第12講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

目錄

第12講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系...........................................................1

一、直線與圓的位置關(guān)系........................................................................2

基礎(chǔ)知識(shí)...................................................................................2

考點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系.................................................................5

考點(diǎn)2求解圓的切線問(wèn)題及切線方程........................................................6

考點(diǎn)3圓的弦長(zhǎng)...........................................................................8

考點(diǎn)4直線與部分圓的相交................................................................10

考點(diǎn)5直線與圓有關(guān)的最值................................................................13

二、圓與圓的位置關(guān)系.........................................................................17

基礎(chǔ)知識(shí)..................................................................................17

考點(diǎn)6圓與圓的位置關(guān)系..................................................................20

考點(diǎn)7由圓與圓的位置關(guān)系確定參數(shù).......................................................21

考點(diǎn)8兩圓相切..........................................................................22

考點(diǎn)9兩圓的公共弦......................................................................25

考點(diǎn)10直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用................................................27

三、課后作業(yè).................................................................................32

單選題....................................................................................32

多選題....................................................................................34

填空題....................................................................................36

解答題....................................................................................37

一、直線與圓的位置關(guān)系

基礎(chǔ)知識(shí)

1.直線與圓的位置關(guān)系及判定方法

(1)直線與圓的位置關(guān)系及方程組的情況如下:

位置相交相切相離

交點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)零個(gè)

^

圖形

d與r的關(guān)系d<rd=rd>r

方程組有兩組不

僅有一組解無(wú)解

解的情況同的解

(2)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法

①代數(shù)法：通過(guò)聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)研究，若有兩組不同的

實(shí)數(shù)解，即則直線與圓相交；若有兩組相同的實(shí)數(shù)解，即、=0,則直線與圓相切；若無(wú)實(shí)數(shù)解，即

A<o,則直線與圓相離.

②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來(lái)判斷，當(dāng)d<r時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d=i?時(shí)，直線與圓

相切；當(dāng)d>r時(shí)，直線與圓相離.

2.圓的切線及切線方程

(1)自一點(diǎn)引圓的切線的條數(shù)：

①若點(diǎn)在圓外，則過(guò)此點(diǎn)可以作圓的兩條切線；

②若點(diǎn)在圓上，則過(guò)此點(diǎn)只能作圓的一條切線，且此點(diǎn)是切點(diǎn)；

③若點(diǎn)在圓內(nèi)，則過(guò)此點(diǎn)不能作圓的切線.

(2)求過(guò)圓上的一點(diǎn)(X。，為)的圓的切線方程：

￡

①求法：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k（際°）,則由垂直關(guān)系可知切線斜率為不，由點(diǎn)斜式方程可求

得切線方程.如果k=0或k不存在，則由圖形可直接得切線方程.

②重要結(jié)論：

a.經(jīng)過(guò)圓產(chǎn)+必=/上一點(diǎn)pGo,%）的切線方程為=/.

2

b.經(jīng)過(guò)圓（工一。）2+（N—b）2="上一點(diǎn)pGo,%）的切線方程為（龍。一。）（x—a）+（y0—6）（y—6）=r

,Inx+xo,F.y+%,口

c.經(jīng)過(guò)圓'+y2+Dx+Ey+F=O上一點(diǎn)pG”j的切線方程為22

=0

3.圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題

設(shè)直線1的方程為產(chǎn)kx+b,圓C的方程為（X—XoF+S一%）2=",求弦長(zhǎng)的方法有以下幾種：

（1）幾何法

如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長(zhǎng)1三者具有關(guān)系式：\2’.

X-----

C\

—Id，

AD3

⑵代數(shù)法

將直線方程與圓的方程組成方程組，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（%，M）,B（X2，為）.

①若交點(diǎn)坐標(biāo)簡(jiǎn)單易求，則直接利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解.

y=kx+b

（X—X（））2-1-（V__V）2—丫2

{一消元后得一元二次方程，由一元

二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可得4+小"「X2或乃?處的關(guān)系式，通常把\AB\=yi+F|x1-x2|或

M5I=A/I+T2

Vk叫作弦長(zhǎng)公式.

4.解與圓有關(guān)的最值問(wèn)題

（1）利用圓的幾何性質(zhì)求最值的問(wèn)題

求圓上點(diǎn)到直線的最大值、最小值，需過(guò)圓心向直線作垂線.

①如圖2-5-1-4①，當(dāng)直線1與圓C相交時(shí)，最小距離為0,最大距離為AD=r+d.其中r為圓的半徑，d

為圓心到直線的距離；

②如圖2-5-1-4②，當(dāng)直線1與圓C相切時(shí)，最小距離為0,最大距離為AD=2r；

③如圖2-5-1-4③，當(dāng)直線1與圓C相離時(shí)，最小距離為BD=d-r,最大距離為AD=d+r.

圖2-5-1-4

(2)利用直線與圓的位置關(guān)系解決最值(取值范圍)問(wèn)題

解析幾何中的最值問(wèn)題一般是根據(jù)條件列出所求目標(biāo)一函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選

用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應(yīng)用不等式求出其最值(取值范圍).對(duì)于圓的最值問(wèn)題，要利用圓的特殊幾

何性質(zhì)，根據(jù)式子的幾何意義求解，這常常是簡(jiǎn)化運(yùn)算的最佳途徑.

y-b

①形如u=X一"的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題.

②形如t=ax+by的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題.

③形如(龍―°+3一°)°的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題.

(3)經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦就是經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的直徑，過(guò)這點(diǎn)和最長(zhǎng)弦垂直的弦就是最短弦.

5.直線與圓的方程的應(yīng)用

(1)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：

①審題：認(rèn)真審題，明確題意，從題目中抽象出幾何模型，明確題中已知和待求的數(shù)據(jù)；

②建系：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)及已知條件，求出幾何模型的方程；

③求解：利用直線、圓的性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)求解；

④還原：將運(yùn)算結(jié)果還原為對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解釋.

(2)建系原則

建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系要把握兩個(gè)原則：

①對(duì)稱(chēng)性原則.可以選擇對(duì)稱(chēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸所在的直線為坐標(biāo)軸.到兩個(gè)定點(diǎn)的距離問(wèn)題，可

以選擇兩個(gè)定點(diǎn)所在的直線以及線段的垂直平分線為坐標(biāo)軸等.有兩條相互垂直的直線的問(wèn)題則可選其為坐

標(biāo)軸.

②集中性原則.可以讓曲線上盡可能多的特殊點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.如與三角形有關(guān)的問(wèn)題，可以考慮將三角形的三

個(gè)頂點(diǎn)全部放在坐標(biāo)軸上.

考點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系

【例1.1](23-24高一":廣西南丁?階段練習(xí))直線2x+y+4=0與圓/+y2—2y—4=0的位置關(guān)系

為()

A.相交且過(guò)圓心B.相交且不過(guò)圓心

C.相切D.相禺

【解題思路】求出圓心到直線的距離，與半徑比較大小，即可得到結(jié)論.

【解答過(guò)程】圓/+y2-2y-4=0,即/+(y-1)2=5,

其圓心坐標(biāo)為(0,1),半徑為r=有，

圓心到直線2x+y+4=0的距離d==V5=r,

直線與圓的位置關(guān)系為相切.

故選：C.

直線hy=x+2與圓C：x2+(y-I)2=5的位置關(guān)系是

()

A.相交B.相切C.相離D.不確定

【解題思路】根據(jù)圓心到直線的距離判斷即可.

【解答過(guò)程】圓C：x2+(y-I)2=5的圓心C(0,l),半徑r=V5,

故圓心到直線的距離d==?<通，

所以直線與圓相交，

故選：A.

若直線/:ax+y=1與圓光2+y2=i相切，貝ija的值是()

A.[B.-]C.0D.[或0

【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合圓心到直線的距離等于圓的半徑，列出方程，即可求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€Z:a￡+y=1與圓/+y2=1相切，

可得圓心到直線的距離等于圓的半徑，即舄=1,解得a=0.

故選：C.

【變式1.2](23-24高二上?江蘇連云港?階段練習(xí))設(shè)a,6為實(shí)數(shù)，若點(diǎn)P(a,b)在圓/+y2=1外，則直線

ax+by-1與圓/+丫2=]的位置關(guān)系是()

A.相離B.相切C.相交D.不能確定

【解題思路】根據(jù)點(diǎn)在圓外可得+房>1,即可利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.

【解答過(guò)程】點(diǎn)P(a,b)在圓d+y2=1外，故c?+b2>1,

圓心(0,0)到直線的距離為言^<1=r,故直線與圓相交，

故選：C.

考點(diǎn)2求解圓的切線問(wèn)題及切線方程

【例2.1](23-24高一上?河北承德?階段練習(xí))過(guò)點(diǎn)P(2,3)引圓*2+二一2X-4y+4=0的切線,其方程

是()

A.x—2B.12x—5y+9=0

C.x—2或y—3D.x=3或y=2

【解題思路】求出圓心和半徑，考慮切線的斜率不存在和存在兩種情況，結(jié)合圓心到直線距離等于半徑，

得到方程，求出答案.

【解答過(guò)程】根據(jù)題意，圓/+/一2久一4y+4=0,即(x-1)2+(y—2)2=1,

其圓心為(1,2),半徑r=l；過(guò)點(diǎn)P(2,3)引圓/+y2—2久―4y+4=0的切線，

若切線的斜率不存在，切線的方程為％=2,符合題意；

若切線的斜率存在，設(shè)其斜率為匕則有y-3=似久一2),即kx-y+3-2k=0,

則有號(hào)=1,解得k=0,此時(shí)切線的方程為y—3=0(x—2),即y=3.

綜上：切線的方程為x=2和y=3.

故選：C.

【例2.2](23-24高三上?云南曲靖?階段練習(xí))過(guò)點(diǎn)P(0,2)作圓C:/—4x+y2+3=0的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)

為A,B,則切點(diǎn)弦的長(zhǎng)度為()

【解題思路】先求|PC|以及切線長(zhǎng)，再根據(jù)等面積法即可得結(jié)果.

【解答過(guò)程】圓C:/—4x+y2+3=0,即(久一2)2+y2=i,

易知|PC|=2VL圓C的半徑r=l,所以切線長(zhǎng)|P川=|PB|=V7.

所以四邊形P4CB的面積為SPACB=2x|xV7xl=V7.

所以根據(jù)等面積法知：SPACB=V7=|x\PC\x\AB\,

所以|4B|=苧.

故選：B.

【變式2.1](23-24高二上?重慶北培?階段練習(xí))過(guò)點(diǎn)力(2,3)作圓+y2=1的一條切線，切點(diǎn)為叢則

\AB\=()

A.3B.2V3C.V7D.V10

【解題思路】先求得圓M的圓心坐標(biāo)和半徑，再利用切線長(zhǎng)定理即可求得的值.

【解答過(guò)程】因?yàn)閳AM:/+y2=i,

所以圓M的圓心為“(0,0),半徑為r=l,

因?yàn)?B與圓M相切，切點(diǎn)為B,

所以貝IJ|AB|2+產(chǎn)=?4MF，

因?yàn)閨4M|=V22+32=V13,

所以|2B|=y/\AM\2-r2=V13-1=2?

故選：B.

已知圓M:%2+產(chǎn)-2x-2y-2=0,直線〃2久+y+2=0,P

為L(zhǎng)t的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線P4PB,且切點(diǎn)為4B,最小值為()

A.2B.V5C.3D.4

【解題思路】|PM||4B|最小值滿足四邊形P力MB的面積最小，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離最小值，即可求

解.

22

【解答過(guò)程】???圓M:%+y-2x-2y-2=0,

(x—l)2+(y—1)2=4,即圓心為(1,1),半徑為2,

如圖所示，

連接AM,BM,四邊形的面積為：|PM|?|4B|,

要使最小,

則只需四邊形的面積最小，即只需△P4M的面積最小,

???|4M|=2,.?.只需|P川最小,

\AM\=J\PM\2-\AM\2=J|PM|2-4,

所以只需直線2x+y+2=0上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離最小，其最小值是圓心到直線的距離d=R^=4,

此時(shí)PM1I,\PA\=1,

則此時(shí)四邊形P4MB的面積為2,即的最小值為4.

故選：D.

考點(diǎn)3圓的弦長(zhǎng)

直線x-y+3=0被圓/+產(chǎn)+2久一4y=o所截得的弦長(zhǎng)為

()

A.V5B.2V5C.5D.10

【解題思路】判斷出圓心在直線上即可求解.

【解答過(guò)程】圓/+y2+2%-4y=0即(x+I)2+(y-2)2=5,故圓心為(—1,2),

顯然圓心在直線x-y+3=0上，

故直線被圓所截得的弦即為圓的直徑，長(zhǎng)為2班.

故選:B.

已知直線x+2y-0與圓M：x2+y2-2x-4y-2=0交于4

B兩點(diǎn)，貝=()

A.2B.2V2C.2V3D.4

【解題思路】利用半弦長(zhǎng)、半徑、弦心距的關(guān)系，即可得到弦長(zhǎng).

【解答過(guò)程】由題意得圓M：(x—l)2+(y—2)2=7,

則圓心M到直線比+2y=0的距離為譬等=V5,

3+22

所以|4B|=2V7-5=2V2.

故選：B.

云徽蚌埠?階段練習(xí))如圖，圓/+V=8內(nèi)有一點(diǎn)P0(—1,1),A8為過(guò)點(diǎn)Po

的弦，若弦被點(diǎn)P。平分時(shí)，則直線N2的方程是()

A.%+y—2=0B.%—2y+5=0

C.x—y+2=0D.x+2y-15=0

【解題思路】由題意，AB1OP,貝IJ%B=—白，點(diǎn)斜式求直線的方程，化為一般式即可.

/C0P

【解答過(guò)程】圓/+y2=8,圓心坐標(biāo)0(0,0),kOp=-1,

弦被點(diǎn)Po平分時(shí)，AB1OP,貝U%B=1，

直線48過(guò)點(diǎn)Po，方程為y—l=x+l,即x—y+2=0.

故選：C.

【變式3.2](23-24高二上?陜西西安?階段練習(xí))圓好+產(chǎn)一2%+句/-4=0與直線久+my+2m-2=

O(meR)交于/,3兩點(diǎn)，則最小值為()

A.2B.2V5C.6D.4近

【解題思路】根據(jù)圓的一般方程求出圓的圓心和半徑，再求出直線過(guò)定點(diǎn)，利用弦長(zhǎng)公式和幾何關(guān)系求最

值.

【解答過(guò)程】圓/+丫2-2%+4);—4=0的圓心為(1,-2),半徑「=三耳士Zil=3,

直線x+my+2m-2=0化為m(y+2)+x-2-0,令｛；+ZQ>所以｛j：—22,

所以直線過(guò)定點(diǎn)(2,-2),

設(shè)圓心為C(l,-2),直線過(guò)定點(diǎn)為D(2,-2),根據(jù)幾何關(guān)系可知，圓心到直線距離的最大值為d=\CD\=1,

所以弦長(zhǎng)最小值為|4B|=2Vr2-d2=253=4五.

故選：D.

考點(diǎn)4直線與部分圓的相交

【例4.1](23-24高一匕河南許昌?階段班，J)直線y=x+b與曲線y=VI有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)6取值

范圍為()

A.(-V2,V2)B.(1.V2)

C.[1,V2)D.(-V2,V2)

【解題思路】由題可知曲線表示一個(gè)半圓，然后利用數(shù)形結(jié)合即可.

【解答過(guò)程】由曲線y=VT=得/+必=1。20),表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的半圓，

當(dāng)直線y=x+b與半圓y=/相切時(shí),號(hào)=i,貝帕=夜，

此時(shí)直線為y=x+V2；

當(dāng)直線y=x+6過(guò)點(diǎn)(0,1)時(shí)，b=1,此時(shí)直線為y=x+l,

要使直線y=無(wú)+b與曲線y=有兩個(gè)交點(diǎn),貝防取值范圍為[1,企).

故選：C.

若直線2:kx-y-2=0與曲線C:—(y—1)2=%-1有兩個(gè)交點(diǎn),

則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

A.(1,]

2B-(?4)

【解題思路】先求出直線Z：kx-y-2^0所過(guò)的定點(diǎn)(0,—2),再將曲線Jl—(y—1)2=x—1轉(zhuǎn)化為(x-

l)2+(y-l)2=1(%>1),可知其為半圓，結(jié)合圖象，即可求出k的取值范圍.

【解答過(guò)程】直線Z：kx-y—2=0恒過(guò)定點(diǎn)(0,-2),

將J1一(y—=x-1轉(zhuǎn)化為(％-I)2+(y-I)2=l(x>1),

???曲線C：一(y-1)2=4—1表示以(1,1)為圓心,半徑為1,且位于直線x=1右側(cè)的半圓(包括點(diǎn)(1,2),

(1,0)),

當(dāng)直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)時(shí)，/與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)k=2,直線記為匕；

當(dāng)I與半圓相切時(shí)，由。=1,得k=之,切線記為L(zhǎng)

Vfc2+134

【變式4.1](23-24高二上?黑龍江哈爾濱?期末)若直線y=mx-27n和曲線y=41-N有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

則實(shí)數(shù)小的取值范圍是()

A.[0,爭(zhēng)B.(-y,0]C,D.(—陰，呵

【解題思路】由直線過(guò)定點(diǎn)(2,0)以及曲線形狀，由直線和圓的位置關(guān)系利用點(diǎn)到直線距離公式可得-苧<

m<0.

【解答過(guò)程】易知直線y=mx-27n過(guò)定點(diǎn)(2,0),

曲線y=VI二，可化為/+V=i(y>0),曲線表示的是圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為1的上半圓，如下圖所

示：

當(dāng)直線與半圓相切時(shí)可得d=4駕=1,解得爪=±￡

Vl+zn23

結(jié)合圖象可得巾=一?，

若直線y-mx-和曲線y=71-必有兩個(gè)不同的交點(diǎn),由圖可得一個(gè)<m<0,

即實(shí)數(shù)6的取值范圍是(-今o].

故選：B.

【變式4.2](23-24高二上?內(nèi)蒙古赤峰?階段練習(xí))曲線丫=次二二正與直線、=/久-2)+4有兩個(gè)交點(diǎn),

則實(shí)數(shù)左的取值范圍是()

【解題思路】畫(huà)出圖象，轉(zhuǎn)化為直線與半圓的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合來(lái)進(jìn)行求解.

【解答過(guò)程】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示：

由題意可得，曲線y=74-曲的圖象為以(0,0)為圓心,2為半徑的半圓，直線Z恒過(guò)4(2,4),

由圖當(dāng)直線I與半圓相切時(shí)，圓心到直線I的距離d=r,即巖=2,解得k=1；

Jl+k24

當(dāng)直線Z過(guò)8(—2,0)點(diǎn)時(shí)，直線Z的斜率k==1,

則直線/與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍為c，i]

故選:c.

考點(diǎn)5直線與圓有關(guān)的最值

廣；廣，』1」；；"：,已知圓C：x2+y2+2x-4y+3=0

(1)若圓C的切線在x軸和y軸上截距相等，求切線的方程；

(2)從圓C外一點(diǎn)P(x,y)向圓引切線PM,M為切點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|PM|=|PO|,求|P0|的最小值

【解題思路】

(1)分切線過(guò)原點(diǎn)或切線的斜率為-1兩種情況說(shuō)明，利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑列方程求解即可；

(2)先利用切線長(zhǎng)公式及|PM|=|P0|得到的關(guān)系，再代入|P0|="2+y2消去-求最值即可.

【解答過(guò)程】

(1)圓C的方程為:(尤+1)2+0—2)2=2,圓心為(一1,2),半徑為夜,

當(dāng)圓C的切線在x軸和y軸上截距相等時(shí)，切線過(guò)原點(diǎn)或切線的斜率為-L

當(dāng)切線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切線方程為y=kx,

則^^=應(yīng)，解得卜=2±乃，

當(dāng)切線斜率為—1時(shí)，設(shè)切線方程為x+y+b=0,

則匕富［=&,解得b=i或一3

V1+1

故所求切線的方程為y=(2±乃)%或％+y+l=0或％+y—3=0；

(2)由圓的切線長(zhǎng)公式可得|PM|2=\PC\2—2=(x+l)24-(y-2)2—2,

又|PM|=\P0\,得(x+l)2+(y—2)2—2=x2+y2,

整理得2x—4y+3=0,即久=2y—I，

此時(shí)|P0|==J(2y_J+y2=J+,2罵=*

當(dāng)且僅當(dāng)y=:,即P(—得，|)時(shí)，Ml的最小值字

(，：」同：中'已知圓C：/+y2—2y=0,過(guò)直線八%+y+l=0上任

意一點(diǎn)P,作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為4B兩點(diǎn)，點(diǎn)。是圓C上的任意一點(diǎn).

(1)求點(diǎn)Q到直線/的距離的最大值；

⑵求IABI的最小值.

【解題思路】

(1)根據(jù)圓心到直線的距離即可求解，

(2)根據(jù)勾股定理，結(jié)合銳角三角函數(shù)可得|4B|=2-彘,即可求解|PC|的最小值求解.

7\PC\￡

【解答過(guò)程】

(1)圓C：刀2+3/2-2、=0的圓心和半徑分別為(;(0,1),/?=1,

圓心C(O,1)到直線心x+y+1^0的距離為d=-^===V2,

所以圓上的點(diǎn)Q到直線Z的距離的最大值為R+d=1+V2

(2)\AB\=2\PA\s^APC=2囪膈=需=?小一而

故當(dāng)|PC|最小時(shí)，此時(shí)MBI最小，

又(1)知|PC|的最小值為d=VL故|4B|min=VI

己知用(久,〉)，4(1,2),3(—2,—1),且|“川=四"8|,點(diǎn)(2(-2,2).

(1)求|MQ|的最大值和最小值；

(2)求三|的最大值和最小值；

(3)求y-x的最大值和最小值.

【解題思路】

(1)由|河川=&|MB|求出點(diǎn)M的軌跡，結(jié)合兩點(diǎn)間距離即可求；

(2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓有交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算；

(3)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓相切問(wèn)題，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算.

【解答過(guò)程】

(1)由題意，因?yàn)閨“川=四因8|,

所以J(%-1)2+(y—2)2=y/2y/(x+2)2+(y+l)2,

整理得(x+5)2+(y+4)2=36,

所以點(diǎn)M的軌跡為以(一5,-4)為圓心，6為半徑的圓.

所以點(diǎn)(—5,-4)到Q(—2,2)的距離為1(—5+2昆+(-4一2尸=3底

所以IMQI的最小值為3代-6,最大值為3遮+6.

(2)設(shè)匚=k,貝!Jkx-y-2k+20,

由題意for—y—2k+2=0與(％+5)2+(y+4)2=36有交點(diǎn)，

所以里*=耳空46,

Vfc2+1Vfc2+1

解得0wkw第

所以寫(xiě)的最大值為M，最小值為0.

x—213

(3)設(shè)y-x=b,貝！Jx-y+b=。

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，截距b取到最值，

所以-51+川=6,解得b=I_6魚(yú)或b=1+6V2,

V2

所以y—久的最大值為1+6VL最小值為1—6VI

【變式5.2](23-24高二匕海南僧州?期中)直線1(m+l)x+(2m+l)y—7m—4=0,圓C:/+,一6七一

4y—3=0.

(1)求出定點(diǎn)P的坐標(biāo).當(dāng)直線2被圓C截得的弦最短時(shí)，求此時(shí)/的方程；

(2)設(shè)直線I與圓C交于4B兩點(diǎn)，當(dāng)△4BC的面積最大時(shí)，求直線I方程.

【解題思路】

(1)將直線化為m(x+2y-7)+(x+y—4)=0,令｛:;彳二：二;即可求解；當(dāng)I與PC垂直時(shí)，直線/

被圓C截得的弦最短，根據(jù)心期=-1即可求解；

(2)方法1：當(dāng)CP1/時(shí)，sinNACB有最大值，此時(shí)面積有最大值；方法2：根據(jù)垂徑定理與點(diǎn)到直線的距

離公式將面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于點(diǎn)到直線的距離d的方程，利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題即可求解.

【解答過(guò)程】

(1)由題意知/可化為m(久+2y-7)+(%+y-4)=0,

故匕：?一；"，解得即P(L3),???直線膽過(guò)定點(diǎn)P(l,3),

(%十y一4_u

因?yàn)镃:0—3)2+。-2)2=16,

所以圓C的圓心為(3,2),半徑r=4,

如圖所示：

當(dāng)直線/被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，2與PC垂直，刈=2,

y-3=2(x—1),即2x—y+1=0；

(2)方法1,

2

SABC=|r-sin^ACB,且/ACB為鈍角,

.?.當(dāng)CP1/時(shí)sin乙4cB有最大值，即面積有最大值，

此時(shí)，，與PC垂直，kPC=|=-I，k1=2,

y-3=2(%—1),即2久一y+1=0；

方法2,

設(shè)圓心到直線的距離為d,貝！J|4B|=2V16-d2(0<d<V5),

???S^ABC=；|4B|d=V16—d2-d=V—d4+16d2=J一(不一81+64,

當(dāng)d2=5時(shí)有最大值,

|(m+l)-3+(2m+l)-2—7m-4|

由C?2=5,d=解得TH=-|,

7(m+l)24-(2m+l)2

—|(%+2y—7)+(%+y—4)=0,

??.￡2第一y+1=0.

二、圓與圓的位置關(guān)系

基礎(chǔ)知識(shí)

1.圓與圓的位置關(guān)系及判斷方法

(1)圓與圓的位置關(guān)系

圓與圓有五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，其中外離和內(nèi)含統(tǒng)稱(chēng)為相離，外切和內(nèi)切統(tǒng)稱(chēng)

為相切.

相交

(2)圓與圓的位置關(guān)系的判定方法

①利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾何法)：

設(shè)兩圓G—+3—仇尸=療與(X—④尸+0—生尸=理的圓心距為d,則

—。＞十(仇一仇y,兩圓的位置關(guān)系表示如下:

位置關(guān)系關(guān)系式圖示公切線條數(shù)

外離d>rl+r2四條

外切d=rl+r2三條

相交|rl-r2|<d<rl+r2兩條

內(nèi)切d=rl-r2一條

內(nèi)含0<d<|rl-r2|無(wú)

②代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)即可作出判斷.

當(dāng)△>()時(shí)，兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，相交；當(dāng)△=()時(shí)，兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，包括內(nèi)切與外切；當(dāng)△<()時(shí),

兩圓無(wú)公共點(diǎn)，包括內(nèi)含與外離.

2.兩圓的公切線

(1)兩圓公切線的定義

兩圓的公切線是指與兩圓相切的直線，可分為外公切線和內(nèi)公切線.

(2)兩圓的公切線位置的5種情況

①外離時(shí)，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內(nèi)公切線;

②外切時(shí)，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內(nèi)公切線;

③相交時(shí)，有2條公切線，都是外公切線;

④內(nèi)切時(shí)，有1條公切線；

⑤內(nèi)含時(shí)，無(wú)公切線.

判斷兩圓公切線的條數(shù)，實(shí)質(zhì)就是判斷兩圓的位置關(guān)系。

(3)求兩圓公切線方程的方法

求兩圓的公切線方程時(shí)，首先要判斷兩圓的位置關(guān)系，從而確定公切線的條數(shù)，然后利用待定系數(shù)法，

設(shè)公切線的方程為y=kx+b,最后根據(jù)相切的條件，得到關(guān)于k,b的方程組，求出k,b的值即可.要注意公切

線的斜率可能不存在.

3.兩圓的公共弦問(wèn)題

(1)求兩圓公共弦所在的直線的方程的常用方法

兩圓相交時(shí)，有一條公共弦，如圖所示.

設(shè)圓G./+/+￡)]%+￡]'+尸]=0,①

圓。2J?+V++瑪夕+尸2=0,②

①-②，得(A—D2)x+(￡i—￡2)y+H—尸2=0,③

若圓G與圓Cz相交，則③為兩圓公共弦所在的直線的方程.若P(x。/。)為圓G與圓G的交點(diǎn)，則點(diǎn)

P(-^05yo)滿足笳+需+A%0+E1乂)+尸1=0且笳+需+。2%0+E2yo+尸2=0所以

⑷一。2)與+田一瓦)為+F1-F2=°,即點(diǎn)尸(X”。)適合直線方程，故尸(X。/。)在③所對(duì)應(yīng)的直線上，③

表示過(guò)兩圓G與C。交點(diǎn)的直線，即公共弦所在的直線的方程.

(2)求兩圓公共弦長(zhǎng)的方法

①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求公共弦長(zhǎng).

②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，由勾股

定理求出公共弦長(zhǎng).

4.圓系方程及其應(yīng)用技巧

具有某些共同性質(zhì)的圓的集合稱(chēng)為圓系，它們的方程叫作圓系方程.常見(jiàn)的圓系方程有以下幾種：

(1)以(a,b)為圓心的同心圓系方程是(X-2+3一人尸=*(拄①,

(2)與圓^+產(chǎn)+m+&+尸=°同心的圓系方程是產(chǎn)+尸+m+4+4=0.

(3)過(guò)同一定點(diǎn)(a,b)的圓系方程是(X—z+3—h2+九(x—°)+小(y—6)=0.

(4)過(guò)直線Ax+By+C=0與圓/+y2+Dx+Ey+F=0的交點(diǎn)的圓系方程是x?+y2+Dx+Ey+

2(Ax+By+C)=0

(5)過(guò)兩圓Cy/+必+°6+與了+修=°和°2：/+必+2X+&夕+6=°的交點(diǎn)的圓系方程是

2222

(爐+y+DrX+Exy+Fj+A(x+y+D2x+E2y+F2)=0(株—1)(其中不含有C?.產(chǎn)+y+D2x

+E2y+F2=0，注意檢驗(yàn)Q是否滿足題意，以防漏解).

①當(dāng)4=-1時(shí)，］：(A-2)尤+(2-&)y+E-死=。為兩圓公共弦所在的直線方程.

②當(dāng)兩圓相切(內(nèi)切或外切)時(shí)，1為過(guò)兩圓公共切點(diǎn)的直線方程.

考點(diǎn)6圓與圓的位置關(guān)系

圓M：(久一1)2+丫2=4與圓可:/+產(chǎn)+4%+2、=0的位置關(guān)

系為()

A.相交B.內(nèi)切C.外切D.相離

【解題思路】求出兩圓的圓心距，則有R—r<|MN|<R+r,即可判斷兩圓位置關(guān)系.

【解答過(guò)程】圓M的圓心為M(1,O)，半徑為r=2；(%+2)2+(y+I)2=5,

則圓N的圓心為N(-2,-1),半徑為/?=花.

兩圓心之間的距離|MN|=7(1+2)2+1=V10,

且滿足R-r<|MN|<R+r,可知兩圓相交.

故選：A.

圓。1：乂2+丫2=4與圓。2：0：—3)2+丫2=1的位置關(guān)系為()

A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切

【解題思路】根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系判斷.

【解答過(guò)程】由題意，圓的：/+y=4,則圓心Cl(0,0),半徑勺=2,

圓C2：(x-3)2+y2=1,則圓心C2(3,0),半徑r2=1，

所以兩圓圓心距IgQI=3=q+Q，所以兩圓外切.

故選：B.

圓/+y2=1與圓+y2—2%—2y=o的位置關(guān)系是

()

A.相交B.相離

C.內(nèi)含D.外切

【解題思路】首先得到兩圓的圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心距，即可判斷.

【解答過(guò)程】圓/+y2=1的圓心為。MOR),半徑勺=1,

圓支2+y2—-2y=0即(x—l)2+(y—I)2=2,則圓心為。2(1,1)，半徑72=V2,

所以|。1。2]=Vl2+I2=V2,則「2~rl<1。1。21<72+71，

所以兩圓相交.

故選：A.

圓Cl：x2+y2—2y=。，。2：/+丫2一2百萬(wàn)-6=0的位置關(guān)

系為()

A.外切B.相交

C.內(nèi)切D.內(nèi)含

【解題思路】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合圓心距以及兩半徑之間的關(guān)系即可得解.

2

【解答過(guò)程】?jī)蓤A的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為/+。-1)2=1,(X-V3)+y2=9.

圓心分別為(0,1),(百,0),半徑分別為1,3.圓心距聲不1=3-1,所以兩圓內(nèi)切.

故選：C.

考點(diǎn)7由圓與圓的位置關(guān)系確定參數(shù)

：已知兩圓％2+y2=i和%2+(y—a)2=16(a〉0)相交，則

實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(1,15)B.[1,15]C.(3,5)D.[3,5]

【解題思路】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍.

【解答過(guò)程】由圓/+產(chǎn)=1,設(shè)圓心Ci(0,0)且半徑勺=1,

由圓%2+(y—a)=16(a>0),設(shè)圓心。2(。,a)且半徑q=4,由a>0,

所以「2—勺<a<2+r1時(shí)，兩圓相交，則3<a<5,

故選：C.

【例2.2](23-24高價(jià)段練習(xí))已知圓的:二+丫2=i與圓/2：%2+.2一8%+6丫+4=0相

內(nèi)切，則實(shí)數(shù)小的值為()

A.-9B.-11C.9D.11

【解題思路】根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系即可求解.

【解答過(guò)程】圓的：/+V=1的圓心及半徑為：Ci(0,0),n=1,

圓C2：x2+y2—8x+6y+m=0可化為：(x—4)2+(y+3)2=25—m(m<25),

則其圓心及半徑為：C2(4,-3),r2=V25-m,Cz(4,-3)在圓的:/+y2=1的外面，

因?yàn)閳A與圓。2相內(nèi)切，所以C1C2I=72—71，即「2=j43+(—3)2+1=6=72s—m,解得m=-11.

故選：B.

)-24高二上全回期末)若圓(x—a)2+產(chǎn)=i(a>0)與圓好+(y—2/=25有公共點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[0,2V3]B.[1,5]C.[2V3,4V2]D.[5,4V2]

【解題思路】根據(jù)題意得到兩圓位置關(guān)系，從而得到不等式，解出即可.

【解答過(guò)程】圓(％-a)2+V=1的圓心為C[(a,0),半徑為勺=1,

圓/+0—2)2=25的圓心為(。,2)，半徑為萬(wàn)=5.

因?yàn)閮蓤A有公共點(diǎn)，所以兩圓相切或相交，則有萬(wàn)-勺W9忑21+勺，

即4WVa2+4<6,解得12<a2<32,又a>0,所以2百WaW4應(yīng).

故選：C.

若圓的:+,2=1與圓c2：%2+,2-6萬(wàn)-8y+m=0外切,

則m=()

A.9B.11C.1D.21

【解題思路】先求出兩圓圓心和半徑，再根據(jù)兩圓外切可得兩圓圓心距等于半徑之和，進(jìn)而列出方程求解

即可.

【解答過(guò)程】由圓C1：/+y2=1,圓心Ci(0,0),半徑q=1,

由圓Q：尤2+y2—6x—8y+m=0,即(％—3)2+(y-4)2=25—m,

則圓心。2(3,4),半徑加=725-m,m<25,所以IQC2I=V32+42=5,

因?yàn)閮蓤A外切，所以IC1C2I=勺+「2，即5=1+迎5-如解得m=9.

故選：A.

考點(diǎn)8兩圓相切

【例3.1](23-24高二上?江蘇連云港?階段練習(xí))兩圓的:/+產(chǎn)=1與。2：(久+3)2+丫2=4的公切線有

()條()

A.1B.2C.3D.0

【解題思路】先判斷出兩圓外切，從而得到公切線條數(shù).

【解答過(guò)程】Ci：/+y2=1的圓心為Ci(0,0),半徑為1,

C2：(x+3)2+y2=4的圓心為。2(-3,0),半徑為2,

則圓心距|CiCzl=3=1+2,故兩圓外切，

故公切線有3條.

故選：C.

若直線I與圓Ci：(久+1)2+必=1,圓。2：(久一1)2+產(chǎn)=4都相

切，切點(diǎn)分別為A、B,則|AB|=()

A.1B.V2C.V3D.2V2

【解題思路】設(shè)直線1交》軸于點(diǎn)M,推導(dǎo)出Ci為MC2的中點(diǎn)，4為BM的中點(diǎn)，利用勾股定理可求得MB|.

【解答過(guò)程】如下圖所示，設(shè)直線I交x軸于點(diǎn)M,

由于直線l與圓Ci：(x+l)2+y2=i,圓C2：(x—l)2+y2=4都相切，切點(diǎn)分別為力、B,

貝IJ4C11I,BC21I,?-?AC1//BC2,

???出。21=2=2|4Ci|,CI為MC2的中點(diǎn)，，力為BM的中點(diǎn)，；.|MCi|=|CiC2l=2,

由勾股定理可得|AB|=\MA\=JlMC/2-MQ2=V3.

故選：C.

[乏式3.1](23-24高二?階段練習(xí))已知圓Ci：X2+y2+4久+3=0,圓C2：%2+y2—8X+12=0,

下列直線中不能與圓Ci，C2同時(shí)相切的是()

A.V3x+3y=0B.V3x-3y=0

C.x+y/35y+8=0D.x—y/35y—8=0

【解題思路】利用點(diǎn)到直線的距離公式逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.

2222

【解答過(guò)程】由題意知：的：(%+2)+y=1,C2：(x-4)+y=4,

所以圓的的圓心為（一2,0）,半徑為1；圓C2的圓心為（4,0）,半徑為2,

對(duì)于A,圓Q的圓心（-2,0）到直線的距離為必=占雪=1,與半徑相等，故滿足相切條件,

J（可+32

圓的圓心（4,0）到直線的距離為出==2,與半徑相等，故也滿足相切條件，

J（可+32

即直線百x+3y=0是兩圓的一條公切線；

對(duì)于B,圓的的圓心（-2,0）到直線的距離為*=占雪=1,與半徑相等，故滿足相切條件,

J（可+32

圓的圓心（4,0）到直線的距離為d2=-MEL=2,與半徑相等，故也滿足相切條件,

J（可+32

即直線乃％-3y=0是兩圓的一條公切線;

對(duì)于C,圓的的圓心（—2,0）到直線的距離為山=?-2+81=1,與半徑相等，故滿足相切條件,

3+（國(guó)z

圓C2的圓心（4,0）到直線的距離為期=產(chǎn)嘰=2,與半徑相等，故也滿足相切條件，

J（可+32

即直線x+V35y+8=0是兩圓的一條公切線；

對(duì)于D,圓的的圓心（-2,0）到直線的距離為刈=T"I=?力1,不滿足相切條件，

卜+（原了

即直線x-V35y—8=0不可能是兩圓的公切線；

故選：D.

【變式3.2]（23-24高二上?廣西玉林?期中）已知圓的：/+、2=1,圓。2：（久一3尸+。一4）2=16,則

下列說(shuō)法正確的是（）

A.圓的與圓C2公共弦所在直線的方程為3x+4y-5=0

B.圓的與圓C2有兩條公切線

C.X=—1是圓。2與圓的一條公切線

D.圓C1與圓。2上均恰有兩