第二節(jié)用樣本估計總體高三一輪復(fù)習(xí)講義湘教版第九章統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析課程標(biāo)準(zhǔn)1.會用統(tǒng)計圖表對總體進行估計，會求n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).

2.能用數(shù)字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度.0403考教銜接精研教材課時測評02考點探究提升能力教材梳理夯實基礎(chǔ)01內(nèi)容索引教材梳理夯實基礎(chǔ)

出現(xiàn)次數(shù)最多中間平均數(shù)微提醒

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的比較名稱優(yōu)點缺點平均數(shù)與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息，對樣本中的極端值更加敏感任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變.數(shù)據(jù)越“離群”，對平均數(shù)的影響越大中位數(shù)不受數(shù)據(jù)組中極端值的影響具有較好的穩(wěn)定性對極端值不敏感眾數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢眾數(shù)是一個位置代表值，它不受數(shù)據(jù)中極端值的影響

最大值最小值最大值最小值

R

3.用頻率分布直方圖估計總體分布眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系(1)平均數(shù)：在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的_______與小矩形的_____的乘積之和近似代替.(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該_____.(3)眾數(shù)：眾數(shù)是頻率分布直方圖中_____矩形所在區(qū)間的中點所對應(yīng)的數(shù)據(jù).橫坐標(biāo)面積相等最高4.百分位數(shù)(1)定義：百分位數(shù)是位于按從小到大的順序排列的一組數(shù)據(jù)中某一個百分位置的數(shù)值，以Pr表示，其中r是區(qū)間[1，99]內(nèi)的整數(shù).一個百分位數(shù)Pr將總體或樣本的全部觀測值分為兩部分，至少有___的觀測值小于或等于它，且至少有________的觀測值大于或等于它，當(dāng)r%=_____時，Pr即對應(yīng)中位數(shù).(2)計算一組n個數(shù)據(jù)的第P百分位數(shù)的步驟第1步，按__________排列原始數(shù)據(jù).第2步，計算c=______.第3步，若c不是整數(shù)，用m表示比c大的最小整數(shù)，則所求Pr是___，如果c是整數(shù)，則所求的Pr是________.r%(100-r)%50%從小到大n×r%xm

常用結(jié)論

自主檢測1.(多選)下列說法正確的是A．對一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近B．方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位C．如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變D．在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)是眾數(shù)√√2.平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)，在如圖兩種分布形態(tài)中，a，b，c，d分別對應(yīng)平均數(shù)和中位數(shù)之一，則可能的對應(yīng)關(guān)系是A．a(chǎn)為中位數(shù)，b為平均數(shù)，c為平均數(shù)，d為中位數(shù)B．a(chǎn)為平均數(shù)，b為中位數(shù)，c為平均數(shù)，d為中位數(shù)C．a(chǎn)為中位數(shù)，b為平均數(shù)，c為中位數(shù)，d為平均數(shù)D．a(chǎn)為平均數(shù)，b為中位數(shù)，c為中位數(shù)，d為平均數(shù)√在頻率分布直方圖中，中位數(shù)兩側(cè)小矩形的面積和相等，平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)與小矩形的面積之積的和近似代替，結(jié)合兩個頻率分布直方圖得：a為中位數(shù)，b為平均數(shù)，c為平均數(shù)，d為中位數(shù).故選A．3.某車間12名工人一天生產(chǎn)某產(chǎn)品(單位：kg)的數(shù)量分別為13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，則所給數(shù)據(jù)的第25，50，75百分位數(shù)分別是

.

13.7，14.7，15.34.(用結(jié)論)已知x1，x2，…，x10的平均值為6，方差為3，則2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的平均值為

，方差為

.

新數(shù)據(jù)的平均值為2×6-1=11，新數(shù)據(jù)的方差為22×3=12.1112返回考點探究提升能力考點一百分位數(shù)的估計

自主練透在五個數(shù)中，第三四分位數(shù)為第二大的數(shù)，故1，2，3，4，x中第二大的數(shù)是x，所以3≤x≤4.故選C．

√2.某工廠隨機抽取部分工人，對他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示，則該組數(shù)據(jù)的產(chǎn)品件數(shù)的第60百分位數(shù)是A．8.5

B．9

C．9.5

D．10√抽取的工人總數(shù)為20，20×60%=12，那么第60百分位數(shù)是所有數(shù)據(jù)從小到大排序后的第12項與第13項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，第12項與第13項數(shù)據(jù)分別為9，9，所以第60百分位數(shù)是P60=9.故選B．件數(shù)7891011人數(shù)365423.為了解“雙減”政策實施后學(xué)生每天的體育活動時間，研究人員隨機調(diào)查了某地區(qū)1

000名學(xué)生每天進行體育運動的時間，按照時長(單位：min)分成6組：第一組[30，40)，第二組[40，50)，第三組[50，60)，第四組[60，70)，第五組[70，80)，第六組[80，90]，經(jīng)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則可以估計該地區(qū)學(xué)生每天體育活動時間的第25百分位數(shù)約為

min.

47.54.如圖所示是由某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位：℃)繪制的折線統(tǒng)計圖，由圖可知這10天最低氣溫的第80百分位數(shù)是

.

2計算一組n個數(shù)據(jù)第p百分位數(shù)的步驟規(guī)律方法考點二總體集中趨勢的估計

師生共研典例1(1)某射擊運動員進行打靶練習(xí)，已知打十槍每發(fā)的環(huán)數(shù)分別為9，10，7，8，10，10，6，8，9，7，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有A．a(chǎn)>b>c

B．c>a>b C．b>c>a

D．c>b>a√

(2)(多選)某城市在創(chuàng)建文明城市的活動中，為了解居民對“創(chuàng)建文明城市”的滿意程度，組織居民給活動打分(分?jǐn)?shù)為整數(shù)，滿分100分)，從中隨機抽取一個容量為100的樣本，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)均在[40，100]內(nèi).現(xiàn)將這些分?jǐn)?shù)分成6組并畫出樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形，如圖所示.觀察圖形，則下列說法正確的是A．頻率分布直方圖中第三組的頻數(shù)為10B．根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的眾數(shù)為75分C．根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的中位數(shù)為75分D．根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)為75分√√√分?jǐn)?shù)在[60，70)內(nèi)的頻率為1-10×(0.005+0.020+0.030+0.025+0.010)=0.10，所以第三組的頻數(shù)為100×0.10=10，故A正確；因為眾數(shù)的估計值是頻率分布直方圖中最高矩形底邊的中點的橫坐標(biāo)，從圖中可看出眾數(shù)的估計值為75分，故B正確；因為(0.005+0.020+0.010)×10=0.35<0.5，(0.005+0.020+0.010+0.030)×10=0.65>0.5，所以中位數(shù)位于[70，80)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則0.35+0.03(x-70)=0.5，解得x=75，所以中位數(shù)的估計值為75分，故C正確；樣本平均數(shù)的估計值為45×(10×0.005)+55×(10×0.020)+65×(10×0.010)+75×(10×0.030)+85×(10×0.025)+95×(10×0.010)=73(分)，故D錯誤.故選ABC．頻率分布直方圖中的數(shù)字特征1.眾數(shù)：最高矩形的底邊中點的橫坐標(biāo).2.中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等.3.平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點值與對應(yīng)頻率之積的和.規(guī)律方法對點練1.(1)(2024·新課標(biāo)Ⅱ卷)某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量(單位：kg)并整理得下表：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1

050

kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1

100

kg的稻田所占比例超過80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200

kg至300

kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900

kg至1

000

kg之間√畝產(chǎn)量[900，950)[950，1

000)[1

000，1

050)頻數(shù)61218畝產(chǎn)量[1

050，1

100)[1

100，1

150)[1

150，1

200)頻數(shù)302410

畝產(chǎn)量[900，950)[950，1

000)[1

000，1

050)頻數(shù)61218畝產(chǎn)量[1

050，1

100)[1

100，1

150)[1

150，1

200)頻數(shù)302410(2)(多選)(2024·山東菏澤三模)某燈具配件廠生產(chǎn)了一種塑膠配件，該廠質(zhì)檢人員某日隨機抽取了100個該配件的質(zhì)量指標(biāo)值(單位：分)作為一個樣本，得到如下所示的頻率分布直方圖，則(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)A．m=0.030B．樣本質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為75C．樣本質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)小于其平均數(shù)D．樣本質(zhì)量指標(biāo)值的第75百分位數(shù)為85√√√

考點三總體離散程度的估計

多維探究典例2

試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536

試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536

試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536利用樣本的方差、標(biāo)準(zhǔn)差解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)1.標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.2.用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征.規(guī)律方法角度2

分層隨機抽樣的方差與標(biāo)準(zhǔn)差(2025·黑龍江哈爾濱模擬)某校有高中生2

000人，為了獲得該校全體高中生的身高信息，抽取了男、女生樣本量均為25的樣本，計算得到男生樣本的均值為170，方差為16，女生樣本的均值為160，方差為20，則總樣本的方差為

.

43典例3

規(guī)律方法對點練2.(1)(2025·湖南長沙一模)為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時間均值為9小時，方差為1，抽取高中生1

200人，其每天睡眠時間均值為8小時，方差為0.5，則估計該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的方差為

A．0.94

B．0.96

C．0.75

D．0.78√

(2)甲、乙兩名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機抽取8次，記錄如下：①求兩位學(xué)生預(yù)賽成績的平均數(shù)和方差；甲8281797895889384乙9295807583809085

②現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適?請說明理由.甲8281797895889384乙9295807583809085

返回考教銜接精研教材真題再現(xiàn)1.(多選)(2021·新高考Ⅰ卷)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi=xi+c(i=1，2，…，n)，c為非零常數(shù)，則

A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同√√

2.(多選)(2023·新高考Ⅰ卷)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，

x6是最大值，則A．x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)B．x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)C．x2，x3，x4，x5

的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差√√

返回教材呈現(xiàn)

課時測評1.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是A．中位數(shù)

B．平均數(shù)

C．方差

D．極差√記9個原始評分分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i(按從小到大的順序排列)，易知e為7個有效評分與9個原始評分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù).故選A．2.據(jù)某地區(qū)氣象局發(fā)布的氣象數(shù)據(jù)，未來十天內(nèi)該地區(qū)每天最高溫度(單位：℃)分別為31，29，24，27，26，25，24，26，26，23，則這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為

A．27

B．26.5

C．25.5

D．25√

3.(2022·全國甲卷理)某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖，則A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差√

√

5.(2024·八省聯(lián)考)某同學(xué)擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，根據(jù)5次的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是A．中位數(shù)是3，眾數(shù)是2 B．平均數(shù)是3，中位數(shù)是2C．方差是2.4，平均數(shù)是2 D．平均數(shù)是3，眾數(shù)是2√

6.(多選)為了堅持健康第一的教育理念，加強學(xué)校體育工作，推動青少年文化學(xué)習(xí)和體育鍛煉協(xié)調(diào)發(fā)展，某學(xué)校對高一年級學(xué)生每周在校體育鍛煉時長(單位：小時)進行了統(tǒng)計，得到如下頻率分布表：則下列關(guān)于高一年級學(xué)生每周體育鍛煉時長的說法中正確的是A．眾數(shù)約為2.5B．中位數(shù)約為3.83C．平均數(shù)為3.95D．第80百分位數(shù)約為P80=5.2√√分組[2，3)[3，4)[4，5)[5，6]頻率0.250.300.200.25√

分組[2，3)[3，4)[4，5)[5，6]頻率0.250.300.200.257.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為2，2，3，x，5，5，若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為

.

5

9.(10分)某中藥產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好.為了提高中藥產(chǎn)品的質(zhì)量，我國醫(yī)療科研專家攻堅克難，研發(fā)出A，B兩種新配方，在這兩種新配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取數(shù)量相同的樣本，測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，規(guī)定質(zhì)量指標(biāo)值小于85為廢品，在[85，115)內(nèi)為一等品，不小于115為特等品.現(xiàn)把測量數(shù)據(jù)整理如下，其中B配方的樣本中有6件廢品.

A配方的頻數(shù)分布表

B配方的頻率分布直方圖質(zhì)量指標(biāo)值[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125]頻數(shù)8a36248

A配方的頻數(shù)分布表B配方的頻率分布直方圖質(zhì)量指標(biāo)值[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125]頻數(shù)8a36248

A配方的頻數(shù)分布表B配方的頻率分布直方圖質(zhì)量指標(biāo)值[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125]頻數(shù)8a36248

A配方的頻數(shù)分布表B配方的頻率分布直方圖質(zhì)量指標(biāo)值[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125]頻數(shù)8a3624810.(12分)甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，每次中靶環(huán)數(shù)情況如圖所示.(1)請?zhí)顚懴卤?寫出計算過程)：(5分)解：由題圖知，甲射擊10次中靶環(huán)數(shù)分別為9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.將它們由小到大排列為5，6，6，7，7，7，7，8，8，9.乙射擊10次中靶環(huán)數(shù)分別為2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.將它們由小到大排列為2，4，6，7，7，8，8，9，9，10.

平均數(shù)方差命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)甲

乙

平均數(shù)方差命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)甲71.21乙75.43

11.(多選)(2025·重慶模擬)創(chuàng)新，是一個民族進步的靈魂，是一個國家興旺發(fā)達的不竭源泉.為支持中小企業(yè)創(chuàng)新發(fā)展，國家決定對部分創(chuàng)新型企業(yè)的稅收進行適當(dāng)減免，現(xiàn)在全國調(diào)查了100家中小企業(yè)年收入情況，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是A．樣本中年收入在[500，600)的中小企業(yè)約有16家B．樣本的中位數(shù)大于400萬元C．估計全國中小企業(yè)年收入的平均數(shù)為376萬元D．樣本在區(qū)間[500，700]內(nèi)的頻數(shù)為18√√由題圖，得(0.001+0.002+0.002

6+0.002

6+x+0.000

4)×100=1，解得x=0.001

4，所以年收入在[500，600)的中小企業(yè)約有0.001

4×100×100=14(家)，故A不正確；因為(0.001+0.002)