專題15等比數(shù)列性質(zhì)歸類目錄題型一：等比數(shù)列定義題型二：等比數(shù)列通項公式題型三：等比數(shù)列an與sn的關系題型四：構造等比數(shù)列求通項公式題型五：等差等比“糾纏數(shù)列”題型六：等比數(shù)列“指數(shù)型中點”特性題型七：等比數(shù)列單調(diào)性題型八：不定方程型計算題型九：等比數(shù)列不等關系“平衡點”題型十：前n項和的“等距”性題型十一：等比數(shù)列最值型題型十二：性質(zhì)求范圍型題型十三：數(shù)列與導數(shù)題型十四：等比數(shù)列綜合題型一：等比數(shù)列定義1．（23-24高三上·山東·階段練習）記非常數(shù)數(shù)列的前n項和為，設甲：是等比數(shù)列；乙：（，1，且），則（

）A．甲是乙的充要條件 B．甲是乙的充分不必要條件C．甲是乙的必要不充分條件 D．甲是乙的既不充分也不必要條件【答案】A【分析】當甲成立時利用等比數(shù)列求和公式可得乙成立，當乙成立時利用數(shù)列前n項和與通項之間關系可知甲成立，從而可得結果.【詳解】若，則（），∴，，．∵，1，∴，∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則．又，∴，∴，此時，1，，所以甲是乙的充要條件．故選：A．2．（22-23高二下·遼寧鞍山·階段練習）數(shù)列的前n項和，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等差數(shù)列也是等比數(shù)列C．是等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列通項與前項和的關系，解得通項公式，根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義，可得答案.【詳解】當時，；當時，，檢驗：將代入上式，則，則數(shù)列的通項公式，由，，即，則數(shù)列不是等比數(shù)列；由，，即，則數(shù)列不是等差數(shù)列.故選：D.3．（2023·河南鄭州·二模）已知正項數(shù)列的前項和為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將化簡為，再利用和與項的關系可得，從而確定數(shù)列從第二項起，構成以為首項，公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】因為，所以，即，所以，因為數(shù)列的各項都是正項，即，所以，即，所以當時，，所以數(shù)列從第二項起，構成以為首項，公比的等比數(shù)列.所以.故選：C4．（2023·新疆喀什·模擬預測）已知等比數(shù)列的前n項和為，且，則（

）A．54 B．93 C．153 D．162【答案】D【分析】先求出，根據(jù)與的關系得出當時，．又根據(jù)等比數(shù)列，可知.列出方程，即可求出的值，再利用通項公式求.【詳解】當時，則.當時，．又因為是等比數(shù)列，所以，所以，解得：，所以，所以．故選：D.5．（21-22高三下·北京·開學考試）若數(shù)列滿足，則“，，”是“為等比數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用等比數(shù)列的定義通項公式即可判斷出結論．【詳解】解：“，，”，取，則，為等比數(shù)列．反之不成立，為等比數(shù)列，設公比為，則，，只有時才能成立滿足．數(shù)列滿足，則“，，”是“為等比數(shù)列”的充分不必要條件．故選：A．題型二：等比數(shù)列通項公式1．（24-25高三上·廣東·階段練習）已知數(shù)列滿足，前n項和為，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用等比數(shù)列前n項和公式計算即得.【詳解】數(shù)列中，，由，得，，則有，因此數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.故選：D2．（23-24高二下·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習）數(shù)列滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)遞推公式，構造等比數(shù)列得出數(shù)列的通項公式.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以.故選：A.3．（23-24高三·遼寧遼陽·模擬）若等比數(shù)列滿足，則其公比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列滿足，得到，兩式相比得，再求得驗證即可.【詳解】因為，所以等比數(shù)列的公比，又，所以，所以，即等比數(shù)列的公比為.故選：C.4．（24-25高三·全國·模擬）在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項和．若，，則下列說法不正確的是（

）A． B．數(shù)列是等比數(shù)列C． D．數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列【答案】D【分析】依題意利用等比數(shù)列項的性質(zhì)聯(lián)立方程組求出首項和公比，即得數(shù)列通項，利用等比數(shù)列的定義可判斷B項，代值檢驗C項；利用等差數(shù)列的定義判斷D項.【詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列，由可得，又，則可看成方程的兩根，解得或，因公比q為整數(shù)，故，即，解得，故得.對于A，由上分析知，即A正確；對于B，依題意，，則，由可知數(shù)列是等比數(shù)列，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，由，可知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故D錯誤.故選：D.5．（23-24高二下·山東青島·階段練習）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的通項公式可得，然后令，可得數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，結合等比數(shù)列的通項公式即可求得數(shù)列的通項公式，從而得到結果.【詳解】因為，，則，且數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則，兩邊同除可得，令，則，即，即，且，所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，則，即，所以.故選：C題型三：等比數(shù)列an與sn的關系1．（2024·全國·模擬預測）記為數(shù)列的前n項和，則“為等比數(shù)列”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】先考查充分性：利用，驗證即可，再考查必要性，當時，滿足條件，但不是等比數(shù)列，即可判斷.【詳解】若是等比數(shù)列，則，，所以，即．若，令滿足條件，但不是等比數(shù)列．所以是充分不必要條件．故選：A．2．（21-22高三重慶沙坪壩·模擬）設等比數(shù)列的前項和為，，若不等式對任意的恒成立，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)作差求出，即可得到，再分為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論，分別求出的取值范圍，即可求出、的取值范圍，即可得解.【詳解】因為，所以當時，當時，所以，即，因為為等比數(shù)列，所以，所以，則，當為奇數(shù)時，則，當為偶數(shù)時，則，所以，因為不等式對任意的恒成立，所以，，所以，則，即的最小值為.故選：B3．（22-23高三·浙江紹興·模擬）已知等比數(shù)列的前項和為，則點列在同一坐標平面內(nèi)不可能的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式和前項和公式確定正確答案.【詳解】設等比數(shù)列的首項為，公比為，A選項，時，，圖象符合.B選項，時，，圖象符合.C選項，時，，圖象符合.D選項，由圖可知，都是負數(shù)，所以，但圖象顯示時，或為正數(shù)，矛盾，所以D選項圖象不符合.故選：D4．（21-22高三·黑龍江綏化·模擬）已知數(shù)列的前n項和為，q為常數(shù)，則“數(shù)列是等比數(shù)列”為“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)由“數(shù)列是等比數(shù)列”可以得到“”；利用數(shù)列通項與前n項和的關系由“”可以得到當時，“數(shù)列是等比數(shù)列”，故“數(shù)列是等比數(shù)列”為“”的充分不必要條件【詳解】由，可得兩式相減得，，即從第3項起，每一項是前一項的q倍.又由，可得則數(shù)列從第2項起，每一項是前一項的q倍.綜上，當時，數(shù)列是等比數(shù)列.由數(shù)列是等比數(shù)列，可得則，即成立.則“數(shù)列是等比數(shù)列”為“”的充分不必要條件故選：A5．（21-22高三河南·階段練習）設數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)通項與的關系可得遞推公式，再構造等比數(shù)列求的通項公式，進而代入求得得到即可【詳解】當時，，解得.當時，，所，即，所以，即，所以數(shù)列是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，則，從而，故.故選：C題型四：構造等比數(shù)列求通項公式1．（21-22高三·浙江臺州·模擬）已知數(shù)列滿足：，，，則下列說法正確的是（

）A．一定為無窮數(shù)列 B．不可能為常數(shù)列C．若，則可能小于1 D．若，則【答案】D【分析】對兩邊取倒數(shù)得，再利用構造數(shù)列法得，可知是以為首項，公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項公式可以求得，再依次對選項判斷，得到正確答案.【詳解】對兩邊取倒數(shù)得，，又，所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，，，對于A，，由于n未知，不能確定是有限數(shù)列還是無限數(shù)列，故A錯誤；對于B，當時，，此時為常數(shù)列，故B錯誤；對于C，當時，，，，即，所以一定小于1，故C錯誤；對于D，當時，，，，即，又，，；，即，所以，故D正確.故選：D.【點睛】方法點睛：求數(shù)列通項公式常用的方法：（1）由與的關系求通項公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）兩邊取到數(shù)，構造新數(shù)列法.2．（24-25高三全國·模擬）已知數(shù)列滿足遞推公式，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】對兩邊取對數(shù)得，令，則可得是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，求出，從而可求出，進而可求得結果.【詳解】由題意可得，則由，得，所以，令，則，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，所以.故選：A【點睛】關鍵點點睛：此題考查等比數(shù)列的判定及等比數(shù)列的求和公式的應用，解題的關鍵是對已知遞推式兩邊取對數(shù)變形構造等比數(shù)列，考查數(shù)學轉化思想和計算能力，屬于較難題.3．（23-24高三·云南大理·階段練習）已知數(shù)列滿足：，且，則下列說法錯誤的是（

）A．存在，使得數(shù)列為等差數(shù)列 B．當時，C．當時， D．當時，數(shù)列是等比數(shù)列【答案】C【分析】通過倒數(shù)法可推導得到A正確；利用遞推關系式可推導得到，知數(shù)列周期為，由此可得B正確；利用遞推關系式可得，可知C錯誤；通過構造法可推導得到符合等比數(shù)列定義式的形式，知D正確.【詳解】對于A，當時，，，又，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，A正確；對于B，當時，，，，數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，又，，，B正確；對于C，當時，，若，則，又，對于任意的，都有；由得：，，若，則，與矛盾，C錯誤；對于D，當時，，若，則，又，對于任意的，都有；，又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，D正確.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考查構造法求數(shù)列通項、數(shù)列周期性的應用等知識；解題關鍵是能夠利用數(shù)列的遞推關系，通過構造的方式配湊出符合等差、等比數(shù)列定義的形式.4．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】方法一：變形得到，是以6為首項，9為公比的等比數(shù)列，分組求和,結合等比數(shù)列求和公式求出答案；方法二：推出是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，故，分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，利用累加法得到數(shù)列的通項公式，利用等比數(shù)列求和公式求出答案.【詳解】方法一：因為，所以．因為，所以，所以．因為，所以是以6為首項，9為公比的等比數(shù)列．所以；方法二：因為當時，，即，又，所以是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，故．由，得，兩式相減得．當為偶數(shù)且時，，以上式子相加得，又，所以．又滿足上式，所以．當為奇數(shù)且時，，以上式子相加得，又，所以，又滿足上式，所以．綜上，，所以．故選：D【點睛】方法點睛：數(shù)列中的奇偶項問題考查方向：①等差，等比數(shù)列中的奇偶項求和問題；②數(shù)列中連續(xù)兩項和或積問題；③含有的問題；④通項公式分奇偶項有不同表達式問題；含三角函數(shù)問題，需要對分奇偶討論，尋找奇數(shù)項，偶數(shù)項之間的關系，分組求和，期間可能會涉及錯位相減和求和或裂項相消法求和.5．（20-21高三·海南?？凇るA段練習）已知函數(shù)的定義域為，當時，；對任意的，成立.若數(shù)列滿足，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，令，即有，結合遞推式有，即在上單調(diào)增，進而求且，利用構造法確定為等差數(shù)列并寫出通項公式，即可求.【詳解】當時，，在上任取兩數(shù)，且，令，則．，即在上是單調(diào)增函數(shù)．令，則，解得．而數(shù)列滿足，，，則，∴數(shù)列是公比為，首項為的等比數(shù)列，得：，∴，故.故選：C．【點睛】關鍵點點睛：首先應用已知條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，求；再由，應用構造法求數(shù)列通項，進而求項.題型五：等差等比“糾纏數(shù)列”1．（2023·四川南充·模擬預測）若分別是與的等差中項和等比中項，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件可得，，然后結合同角三角函數(shù)的關系，以及恒等變換公式化簡，即可得到結果.【詳解】依題意可得，，且，所以，即，解得又因為，所以，所以故選:A2．（21-22高三·黑龍江齊齊哈爾·模擬）是公比不為1的等比數(shù)列的前n項和，是和的等差中項，是和的等比中項，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由是和的等差中項，可得，又由是和的等比中項，同時令，得，由此即可得到本題答案.【詳解】設的公比為，由于，所以，，，又是和的等差中項，所以，即，化簡得，由于，所以，，所以，，，因為是和的等比中項，所以，即，所以，令，則，當，即時，取得最大值，最大值為.故選：D【點睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應用，考查學生的轉化求解能力和運算能力，屬中檔題.3．（14-15高三·廣東東莞·模擬）已知，，是、的等差中項，正數(shù)是、的等比中項，那么、、、的從小到大的順序關系是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】∵，A是a、b的等差中項，正數(shù)G是a、b的等比中項，∴，∴，故選D．4．（10-11高三·福建三明·階段練習）△中，角成等差，邊成等比，則△一定是A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【詳解】∵△ABC中,角A.B.C成等差,∴2B=A+C,又A+B+C=,∴B=.∵邊a、b、c成等比數(shù)列,∴b2=ac.再由余弦定理可得b2=a2+c2?2accos，∴ac=a2+c2?ac,(a?c)2=0，∴a=b=c，故△ABC一定是等邊三角形．本題選擇A選項.5．（21-22高三寧夏銀川·階段練習）若四個正數(shù)成等差數(shù)列，是和的等差中項，是和的等比中項，則和的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，列式，結合基本不等式，即可比較大小.【詳解】由條件可知，，，，，當時，，當時，，所以.故選：B題型六：等比數(shù)列“指數(shù)型中點”特性1．（23-24高三·北京·模擬）等比數(shù)列的公比為，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的通項公式與不等式的性質(zhì)，對兩個條件進行正反推理論證，可得所求結論.【詳解】根據(jù)題意，成立時，有結合，得，即，①當時，可得，所以，即；②當時，為偶數(shù)時，，可得，所以，為奇數(shù)時，，可得，所以，因此不存在滿足成立，綜上所述，若成立，則必定有，若，結合，可知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，必定有成立因此，若等比數(shù)列的首項，則“”是“”的充要條件.故選：C2．（22-23高三·江蘇蘇州·模擬）已知等差數(shù)列公差，數(shù)列為正項等比數(shù)列，已知，則下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意可知，由得，設，則，利用一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結合圖形，可得時；時；時，依次判斷選項即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為()，若，則，得，解得，不符合題意；所以，得，又，令，得，即①，設，則且，所以①式變?yōu)?，由題意，知和是方程的兩個解，令，且，則一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象至少有2個交點，作出兩個函數(shù)圖象，如圖，當函數(shù)與單調(diào)遞增或遞減時，才會有2個解，且無論哪種情況，都有時，；時，；時，；所以，，，，即，，，.故選：C.3．（21-22高三·全國·模擬）已知等比數(shù)列中，公比q＝2，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知條件可得，再由，即可得結果.【詳解】由題設，，則且q＝2，則，而.故選：B4．（2021·浙江杭州·模擬預測）已知等差數(shù)列公差不為0，正項等比數(shù)列，，，則以下命題中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設等差數(shù)列公差為，正項等比數(shù)列公比為，，，由可得出，從而分析出時，，時，．把方程變形為，引入函數(shù)，利用兩個函數(shù)的圖象可得結論．【詳解】設等差數(shù)列公差為，正項等比數(shù)列公比為，因為，所以，即，所以，又，所以，由得，，，所以時，，時，．，，由，，即，（*），令，，（*）式為，其中，且，由已知和是方程的兩個解，記，且，是一次函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)，由一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知當它們同增或同減時，圖象才能有兩個交點，即方程才可能有兩解（題中時，，時，，滿足同增減）．如圖，作出和的圖象，它們在和時相交，無論還是，由圖象可得，，，時，，時，，因此，，，，即，故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，解題時由已知兩項相等得出公差和公比的關系，考慮到方程有兩解，把此方程變形為，引入函數(shù)，通過函數(shù)圖象觀察得到和的關系，從而由數(shù)形結合思想得出結論．5．（20-21高按·浙江·模擬）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，是正項等比數(shù)列，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由等差，等比數(shù)列的形式特征畫函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象判斷選項.【詳解】等差數(shù)列的通項公式是關于的一次函數(shù)，，圖象中的孤立的點在一條直線上，而等比數(shù)列的通項公式是關于的指數(shù)函數(shù)形式，圖象中孤立的點在指數(shù)函數(shù)圖象上，如圖所示當時，如下圖所示，當公差時，如下圖所示，如圖可知當時，，，，.故選：D【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是判斷的方法，選擇圖象法可以比較快速的判斷選項.題型七：等比數(shù)列單調(diào)性1．（23-24高三山西晉城模擬）已知等比數(shù)列滿足，公比，且，，則當最小時，（

）A．1012 B．1013 C．2022 D．2023【答案】A【分析】根據(jù)題意結合等比數(shù)列的性質(zhì)可推得以及，即可判斷數(shù)列的的增減性以及項與1的大小關系，由此即可求得答案.【詳解】由題意知，故，則，即，結合等比數(shù)列滿足，公比，可知，由，得，即得，故，即，由此可得，故當最小時，，故選：A2．（23-24高三·北京順義模擬）數(shù)列是等比數(shù)列，則對于“對于任意的，”是“是遞增數(shù)列”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要【答案】C【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及等比數(shù)列的單調(diào)性與通項公式判斷即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，，若，則，當時，由得，解得或，若，則，此時與已知矛盾；若，則，此時為遞增數(shù)列．當時，由，得，解得或，若，則，此時與已知矛盾；若，則，此時為遞增數(shù)列．反之，若是遞增數(shù)列，則，所以“對于任意的，”是“是遞增數(shù)列”的充要條件．故選：C．3．（23-24高三湖北·開學考試）已知數(shù)列是等比數(shù)列，則“存在正整數(shù)，對于恒成立”是：“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】取兩種特殊情況說明，分和兩次情況討論，將轉化為，分和兩種情況與假設對比，據(jù)此即可求解.【詳解】取兩種特殊情況說明充分性，當時顯然成立；當時，理由如下：因為是等比數(shù)列，設公比為，則，當時，，即，若，則，注意到，當時，，與假設矛盾，舍去，故，此時，則為遞減數(shù)列；若，則或，注意到，當時，，與假設矛盾，舍去，故，此時，則為遞減數(shù)列；綜上：存在，使時，為遞減數(shù)列，即充分性成立；當為遞減數(shù)列時，，即成立，即必要性成立.故選：C．【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于取兩種特殊情況說明，分和兩次情況討論.4．（23-24高三下·山東·開學考試）已知數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則“”是“是單調(diào)遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性和必要不充分條件的判斷即可得到答案.【詳解】若等比數(shù)列滿足“”，比如，，此時不是單調(diào)遞減數(shù)列，故正向無法推出，即充分性不成立，若數(shù)列為遞減數(shù)列，，或，.則①“，”可以推出;②“，”也可以推出，則必要性成立；則“”是“是單調(diào)遞減數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B.5．（23-24高三上·安徽合肥·階段練習）已知數(shù)列是無窮項等比數(shù)列，公比為，則“”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的首項、公比的不同情形，分析數(shù)列的單調(diào)性，結合充分條件、必要條件得解.【詳解】若，，則數(shù)列單調(diào)遞減，故不能推出數(shù)列單調(diào)遞增；若單調(diào)遞增，則，，或，，不能推出，所以“”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的既不充分也不必要條件，故選：D．題型八：不定方程型計算1．（23-24高三·廣東揭陽·階段練習）已知數(shù)列為等比數(shù)列，為數(shù)列的前n項和.若成等差數(shù)列，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將成等差數(shù)列轉化為等式，進而求出數(shù)列的公比，將比值用基本元表示，化簡求值即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為q，若成等差數(shù)列，可得：，當時，此時恒成立，即為，得，即，顯然不成立；當時，即為：，其中，得，得或（舍去），，故選：A.2．（23-24高三·吉林松原·模擬）設等比數(shù)列的前項和為，且，則的公比為（

）A．1或 B．1或3 C．或 D．或3【答案】D【分析】運用等比數(shù)列的性質(zhì)公式求解即可.【詳解】由，可得，則，故，解得或.故選：D．3．（23-24高三·河南省直轄縣級單位·階段練習）等比數(shù)列的前項和為，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)求解.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)可知，成等比數(shù)列，因為，所以，所以成等比數(shù)列，所以，所以，所以.故選：C.4．（23-24高三上·河南三門峽·階段練習）已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，，成等差數(shù)列，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】D【分析】借助等比數(shù)列的片段和性質(zhì)得出與的關系，再借助基本不等式即可得到.【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的片段和性質(zhì)有，由，，成等差數(shù)列，有，即，故有，又因為數(shù)列為正項等比數(shù)列，則，即，當且僅當時，等號成立.故選：D.5．（23-24高三上·四川成都·階段練習）已知等比數(shù)列的前項和為，且數(shù)列是等差數(shù)列，則（

）A．1或 B．1或 C．2或 D．或【答案】B【分析】設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知列出關系式，進而化簡求解即可得出或.根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，化簡可得.分別代入的值，即可得出答案.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列可得，，即，化簡得，解得或.又，所以，.當時，；當時，．故選：B．題型九：等比數(shù)列不等關系“平衡點”1．（21-22高三·湖北·階段練習）設等比數(shù)列{}的公比為q，其前n項和為，前n項積為，并滿足條件，，下列結論不正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列{}中的最大值 D．數(shù)列{}無最小值【答案】B【分析】由題分析出，可得出數(shù)列為正項遞減數(shù)列，結合題意分析出正項數(shù)列前項都大于，而從第項起都小于，進而可判斷出各選項的正誤.【詳解】當時，則，不合乎題意；當時，對任意的，，且有，可得，可得，此時，與題干不符，不合乎題意；故，對任意的，，且有，可得，此時，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，由可得，故，A正確；，故B不正確；是數(shù)列{}中的最大值，C正確；數(shù)列{}無最小值，D正確．故選：B.2．（22-23高三·廣東深圳·模擬）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項之積為，且滿足，，則下列結論中正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．【答案】C【分析】由已知結合等比數(shù)列的性質(zhì)檢驗各選項即可判斷.【詳解】因為等比數(shù)列滿足，又，所以，A錯誤；，即,B錯誤；當時，，當時，，即是數(shù)列中的最大值，C正確；由題意得，，則,D錯誤.故選：C.3．（22-23高三·遼寧·模擬）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列選項不正確的是（

）A．為遞減數(shù)列 B．C．是數(shù)列中的最大項 D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件求得的范圍，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，對選項逐一判斷即可.【詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列，且，，所以，即數(shù)列為正項等比數(shù)列，當時，則，不滿足，舍去，所以，即數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，A說法正確；由可得，，所以，即，B說法錯誤；因為數(shù)列單調(diào)遞減，且，，所以是數(shù)列中的最大項，C說法正確；由等比中項可知，D說法正確；故選：B4．（20-21高三河南鄭州·模擬）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，，，則下列結論正確的是（

）A．

B．

C．的最大值為

D．的最大值為【答案】B【分析】根據(jù)，，分，，討論確定q的范圍，然后再逐項判斷.【詳解】若，因為，所以，則與矛盾，若，因為，所以，則，與矛盾，所以，故B正確；因為，則，所以，故A錯誤；因為，，所以單調(diào)遞增，故C錯誤；因為時，，時，，所以的最大值為，故D錯誤；故選：B.5．（2021高三·全國·專題練習）設等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，前n項積為，并滿足條件，，則下列結論中不正確的有（

）A．q>1B．C．D．是數(shù)列中的最大項【答案】A【分析】根據(jù)并結合，得到，，進而結合等比數(shù)列的性質(zhì)求得答案.【詳解】因為，所以或，而為等比數(shù)列，，于是，，則A錯誤；，則B正確；，則C正確；因為，所以是數(shù)列中的最大項，則D正確.故選：A.題型十：前n項和的“等距”性1．（20-21高三·黑龍江哈爾濱·開學考試）設等比數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A． B． C．4 D．5【答案】A【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式，由條件，求出公比即可得到結論．【詳解】解：設等比數(shù)列的公比為，若，則不成立．，由，得，即，，解得，則，故選：A．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列前項和的計算，利用條件求出是解決本題的關鍵，要求熟練掌握等比數(shù)列的前項和公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．2．（21-22高三·河北唐山·模擬）設是等比數(shù)列的前項和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解．在時，仍成等比數(shù)列．【詳解】設，由數(shù)列為等比數(shù)列(易知數(shù)列的公比)，得為等比數(shù)列又故選：．【點睛】結論點睛：數(shù)列是等比數(shù)列，若，則成等比數(shù)列．簡稱等比數(shù)列的片斷和仍成等比數(shù)列．注意是等比數(shù)列與成等比數(shù)列之間不是充要條件．3．（23-24高三·河南·開學考試）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．324 B．420 C．480 D．768【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)計算即可.【詳解】因為為等比數(shù)列，且，顯然的公比不為，所以也成等比數(shù)列.由，解得.故選：C.4．（21-22高三下·江西·開學考試）設等比數(shù)列的前項和為，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列片段和性質(zhì)計算作答.【詳解】等比數(shù)列的前項和為，則成等比數(shù)列，設，則，，所以，所以，所以，即.故選：A.5．（2023·云南昆明·模擬預測）已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為（

）A．8 B． C． D．10【答案】B【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)及已知條件可得，則，然后利用基本不等式可求得結果.【詳解】由正項等比數(shù)列可知，，成等比數(shù)列，則，又，所以，所以，當且僅當，即時取等號，故的最小值為.故選：B.題型十一：等比數(shù)列最值型1．（2023·江西贛州·一模）若等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且，則下列正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義以及可得且，即AB均錯誤，再由等比數(shù)列前項和的函數(shù)性質(zhì)可知無最大值，由前項積定義解不等式可知的最大值為.【詳解】由可知公比，所以A錯誤；又，且可得，即B錯誤；由等比數(shù)列前項和公式可知，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得為單調(diào)遞增，即無最大值，所以C錯誤；設為數(shù)列前項積的最大值，則需滿足，可得，又可得，即的最大值為，所以D正確.故選：D2．（21-22高三四川成都·階段練習）在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，已知，其前項積為，且，則取得最大值時，的值是（

）A．9 B．8或9 C．10或11 D．9或10【答案】D【分析】首先求出首項和公比，解不等式組，代入通項公式求解出即可【詳解】（法一）∵等比數(shù)列，其前項積為，且.∴，∴，∴.故.∵，所以前項積有.又因為，所以為前項積的最大值.（法二）∵，.∴.當時，有最大值，解得.∴時，有最大值.故選：D.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列前項積的最大值.其實質(zhì)是求等差數(shù)列前項和的最值的變型.第一步：求出等比數(shù)列首項，公比.第二步：解不等式組.滿足不等式組的的值，即為使前項積取最大值時的項數(shù).3．（2023高三·全國·專題練習）設首項為正且大于1的無窮等比數(shù)列的公比為，前項和為，若，則（

）A．數(shù)列無最大項 B．數(shù)列有最小項為C．數(shù)列是遞增數(shù)列， D．數(shù)列最大值為【答案】B【分析】設無窮等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知可得，得數(shù)列是擺動數(shù)列可判斷C；由，；得數(shù)列的最小項、最大項可判斷ABD．【詳解】設無窮等比數(shù)列的公比為，因為，即，又，所以，因為，所以當時，數(shù)列是擺動數(shù)列，故單調(diào)性不確定，故C錯誤；又，所以；，此時數(shù)列的最小項為，最大項為，故B正確，AD錯誤．故選：B.4．（23-24高三·福建漳州·模擬）已知正項等比數(shù)列的前項積為，且，則下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】結合等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)列的單調(diào)性判斷各選項即可.【詳解】由已知數(shù)列各項均為正，因此乘積也為正，公比，若，則，由等比數(shù)列性質(zhì)知，所以，故選項A錯誤；又，因為，所以，所以，則，故先增后減，所以，故選項B正確；若，則，又，無法判斷與1的大小，即無法判斷與1的大小，故與大小沒法判斷，故選項CD錯誤.故選：B5．（22-23高三江西萍鄉(xiāng)·階段練習）已知數(shù)列為等比數(shù)列，函數(shù)的導函數(shù)為，，若，的公比，則當?shù)那绊棾朔e最小時，的值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】設，可得出，可得出，分析數(shù)列的單調(diào)性，即可得出當?shù)那绊棾朔e最小時，的值.【詳解】設，則，則，因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以，由，，可得，則，所以，當時，，當時，，所以當?shù)那绊棾朔e最小時，的值為或，故選：D.題型十二：性質(zhì)求范圍型1．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）已知等比數(shù)列的公比為，前項積為，若，且，，均有，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】應用等比數(shù)列通項公式及項的性質(zhì)計算解不等式即可.【詳解】當時，注意到，因此，即解得;當時，則即解得，則的取值范圍為.故選：D.2．（2023·全國·模擬預測）已知等比數(shù)列的前5項積為32，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)求出，進而求出公比的取值范圍并用表示出，然后根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)可知，，因為，所以，從而不妨令，則，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，故對于，，，從而，則.故的取值范圍為.故選：D.3．（22-23高三·河南南陽·模擬）已知正項數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，數(shù)列的通項公式為．若滿足的正整數(shù)n恰有3個，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列，的單調(diào)性列出不等式組求解即可.【詳解】由題可知數(shù)列單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故，，，，故只需即可，即解得．故答案為：.4．（2023上海嘉定·三模）已知是遞增的等比數(shù)列，且，那么首項的取值范圍是.【答案】【分析】由已知得，由此能求出的取值范圍.【詳解】解：∵是遞增的等比數(shù)列，且，，且，，∵是遞增的等比數(shù)列，，同理，，即，即，，當時，有，由，得：，得：，矛盾，舍去；當時，有，由，得：，得：符合.故當時，單調(diào)增，取值為，，∴的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查等比數(shù)列的首項的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的公式的合理運用.5.（21-22·河南·模擬）已知，，，，，成等差數(shù)列，，，，成等比數(shù)列，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)得到，，從而利用重要不等式即可求最大值.【詳解】因為，，，成等差數(shù)列，所以，因為，，，成等比數(shù)列，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以的最大值是.故選：D.題型十三：數(shù)列與導數(shù)1．（22-23高三下·河北石家莊·階段練習）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，.若存在等差數(shù)列，，，，且，使得數(shù)列為等比數(shù)列，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列性質(zhì)推出，，結合函數(shù)的奇偶性可得，從而推出有正實數(shù)解，分離參數(shù)，繼而構造函數(shù)，利用導數(shù)求解函數(shù)的最小值，即可求得答案.【詳解】由等差數(shù)列，，，，且知，則，即，所以，由此可得；由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故，所以數(shù)列的公比，所以，即，即方程有正實數(shù)解，即，設，則，設，則，即在上單調(diào)遞增，且，故當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故選：B【點睛】難點點睛：本題解答時要利用數(shù)列性質(zhì)判斷出，，進而利用函數(shù)性質(zhì)推出有正實數(shù)解，從而參變分離，構造函數(shù)，利用導數(shù)解決問題.2．（20-21高三上·全國·階段練習，多選）已知等比數(shù)列首項，公比為q，前n項和為，前n項積為，函數(shù)，若，則下列結論正確的是（

）A．為單調(diào)遞增的等差數(shù)列B．C．為單調(diào)遞增的等比數(shù)列D．使得成立的n的最大值為6【答案】BCD【分析】首先求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)條件判斷，先判斷B；再結合等比數(shù)列的定義和等差數(shù)列的定義判斷AC；最后數(shù)列前項積的定義判斷D.【詳解】函數(shù)，則，因為，所以，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，所以，由，可得，故B正確；因為等比數(shù)列首項，公比為q，所以，則，故為單調(diào)遞減的等差數(shù)列，故A錯誤；設，則為常數(shù)，因為，所以，單調(diào)遞減，所以為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，故C正確；因為，且，所以，，所以使得成立的n的最大值為6，故D正確．故選：BCD3．（23-24高三·四川成都模擬）牛頓數(shù)列是牛頓利用曲線的切線和數(shù)列的極限探求函數(shù)的零點時提出的，在航空航天領域中應用廣泛.已知牛頓數(shù)列的遞推關系為：是曲線在點處的切線在軸上的截距，其中.（1）若，并取，則的通項公式為；（2）若取，且為單調(diào)遞減的等比數(shù)列，則可能為.【答案】（答案不唯一）【分析】（1）根據(jù)題意求出曲線在點處切線的方程，可得數(shù)列是等差數(shù)列，進而求得通項公式；（2）由題意，可得，結合為單調(diào)遞減的等比數(shù)列，所以函數(shù)滿足，且即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，，，且，所以曲線在點處切線的方程為，令，得，即，又，所以數(shù)列是以1為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以（）.（2）根據(jù)題意，曲線在點處切線的方程為，令，得，則，因為為單調(diào)遞減的等比數(shù)列，且，設其公比為，則，所以，所以，則，所以，即函數(shù)滿足，且即可.如，則，所以，，所以，符合題意.故答案為：（）；（答案不唯一）.4．（2025·全國·模擬預測）若，的解從小到大排成，那么若．則的整數(shù)部分是．【答案】101【分析】即求，結合可得，利用等比數(shù)列求和公式得到，取對數(shù)，得到，并證明出，得到答案.【詳解】因為，相當于解且，從而可以得到，結合可得，為，為等比數(shù)列，從而，取對數(shù)后就是，注意到，，接下來證明，我們把左邊放大，，并證明其小于，即證，注意到，而（也可以是）從而命題成立．整數(shù)部分是101．故答案為：1015．（24-25高三上·上?！ら_學考試）已知實數(shù)成公比為的等比數(shù)列，拋物線上每一點到直線的距離均大于，則的取值范圍是．【答案】【分析】由已知得出直線必過點，取拋物線位于軸上方部分，設上一點到直線的距離最小，由幾何關系得出，再根據(jù)點到直線的距離公式列出不等式，即可求解．【詳解】因為實數(shù)成公比為的等比數(shù)列，所以，所以，即直線必過點，且斜率，不妨取拋物線位于軸上方部分，則，，，由題可知，，則，設上一點到直線的距離最小，則處的斜率等于直線的斜率，即，所以，點到直線的距離，整理得，解得，因為，所以，根據(jù)直線和拋物線得對稱性得