專題限時(shí)集訓(xùn)(八)空間幾何體表面積或體積的求解(對應(yīng)學(xué)生用書第130頁)[建議A、B組各用時(shí)：45分鐘][A組高考達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．一個(gè)正方體截去兩個(gè)角后所得幾何體的正視圖、側(cè)視圖如圖8-16所示，則其俯視圖為()圖8-16 C[根據(jù)正視圖和側(cè)視圖知，正方體截取的兩個(gè)角是在同一個(gè)面上的兩個(gè)相對的角，所以它的俯視圖是一個(gè)正方形，正方形的右下角是以一個(gè)實(shí)線畫出的三角形，左上角是一個(gè)以實(shí)線畫出的三角形，依題意可知該幾何體的直觀圖如圖所示，故選C.]2．(2017·杭州學(xué)軍中學(xué)高三模擬)已知某幾何體的三視圖如圖8-17所示，則該幾何體的表面積為()圖8-17 A．16 B．26 C．32 D．20＋eq\f(25,4)eq\r(3) C[由三視圖可知該幾何體的直觀圖如下，由圖可知，該幾何體的各個(gè)面都是直角三角形，故表面積為eq\f(1,2)×(4×5＋3×4＋4×3＋4×5)＝32，故選C.3．在三棱錐P-ABC中，AB＝BC＝eq\r(15)，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，則該三棱錐的外接球表面積為()【導(dǎo)學(xué)號：】 A.eq\f(25,3)B.eqB.\f(25,2)π C.eq\f(83,3)D.eqD.\f(83,2)π D[由題可知，△ABC中AC邊上的高為eq\r(15－32)＝eq\r(6)，球心O在底面ABC的投影即為△ABC的外心D，設(shè)DA＝DB＝DC＝x，∴x2＝32＋(eq\r(6)－x)2，解得x＝eq\f(5,4)eq\r(6)，∴R2＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PC,2)))2＝eq\f(75,8)＋1＝eq\f(83,8)(其中R為三棱錐外接球的半徑)，∴外接球的表面積S＝4πR2＝eq\f(83,2)π，故選D.]4．已知某幾何體的三視圖如圖8-18所示，其中俯視圖是正三角形，則該幾何體的體積為()圖8-18 A.eq\r(3) B．2eq\r(3) C．3eq\r(3) D．4eq\r(3) B[分析題意可知，該幾何體是由如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1截去四棱錐A-BEDC得到的，故其體積V＝eq\f(\r(3),4)×22×3－eq\f(1,3)×eq\f(1＋2,2)×2×eq\r(3)＝2eq\r(3)，故選B.]5．如圖8-19，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某個(gè)四面體的三視圖，則該四面體的表面積為()圖8-19 A．8＋8eq\r(2)＋4eq\r(6) B．8＋8eq\r(2)＋2eq\r(6) C．2＋2eq\r(2)＋eq\r(6)D.eqD.eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(6),4) A[在正方體中還原出該四面體C-A1EC1如圖所示，可求得該四面體的表面積為8＋8eq\r(2)＋4eq\r(6).]二、填空題6．某幾何體的三視圖如圖8-20所示(單位：cm)，則該幾何體的體積為________cm3，表面積為________cm2.【導(dǎo)學(xué)號：】圖8-20 eq\f(π,2)eq\f(11π,4)[由三視圖知該幾何體為一個(gè)半球被割去eq\f(1,4)后剩下的部分，其球半徑為1，所以該幾何體的體積為eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(π,2)，表面積為eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×4π×12＋eq\f(3,4)×π×12＋2×eq\f(1,4)×π×12＝eq\f(11π,4).]7．三棱錐P-ABC中，D，E分別為PB，PC的中點(diǎn)，記三棱錐D-ABE的體積為V1，P-ABC的體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝________. eq\f(1,4)[如圖，設(shè)S△ABD＝S1，S△PAB＝S2， E到平面ABD的距離為h1，C到平面PAB的距離為h2，則S2＝2S1，h2＝2h1，V1＝eq\f(1,3)S1h1，V2＝eq\f(1,3)S2h2，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(S1h1,S2h2)＝eq\f(1,4).]8．(2017·浙江省新高考仿真訓(xùn)練卷(一))某簡單幾何體的三視圖如圖8-21所示，則該幾何體的體積是________，外接球的表面積是________．圖8-21 2425π[由三視圖得該幾何體是一個(gè)底面為對角線為4的正方形，高為3的直四棱柱，則其體積為4×4×eq\f(1,2)×3＝24.又直四棱柱的外接球的半徑為R＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋22)＝eq\f(5,2)，所以四棱柱的外接球的表面積為4πR2＝25π.]三、解答題9.如圖8-22，P為正方形ABCD外一點(diǎn)，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2，E為PD的中點(diǎn)．圖8-22 (1)求證：PA⊥CE；(2)求四棱錐P-ABCD的表面積． [解](1)證明：取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，則EF∥AD∥BC，即EF，BC共面． ∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BC，又BC⊥AB且PB∩AB＝B， ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA. 3分 ∵PB＝AB，∴BF⊥PA，又BC∩BF＝B， ∴PA⊥平面EFBC，∴PA⊥CE. 6分 (2)設(shè)四棱錐P-ABCD的表面積為S， ∵PB⊥平面ABCD， ∴PB⊥CD，又CD⊥BC，PB∩BC＝B， ∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PC，即△PCD為直角三角形， 8分 由(1)知BC⊥平面PAB，而AD∥BC，∴AD⊥平面PAB， 故AD⊥PA，即△PAD也為直角三角形． S?ABCD＝2×2＝4， S△PBC＝S△PAB＝S△PDA＝eq\f(1,2)×2×2＝2， S△PCD＝eq\f(1,2)×2×eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)， 12分 ∴S表＝S?ABCD＋S△PBC＋S△PDA＋S△PAB＋S△PCD ＝10＋2eq\r(2). 15分10．如圖8-23，一個(gè)側(cè)棱長為l的直三棱柱ABC-A1B1C1容器中盛有液體(不計(jì)容器厚度)．若液面恰好分別過棱AC，BC，B1C1，A1C1的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)圖8-23 (1)求證：平面DEFG∥平面ABB1A1 (2)當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，求液面的高．【導(dǎo)學(xué)號：】 [解](1)證明：因?yàn)镈，E分別為棱AC，BC的中點(diǎn)，所以DE是△ABC的中位線，所以DE∥AB.又DE?平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1.同理DG∥平面ABB1A1，又DE∩DG＝D，所以平面DEFG∥平面ABB1 (2)當(dāng)直三棱柱ABC-A1B1C1容器的側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，由(1)可知，液體部分是直四棱柱，其高即為原直三棱柱ABC-A1B1C1容器的高，即側(cè)棱長l，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，設(shè)液面的高為h，△ABC的面積為S，則由已知條件可知，△CDE∽△ABC，且S△CDE＝eq\f(1,4)S，所以S四邊形ABED＝eq\f(3,4)S. 11分 由于兩種狀態(tài)下液體體積相等，所以V液體＝Sh＝S四邊形ABEDl＝eq\f(3,4)Sl，即h＝eq\f(3,4)l. 因此，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面的高為eq\f(3,4)l. 15分[B組名校沖刺]一、選擇題1．(2017·杭州質(zhì)量檢測)如圖8-24，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的是一個(gè)凸多面體的三視圖(兩個(gè)矩形，一個(gè)直角三角形)，則這個(gè)幾何體可能為()圖8-24 A．三棱臺(tái) B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱錐 B[根據(jù)三視圖的法則：長對正，高平齊，寬相等，可得幾何體如圖所示．這是一個(gè)三棱柱．]2．某幾何體的三視圖如圖8-25所示，則該幾何體的體積為()圖8-25 A.eq\f(2,3) B.eq\f(4,3) C.eq\f(5,3) D.eq\f(7,3) B[根據(jù)三視圖可知，幾何體是由一個(gè)直三棱柱與一個(gè)三棱錐所組成的，其中該直三棱柱的底面是一個(gè)直角三角形(直角邊長分別為1,2，高為1)；該三棱錐的底面是一個(gè)直角三角形(腰長分別為1,2，高為1)，因此該幾何體的體積為eq\f(1,2)×2×1×1＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×1＝eq\f(4,3)，選B.]3．某幾何體的三視圖如圖8-26所示，則該幾何體的體積為()圖8-26 A．6π＋4 B．π＋4 C.eq\f(5π,2) D．2π D[由三視圖知，該幾何體為一個(gè)底面半徑為1，高為1的圓柱體，與底面半徑為1，高為2的半圓柱體構(gòu)成，所以該三視圖的體積為π×12×1＋eq\f(1,2)π×12×2＝2π，故選D.]4．從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線PA，PB，PC兩兩成60°角，且分別與球O相切于A，B，C三點(diǎn)，若OP＝eq\r(3)，則球的體積為() A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3) C.eq\f(4π,3) D.eq\f(8π,3) C[設(shè)OP交平面ABC于O′， 由題得△ABC和△PAB為正三角形， 所以O(shè)′A＝eq\f(\r(3),3)AB＝eq\f(\r(3),3)AP. 因?yàn)锳O′⊥PO，OA⊥PA， 所以eq\f(OP,OA)＝eq\f(AP,AO′)，eq\f(AO′,AB)＝eq\f(\r(3),3)，eq\f(AO′,AP)＝eq\f(\r(3),3)， 所以O(shè)A＝eq\f(OP·O′A,AP)＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)＝1， 即球的半徑為1， 所以其體積為eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4,3)π. 選C.]二、填空題5．一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為1，頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為________.【導(dǎo)學(xué)號：】 eq\f(5\r(5)π,6)[由題意知六棱柱的底面正六邊形的外接圓半徑r＝1,其高h(yuǎn)＝1，∴球半徑為R＝eq\r(r2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2)＝eq\r(1＋\f(1,4))＝eq\r(\f(5,4))，∴該球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(5,4))))3π＝eq\f(5\r(5)π,6).]6．如圖8-27，在三棱錐A-BCD中，△ACD與△BCD都是邊長為4的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，則該三棱錐外接球的表面積為________．圖8-27 eq\f(80,3)π[取AB，CD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接EF，AF，BF，由題意知AF⊥BF，AF＝BF＝2eq\r(3)，EF＝eq\f(1,2)eq\r(AF2＋BF2)＝eq\r(6)，易知三棱錐的外接球球心O在線段EF上， 所以O(shè)E＋OF＝eq\r(6). 設(shè)外接球的半徑為R，連接OA，OC，則有R2＝AE2＋OE2，R2＝CF2＋OF2，所以AE2＋OE2＝CF2＋OF2，(eq\r(6))2＋OE2＝22＋OF2， 所以O(shè)F2－OE2＝2， 又OE＋OF＝eq\r(6)，則OF2＝eq\f(8,3)，R2＝eq\f(20,3)，所以該三棱錐外接球的表面積為4πR2＝eq\f(80,3)π.]三、解答題7．如圖8-28，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝eq\f(1,2)CD，BE⊥DF.圖8-28 (1)若M為EA中點(diǎn)，求證：AC∥平面MDF； (2)若AB＝2，求四棱錐E-ABCD的體積． 在矩形CDEF中，點(diǎn)N為EC中點(diǎn)， 因?yàn)镸為EA中點(diǎn)，所以MN∥AC.2分 又因?yàn)锳C?平面MDF，MN?平面MDF， 所以AC∥平面MDF. 4分 (2)取CD中點(diǎn)為G，連接BG，EG， 平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD， AD?平面ABCD，AD⊥CD， 所以AD⊥平面CDEF，同理ED⊥平面ABCD， 7分 所以ED的長即為四棱錐E-ABCD的高. 8分 在梯形ABCD中，AB＝eq\f(1,2)CD＝DG，AB∥DG， 所以四邊形ABGD是平行四邊形，BG∥AD，所以BG⊥平面CDEF. 又DF?平面CDEF，所以BG⊥DF，又BE⊥DF，BE∩BG＝B， 所以DF⊥平面BEG，DF⊥EG. 11分 注意到Rt△DEG∽R(shí)t△EFD，所以DE2＝DG·EF＝8，DE＝2eq\r(2)， 所以VE-ABCD＝eq\f(1,3)S梯形ABCD·ED＝4eq\r(2). 15分8．如圖8-29，在多面體ABCDM中，△BCD是等邊三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD＝90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，點(diǎn)O為CD的中點(diǎn)，連接OM.圖8-29 (1)求證：OM∥平面ABD； (2)若AB＝BC＝2，求三棱錐A-BDM的體積． [解](1)證明：∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD＝90°，點(diǎn)O為CD的中點(diǎn)，∴OM⊥CD. 1分 ∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD＝CD，OM?平面CMD， ∴OM⊥平面BCD. 2分 ∵AB⊥平面BCD，∴OM∥AB. 3分 ∵AB?平面ABD，OM?平面ABD， ∴OM∥平面ABD. 4分 (2)法一：由(1)知OM∥平面ABD， ∴點(diǎn)M到平面ABD的距離等于點(diǎn)O到平面ABD的距離