第42講直線(xiàn)、平面平行的判定與性質(zhì)

基礎(chǔ)熱身

1.已知平面a〃平面￡,aua,bu￡,則直線(xiàn)a和6的位置關(guān)系是（）

A.平行B.平行或異面

C.平行或相交D.平行或相交或異面

2.已知平面a,直線(xiàn)m,n滿(mǎn)足〃?。，“匚/貝1]“小〃是"加〃a”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

3.若直線(xiàn)。不平行于平面a,則下列結(jié)論成立的是（）

A.平面a內(nèi)不存在與a平行的直線(xiàn)

B.平面a內(nèi)所有直線(xiàn)與a相交

C.平面a內(nèi)所有直線(xiàn)與a異面

D.直線(xiàn)a與平面a至少存在一個(gè)公共點(diǎn)

4.若平面a截三棱錐所得截面為平行四邊形,則該三棱錐中與平面a平行的棱有（）

A.0條B.1條

C.2條D.1條或2條

5.過(guò)正方體ABCD-AiBiCxDi的三個(gè)頂點(diǎn)Ai,G,3的平面與平面ABCD的交線(xiàn)為/,則/與

4G的位置關(guān)系是.

6.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形,E是SA上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E滿(mǎn)足條

件時(shí),SC〃平面EBD.

綜合提升

7.如圖是長(zhǎng)方體被一個(gè)平面所截得到的幾何體,四邊形EFGH為截面，長(zhǎng)方形ABCD為底

面，則四邊形一定是（）

A.梯形B.平行四邊形

C.正方形D.矩形

8.如圖，點(diǎn)A,BCM,N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則下列各圖中，不滿(mǎn)足直線(xiàn)MN〃

A

9.一幾何體的平面展開(kāi)圖如圖所示，其中四邊形A3C。為正方形，瓦口分別為的中

點(diǎn),在此幾何體中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是)

A.直線(xiàn)AE與直線(xiàn)BF異面

B.直線(xiàn)AE與直線(xiàn)DF異面

C.直線(xiàn)E/〃平面PAD

D.直線(xiàn)E/〃平面ABCD

10.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形,Q為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M在棱PC上，且

〃平面則f的值為（）

B.；

4

11

3-2-

11.已知正四棱柱ABCD-ABCQ1中,A3=1,441=2,點(diǎn)尸,。分別是棱班1,A3上的動(dòng)點(diǎn)，則下

列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.任意給定的點(diǎn)P（P不在B點(diǎn)）,存在點(diǎn)。，使得PQ〃平面A1GD

B.任意給定的點(diǎn)Q(Q不在B點(diǎn)),存在點(diǎn)尸，使得P。〃平面AiCiD

C.任意給定的點(diǎn)P,存在點(diǎn)Q,使得CPLOQ

D.任意給定的點(diǎn)Q,存在點(diǎn)尸，使得CPLDvQ

12.(多選題)如圖,透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器A3CD-A1B1CQ1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底

面一邊BC于地面上，再將容器以BC所在直線(xiàn)為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則()

AR

A.有水的部分始終是棱柱

B.四邊形EFG"為矩形且面積不變

C.棱A12始終與水面平行

D.當(dāng)點(diǎn)H在棱CD上且點(diǎn)G在棱CG上(均不含端點(diǎn))時(shí),尸是定值

13.已知在長(zhǎng)方體ABCD-AXB\C\D\中,43=3。=1,441=百,在線(xiàn)段AXD上取點(diǎn)M,在CDi上

取點(diǎn)N,使得直線(xiàn)MV〃平面ACGAi,則線(xiàn)段MN長(zhǎng)度的最小值為.

14.如圖所示，在三棱柱ABC-AiBiCi中,E,￡G,H分別是ABACS山i,ACi的中點(diǎn)，求證：

(1)B,C,H,G四點(diǎn)共面；

(2)平面EFAi〃平面BCHG.

15.如圖，在三棱柱ABC-AiBiCi中，分別為線(xiàn)段AGAG的中點(diǎn).

(1)求證:EF〃平面BCGBi.

(2)在線(xiàn)段BCi上是否存在一點(diǎn)G,使平面E產(chǎn)G〃平面請(qǐng)說(shuō)明理由.

能力拓展

16.在如圖所示的一塊木料中,四邊形ABC。是正方形，尸平面A3CD,尸A=AB=2,點(diǎn)瓦廠

分別是PC,AD的中點(diǎn).

(1)若要經(jīng)過(guò)點(diǎn)E和棱AB將木料鋸開(kāi),在木料表面應(yīng)該怎樣畫(huà)線(xiàn)?請(qǐng)說(shuō)明理由并計(jì)算截面

周長(zhǎng).

(2)若要經(jīng)過(guò)點(diǎn)民瓦廠將木料鋸開(kāi),在木料表面應(yīng)該怎樣畫(huà)線(xiàn)?請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案

1.B［解析］:,平面a〃平面夕，.:平面a與平面/沒(méi)有公共點(diǎn)，又“ua,6uA.：直線(xiàn)。力沒(méi)有公

共點(diǎn)，.:直線(xiàn)a,b的位置關(guān)系是平行或異面.故選B.

2.A［解析］所以當(dāng)m//n時(shí)，小〃a成立，故充分性成立;當(dāng)m//a時(shí),m//n不一定成

立〃與九可能是異面直線(xiàn)，故必要性不成立.所以“相〃是“m〃a”的充分不必要條件，故

選A.

3.D［解析］由于直線(xiàn)〃不平行于平面％所以直線(xiàn)。與平面a相交或直線(xiàn)。在平面。內(nèi)，當(dāng)直

線(xiàn)a在平面a內(nèi)時(shí)，平面a內(nèi)存在與a平行的直線(xiàn)，故A錯(cuò)誤;當(dāng)直線(xiàn)a與平面a相交時(shí)，平面

a內(nèi)存在直線(xiàn)與〃異面，故B錯(cuò)誤;當(dāng)直線(xiàn)。在平面。內(nèi)時(shí)，平面a內(nèi)存在與。平行的直線(xiàn)，故C

錯(cuò)誤;由直線(xiàn)a與平面a相交或直線(xiàn)a在平面a內(nèi),得直線(xiàn)a與平面a至少存在一個(gè)公共點(diǎn),

故D正確.故選D.

4.C［解析］如圖所示，在三棱錐中，平面a即平面EFGH,則四邊形EFG8為平行四邊

形,，EF〃GH.:用平面BCZ),G〃u平面8C。,.：￡/〃平面BCD,又EFu平面AC。,平面BCD

A平面ACD=CD,.,.EF//CD,又E尸u平面EFGH,CD(t平面EFGH,.：CO〃平面EFGH.同理必8

〃平面EFGH,故與平面a(平面EFG”)平行的棱有2條.

5.平行［解析］因?yàn)檫^(guò)4,G乃三點(diǎn)的平面與平面AiBiCQi的交線(xiàn)為4G,與平面ABC。的

交線(xiàn)為/,且平面ABC?！ㄆ矫鍭13C1O1,所以l//AiCi.

6.SE=EA［解析］當(dāng)點(diǎn)E的位置是棱SA的中點(diǎn)時(shí),SC〃平面EBD證明如下:連接AC,設(shè)AC

與BD的交點(diǎn)為。，連接EQ：?四邊形ABCD是平行四邊形，.：點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，又E是SA

的中點(diǎn),.：是△SAC的中位線(xiàn),.：0E〃SC.：SCC平面E220EU平面.：SC〃平面EBD.

故答案為SE=EA.

7.B［解析］因?yàn)槠矫鍭8FE〃平面CG”。,且平面EFGHC平面平面EFGJ7n平

面CGHD=GH,所以E尸〃GH,同理可得EH〃FG,所以四邊形EFG"一定是平行四邊形.故選

B.

8.D［解析］對(duì)于A,如圖①由正方體的性質(zhì)可得〃所〃ACMNC平面ABGACu平面

A2C,所以直線(xiàn)MN〃平面ABC,故A滿(mǎn)足;對(duì)于B,作出完整的截面ADBCEF,如圖②由正方體

的性質(zhì)可得MN〃AZ),施W平面ABCAOu平面A8C,所以直線(xiàn)MN〃平面A8C,故B滿(mǎn)足;對(duì)于

C,作出完整的截面A8CZ),連接BD,如圖③，由正方體的性質(zhì)可得MN//BRMNC平面ABC,BDu

平面ABC,所以直線(xiàn)MN〃平面4BC,故C滿(mǎn)足;對(duì)于D,作出完整的截面，如圖@中六邊形

A8NMHC,可得在平面ABC內(nèi)，不能得出〃平面4BC,故D不滿(mǎn)足.故選D.

9.B［解析］由題意知,該幾何體是底面為正方形的四棱錐，如圖所示，因?yàn)槭?平面AEFDM

平面AE/*/不在直線(xiàn)AE上，所以直線(xiàn)AE與直線(xiàn)8/異面，故A中結(jié)論正確;易得

〃AD,所以EF〃A。,所以EF與AD共面5AE與DF共面，故B中結(jié)論錯(cuò)誤;因?yàn)镋F〃AD,EF4

平面PAZ),AOu平面PA。,所以直線(xiàn)EF//平面PA。,故C中結(jié)論正確;因?yàn)椤?過(guò)平面ABCD,ADc

平面ABCD,所以直線(xiàn)所〃平面ABC。,故D中結(jié)論正確.故選B.

10.C［解析］如圖，連接AC與BD,AC交BQ,BD分別于點(diǎn)N,O,因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊

形,所以點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，也是BD的中點(diǎn)，又點(diǎn)。是AO的中點(diǎn)，所以點(diǎn)N是△48。的重心,

所以AN=|AO=Ic.連接MN,因?yàn)镻A〃平面MQ8,PAu平面PAC,平面PACC平面MQB=MN,

所以PA〃腦V,所以片翳=差苔故選C.

H.C［解析］對(duì)于A,連接BCAC,過(guò)P作尸M〃2iC交BC于M如圖⑦，因?yàn)锽C〃4D,所以

〃4平面平面4。。,所以PM〃平面4CQ,過(guò)M作MQ〃AC,交AB

于。，因?yàn)锳C〃AiG,QMC平面4CbD,4Gu平面4G。,所以。河〃平面AC。,所以平面

〃平面PQM,又PQu平面尸2M所以P?！ㄆ矫鍭C。,故A中結(jié)論正確;同理可判斷B

中結(jié)論正確;連接ADi,3G,如圖②，因?yàn)閷?duì)AB上任意一點(diǎn)0Q10U平面ACLBA,過(guò)C作CPX

BCi交BB\于點(diǎn)P,由A4i=2,AB=8C=l,所以此時(shí)點(diǎn)P一定在棱BBi上，在正四棱柱

ABCD-AiBiCiDi中，可得AB_L平面BCiC2,CPu平面SGCB,所以CP±AB,XBC^AB=B,

所以CP,平面ACiBA,所以CPJ_AQ,故D中結(jié)論正確;對(duì)于任意給定的點(diǎn)P,CP與BCi不總

垂直，當(dāng)CP與BQ不垂直時(shí)，不存在點(diǎn)。，使得O。,故C中結(jié)論錯(cuò)誤.故選C.

12.ACD［解析］對(duì)于A選項(xiàng)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中有水的部分有兩個(gè)平面相互平行且是全等的多

邊形，其余每相鄰兩個(gè)面的交線(xiàn)也相互平行，而這些面都是平行四邊形，所以有水的部分始終

是棱柱，故A正確;對(duì)于B選項(xiàng)，易知四邊形EFG”始終為矩形，從題圖中可以發(fā)現(xiàn)，矩形EFGH

的邊EH的長(zhǎng)不變,EF是變化的,故矩形EFGH的面積不是定值，故B錯(cuò)誤;對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?/p>

AiZ)i始終與BC平行，而B(niǎo)C始終與水面平行,所以棱AiDi始終與水面平行，故C正確;對(duì)于D

選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)”在棱。上且點(diǎn)G在棱CCi上(均不含端點(diǎn))時(shí)，水體(三棱柱)的底面為三角形，因

為水的體積是不變的，高始終是8C,也是不變的,所以底面面積，即扣E?BF也是不變的，即

BE?BF為定值，故D正確.故選ACD.

13.手［解析］如圖，作于點(diǎn)跖,作NNJC。于點(diǎn)M,則跖％〃平面ACG4,連接

MiNi,:'MN〃平面ACGAi,腦0nMN=M?:平面腦0MN〃平面ACGA,又平面MMiNiNC

平面平面ACCiAiA平面ABCD^AC,/.MiNi//AC.VAD^DC,

。跖=OM=x，貝ij岳，在直角梯形MNNiMi

,NiMi=V2x,W2=(V2x)2+(V3-2V3x)2=14(x-丁+”當(dāng)時(shí)取得最小值為呼.

14.證明:⑴:G,H分別是AiSAG的中點(diǎn)，

是△4SG的中位線(xiàn)，.:G8〃SCi,

又BC〃BC,；.GH〃BC,；.B,C,H,G四點(diǎn)共面.

⑵；E,F分別為AB2C的中點(diǎn)，.：所〃BC,又E網(wǎng)平面BCHG,BCu平面BCHG,/.EF//^

BCHG.

:GE分別為421/3的中點(diǎn)AH〃AB且4向=&2,.：4G〃防且4G=￡5.：四邊形4EBG

是平行四邊形,.：4E〃GA:AiE。平面BCHG,G8u平面BCHG,〃平面BCHG,又AiEC

EF=E,

.：平面EFAi〃平面BCHG.

15.解:⑴證明:因?yàn)?F分別為線(xiàn)段AGAG的中點(diǎn)，所以即〃4A.因?yàn)樗訣F//

BiB.

又因?yàn)镋RJ平面BCCiS,B8u平面BCCB,

所以所〃平面BCG即

⑵取BCi的中點(diǎn)G,連接GE,GF.

因?yàn)镋為AG的中點(diǎn)，所以GE〃A5因?yàn)镚EC平面平面4881Al，所以GE〃平面

ABBiAi，

同理可得,￡7”平面又因?yàn)镋FClEG=E,EG,EFc^-^EPG,所以平面EPG〃平面

ABBiAi，

故在線(xiàn)段BCi上存在一點(diǎn)G,使平面EFG〃平面ABBrAi.

16.解:⑴取P￡)的中點(diǎn)G,連接EG,AG,如圖,EG4G即為所求畫(huà)線(xiàn).

理由如下：

在△PC。中,EG〃CZ),在正方形A8CD中,A8〃CD,所以EG〃A氏則A,B,E,G四點(diǎn)共面，

故平面ABEG為過(guò)點(diǎn)E和棱AB的平面.因?yàn)镋,G分別為PC,PD的中點(diǎn)，所以EG—CD—AB,

所以截面四邊形A8EG是梯形，其中AB=2,G￡=1,在RtAPAD中,PA=AO=2,AG，PD,所以

AG=&，在△P8C中，因?yàn)锽C±AB,BC±PA,ABnPA=4AB,PAu平面PAB,所以8C_L平面PAB,

又P8u平面PAB,所以P8_LBC,P8=2&,所以B￡=|yJPB2+BC2=V3,

所以截面周長(zhǎng)為AB+GE+AG+B￡=V3+V2+3.

(2)方法一:設(shè)BC,CE的中點(diǎn)分別為M,N,連接MN,DM,DN,^\MN〃BE,MNu平