M,證明得至〕J4E=OC,

利用中位線的性質(zhì)證明PM=PN；

（2）根據(jù)中位線的性質(zhì)把NMB4+NNPC轉(zhuǎn)化成/MCA+/M4C,根據(jù)/￡>M4=NMCA+

/MAC可知求出NZJMA度數(shù)即可.

【解答】解：（1）連接DC和AE,AE交C。于點(diǎn)

在△ABE和△OBC中，

'AB=BD

<ZABE=ZDBC

BE=BC

:AABEmADBC(SAS).

：.AE=DC.

?.?尸為AC中點(diǎn)，N為EC中點(diǎn)，

：.PN^1.AE.

2

同理可得PM=ADC.

2

所以PM=PN.

(2):尸為AC中點(diǎn)，N為EC中點(diǎn),

J.PN//AE.

NNPC=ZEAC.

同理可得AMPA=ZDCA

：.NMPA+/NPC=ZEAC+ZDCA.

又/￡>QA=ZEAC+ZDCA,

：.ZMR\+ZNPC=ZDQA.

'：AABE咨ADBC,

：.ZQDB^ZBAQ.

：.ZDQA=ZDBA=60°.

：.ZMPA+ZNPC=60°.

：.ZMPN=18O°-60°=120°.

（二）利用角平分線和垂直構(gòu)造中位線

1.（芝景區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB=6,AC=4,AD,AE1分別是角平分線和中線,

過點(diǎn)C作CFLAD于點(diǎn)F,連接EF,則線段EF的長為（)

A

【分析】延長CF交AB于G,根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)得到AG=AC=4,FG=CF,

進(jìn)而求出BG,根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可.

【解答】解：延長b交AB于G,

?.,AZ)為△ABC的角平分線，CG±AD,

AACG是等腰三角形，

；.AG=AC=4,FG=CF,

：.BG=AB-AG=6-4=2,

為△ABC的中線，

是ABCG的中位線，

：.EF=^BG=I,

2

故選：A.

2.(東寶區(qū)校級月考)在△ABC中，點(diǎn)D是A8的中點(diǎn)，CE平分/ACB,AELCE于點(diǎn)E.

(1)求證：DE//BC-,

(2)若AC=5,BC=7,求OE的長.

B

【分析】(1)根據(jù)CE平分NACB,AELCE,運(yùn)用ASA易證明根據(jù)全

等三角形的性質(zhì)，得AE=EF,CF=4C,根據(jù)三角形的中位線定理即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)三角形的中位線定理就可求解.

【解答】解：(1)延長AE交8C于尸，

：CE平分/ACB,AE_LCE于點(diǎn)E,

ZACE=ZFCE,ZAEC=ZFEC=90°,

BC

在△ACE和中，

，ZACE=ZFCE

<CE=EC，

ZAEC=ZFEC=90°

，/\ACE^/\FCE.

：.AE=EF,

?..點(diǎn)。是AB的中點(diǎn),

：.AD=BD,

：.DE是AABF的中位線.

：.DE//BC；

(2)VAACE^AFCE,

：.CF^AC=5,

,：DE是AABF的中位線.

/.Z)E=ABF=A(BC-AC)=A(7-5)=1,

222

故。E的長為1.

(三)倍長法構(gòu)造三角形中位線

(越秀區(qū)校級二模)如圖，△ABC、ABE尸為等腰直角三角形，NABC=/BEF=9Q°,BA

=BC,EB=EF,

連接ARCF,M為AP的中點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)A、F、B共線時(shí)，求證：ME=1CF；

2

(2)如圖2,當(dāng)4、F、8不共線時(shí)，求證：ME=LCF；

2

(3)設(shè)8c=2,請直接寫出BF+AP+CF的最小值.

【解答】(1)證明：如圖1中，延長FE到D,使ED=EF,連接A。、BD,

「△BE尸為等腰直角三角形，/BEF=90°,

：.ZBFE=45°,BELDF,

...BE垂直平分。尸，

：.ZBDE^45°,

...△BDb是等腰直角三角形，

：.BD=BF,ZDBF=90°,

在△AB。和△CB尸中，

rAB=BC

，ZCBF=ZABD>

BD=BF

/.AABD^ACBF(SAS),

：.AD=CF,

為AF的中點(diǎn)，DE=EF,

：.ME是的中位線，

：.ME=^AD,

2

：.ME=XcF.

2

(2)證明：如圖2中，延長莊1到。，使E￡)=EF,連接A。、BD,

?.?△8跖為等腰直角三角形，ZBEF^90°,

.\ZBFE=45O,BEYDF,

8E垂直平分DR

：.ZBDE=45°,

ABDF是等腰直角三角形，

：.BD=BF,ZDBF=9Q°,

ZCBF+ZABF=ZABC=90°,圖2

ZABD+ZABF=ZDBF=90°,

:./CBF=ZABD,

在△ABQ和△C8尸中，

rAB=BC

<ZCBF=ZABD>

BD=BF

:.LABD?ACBF(SAS),

：.AD=CF,

???M為Ab的中點(diǎn)，DE=EF,

：.ME是AADF的中位線,

.\ME=-AD,

2

：.ME=1.CF.

2

(3)解：如圖3中，以C尸為邊在。尸的右側(cè)作等邊△CFM,將尸3繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)60°得到△CME,連接AE,作EH_LAC于"，在EH上取一點(diǎn)。，