《全等三角形小結(jié)（第二課時）》三角形全等的判定三邊對應(yīng)相等“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”兩邊及其夾角對應(yīng)相等兩角及其夾邊對應(yīng)相等兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等知識梳理三角形全等的判定在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，

AC=A′C′，

BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′.1.三邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或者“SSS”）.CABB′A′C′在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′.2.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或者“SAS”）.ABCB′A′C′在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′，BC=∠B′C′，∠C=∠C′，∴△ABC≌△A′B′C′.3.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或者“ASA”）.ABCB′A′C′A′在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′.4.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或者“AAS”）.ABCB′C′5.斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,AC=A′C′，BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′（HL）.ABCB′A′┐┐C′證明兩個三角形全等的基本類型已知兩邊找第三邊“SSS”找兩邊的夾角“SAS”看是否是直角三角形，若是“HL”已知兩角找兩角的夾邊“ASA”找任意一角的對邊“AAS”找這條邊的另外一個鄰角“ASA”已知一邊一角一邊和它的鄰角一邊和它的對角找這個角的另外一邊“SAS”找這條邊的對角“AAS”看這個角是否是直角，若是，找任意一條直角邊“HL”找另外任意一個角“AAS”1.如圖，AB=AC，AE=AD，BD=CE.求證：△ADC≌△AEB.證明：∵BD=CE，∴BD-ED=CE-ED，即BE=CD.

∵在△ADC和△AEB中，AD=AE，

AC=AB，

CD=BE，∴△ADC≌△AEB（SSS）.

EDABC重難剖析證明：∵AB=AC，CE=BD，∴

AB-BD=AC-CE，即AD=AE.

∵在△ADC和△AEB中,

AC=AB，

∠A=∠A，

AD=AE，∴

△ADC≌△AEB（SAS）.

2.如圖，AB=AC，CE=BD，求證:△ADC≌△AEB.ABCDEF3.如圖，已知點D在AB上，點E在AC上，BE和CD相交于點O，AB=AC，∠B=∠C.求證：BD=CE.證明：在△ADC和△AEB中，∠A=∠A，

AC=AB，

∠C=∠B，

∴△ADC≌△AEB（ASA）.

∴AD=AE.

又∵AB=AC，

∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE.

ABCDEO4.如圖，已知∠1=∠2，∠C=∠D.求證：AC=AD.證明：∵∠1=∠2，∴∠ABC=∠ABD.

在△ABC和△ABD中，∠ABC=∠ABD，

∠C=∠D，

AB=AB（公共邊），∴△ABC≌△ABD（AAS），∴AC=AD.AC2B1D可通過證△ABC≌△ABD，進而證得所求5.如圖，已知在△ABC和△ABD中，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分別為C，

D，AD=BC.求證：AC=BD.證明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D

=90°.

在Rt△ABC和Rt△BAD中，

AB=BA，

BC=AD，

∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴AC=BD.DCBA1.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：AD<（AB+AC）.能力提升分析：考慮將2AD,AB,AC轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，利用三邊關(guān)系求解證明：延長AD到點E，使得DE=AD，連接BE.∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD.在△BDE和△CDA中，BD=CD，

∠BDE=∠CDA，

DE=DA，

∴△BDE≌△CDA（SAS）.

∴BE=AC.在△ABE中，AE<AB+BE，∴2AD<AB+AC，即AD<（AB+AC）.“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形解決問題

(1)含義：將三角形的中線延長一倍，構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識解決問題.(2)過程：延長已知中線到某點，使得新線段的長度等于已知中線的長度，再利用“SAS”證明兩三角形全等（隱含條件是對頂角相等）.2.如圖，已知AC//BD，AE，BE分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點E，求證：AB=AC+BD.注意適當(dāng)添加輔助線證明：方法一（截長法）如圖，在線段AB上截取AF=AC,連接EF.∵AE，BE分別平分∠CAB和∠DBA，∴∠1=∠2，∠3=∠4.∵在△ACE和△AFE中，AC=AF，

∠1=∠2，

AE=AE，∴△ACE≌△AFE.∴∠5=∠C.

∵AC//BD，∴∠C+∠D=180°.

又∵∠5+∠6=180°，

∴∠6=∠D.∵在△EFB和△EDB中，∠6=∠D，

∠3=∠4，

BE=BE，∴△EFB≌△EDB.∴FB=BD.∴AB=AF+FB=AC+BD，即AB=AC+BD.

方法二（補短法）如圖，延長AC至點F，使得AF=AB，連接EF.∵AE，BE分別平分∠CAB和∠DBA.∴∠1=∠2，∠3=∠4.∵在△AEF和△AEB中，AF=AB，

∠1=∠2，

AE=AE，

∴△AEF≌△AEB，∴EF=EB，∠F=∠3.

∵∠3=∠4，

∴∠F=∠4.∵AC//BD，

∴∠FCE=∠D.∵在△CEF和△DEB中，∠FCE=∠D，

∠F=∠4，

EF=EB，∴△CEF≌△DEB，∴CF=BD.∵AB=AF=AC+CF，

∴AB=AC+BD.

“截長補短法”構(gòu)造全等三角形解決問題（1）截長法,即在長線段上截取一段,使其等于其中一短線段,然后證明剩下的線段等于另一短線段；（2）補短法，即延長短線段，使其延長部分等于另一短線段，再證明延長后的線段等于長線段，或者延長短線段，使其等于長線段，然后證明延長的部分等于另一短線段.3.(1)如圖，點A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，AE=CF，過點E，F(xiàn)分別作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB//CD，連接BD交EF于點G，試問EG與FG相等嗎？請說明理由.(2)將圖(1)中的△DCE沿AC方向平移得到圖(2)，其余條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.要明確圖形變換前后變化和不變得量解：（1）EG與FG相等的.理由如下：∵DE⊥AC，BF⊥AC..∴∠AFB=∠CED=90°.∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE.∵AB//CD，∴∠A=∠C.在△ABF和△CDE中，∠A=∠C，

AF=CE，

∠AFB=∠CED，

∴△ABF≌△CDE.∴BF=DE.

（2）結(jié)論仍然成立.理由如下：∵△DCE只是經(jīng)過了平移，∴△ABF≌△CDE.∴BF=DE.同理可證：△BGF≌△DGE，∴FG=EG.

在△BGF和△DGE中，∠BGF=∠DGE，∠BFG=∠DEG，

BF=DE，∴△BGF≌△DGE.∴FG=EG.

全等三角形的判定1.

下列各圖中，

a

，

b

，

c

為三角形的邊長，根據(jù)圖中標(biāo)注的數(shù)據(jù)，判

斷甲、乙、丙、丁四個三角形和如圖所示的△

ABC

不一定全等的是

(

A

)A1234567892.

如圖，在一個平分角的儀器中，

AB

＝

AD

，

BC

＝

DC

.

利用它畫圖

時，先將點

A

放在角的頂點，

AB

和

AD

沿著角的兩邊放下，沿

AC

畫一

條射線

AE

，

AE

即為所求.操作中△

ADC

≌△

ABC

依據(jù)的數(shù)學(xué)道理是

(

C

)CA.

兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等B.

兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等C.

三邊分別相等的兩個三角形全等D.

兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等第2題圖1234567893.

如圖所示，已知

BC

＝

EC

，∠

BCE

＝∠

ACD

，要使△

ABC

≌△

DEC

，則應(yīng)添加的一個條件為

(填寫一個即

可).第3題圖AC

＝

DC

(答案不唯一)

1234567894.

如圖，

AB

交

CD

于點

O

，在△

AOC

與△

BOD

中，有以下三個條件：①

OC

＝

OD

；②

AC

＝

BD

；③∠

A

＝∠

B

.

請你在上述三個條件

中選擇兩個作為條件，另一個能作為這兩個條件推出來的結(jié)論，并證明

你的結(jié)論(只要求寫出一種正確的選法).(1)你選的條件為

，結(jié)論為

；(填序號)①③

②(答案不唯一)

123456789(2)證明你的結(jié)論.

123456789

全等三角形的判定與性質(zhì)5.

如圖，

AD

＝

BC

，

AE

＝

CF

，

E

，

F

是

BD

上的兩點，

BE

＝

DF

，

∠

AEB

＝100°，∠

ADB

＝30°，則∠

BCF

的度數(shù)為(

C

)A.

30°B.

60°C.

70°D.

80°C1234567896.

如圖，已知線段

AB

＝20米，

MA

⊥

AB

于點

A

，

MA

＝6米，在線段

MA

上有一點

C

，射線

BD

⊥

AB

于點

B

，點

P

從點

B

出發(fā)向點

A

運動，

每秒走1米，點

Q

從點

B

出發(fā)向點

D

運動，每秒走3米，點

P

，

Q

同時從

點

B

出發(fā)，則出發(fā)

x

秒后，使△

CAP

與△

PBQ

全等，則

x

的值為(

A

)A.

5B.

5或10C.

10D.

6或10A123456789

1234567897.

如圖，在Rt△

ABC

中，

AC

＝

BC

，∠

ACB

＝90°，

CF

交

AB

于點

E

，

BD

⊥

CF

于點

D

，

AF

⊥

CF

.

(1)求證：

BD

＝

CF

；(1)證明：∵∠

ACB

＝90°，∴∠

ACF

＋∠

BCD

＝90°.∵

BD

⊥

CF

，∴∠

CBD

＋∠

BCD

＝90°.∴∠

ACF

＝∠

CBD

.

∵

BD

⊥

CF

，

AF

⊥

CF

，∴∠

BDC

＝∠

F

＝90°.123456789

123456789(2)若

AF

＝9，

DF

＝10，則

BD

＝

?.【解析】∵△

ACF

≌△

CBD

，

AF

＝9，∴

CD

＝

AF

＝9，

BD

＝

CF

.

∵

DF

＝10，∴

CF

＝

CD

＋

DF

＝19.∴

BD

＝

CF

＝19.19

123456789

角平分線的性質(zhì)與判定

123456789根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結(jié)論是(

A

)A.

∠1＝∠2且

CM

＝

DM

B.

∠1＝∠3且

CM

＝

DM

C.

∠1＝∠2且

OD

＝

DM

D.

∠2＝∠3且

OD

＝

DM

A1234567899.

[觀察發(fā)現(xiàn)]如圖1，

OP

平分∠

MON

，先在

OM

，

ON

上分別取

OA

，

OB

，使

OA

＝

OB

，再在

OP

上任取一點

D

，連接

AD

，

BD

，請你猜想

AD

與

BD

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.解：[觀察發(fā)現(xiàn)]