第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年江蘇省南京師大附屬實驗學校高一（下）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.計算(1?i)2的結果是(

)A.2 B.2i C.?2 D.?2i2.在△ABC中，已知a=8，B=30°，C=105°，則b等于(

)A.323 B.43 C.43.已知平面向量a=(2,x?1)，b=(6,2?x)，若向量a與b共線，則x=(

)A.?2 B.54 C.2 D.4.如圖，已知AB=3BP，用OA，OB表示OP，則OP等于(

)A.13OA?43OB

B.15.已知菱形ABCD的邊長是2，E為AB的中點，則EC?ED=A.32 B.32 C.6.已知△ABC的三內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設向量m=(a,b),n=(cosB,cosA)，若m//n，則A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形7.若e1,e2是一組基底，向量m=xe1+ye2，則稱(x,y)為向量m在基底e1,e2A.(2,?1) B.(1,?2) C.(?1,2) D.(?2,1)8.在平面直角坐標系中，角α與β的頂點均為坐標原點O，始邊均為x軸的非負半軸.若角α的終邊與單位圓交于點P(35,45)，將OP繞原點O按逆時針方向旋轉π3A.3?4310 B.3+4310二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.復數(shù)z=2+i1?i，i為虛數(shù)單位，則下列結論正確的是(

)A.|z|=102 B.z的共軛復數(shù)為32+12i

10.已知向量a=(1,3),b=(2,?4)，則下列結論正確的是A.(a+b)⊥a B.|2a+b|=10

C.向量a11.下列等式正確的是(

)A.2sin222.5°?1=?22 B.tan71°?tan26°三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知i為虛數(shù)單位，x，y∈R，若(x?i)i=y?2i，則x+y=______．13.已知向量a與b的夾角為120°，且|a|=|b|=4，那么14.函數(shù)f(x)=cos2x?6cosx+1的值域是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復數(shù)z=(2+i)m2?3(i+1)m?2(1?i)，根據(jù)下列條件求實數(shù)m的值．

(1)z是實數(shù)；

(2)z是純虛數(shù)；

(3)z16.(本小題15分)

已知|a|=4，|b|=2，且a與b的夾角為120°，求：

(1)|2a?b|；

(2)若向量17.(本小題15分)

已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，且bcosA?33asinB=0．

(1)求A；

(2)若c=3，且△ABC的面積為318.(本小題17分)

已知向量a=(1,3)，b=(sinα,cosα)．

(1)若a//b，求tan(α+π19.(本小題17分)

如圖，已知扇形AOB的圓心角為π3，半徑為1，C是弧AB上任意一點，作矩形CDEF內接于該扇形．

(1)設∠AOC=α，試用α表示矩形CDEF的面積，并指出α的取值范圍；

(2)點C在什么位置時，矩形CDEF的面積最大？并說明理由．

答案解析1.【答案】D

【解析】解：(1?i)2=1?2i+i2=?2i．

故選：2.【答案】D

【解析】解：∵a=8，B=30°，C=105°，即A=45°，

∴由正弦定理asinA=bsinB，

得：b=asinBsinA=8×sin30°sin45°=42．

故選：D．

由B與3.【答案】B

【解析】解：因為向量a與?b共線，

所以6(x?1)?2(2?x)=0，

解得x=54．

故選：B．

直接利用向量平行的坐標運算列方程求解．4.【答案】C

【解析】【分析】由本題考查了平面向量基本定理的應用，考查了學生的運算能力，屬于基礎題．

已知可得OB?【解答】

解：由AB=3BP，可得OB?OA=3(OP?OB)，

5.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，可得BC=AD，EA=?EB，

EC?ED=(EB+BC)?(EA+6.【答案】D

【解析】解：由題意，向量m=(a,b),n=(cosB,cosA)，且m//n，

所以acosA=bcosB，即a×b2+c2?a22bc=b×a2+c2?b22ac，

整理得(a2?7.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查平面向量的基本定理的應用，向量的坐標運算，是簡單題．

由題意求出向量a，再設a=xm+yn，得到方程組求解即可．

【解答】

解：由題意，得a=?2(1,?1)+(2,1)=(0,3)，

設a=xm+yn，

即(0,3)=x(?2,1)+y(?4,?1)

=(?2x?4y,x?y)，8.【答案】A

【解析】解：由題意知β=2kπ+α+π3，根據(jù)三角函數(shù)的定義得sinα=45,cosα=35，

所以：cosβ=cos(2kπ+α+π39.【答案】AD

【解析】解：由z=2+i1?i=(2+i)(1+i)(1?i)(1+i)=12+32i，

則|z|=(12)2+(32)2=102，故A正確；10.【答案】AC

【解析】解：∵a=(1,?3)?,?b=(2?,??4)，

∴a+b=(3,?1)，而(a+b)?a=3?3=0，

∴(a+b)⊥a，故A正確；

2a+b=(4,2)，則|2a+b|=16+4=25，故B錯誤；

11.【答案】ABD

【解析】解：對于A，2sin222.5°?1=?cos45°=?22，正確；

對于B，tan71°?tan26°1+tan71°tan26°=tan(71°?26°)=tan45°=1，正確；

對于C，cos26°cos34°+sin154°sin34°=cos26°cos34°+sin26°sin34°=cos(26°?34°)=cos(?8°)=cos8°≠12，錯誤；

對于D，由于sin100°=12.【答案】?1

【解析】解：若(x?i)i=y?2i，

則1+xi=y?2i，

故x=?2，y=1，可得x+y=?1．

故答案為：?1．

應用復數(shù)乘法及復數(shù)相等得x=?2，y=1，即可得．

本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎題．13.【答案】?8

【解析】解：b?(3a+b)=3a?b14.【答案】[?4,8]

【解析】解：f(x)=cos2x?6cosx+1=2cos2x?6cosx=2(cosx?32)2?92，

由于?1≤cosx≤1，

所以當cosx=1時，函數(shù)f(x)min=?4，

當cosx=?1時，函數(shù)f(x)max=8，15.【答案】1或2；

?12；

(?【解析】(1)由題意z=(2+i)m2?3(i+1)m?2(1?i)=(2m2?3m?2)+(m2?3m+2)i

=(2m+1)(m?2)+(m?1)(m?2)i，

若z是實數(shù)，則(m?1)(m?2)=0，解得m=1或m=2；

(2)若z是純虛數(shù)，則(2m+1)(m?2)=0且(m?1)(m?2)≠0，解得m=?12；

(3)若z在復平面內對應的點在第二象限，則(2m+1)(m?2)<0(m?1)(m?2)>0，解得?12<m<1．

故實數(shù)m的取值范圍為16.【答案】221；

±【解析】解：(1)根據(jù)題意，|a|=4，|b|=2，且a與b的夾角為120°，

則(2a?b)2=4a2?2×2a?b+b2=64?4×4×2×cos120°+4=84，

變形可得|2a?b|=84=221．

(2)17.【答案】π3；

7【解析】(1)根據(jù)題意可知，bcosA?33asinB=0，由正弦定理得sinBcosA?33sinAsinB=0，

∵B∈(0,π)，可得sinB>0，∴cosA?33sinA=0，

若cosA=0，則sinA=0，不合題意，故cosA≠0，∴tanA=3，

又∵A∈(0,π)，∴A=π3；

(2)∵△ABC的面積為332，可得12bcsinA=332，可得bc=6，

又∵c=3，∴b=2，由余弦定理a2=b2+c2?2bccosA，

可得a218.【答案】2+3；

?【解析】(1)已知向量a=(1,3)，b=(sinα,cosα)．

又a//b，

所以3sinα=cosα，

所以tanα=sinαcosα=33，

所以tan(α+π4)=tanα+tanπ41?tanαtanπ4=33+11?19.【答案】S矩形CDEF=33sin(2α+π6)?36，【解析】(1)由題意∠AOC=α(0<α