新人教A版必修四3.1《兩角和與差的正弦、余弦和正切公式》聽評課記錄一.基本信息

聽課日期為2023年10月26日，聽課時間為上午第二節(jié)課，授課教師姓名為張華，學科/課程名稱為高中數學，班級/年級為高一（3）班，教學主題或章節(jié)為新人教A版必修四3.1《兩角和與差的正弦、余弦和正切公式》。

聽課人姓名為王明，聽課人職務為高中數學教研組長，聽課目的為教學研究，通過觀摩課堂了解新課標下教師對公式的引入與推導過程設計，以及學生對該類公式的學習方法和思維特點。

二.課堂觀察記錄

1.教學準備

教師的教學計劃清晰，圍繞“從特殊到一般”的數學思想展開，通過角的拆分與組合引入公式，并設計分層任務確保學生逐步理解。教學資源準備充分，教材使用人教A版必修四，配套幾何畫板動態(tài)演示兩角和的余弦公式推導過程；教具包括三角板、量角器，用于驗證公式在特定角度（如30°）下的正確性；多媒體課件包含動畫演示、例題解析和互動練習平臺，技術手段與教學內容匹配度較高。

2.教學過程

開始階段：教師以“如何計算45°+30°的正弦值”引入課題，通過學生已知sin30°和cos45°值卻無法直接求解的矛盾，激發(fā)認知沖突。設計問題鏈“如何將任意α+β轉化為已知角？”引導學生思考，效果顯著，約80%學生能主動提出“拆分角”的思路，課堂氛圍活躍。

展開階段：采用“三步推導法”展開新知教學。第一步，教師用幾何畫板動態(tài)演示?ABC平移構造單位圓，直觀呈現cos(α-β)的推導過程，學生通過觀察動態(tài)圖像理解“余弦=鄰邊/斜邊”的轉化邏輯；第二步，小組合作完成sin(α+β)的推導，要求學生類比余弦公式自主填寫，教師巡視指導時發(fā)現兩組學生用面積法驗證公式，給予肯定并展示其創(chuàng)新性；第三步，設置“正切公式變形”的拓展任務，通過例題解析總結“切化弦”技巧，課堂節(jié)奏緊湊。

結束階段：教師用口訣“和差余弦同名號，正切公式分母和”幫助學生記憶，布置必做題與選做題分層作業(yè)，其中選做題要求證明二倍角公式，體現思維遞進。

3.師生互動

師生交流頻率高，教師提問覆蓋全體學生，如“cos(π/3-π/6)值等于多少？請說明依據”等開放性問題，引發(fā)約60%學生舉手回答?；淤|量突出，當學生推導sin(α-β)時，教師用“你的思路很接近，但這里需要單位圓半徑”精準糾偏，避免思維誤區(qū)。小組討論環(huán)節(jié)，學生通過“公式樹”思維導圖合作歸納，教師參與討論時強調“符號判斷是關鍵”，促進深度理解。

4.學生學習狀態(tài)

學習積極性高，例題講解時學生主動搶答“cos60°-sin60°cos30°=1/2”等驗證題。專注度良好，動態(tài)演示時全班學生盯著屏幕觀察，筆記記錄完整，約90%學生能準確復述余弦公式推導步驟。合作學習成效明顯，小組在正切公式推導中形成“語言表達-符號轉換-邏輯驗證”的協(xié)作流程，教師抽檢發(fā)現3組用不同符號約定（如α+β=θ）推進推導過程，體現差異化思維。

5.課堂管理

課堂紀律良好，學生使用幾何畫板時自覺控制音量，教師通過“請安靜操作”等非語言提示保持秩序。時間分配合理，公式推導環(huán)節(jié)預留25分鐘，動態(tài)演示占10分鐘，符合認知規(guī)律。節(jié)奏控制得當，當發(fā)現學生因符號混淆卡殼時，教師暫停講解改為快速講解“符號口訣”，確保教學進度。

6.教學技術使用

現代教育技術使用有效，幾何畫板動態(tài)演示余弦公式時，學生直觀理解“邊長變化對余弦值的影響”，技術支持了從具體到抽象的認知轉化。互動練習平臺的應用使課堂即時反饋，教師能統(tǒng)計到85%學生正確掌握cos(α-β)公式，技術手段強化了知識檢測功能。但投影儀偶爾出現閃爍干擾，建議優(yōu)化設備維護流程。

三.教學效果評價

1.目標達成

教學目標明確且適切，符合新課標對高一學生三角函數公式學習的階段要求。預設目標包含“理解兩角和與差的余弦公式推導過程”“掌握公式在特殊角和簡單角的計算應用”“初步會用公式進行簡單恒等變形”，目標層次分明，與教學環(huán)節(jié)設計高度一致。從課堂觀察數據看，目標達成度較高：通過教師提問檢測，95%學生能準確復述余弦公式推導的關鍵步驟；互動練習平臺數據顯示，83%學生能獨立完成cos(π/6-π/3)的計算任務；小組合作成果中，92%小組能正確推導sin(α+β)公式并說明符號法則。特別值得注意的是，教師在總結環(huán)節(jié)設置的“公式樹”記憶任務，97%學生能獨立繪制包含兩角和差與二倍角公式的思維導圖，表明學生對核心知識結構已形成初步認知。但存在個別學生混淆α-β與β-α的符號差異，反映出對公式變形敏感度不足，需后續(xù)強化訓練。

2.知識掌握

知識點理解深度良好，公式推導過程中的數學思想滲透顯著。在幾何畫板演示環(huán)節(jié)，學生通過觀察單位圓中∠(π/3-π/6)對應的邊長比例，自主總結出“余弦值等于鄰邊比斜邊”的轉化邏輯，體現數形結合思想的應用能力。技能掌握方面呈現梯度特征：基礎技能達成率高，如代入特殊角驗證公式時，90%學生能快速寫出sin(π/2)≈cos(π/4-π/4)等結論；進階技能發(fā)展較好，約70%學生能解決tan15°的求值問題，但正切公式變形的掌握存在短板，課堂練習中僅55%學生能正確應用tan(α-β)/tan(β-α)=-1的結論。記憶效果方面，口訣記憶法效果顯著，90%學生在課后5分鐘仍能準確背誦和差余弦的符號規(guī)則；但公式間的內在聯(lián)系記憶不足，當教師提問“sin(α+β)與cos(α-β)有何關系？”時，僅40%學生能聯(lián)想到相位平移的幾何意義。技能遷移能力初步顯現，在選做題中，78%學生能將二倍角公式轉化為sin2α=2sinαcosα形式進行證明，表明知識應用意識正在形成。

3.情感態(tài)度價值觀

課堂促進了學生全面發(fā)展，情感態(tài)度維度表現突出。數學探究興趣得到激發(fā)，當小組用面積法驗證sin(α+β)公式時，教師及時展示其與幾何原型的關聯(lián)，引發(fā)學生“數學也可以像拼圖一樣有趣”的積極評價，課堂提問中“誰愿意分享你的公式記憶妙招？”等開放性提問，促使6名學生主動分享自制公式卡片等個性化學習方法，學習自主性增強。合作精神顯著提升，小組討論時出現“符號混亂時用單位圓輔助”“計算錯誤時交換成員核對”的互助行為，教師記錄顯示，參與公式推導的12個小組中，有9組形成了“基礎型-拓展型-創(chuàng)新型”分工模式，合作效能達成率76%。數學文化滲透自然，教師通過介紹“托勒密定理的三角轉化”歷史背景，引導學生思考“古代數學家如何處理三角問題”，部分學生課后查閱資料分享成果，表明文化認同感正在建立。但存在個體差異關注不足現象，課堂練習中后排3名學生因基礎薄弱未參與討論，教師雖安排了“一對一幫扶”但效果有限，反映出分層指導機制有待完善。創(chuàng)新意識培養(yǎng)處于萌芽階段，盡管有小組提出面積法驗證，但僅停留在直觀層面，未能深入到解析幾何的代數證明，建議后續(xù)結合坐標系引入拓展探究。價值觀引導隱含在解題過程中，教師強調“公式的本質是角的轉化”而非機械記憶，促使學生形成“數學源于生活”的實用觀，課堂結束時85%學生能舉例說明公式在航海測量中的應用場景。

四、總結與建議

1.總體評價

本節(jié)課整體印象優(yōu)秀，展現出新課程理念下的深度教學實踐。最突出的優(yōu)點在于教師對數學思想方法的滲透意識強烈，通過“從特殊到一般”“數形結合”“轉化與化歸”等思想的自然融入，使公式教學超越了機械記憶的層面。教學設計邏輯清晰，動態(tài)生成性強，如幾何畫板的適時應用不僅化解了抽象公式的理解難點，還激發(fā)了學生的探究欲望，課堂生成的小組面積法驗證更是教學智慧的體現。師生互動機制健全，通過階梯式提問、合作探究等環(huán)節(jié)，有效調動了不同層次學生的學習積極性，特別是對困難學生的關注細致入微，如推導余弦公式時提供的單位圓輔助工具，體現了差異化教學的可操作性。此外，課堂節(jié)奏把控精準，動態(tài)演示與動手操作、小組討論與教師講解的銜接流暢，確保了知識建構的連貫性。不足之處在于現代教育技術的應用仍存在提升空間，如投影儀設備故障干擾了動態(tài)演示的完整性，部分學生操作幾何畫板時因前期培訓不足出現技術障礙，反映出技術融入的常態(tài)化程度有待加強。

2.改進建議

針對存在的問題，提出以下改進措施：首先優(yōu)化技術支持體系，建議學校配備備用多媒體設備，并開展幾何畫板專項培訓，重點指導教師如何設計“動態(tài)演示-靜態(tài)分析”的混合教學模塊，例如將余弦公式推導過程錄制為微課供學生預習。其次完善分層教學策略，建議教師建立“公式掌握度檔案”，通過課前預測試（如cos(π/4+π/6)的快速判斷題）動態(tài)分組，在正切公式教學中為薄弱組提供“正切函數圖像記憶法”等輔助工具。針對公式變形的難點，可設計“符號判斷闖關游戲”等數字化練習，利用闖關積分激勵學生反復練習。第三強化知識結構的系統(tǒng)性，建議在后續(xù)課程中引入“三角函數公式網絡圖”，將兩角和差公式、倍角公式、半角公式與誘導公式串聯(lián)，通過“公式鏈”的構建深化認知，例如設計“已知sinα求sin2α”的逆向應用題鏈。最后建議增加文化情境的融入，可補充“三角學在航海歷法中的應用”等史料，激發(fā)學生對數學文化價值的認同。

如何進一步提升教學質量？建議教師嘗試項目式學習模式，如布置“設計一個測量旗桿高度的方案”項目，要求學生自主選擇sin、cos公式組合求解，通過真實情境檢驗知識遷移能力。同時加強跨學科融合，可結合物理光學中的光的反射定律，設計“光線路徑的最短距離與三角函數”的探究課題，拓展學生認知邊界。此外建議建立“錯題歸因分析”機制，對課堂練習和作業(yè)中的典型錯誤進行專題講解，如針對tan(α-β)符號錯誤，可設計“符號法則四宮格”記憶圖，強化正負判斷的網格化思維。

3.后續(xù)跟蹤

需要后續(xù)聽課跟進改進情況。計劃采取以下支持措施幫助教師成長：首先安排第二次隨堂聽課，重點關注技術優(yōu)化后的動態(tài)演示效果，以及分層教學策略的實施成效，特別是對困難學生的個別化指導是否落實。其次組織“三角函數公式教學”主題研討，邀請市教研員進行專家指導，重點圍繞“如何設計有效的公式記憶策略”展開辯論，形成