《整式的乘法與因式分解小節(jié)（第一課時(shí)）》同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.am·an=am+n

（m，n為正整數(shù)）知識(shí)梳理冪的乘方性質(zhì)：冪的乘方，

底數(shù)不變，指數(shù)相乘.(am)n=amn

（m，n為正整數(shù)）積的乘方性質(zhì)：等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，

再把所得的冪相乘(ab)n=anbn（n為正整數(shù)）整式的乘法單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則p(a+b+c)=pa+pb+pc(p,a,b,c都是單項(xiàng)式)(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq(a，b，p，q分別是單項(xiàng)式).性質(zhì)：同底數(shù)冪相除，

底數(shù)不變，指數(shù)相減同底數(shù)冪的除法am÷an=am-n（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n）.零指數(shù)冪任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1a0=1（a≠0）整式的除法單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m

(a,b,m分別是單項(xiàng)式).同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.符號(hào)表示：aman=am+n（m，n都是正整數(shù)）.同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)也適用于三個(gè)及三個(gè)以上的同底數(shù)冪相乘

amanap=am+n+p（m，n，p都為正整數(shù)）.冪的乘方的性質(zhì)：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.符號(hào)表示：(am)n=amn（m，n都是正整數(shù)）.同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)也適用于三個(gè)及三個(gè)以上的同底數(shù)冪相乘[(am)n]p=amnp（m，n，p都為正整數(shù)）.冪的乘方的性質(zhì)可以逆用，即amn=(am)n（m，n都為正整數(shù)）.積的乘方的性質(zhì)：積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.符號(hào)表示：(ab)n=

anbn（n為正整數(shù)）.同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)也適用于三個(gè)及三個(gè)以上的同底數(shù)冪相乘

(abc)n=

anbncn（n為正整數(shù)）.冪的乘方的性質(zhì)可以逆用，即anbn=(ab)n（n為正整數(shù)）單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則：一般地，單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.注意：(1)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的結(jié)果仍為單項(xiàng)式；(2)運(yùn)用單項(xiàng)式乘法法則進(jìn)行計(jì)算時(shí)，不能與合并同類項(xiàng)混淆；(3)只在一個(gè)單項(xiàng)式里面含有的字母，計(jì)算時(shí)不要遺漏.單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則：一般地，單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘就是單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.符號(hào)表示：p(a+b+c)=pa+pb+pc(p,a,b,c都是單項(xiàng)式).注意：多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)，根據(jù)去括號(hào)法則，積的符號(hào)由單項(xiàng)式的符號(hào)與多項(xiàng)式的符號(hào)共同決定.多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則：一般地，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.符號(hào)表示：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq（a，b，p，q分別是單項(xiàng)式）.注意：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，要按照一定的順序進(jìn)行，做到不重不漏.同底數(shù)冪的除法性質(zhì)：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.符號(hào)表示：am÷am=am-m

(a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n）.注意：(1)底數(shù)a可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，但不可以是0；(2)同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)是相減而不是相除.零指數(shù)冪的性質(zhì)：任何不等于0的數(shù)的零次冪都等于1.符號(hào)表示：a0=1(a≠0).注意:零指數(shù)冪中的底數(shù)可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，但不可以是0；單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：一般地，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.注意：(1)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式時(shí)，注意單項(xiàng)式的系數(shù)應(yīng)包括它前面的符號(hào)；(2)相同的單項(xiàng)式相除，結(jié)果是1；(3)不要遺漏只在被除式中出現(xiàn)而除式中沒有的字母及字母的指數(shù).多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加.符號(hào)表示：(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m（a，b，m分別是單項(xiàng)式）.注意：(1)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，被除式里有幾項(xiàng)，商應(yīng)該也有幾項(xiàng)；(2)計(jì)算時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)包括它前面的符號(hào)，要注意符號(hào)的變化.1.計(jì)算4x4y3z÷3x2z.分析：本題考查的是單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則，觀察被除式與除式中，字母y只在被除式中出現(xiàn)，所以作為商直接寫下來，其他的依次計(jì)算.重難剖析

分析：(1)考查單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的計(jì)算法則及同底數(shù)冪的乘法法則；(2)考查單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則及同底數(shù)冪的乘法法則、積的乘方運(yùn)算法則；(3)考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則及同底數(shù)冪的乘法法則.2.計(jì)算下列式子：4m2?2mn;

(2)(2x)2(3x-y)

;

(3)(2x+y)(3x-y)

.解：(1)4m2?2mn=8m3n;

(2)(2x)2(3x-y)=4x2(3x-y)=12x3-4x2y;(3)(2x+y)(3x-y)=6x2-2xy+3xy-y2=6x2+xy-y2

.2.計(jì)算下列式子：4m2?2mn;

(2)(2x)2(3x-y)

;

(3)(2x+y)(3x-y)

.分析：(1)考查單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算法則及同底數(shù)冪的除法；

(2)考查多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算法則及同底數(shù)冪的除法.3.計(jì)算下列式子：(1)

(2)

解：

3.計(jì)算下列式子：

1.整式的混合運(yùn)算：(1)(2)[(-2xy)3(2x2y)2-xy2(-4xy2)2]÷(-16x2y3);(3)x(2x+1)-(x-3)(2x-1).能力提升括號(hào)加減乘除乘方然后再最后同級(jí)運(yùn)算從左往右

思路引導(dǎo)解：(1)1.整式的混合運(yùn)算：(1)

解：(2)[(-2xy)3(2x2y)2-xy2(-4xy2)2]÷(-16x2y3)=[(-8x3y3)(4x4y2)-xy2(16x2y4)]÷(-16x2y3)=(-32x7y5-16x3y6)÷(-16x2y3)=2x5y2+xy3;(2)[(-2xy)3(2x2y)2-xy2(-4xy2)2]÷(-16x2y3);(3)x(2x+1)-(x-3)(2x-1)=2x2+x-(2x2-x-6x+3)=2x2+x-(2x2-7x+3)=2x2+x-2x2+7x-3=8x-3.(3)x(2x+1)-(x-3)(2x-1).2.若2x-m與x2+3x-n的乘積中不含x

的一次項(xiàng)和x

的二次項(xiàng)，求m，n的值.分析：根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則將多項(xiàng)式展開，展開式中不含哪一項(xiàng)，即該項(xiàng)的系數(shù)為0，由此可以得到關(guān)于所求字母系數(shù)的方程（組），解方程（組）即可.故而本題先化簡(jiǎn)2x-m與x2+3x-n的乘積.解：(2x-m)(x2+3x-n)=2x3+6x2-2nx-mx2-3mx+mn.=2x3+(6-m)x2+(-2n-3m)x+mn.因?yàn)槌朔e中不含x的一次項(xiàng)和x的二次項(xiàng)，所以6-m=0，-2n-3m=0.解得m=6，n=-9.2.若2x-m與x2+3x-n的乘積中不含x

的一次項(xiàng)和x

的二次項(xiàng)，求m，n的值.3.一個(gè)長(zhǎng)方形的紙片，長(zhǎng)4a+3b，寬3a+2b，在它的四個(gè)角處各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的小正方形，然后折成一個(gè)無蓋的盒子，求這個(gè)無蓋盒子的表面積.3a+2ba+b4a+3b解析：先根據(jù)數(shù)量關(guān)系“無蓋盒子的表面積=長(zhǎng)方形紙片的面積-四個(gè)小正方形的面積”列出式子，再利用多項(xiàng)式乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可.3.一個(gè)長(zhǎng)方形的紙片，長(zhǎng)4a+3b，寬3a+2b，在它的四個(gè)角處各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的小正方形，然后折成一個(gè)無蓋的盒子，求這個(gè)無蓋盒子的表面積.解：這個(gè)無蓋盒子的表面積是(4a+3b)(3a+2b)-4(a+b)2=12a2+8ab+9ab+6b2-4(a2+2ab+b2)=

12a2+17ab+6b2-4a2-8ab-4b2=8a2+9ab+2b2.3a+2ba+b4a+3b3.一個(gè)長(zhǎng)方形的紙片，長(zhǎng)4a+3b，寬3a+2b，在它的四個(gè)角處各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的小正方形，然后折成一個(gè)無蓋的盒子，求這個(gè)無蓋盒子的表面積.

冪的運(yùn)算

A.

3B.

4C.

6D.

92.

不一定相等的一組是(

D

)A.

a

＋

b

與

b

＋

a

B.

3

a

與

a

＋

a

＋

a

C.

a3與

a

·

a

·

a

D.

3(

a

＋

b

)與3

a

＋

b

BD123456789101112131415161718193.

已知

a

＝255，

b

＝344，

c

＝433，

d

＝522，則這四個(gè)數(shù)從大到小排列

是

?.【解析】

a

＝255＝3211，

b

＝344＝8111，

c

＝433＝6411，

d

＝522＝2511，

∵81＞64＞32＞25，∴

b

＞

c

＞

a

＞

d

.b

＞

c

＞

a

＞

d

123456789101112131415161718194.

在冪的運(yùn)算中規(guī)定：若

ax

＝

ay

(

a

＞0且

a

≠1，

x

，

y

是正整數(shù))，則

x

＝

y

，利用上面結(jié)論解答下列問題：(1)若9

x

＝36，求

x

的值；解：∵9

x

＝36，32

x

＝36，∴2

x

＝6.解得

x

＝3.12345678910111213141516171819(2)若3

x＋2－3

x＋1＝18，求

x

的值；解：∵3

x＋2－3

x＋1＝18，∴3

x＋1×3－3

x＋1＝18.∴2×3

x＋1＝2×32.∴

x

＋1＝2.解得

x

＝1.12345678910111213141516171819(3)若

m

＝2

x

＋1，

n

＝4

x

＋2

x

，用含

m

的代數(shù)式表示

n

.解：∵

m

＝2

x

＋1，

n

＝4

x

＋2

x

，∴2

x

＝

m

－1.∴

n

＝(2

x

)2＋2

x

＝2

x

(2

x

＋1)＝

m

(

m

－1)＝

m2－

m

.12345678910111213141516171819

整式的乘除5.

(唐山路北區(qū)期中)如果(

x

＋

m

)(

x

－5)＝

x2－3

x

＋

k

，那么

k

，

m

的值分別是(

C

)A.

k

＝10，

m

＝2B.

k

＝10，

m

＝－2C.

k

＝－10，

m

＝2D.

k

＝－10，

m

＝－2C12345678910111213141516171819

(2)(30

x4－20

x3＋10

x

)÷10

x

；解：原式＝3

x3－2

x2＋1.(3)(

x

－3

y

)(3

x

＋

y

).解：原式＝3

x2－3

y2－8

xy

.123456789101112131415161718197.

先化簡(jiǎn)，再求值：已知

x

(

x

－1)－(

x2－

y

)＝－3，求

x2＋

y2－2

xy

的值.解：∵

x

(

x

－1)－(

x2－

y

)＝－3，∴

x2－

x

－

x2＋

y

＝－3.∴

x

－

y

＝3.

∴

x2＋

y2－2

xy

＝(

x

－

y

)2＝32＝9.8.

小明與小樂兩人共同計(jì)算(2

x

＋

a

)(3

x

＋

b

)，小明抄錯(cuò)為(2

x

－

a

)(3

x

＋

b

)，得到的結(jié)果為6

x2－13

x

＋6；小樂抄錯(cuò)為(2

x

＋

a

)(

x

＋

b

)，得到

的結(jié)果為2

x2－

x

－6.(1)式子中的

a

，

b

的值各是多少？12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819(2)請(qǐng)計(jì)算出原題的答案.解：(2)(2

x

＋

a

)(3

x

＋

b

)＝(2

x

＋3)(3

x

－2)＝6

x2＋5

x

－6.12345678910111213141516171819

乘法公式9.

(2

m

＋3)(－2

m

－3)的計(jì)算結(jié)果是(

C

)A.

4

m2－9B.

－4

m2－9C.

－4

m2－12

m

－9D.

－4

m2＋12

m

－910.

若

a4＋

b4＋

a2

b2＝5，

ab

＝2，則

a2＋

b2的值是(

B

)A.

－2B.

3C.

±3D.

2【解析】∵

ab

＝2，∴

a2

b2＝4.∴

a4＋

b4＝1.∵

a4＋

b4＋2

a2

b2＝(

a2＋

b2)2＝1＋2×4＝9，∴

a2＋

b2＝3.CB1234567891011121314151617181911.

(石家莊第40中學(xué)期中)當(dāng)

n

為自然數(shù)時(shí)，(

n

＋1)2－(

n

－3)2一

定能被下列哪個(gè)數(shù)整除(

D

)A.

5B.

6C.

7D.

8【解析】(

n

＋1)2－(

n

－3)2＝(

n

＋1＋

n

－3)(

n

＋1－

n

＋3)＝4(2

n

－2)＝8(

n

－1)，∴當(dāng)

n

為自然數(shù)時(shí)，(

n

＋1)2－(

n

－3)2一定能被8整除.D1234567891011121314151617181912.

若

x

，

y

均為實(shí)數(shù)，43

x

＝2

021，47

y

＝2

021，則43

xy

×47

xy

＝(

)

x＋

y

.【解析】∵43

x

＝2

021，47

y

＝2

021，∴43

xy

×47

xy

＝(43

x

)

y

×(47

y

)

x

＝2

021

y

×2

021

x

＝2

021

x＋

y

.2021

1234567891011121314151617181913.

現(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的長(zhǎng)方形紙片(邊長(zhǎng)如圖).(1)取甲、乙紙片各1塊，其面積和為

?；【解析】(1)∵甲、乙都是正方形紙片，其邊長(zhǎng)分別為

a

，

b

，∴取甲、乙紙片各1塊，其面積和為

a2＋

b2.a2＋

b2

12345678910111213141516171819(2)嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個(gè)大正方形，先取甲紙片1塊，再

取乙紙片4塊，還需取丙紙片

塊.【解析】(2)要用這三種紙片緊密拼接成一個(gè)大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，則它們的面積和為

a2＋4

b2，若再加上4

ab

(剛好是4個(gè)丙)，則a2＋4

b2＋4

ab

＝(

a

＋2

b

)2，則剛好能組成邊長(zhǎng)為

a

＋2

b

的正方形，如圖所示，∴應(yīng)取丙紙片4塊.4

12345678910111213141516171819

因式分解14.

(邯鄲永年區(qū)期末)下列多項(xiàng)式因式分解：①

x2－6

xy

＋9

y2＝(

x

－3

y

)2；②16＋

a4＝(4＋

a2)(4－

a2)；③25

ab2＋10

ab

＋5

b

＝5

b

(5

ab

＋2

a

)④

x2－(2

y

)2＝(

x

－2

y

)(

x

＋2

y

).其中正確的有(

B

)A.

1個(gè)B.

2個(gè)C.

3個(gè)D.

4個(gè)【解析】①

x2－6

xy

＋9

y2＝(

x

－3

y

)2是正確的；②16＋

a4不能因式分解，故原來的因式分解錯(cuò)誤；③25

ab2＋10

ab

＋5

b

＝5

b

(5

ab

＋2

a

＋1)，故原來的因式分解錯(cuò)誤；④

x2－(2

y

)2＝(

x

－2

y

)(

x

＋2

y

)是正確的；故其中正確的有2個(gè).B1234567891011121314151617181915.

(邢臺(tái)平鄉(xiāng)縣期末)已知

x

，

y

，

z

是正整數(shù)，

x

＞

y

，且

x2－

xy

－

xz

＋

yz

＝23，則

x

－

z

等于(

B

)A.

－1B.

1或23C.

1D.

－1或－23B12345678910111213141516171819

1234567891011121314151617181916.

若｜

a

＋2｜＋

a2－4

ab

＋4

b2＝0，則

a

＝

，

b

＝

?.17.

老師有(

n

＋5)2－(

n

－1)2個(gè)禮物(其中

n

≥1，且

n

為整數(shù))，現(xiàn)在將

這些禮物平均分給班級(jí)的同學(xué)，恰好能分完，那么下列選項(xiàng)中：①4

個(gè)；②12個(gè)；③(

n

＋2)個(gè)；③(6

n

＋8)個(gè)，可以是班級(jí)的同學(xué)個(gè)數(shù)的

是

?.－2

－1

①②③

12345678910111213141516171819【解析】(

n

＋5)2－(

n

－1)2＝(

n

＋5＋

n

－1)(

n

＋5－

n

＋1)＝12

n

＋24，∵12

n

＋24＝4(3

n

＋6)，12

n

＋24＝12(

n

＋2)，12

n

＋24＝2(6

n

＋12)，∴(

n

＋5)2－(

n

－1)2能夠被4或12或

n

＋2整除.∴班級(jí)的同學(xué)個(gè)數(shù)可以是4或12或

n

＋2.1234567891011121314151617181918.

分解因式：(1)6

ab3－24

a3

b

；解：原式＝6

ab

(

b