重難點突破02解三角形圖形類問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：妙用兩次正弦定理（兩式相除消元法）......................................2

題型二：兩角使用余弦定理建立等量關(guān)系............................................4

題型三：張角定理與等面積法......................................................5

題型四：角平分線問題............................................................6

題型五：中線問題................................................................7

題型六：高問題..................................................................9

題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用.......................................................10

題型八：外心及外接圓問題.......................................................11

題型九：兩邊夾問題.............................................................13

題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問題.......................................................14

03過關(guān)測試....................................................................15

亡法牯自與.柒年

//\\

解決三角形圖形類問題的方法：

方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；

方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，

相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；

方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選

擇；

方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可

以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；

方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更

加直觀化.

題型一：妙用兩次正弦定理（兩式相除消元法）

JT571

【典例7】⑵24?河南三模）已知尸是內(nèi)一點，PB=PC,/BAC=*BPC],/ABP"

⑴若e=￡,8C=0,求AC；

24

兀

(2)若9=飛,求tan/BAP.

【典例1-2】“WC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,b,c,A。為/B4C平分線，c:AD:b=拒:2:2有.

⑴求zA；

(2)AD上有點M,NBMC=90°,求tanZABM.

【變式1-1】如圖，在平面四邊形ABCD中，ZACB=ZADC=90°,AC=2-,ZBAC=30°.

⑴若CD=5求30；

(2)若NCBr>=30。，求tan/BDC.

【變式1-2］（2024.廣東廣州?二模）記N4BC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,已知

ZTCOSA-acosB=b—c.

⑴求A；

⑵若點。在3c邊上，且CD=23O,cosB=—,tanABAD.

3

【變式1-3］在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,J.2cosA(ccosB+bcosC)=a.

⑴求角A;

(2)若。是AABC內(nèi)一點，ZAOB=120°,ZAOC=150°,b=l,c=3,求tanZABO.

題型二：兩角使用余弦定理建立等量關(guān)系

【典例2-1】如圖，四邊形ABCD中，cosZBAD=1,AC=AB=3AD.

(1)求sin/A5￡)；

(2)若ZBCD=90。，求tanNCM).

【典例2-2]如圖，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=^3BC=.

(1)求證：sinC=>/3siiiA；

(2)若C=2A,AB=2CD,求梯形4BCO的面積.

【變式2-1](2024?全國?模擬預(yù)測)在銳角AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,

2cos22c=3-5cos言-C

⑴求角C;

AC

(2)若點。在AB上，BD=2AD,BD=CD,求工廠的值.

BC

TT

【變式2-2】平面四邊形ABC。中，AB=1,AD=2,ZABC+ZADCTt,ZBCD=-.

⑴求8。；

(2)求四邊形ABCD周長的取值范圍；

(3)若E為邊30上一點，且滿足CE=3E,SABCE=2SACDE,求△BCD的面積.

題型三：張角定理與等面積法

【典例3-1】(2024?吉林?模擬預(yù)測)融。的內(nèi)角A,氏C的對邊分別是a,6,c,且吧上券0=佇1,

sinCa+b

(1)求角8的大小;

(2)若b=3,。為AC邊上一點，BD=2,且8。為23的平分線，求AABC的面積.

【典例3-2](2024.黑龍江哈爾濱?二模)記的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為。，b,。，已知人=4,

2bcos3sinA

-------二cosA4-\---------

ctanC

(1)求角8的大??；

(2)已知直線8。為/ABC的平分線，且與AC交于點。，若BD=述，求AASC的周長.

3

【變式3-1](2024?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知銳角AASC的內(nèi)角A,民C的對邊分別

sinB-sinC

為a,b,c,且~；——

b+csinA-sinC

(D求3;

⑵若。=而，角8的平分線交AC于點。，BD=1,求AABC的面積.

【變式3-2](2024?江西撫州?江西省臨川第二中學(xué)校考二模)如圖，在AABC中，AB=4,cosB=1,點

O在線段3C上.

⑵若加=28,卷8的面積為殍,求的值?

題型四：角平分線問題

【典例4-1】(2024.全國?模擬預(yù)測)己知在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為〃,b,c,且a=6,NA=60。.

(1)若AD為BC邊上的高線，求AO的最大值；

sin

(2)已知AM為3C上的中線，,BAC的平分線AN交3C于點N,且tanB=；；-----求△AWN的面積.

2—cosA

【典例4-2】如圖所示，在AABC中，AB=3AC,AD平分/BAC,且AD=fc4C.

(1)若OC=2,求BC的長度;

(2)求上的取值范圍；

(3)若S4ABC=1，求上為何值時，BC最短.

【變式4-1】在44BC中，角A,B,C所對的邊分別是。，b,c,已知A=1,c2-b2accosC.

⑴求tanC；

(2)作角A的平分線，交邊BC于點D,若求AC的長度;

(3)在(2)的條件下，求AABC的面積.

【變式4-2】己知AASC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a/,c,其面積為S,且

o(Z?+c-a)(sinA+sinB+sinC)=65

(1)求角A的大?。?/p>

⑵若。=4,麗?/=-3,/A的平分線交邊3C于點T,求AT的長.

題型五：中線問題

【典例5-1］如圖，在AABC中，己知AB=2,AC=6近,ZBAC=45°,3C邊上的中點為點N是

邊AC上的動點(不含端點)，AM-BN相交于點尸.

(1)求NBA做的正弦值；

(2)當(dāng)點N為AC中點時，求NMPN的余弦值.

(3)當(dāng)福?而取得最小值時，設(shè)旃=2的，求彳的值.

【典例5-2】(2024?遼寧沈陽?東北育才雙語學(xué)校?？家荒?如圖，設(shè)融。中角A,B,C所對的邊分別為

a,b，c，AD為BC邊上的中線，已知C=1且2csinAc°s『sinA』in8+%inC,cos/BAD=-----

7

⑴求b邊的長度；

(2)求AASC的面積；

(3)設(shè)點E,尸分別為邊AB,AC上的動點(含端點)，線段E尸交AD于G,且尸的面積為AABC面積

的二，求而.前的取值范圍.

6

【變式5-1】阿波羅尼奧斯(Apollonius)是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他提出的阿波羅尼奧斯定理是一個關(guān)于

三角形邊長與中線長度關(guān)系的定理，內(nèi)容為：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線及第三邊之半的平方和

的兩倍，即如果A。是“WC中8c邊上的中線，貝1］4笈+472=24。2+［竺］.

7T

(1)若在AABC中，AB=5,AC=3,ZBAC=~,求此三角形BC邊上的中線長；

(2)請證明題干中的定理；

(3)如圖AABC中，若AB>AC,。為BC中點，BD=DC=3,asmA+3bsinB=3bsm(A-C),

S.BC=當(dāng),求cos/ZMC的值?

【變式5-2］在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,5=30°?

(1)已知6=0,bcosA+acosB=2

(i)求c；

(ii)若a〈b,。為AB邊上的中點，求CO的長.

(2)若ULBC為銳角三角形，求證：a〈巫c

3

【變式5-3](2024?江蘇南通?模擬預(yù)測)在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,已知。=2,

c2=BABC-2S!3S,其中S為AASC的面積.

(1)求角A的大小；

(2)設(shè)。是邊BC的中點，若AB_LAD,求AD的長.

題型六：高問題

JT

【典例6-1】(2024?河北秦皇島?三模)在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,C=§且

a+b=l,AA5C的外接圓半徑為型.

3

(1)求AABC的面積；

⑵求“BC邊A3上的高氏

【典例6-2】(2024?四川?模擬預(yù)測)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且

V^csin3+bcos(A+8)=6.

(1)求角C的大??；

⑵若a=8,44BC的面積為4石，求A3邊上的高.

【變式6-1]在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,Z?,c,已知a=7,c=8.

4

⑴若sinC=,,求角A的大小;

(2)若b=5,求AC邊上的高.

【變式6-2](2024?山東棗莊?一模)在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且色=5111?山1119.

2c2

⑴求C;

(2)若a=8力=5,CH是邊AB上的高，^.OI=mCA+nCB，求一.

n

題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用

【典例7-1】(2024?四川內(nèi)江?一模)AABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,0=6,

,.B+C.?

psin-------=asmB.

2

(1)求角A的大小；

(2)M為AABC的重心，AM的延長線交3c于點。，且AM=2石，求融。的面積.

【典例7-2】(2024?江西景德鎮(zhèn)?一模)如圖，已知△A3。的重心為C,"BC三內(nèi)角A、B、。的對邊分別

為a,b,c._&cos2—=^+C

22c

D

(1)求乙4cB的大小；

IT

(2)若/C43=一,求sinNCZM的大小.

6

【變式7?1】(2024.高三.福建福州?期中)已知AABC內(nèi)角A,B,。的對邊分別為①b,c,點G是AABC

的重心，且而?而=0.

(1)若NGAB=M①直接寫出黑=；②設(shè)NC4G=a,求tanc的值

。CCJ

(2)求cosZACB的取值范圍.

【變式7-2](2024?浙江溫州?模擬預(yù)測)AABC的角A,B,C對應(yīng)邊是。，b,c,三角形的重心是。.已知

OA=3,OB=4,OC=5.

⑴求a的長.

(2)求“1BC的面積.

題型八：外心及外接圓問題

【典例8-1](2024?廣東深圳.二模)己知在AABC中，角A3,C的對邊分別為a,仇c,a="*=2,c=l.

⑴求角A的余弦值；

(2)設(shè)點。為的外心(外接圓的圓心)，求X5?麗，正?正的值.

(典例8-2】已知AABC的內(nèi)角A,民C所對的邊分別為a,b,c,a=3,2c—b=2acosB.

⑴求A；

(2)/為AABC外心，AM的延長線交BC于點。，且加。=走，求AABC的面積.

2

【變式8-1]AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,4c,c>6,福?恁=20,AABC的面積為106.

(1)求/A；

—,—.49

(2)設(shè)。點為44BC外心，且滿足OB-OC=-L，求心

6

【變式8-2](2024?河南?模擬預(yù)測)已知"RC的外心為。，點分別在線段A5,AC上，且。恰為MN

的中點.

(1)若BC=6,04=1,求"LBC面積的最大值；

⑵證明：AMMB=ANNC.

【變式8-3](2024?安徽黃山?三模)記44BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c=6,

b(l+cosC)=6csinB.

c

（1）求角C的大小和邊6的取值范圍;

⑵如圖，若。是AABC的外心，求反.荏+G5.麗的最大直

題型九：兩邊夾問題

【典例9-1】在AABC中，角A,民C所對的邊分別為a/,c,若cosA+sinA----------——=0,則土吆的值

smB+cosBc

是（）

A.2B.V3C.72D.1

【典例9-2】在AASC中，a、b、c分別是2A、/B、/C所對邊的邊長.若

cosA+sinA-----------------=0,則巴心的值是（）.

cosB+sinBc

A.1B.72C.73D.2

【變式9?1】在AASC中，已知邊所對的角分別為4民C,若

2sin2B+3sin2C=2sinAsinBsinC+sin2A,則tanA=

【變式9-2］（2024.江蘇蘇州.吳江中學(xué)模擬預(yù)測）在AABC中，已知邊所對的角分別為A民C,若

5-2cos2B-3cos2C=2sinAsinBsinC+sin2A，貝UtanA=.

【變式9-3］在AABC中，已知邊〃、b、。所對的角分別為A、B、C,若”=百，

2sin2B+3sin2C=2sinAsin5sinC+sin2A，則AABC的面積S=.

【變式9?4】在AABC中,若(cos4+sinA)(cos3+sin3)=2,則角。=

題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問題

【典例10-11(2024?全國?模擬預(yù)測)設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足

2acosB+b=2c,a=5.

(1)求AABC的周長的取值范圍；

(2)若ULBC的內(nèi)切圓半徑廠=述，求AABC的面積S

【典例10-2](2024?湖南永州?一模)在AASC中，設(shè)A,B,C所對的邊分別為a,6,c,且滿足

ccosA—QCOSC=Q+Z?.

⑴求角C；

(2)若C=5,AABC的內(nèi)切圓半徑廠=走，求AABC的面積.

【變式10-1](2024?全國?模擬預(yù)測)已知AABC中，角A,B,C的對邊分別是。，b,c,

gb-csinA=也”cos。?

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若a=7,AABC外接圓的半徑為R,內(nèi)切圓半徑為廠，求日的最小值.

r

【變式10-2】(2024.全國.模擬預(yù)測)在AABC中，角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,且

.A.2nsin2Asin2B

sin2AsmB=-----------.

4

⑴求C;

⑵若。=2,求AABC內(nèi)切圓半徑取值范圍.

【變式10?31(2024?廣西南寧?一模)在AABC中，角A,B,。的對邊分別為。，b,c,已知。=2,且

sinA+sinB_Z7-c

sinCb-a

(1)求AABC的外接圓半徑R；

(2)求△ASC內(nèi)切圓半徑廠的取值范圍.

【變式10-4](2024?吉林?二模)己知AABC的三個內(nèi)角A民C的對邊分別為SCAABC的外接圓半徑為

y/3，且sin2B+sin2C-sinBsinC=sin2A-

⑴求。；

(2)求“BC的內(nèi)切圓半徑廠的取值范圍

1.如圖所小，在AABC中，設(shè)4c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，已知》+c=3a,6=4(c-a).

A

(1)求角C；

⑵若c=7,過B作AC的垂線并延長到點。，使A,8,C,D四點共圓，AC與BD交于點E,求四邊形

ABCD的面積.

2.如圖，在梯形A3CD中，AB//CD,ND=60°.

(1)若AC=3,求AACD周長的最大值；

⑵若CD=2AB,/BCD=45。，求tanN/MC的值.

3.(2024?全國?模擬預(yù)測)在44BC中，已知sin(28AC-/3)=sin8+sinC.

⑴求/BAC.

(2)若AC=2AB,/B4C的平分線交3c于點O,求cos/ADB.

4.(2024.四川成都.模擬預(yù)測)在“SC中，角A,民C所對的邊分別為a,b,c,且&sin=asinB,邊

BC上有一動點。.

(1)當(dāng)。為邊BC中點時，若AD=?b=2,求c的長度；

(2)當(dāng)AD為/B4c的平分線時，若a=4,求AD的最大值.

5.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測）己知函數(shù)/（x）=sin（x+三卜+角A為AABC的內(nèi)角，且

〃A)=0.

（1）求角A的大?。?/p>

（2）如圖，若角A為銳角，AB=3,且AABC的面積S為名叵，點￡、廠為邊上的三等分點，點。為邊

4

AC的中點，連接。尸和EC交于點求線段4M的長.

6.（2024?全國?模擬預(yù)測）在AABC中，角AB,C,的對邊分別為a/,c,AABC的面積為S,

sin(2A+%]

sinB

⑴求角A.

⑵若AABC的面積為人行，a=岳,。為邊BC的中點，求AD的長.

7.（2024?四川成都?三模）在&4BC中,BC=5,AC=6,cosB=-.

8

⑴求A3的長；

⑵求AC邊上的高.

8.（2024?江蘇南通?三模）在AABC中，角A,3,C的對邊分別為a,4c,（2b-c）cosA=acosC.

⑴求A；

(2)若加。的面積為6,3。邊上的高為1,求AABC的周長.

9.(2024?高三?河南?開學(xué)考試)在AABC中，內(nèi)角A氏C所對的邊分別為〃?。，且滿足

(

(〃+Z?+c)(sinA+sinB+sinC)=]asinB+2csinA+2Z?+c)sinC

⑴求cosC；

⑵若AB邊上的高為2,c=0,求

10.(2024?高三?山東濟南?開學(xué)考試)在AABC中，內(nèi)角A,B,。的對邊分別為〃，b,J已知

bcosA=a(2-cosB).

(1)求￡；

a

27r

(2)若2=(,且AC邊上的高為6,求AABC的周長.

11.在AABC中，設(shè)。，6,，分別表示角A,B,C對邊.設(shè)BC邊上的高為〃，且。=2〃.

⑴把2+：表示為xsinA+ycosA(x,yeR)的形式，并判斷+：能否等于20?說明理由.

cbcb

(2)已知。均不是直角，設(shè)G是AABC的重心，BG±CG,c>b,求tanB的值.

12.(2024?江蘇蘇州.二模)記“1BC的內(nèi)角A民C的對邊分別為c,已知色也=?吆二^

csinA-sinB

⑴求角A；

(2)若a=6,點M為AABC的重心，S.AM=2^3,求AABC的面積.

13.(2024.河南開封.模擬預(yù)測)記AABC的內(nèi)角A氏C的對邊分別為〃也。，已知

6asinB-acosC=ccosA,b=瓜,G為^ABC的重心.

⑴若〃=2,求。的長；

(2)若AG=@,求AABC的面積.

3

14.(2024?遼寧撫順?一模)記”LBC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,6,c,已知

(67+(sinA-sinB)=c(sinC-sinB).

⑴求角A;

(2)若a=6,點M為"ISC的重心，且AM=2^,求AABC的面積.

15.在"1BC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為mb,c,且a,6,c是公差為2的等差數(shù)列.

(1)若2sinC=3sinA,求^ABC的面積.

(2)是否存在正整數(shù)6,使得AABC的外心在AABC的外部?若存在，求6的取值集合；若不存在，請說明理

由.

16.(2024?湖北?模擬預(yù)測)已知AABC的外心為。，