第七節(jié)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)高三一輪復(fù)習(xí)講義湘教版第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).

2.通過(guò)具體實(shí)例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.能畫(huà)出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與圖象中的特殊點(diǎn).

3.知道對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù).0403考教銜接精研教材課時(shí)測(cè)評(píng)02考點(diǎn)探究提升能力教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)01內(nèi)容索引教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)

常用對(duì)數(shù)將以____為底的對(duì)數(shù)叫作常用對(duì)數(shù)把log10N記為lgN

自然對(duì)數(shù)將以無(wú)理數(shù)e=___________為底的對(duì)數(shù)叫作自然對(duì)數(shù)把logeN記為_(kāi)_____b=logaNaNN10102.71828…lnN

logaM+logaNnlogaMlogaM-logaN

logad3.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)表達(dá)式y(tǒng)=logax(0<a<1)y=logax(a>1)圖象定義域__________值域____________性質(zhì)函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)________，即loga1=0當(dāng)x>1時(shí)，______；當(dāng)0<x<1時(shí)，______當(dāng)x>1時(shí)，______；當(dāng)0<x<1時(shí)，______在(0，+∞)上______在(0，+∞)上______(0，+∞)(-∞，+∞)(1，0)y<0y>0y>0y<0遞減遞增微提醒y=logax(a>0且a≠1)的圖象只在第一、四象限，即在直線x=0的右側(cè).4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax和對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線______軸對(duì)稱.y=x常用結(jié)論

自主檢測(cè)

√√

√

3.log23·log34·log42=________.

1log23·log34·log42=log22=1.

(4，－1)

返回考點(diǎn)探究提升能力考點(diǎn)一對(duì)數(shù)的運(yùn)算

多維探究

典例1

√

典例2

√

1.對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路

(1)拆：首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并.

(2)合：將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算.

2.指對(duì)互化的轉(zhuǎn)化技巧

對(duì)于將指數(shù)恒等式ax=by=cz作為已知條件，求函數(shù)f(x，y，z)的值的問(wèn)題，通常設(shè)ax=by=cz=k(k>0)，則x=logak，y=logbk，z=logck，將x，y，z的值代入函數(shù)f(x，y，z)求解. 規(guī)律方法

√

5

考點(diǎn)二指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用

師生共研典例1

√

√√

解決指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟第一步：理解題意、理清條件與所求之間的關(guān)系；

第二步：運(yùn)用指數(shù)或?qū)?shù)的運(yùn)算公式、性質(zhì)等進(jìn)行運(yùn)算，把題目條件轉(zhuǎn)化為所求.規(guī)律方法

√

(2)(多選)(2025·安徽六安期末)地震釋放的能量E與地震震級(jí)M之間的關(guān)系式為lgE=4.8+1.5M，2024年8月12日日本宮崎縣發(fā)生的7.1級(jí)地震釋放的能量為E1，2023年1月28日伊朗西北發(fā)生的5.9級(jí)地震釋放的能量為E2，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼馬拉什省發(fā)生的7.7級(jí)地震釋放的能量為E3，下列說(shuō)法正確的是A．E1約為E2的10倍B．E3超過(guò)E2的100倍C．E3超過(guò)E1的10倍D．E3低于E1的10倍√√

考點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

自主練透1.函數(shù)y=logax與y=－x+a在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是√當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y=logax的圖象為選項(xiàng)B，D中過(guò)點(diǎn)(1，0)的曲線，此時(shí)函數(shù)y=－x+a的圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)a應(yīng)滿足a>1，選項(xiàng)B，D中的圖象都不符合要求；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y=logax的圖象為選項(xiàng)A，C中過(guò)點(diǎn)(1，0)的曲線，此時(shí)函數(shù)y=－x+a的圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)a應(yīng)滿足0<a<1，只有選項(xiàng)A中的圖象符合要求.故選A．2.(2024·廣東佛山模擬)已知函數(shù)f(x)=|lnx|，若0<a<b，且f(a)=f(b)，則a+2b的取值范圍是________.

(3，+∞)

(1，+∞)問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)y=f(x)與y=－x+a的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可知a>1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，+∞).對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用方法1.在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).

2.一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.規(guī)律方法

√√由圖象可知f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以a>1，故C錯(cuò)誤；令f(x)=loga(x－b)=0，即x=b+1，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為b+1，結(jié)合函數(shù)圖象可知0<b+1<1，所以－1<b<0，故A正確；因此a+b>0，故B正確；因?yàn)?<|b|<1，所以loga|b|<loga1，即loga|b|<0，故D正確.故選ABD．√

考點(diǎn)四對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

多維探究典例4

√

比較對(duì)數(shù)式大小的方法

規(guī)律方法若底數(shù)相同，真數(shù)不同若底數(shù)為同一常數(shù)，可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷；若底數(shù)為同一字母，則需對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論若底數(shù)不同，真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較若底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1，0等中間量進(jìn)行比較

典例5

求解對(duì)數(shù)不等式的兩種類型及方法1.logax>logab：借助y=logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況討論.

2.logax>b：需先將b化為以a為底的對(duì)數(shù)式的形式，再借助y=logax的單調(diào)性求解.規(guī)律方法

√√典例6√

解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題需關(guān)注三點(diǎn)一是定義域，所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論；

二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；

三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則確定函數(shù)的單調(diào)性.規(guī)律方法

√

(2)(2024·廣東深圳聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=loga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0，2)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．(1，3] B．(1，3)C．(0，1) D．(1，+∞)√

√√

返回考教銜接精研教材真題再現(xiàn)

64

(湘教版必修一P126T15)已知log4(x+2)+log2(x+2)2=5，求x的值.點(diǎn)評(píng)：高考題與教材習(xí)題都是通過(guò)解方程來(lái)考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式等基本知識(shí)技能.教材呈現(xiàn)

√真題再現(xiàn)

教材呈現(xiàn)

√

真題再現(xiàn)

教材呈現(xiàn)返回課時(shí)測(cè)評(píng)

√

√

√

√

5.(多選)(2024·山東煙臺(tái)模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象與g(x)=2x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，令h(x)=f(1－|x|)，則關(guān)于函數(shù)h(x)，下列說(shuō)法正確的是A．h(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．h(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C．h(x)的最大值為0 D．h(x)在區(qū)間(－1，1)上單調(diào)遞增√√由題意得f(x)=log2x，則h(x)=log2(1－|x|)，為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤，B正確；根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可知D錯(cuò)誤；因?yàn)?－|x|≤1，所以h(x)≤log21=0，故C正確.故選BC．

√√√

10

8.(開(kāi)放題)(2024·廣東韶關(guān)模擬)已知函數(shù)f(x)滿足：①定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，+∞)；②值域?yàn)镽；③f(－x)=f(x)，則一個(gè)滿足上述條件的函數(shù)f(x)=__________________.

ln|x|(答案不唯一)f(x)=ln

|x|的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，+∞)，值域?yàn)镽，且f(－x)=ln

|－x|=ln

|x|=f(x)，因此f(x)=ln

|x|符合題意.9.已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)－|x|，則不等式f(x)>0的解集是________.

(0，1)不等式f(x)>0?log2(x+1)>|x|，分別畫(huà)出函數(shù)y=log2(x+1)和y=|x|的圖象，由圖象可知y=log2(x+1)和y=|x|的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，分別是(0，0)和(1，1)，由圖象可知log2(x+1)>|x|的解集是(0，1)，即不等式f(x)>0的解集是(0，1).

√

13.設(shè)實(shí)數(shù)a