第08講直線的方程（一）：直線方程的幾種形式

目錄

第08講直線的方程（一）：直線方程的幾種形式.................................................1

一、直線的點(diǎn)斜式、斜截式方程.................................................................2

基礎(chǔ)知識(shí)...................................................................................2

考點(diǎn)1點(diǎn)斜式方程.........................................................................2

考點(diǎn)2斜截式方程.........................................................................3

二、直線的兩點(diǎn)式、截距式方程.................................................................4

基礎(chǔ)知識(shí)...................................................................................4

考點(diǎn)3兩點(diǎn)式方程.........................................................................5

考點(diǎn)4截距式方程.........................................................................5

三、直線的一般式方程.........................................................................7

基礎(chǔ)知識(shí)...................................................................................7

考點(diǎn)5一般式方程.........................................................................8

考點(diǎn)6直線一般式方程與其他形式之間的互化................................................8

四、方向向量與直線的參數(shù)方程................................................................10

基礎(chǔ)知識(shí)..................................................................................10

考點(diǎn)7求解直線的方向向量...............................................................10

考點(diǎn)8由直線的方向向量求直線方程........................................................11

五、課后作業(yè).................................................................................12

單選題....................................................................................12

多選題....................................................................................13

填空題....................................................................................13

解答題....................................................................................13

、直線的點(diǎn)斜式、斜截式方程

基礎(chǔ)知識(shí)

1.直線的點(diǎn)斜式方程

(1)直線的點(diǎn)斜式方程的定義：

設(shè)直線1經(jīng)過一點(diǎn)尸(X。，斜率為k,則方程〉—y°=k(x—X。)叫作直線1的點(diǎn)斜式方程.

(2)點(diǎn)斜式方程的使用方法：

①已知直線的斜率并且經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)時(shí)，可以直接使用該公式求直線方程.

②當(dāng)已知直線的傾斜角時(shí)，若直線的傾斜角a=90°,則直線的斜率不存在，其方程不能用點(diǎn)斜式表示，但

因?yàn)?上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于xl,所以直線方程為x=xl；若直線的傾斜角"9?！?則直線的斜率無=tana

直線的方程為了一北=(tana)?(x-x0)

2.直線的斜截式方程

(1)直線的斜截式方程的定義：

設(shè)直線1的斜率為k,在y軸上的截距為b,則直線方程為y=kx+b,這個(gè)方程叫作直線1的斜截式方程.

yi

/@0,防

O*

(2)斜截式方程的使用方法：

已知直線的斜率以及直線在y軸上的截距時(shí)，可以直接使用該公式求直線方程.

考點(diǎn)1點(diǎn)斜式方程

【例1.1](23-24高二上?河南鄭州?期末)過點(diǎn)P(2,-l),且傾斜角為90。的直線方程為()

A.y=-1B.x=2C.y=2D.%=-1

【例1.2](23-24高二上.四川達(dá)州.期末)經(jīng)過點(diǎn)尸(2,2)且傾斜角為:的直線方程是()

A.y=xB.y=x-2C.y=—%+4D.y=x+2

【變式1.1］（23-24高;上.甘肅白銀.期末）若直線/過點(diǎn)（1,3）且與斜率為4的直線垂直，則直線/的方程為

（）

A.%+4y—13=0B.4x—y—1=0

C.x+4y—8=0D.4%—y—15=0

【變式1.2］（23-24高二上?山東東營?期末）經(jīng)過點(diǎn)（1,0）,傾斜角為150°的直線方程是（）

AI1DV3.cV3V3?V3V3

A.y=—v3x+1B.y=-----x+1C.y=-----xH——D.y=------x------

/3/33J33

考點(diǎn)2斜截式方程

【例2.1］（23-24高二上.重慶南岸?期中）經(jīng)過點(diǎn)4（2,3）,且傾斜角為甘勺直線的斜截式方程為（）

4

A.y=x+1B.y=x—1C.y=-x—1D.y=—x+1

:?全國.課后作業(yè)）下面四個(gè)直線方程中，可以看作是直線的斜截式方程的是（）

A.x=3B.y=~5

C.■—xD.x~~4y1

【變式2.1］（23-24高:上?全國.課后作業(yè)）與直線y=-X+2垂直，且在x軸上的截距為2的直線的斜截

式方程為（）.

A.y=x+2B.y=x-2

C.y=—x+2D.y=—%+4

【變式2.2］（23-24高二上?四川南充?開學(xué)考試）與直線2%-y-l=0垂直，且在y軸上的截距為4的直線

的斜截式方程是（）

A.y=--%+4

：2

1_1

B.y=--%+4或y=--%—4

C.zy=2-x+4

D.y=-x+4^y=-x—4

二、直線的兩點(diǎn)式、截距式方程

基礎(chǔ)知識(shí)

1.直線的兩點(diǎn)式方程

(1)直線的兩點(diǎn)式方程的定義：

?一%=X—X1

設(shè)直線1經(jīng)過兩點(diǎn)打(凡兄，尸2但,為)(％分2,M初2),則方程外一功無2一沏叫作直線1的兩點(diǎn)式方程.

(2)兩點(diǎn)式方程的使用方法：

①已知直線上的兩個(gè)點(diǎn)4(加為，尸2(句,為)，且修方2,凹抄2時(shí)，可以直接使用該公式求直線方程.

②當(dāng)而="2,兇￥為時(shí)，直線方程為》=兩(或X=X2).

③當(dāng)X#X2,M=%時(shí)，直線方程為了=w(或了=乃).

2.直線的截距式方程

(1)直線的截距式方程的定義：

-+^=1

設(shè)直線1在X軸上的截距為a,在y軸上的截距為b,且a#),b#0,則方程"b叫作直線1的截距式

方程.

5(0,6)/

A(a,0)

~O~*

(2)直線的截距式方程的適用范圍：

選用截距式方程的條件是存0,b#0,即直線1在兩條坐標(biāo)軸上的截距非零，所以截距式方程不能表示

過原點(diǎn)的直線，也不能表示與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線.

(3)截距式方程的使用方法：

①已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都不為0時(shí)，可以直接使用該公式求直線方程.

②已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都為0時(shí)，可設(shè)直線方程為丫=1?,利用直線經(jīng)過的點(diǎn)的

坐標(biāo)求解k,得到直線方程.

考點(diǎn)3兩點(diǎn)式方程

?24高二上?河北邢臺(tái)?階段練習(xí)）下列直線方程是兩點(diǎn)式方程的是（）

A.y=kxbB.y—%=_2乂0)

D-TV=豐*2，月*%)

yz-yi%2Tl

【例1.2]（22-23高二上?浙江溫州?期末）過兩點(diǎn)力（3,-5）,B（-5,5）的直線在y軸上的截距為（）

A5

A.--BcD

4-;--I-1

【變式1.1]（23-24高二上?寧夏石嘴山?階段練習(xí)）過（1,2）,（5,3）的直線方程是（）

Ay—2x—1—y—2x—1X3cx—2.y—3

A.--=—B.--=—CZLI=~D.--=---

5—13—13—25—15—15—35-22-3

，加耳課后作業(yè)）經(jīng)過兩點(diǎn)Qi，%）、。2，%）的直線方程都可以表示為（）

A.x-xi_y-yiB.%一％2_yf

x2-x±y2-yiyi-y2

1

C.(y-yi)(x2-*i)=(x-%i)(y2-yJD-y一月=濘0-/)

12—

考點(diǎn)4截距式方程

【例2.1】（23-24高二上?山西太原?期末）直線y=4%+2在汽軸和y軸上的截距分別為（）

1i

A22C.一,-2D.-2

-1B?-522

【例2.2】（23-24高二上?北京順義?期中）過點(diǎn)4（1,2）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程

為（）

A.%—y+3=0B.%+y—3=0

C.2x—y=0或％—y+1=0D.2%+y=?；颍?y+1=0

【變式2.11（23-24高二上?天津和平?期中）經(jīng)過點(diǎn)（1,3）且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是

(

A.%+y=4B.y=x+2

C.y=3%或久+y=4D.y=3%或y=%+2

【變式2.2]（22-23高二上?甘肅金昌?階段練習(xí)）已知直線/過且在兩坐標(biāo)軸上的截距為相反數(shù),

那么直線/的方程是（）.

A.%+2y=0或％—y+3=0B.%—y—1=0或久一y+3=0

C.%—y—1=0或％+y—3=0D.%+2y=0或％+y—3=0

三、直線的一般式方程

基礎(chǔ)知識(shí)

1.直線的一般式方程

(1)直線的一般式方程的定義：

在平面直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于x,y的二元一次方

程Ax+By+C=O(其中A.B不同時(shí)為0)叫作直線的一般式方程.

對(duì)于方程Ax+By+C=0(A,B不全為0)：

_AC_AC

當(dāng)BW0時(shí)，方程Ax+By+C=0可以寫成丫=Bx⑶，它表示斜率為臺(tái)，在y軸上的截距為⑶的直線.

特別地，當(dāng)A=0時(shí)，它表示垂直于y軸的直線.

_C

當(dāng)B=0時(shí)，A?0,方程Ax+By+C=0可以寫成x=它表示垂直于x軸的直線.

(2)一般式方程的使用方法：

直線的一般式方程是直線方程中最為一般的表達(dá)式，它適用于任何一條直線.

2.辨析直線方程的五種形式

方程形式直線方程局限性選擇條件

不能表示與X軸垂①已知斜率；②已知

點(diǎn)斜式y(tǒng)-yo=k(x-xo)

直的直線一點(diǎn)

不能表示與X軸垂①已知在y軸上的截距；

斜截式y(tǒng)=kx+b

直的直線②已知斜率

不能表示與X軸、①已知兩個(gè)定點(diǎn)；②已知

兩點(diǎn)式

y—yi=7一二

y軸垂直的直線兩個(gè)截距

V2—yi*2—2i

不能表示與X軸垂①已知兩個(gè)截距;②已知

截距式-+^=1直、與y軸垂直、過直線與兩條坐標(biāo)軸圍成

ab

原點(diǎn)的直線的三角形的面積

Ax+By+C=0求直線方程的最后結(jié)果

一般式表示所有的直線

(A,B不全為0)均可以化為一般式方程

考點(diǎn)5一般式方程

廠題練習(xí))過點(diǎn)(一3,0)和(0,4),的直線的一般式方程為()

A.4%+3y+12=0B.4%+3y—12=0

C.4%—3y+12=0D.4%—3y—12=0

【例1.2](21-22高二上?北京通州.期中)已知直線I經(jīng)過點(diǎn)4(1,1),且斜率為2,則直線/的一般式方程為

()

A.y-1=2(%—1)B.y=2%—1C.2x—y—1=0D.x—2y+1=0

【變式1.1](2024高二上.全國.專題練習(xí))根據(jù)下列條件求直線的一般式方程.

(1)直線的斜率為2,且經(jīng)過點(diǎn)4(1,3)；

(2)斜率為百，且在y軸上的截距為4；

⑶經(jīng)過兩點(diǎn)4(2,—3),5(-1,-5)；

(4)在軸上的截距分別為2,-4.

【變式1.2](23-24高二上?湖北?期中)求分別滿足下列條件的直線Z的一般式方程.

(1)斜率是￡且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是6；

(2)經(jīng)過點(diǎn)(4,-3),且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等.

考點(diǎn)6直線一般式方程與其他形式之間的互化

根據(jù)條件寫出下列直線的方程，并化成一般式：

(1)直線的斜率為2,在y軸上的截距是-5；

(2)直線的傾斜角是直線y=-V3x+1的傾斜角的一半，且過點(diǎn)(-8,2).

【例2.2](23-24高二上?湖北武漢?階段練習(xí))求分別滿足下列條件的直線/的方程，化成一般形式.

(1)經(jīng)過點(diǎn)B(-2,0),且與x軸垂直；

⑵斜率為一4,在y軸上的截距為7；

(3)經(jīng)過兩點(diǎn).

【變式2.1](23-24高二上?河南南陽?階段練習(xí))根據(jù)下列條件，寫出下列直線方程的一般式：

(1)經(jīng)過點(diǎn)(0,2),且傾斜角為三

(2)經(jīng)過點(diǎn)(1,2),且一個(gè)方向向量為寸=(1,百)

(3)在△力BC中，點(diǎn)A(8,4),B(4,—l),C(—6,3),求BC邊上中線所在直線的方程

:?全國?專題練習(xí))(1)已知直線/的一般式方程為2x—3y+6=0,請(qǐng)把一般式方

程寫成為斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐標(biāo)軸上的截距；

(2)根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式.

①斜率是—經(jīng)過點(diǎn)4(8,—2)；

②經(jīng)過點(diǎn)B(4,2),平行于x軸；

③在x軸和y軸上的截距分別是|,-3；

④經(jīng)過兩點(diǎn)匕(3,—2),。2(5,—4)

四、方向向量與直線的參數(shù)方程

基礎(chǔ)知識(shí)

1.方向向量與直線的參數(shù)方程

除了直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式方程外，還有一種形式的直線方程與向量有緊密的

聯(lián)系，它由一個(gè)定點(diǎn)和這條直線的方向向量唯一確定，與直線的點(diǎn)斜式方程本質(zhì)上是一致的.

如圖1,設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)尸a。，y。），v=（m,n）是它的一個(gè)方向向量，P（x,y）是直線l上的任意一點(diǎn)，則向量入尸

->---->->

與V共線.根據(jù)向量共線的充要條件，存在唯一的實(shí)數(shù)t,使尸。尸=”，即（X—X。）—%）=t（m,n）,所以

x=xQ+mt

y=y<>+nt

{①.

在①中，實(shí)數(shù)t是對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù).

由上可知，對(duì)于直線1上的任意一點(diǎn)P（x,y）,存在唯一實(shí)數(shù)t使①成立；反之，對(duì)于參數(shù)t的每一個(gè)確

定的值，由①可以確定直線1上的一個(gè)點(diǎn)P（x,y）.我們把①稱為直線的參數(shù)方程.

考點(diǎn)7求解直線的方向向量

【例1.1]（23-24高二上?四川綿陽?期末）直線2x—3y+l=0的一個(gè)方向向量是（）

A.(3,2)B.(2,3)C.(3,-2)D.(2,-3)

【例1.2】（23-24高;匕江西?階段練習(xí)）已知直線V5x+2y—l=0的一個(gè)方向向量為5=（1,根），則相

的值為（）

A?竽B.一誓C.苧D.-f

【變式1.1]（23-24高二上?山西呂梁?階段練習(xí)）直線2x+y+2=0的一個(gè)方向向量為（）

A.(1,-2)B.(0,-2)C.(1,2)D.(2,1)

【變式1.21（23^24高一一上叫川H貢?期末）已知直線，的方程為3x+舊y+1=0,則下列說法正確的是（）

A.傾斜角為120°B.傾斜角為150°

C.方向向量可以為（-g,1）D.方向向量可以為（3次3）

考點(diǎn)8由直線的方向向量求直線方程

「上！過點(diǎn)4（1,4）的直線的方向向量為萬=（1,2）,則該直線方程為（）

A.2%—y+2=0B.2%+y—6=0

C.%—2y+7=0D.x+y—5=0

已知直線/的一個(gè)方向向量元=（-1,2）,且過點(diǎn)（一1,2）,則直線/的方

程為（）

A.2x+y=0B.x—2y+5=0C.x+2y—3=0D.2x—y+4—0

【變式2.1]（23-24高二下.河南.開學(xué)考試）已知經(jīng)過點(diǎn)（2,-1）的直線/的一個(gè)方向向量為（1,2）,則/的方程

為（）

A.%—2y—4=0B.2x—y—5=0

C.%+2y=0D.2%+y—3=0

【變式2.2]（22-23高二上?山西運(yùn)城?階段練習(xí)）已知直線2：（2m+1）%+（m+l）y+m=0經(jīng)過定點(diǎn)尸,

直線經(jīng)過點(diǎn)尸，且的方向向量五=（3,2）,則直線？的方程為（）

A.2x—3y+5=0B.2%—3y—5=0

C.3%—2y+5=0D.3x—2y—5=0

五、課后作業(yè)

單選題

1.”過點(diǎn)M（l,2）且傾斜角為45。的直線方程為（）

A.y=x—1B.y=x+1C.y=—%+3D.y=—x—1

2.（23-24高二上?山西大同?期末）直線/過點(diǎn)4（4,5）,8（1,-1）,則直線［在y軸上的截距是（）

.3

A.一B.3C-D.-3

2

3.（23-24高二上.安徽滁州.期末）在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，直線J-力=1在丫軸上的截距為（）

48

A.-8B.8c3D-A

4.全國?專題練習(xí)）經(jīng)過兩點(diǎn)（%"1）,（小,力）的直線方程都可以表示為（）

x-xy-yt

A.±

y2-yi

B.x-x2y-y2

yi-y2

(y-%)(%2-1i)=(%—%i)(y-%)

c.2

D.丫一為一為一當(dāng)

一％

X~X1%21

5.（23-24高二下?河南?階段練習(xí)）過原點(diǎn)且與直線2%+y-1=0垂直的直線方程為（）

A.y=2xB.y=—2x

C.y=-xDc.y=——1x

/2:2

6.（23-24高二上?河北邢臺(tái)?期末）已知經(jīng)過點(diǎn)（3,1）的直線2的一個(gè)方向向量為（3,2）,貝取的方程為（）

A.3%+2y—11=0B.2%—3y—3=0

C.2%+3y-9=0D.3%—2y—7=0

7.（23-24高二上.廣東佛山.期末）斜率為-1,且經(jīng)過點(diǎn)（1,-1）的直線方程為（）

A.3%+4y-1=0B.3%+4y+1=0

C.3%-4y-7=0D.3%—4y—1=0

8.（2023高二江蘇?專題練習(xí)）直線/的傾斜角是直線5%+12