人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)：6.4.3《余弦定理、正弦定理（第3課時(shí)）余弦定理、正弦定理的應(yīng)用舉例》聽評(píng)課記錄一.基本信息

聽課日期：2023年10月26日

聽課時(shí)間：上午第三節(jié)課

授課教師姓名：張明

學(xué)科/課程名稱：高中數(shù)學(xué)

班級(jí)/年級(jí)：高一（12）班

教學(xué)主題或章節(jié)：人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)：6.4.3《余弦定理、正弦定理（第3課時(shí)）余弦定理、正弦定理的應(yīng)用舉例》

聽課人姓名：李華

聽課人職務(wù)：高中數(shù)學(xué)教研組長

聽課目的：教學(xué)研究、教師培訓(xùn)

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計(jì)劃清晰，目標(biāo)明確，圍繞余弦定理和正弦定理的應(yīng)用展開。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，教材使用規(guī)范，多媒體課件制作精良，包含了典型例題的動(dòng)畫演示和知識(shí)點(diǎn)梳理的圖表。教具方面，準(zhǔn)備了三角函數(shù)模型，便于學(xué)生直觀理解定理的應(yīng)用場景。

2.教學(xué)過程

開始階段（導(dǎo)入新課的方式及效果）：教師通過回顧上一節(jié)課的余弦定理和正弦定理內(nèi)容，結(jié)合實(shí)際生活中的測量問題導(dǎo)入新課。例如，提出“如何測量兩座山峰之間的距離”的問題，激發(fā)學(xué)生興趣，效果較好，約3分鐘進(jìn)入主題。

展開階段（教學(xué)方法的選擇與應(yīng)用）：教師采用講授與討論相結(jié)合的方式。首先，通過多媒體展示典型例題，講解解題步驟，如例1“已知三角形三邊求角”和例2“已知兩角一邊求第三邊”。在講解過程中，教師注重引導(dǎo)學(xué)生分析題意，運(yùn)用定理列式，并強(qiáng)調(diào)分類討論的重要性。接著，學(xué)生分組討論例3“實(shí)際測量問題”，每組派代表展示解題思路，教師適時(shí)點(diǎn)評(píng)。此外，還安排了變式練習(xí)，如“已知三角形面積求邊長”，幫助學(xué)生鞏固知識(shí)。整個(gè)教學(xué)過程約25分鐘，學(xué)生參與度高。

結(jié)束階段（總結(jié)歸納、布置作業(yè)）：教師帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，包括余弦定理和正弦定理的應(yīng)用條件、解題步驟和常見誤區(qū)。布置作業(yè)時(shí)，分層設(shè)計(jì)題目，基礎(chǔ)題為必做題，提高題為選做題，并提醒學(xué)生復(fù)習(xí)上一節(jié)課的內(nèi)容?？偨Y(jié)環(huán)節(jié)約5分鐘，作業(yè)布置清晰。

3.師生互動(dòng)

師生交流頻率較高，教師通過提問、追問等方式引導(dǎo)學(xué)生思考，如“為什么這里要使用余弦定理而不是正弦定理？”學(xué)生反應(yīng)積極，能準(zhǔn)確回答問題。小組討論中，教師巡視指導(dǎo)，及時(shí)糾正錯(cuò)誤思路，如對(duì)某組學(xué)生提出的“角度計(jì)算錯(cuò)誤”進(jìn)行糾正。課堂提問覆蓋面廣，約70%的學(xué)生能參與回答，互動(dòng)質(zhì)量高。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性高，課堂專注度良好，尤其在例題講解和變式練習(xí)環(huán)節(jié)，學(xué)生認(rèn)真記錄筆記。合作學(xué)習(xí)情況良好，分組討論時(shí)，學(xué)生分工明確，如有人負(fù)責(zé)列式、有人負(fù)責(zé)計(jì)算，合作氛圍濃厚。部分學(xué)生表現(xiàn)出較強(qiáng)的探究能力，如對(duì)例3提出不同解法，教師給予肯定。

5.課堂管理

課堂紀(jì)律良好，學(xué)生遵守課堂規(guī)則，無遲到早退現(xiàn)象。時(shí)間分配合理，各環(huán)節(jié)銜接自然，如導(dǎo)入、展開、總結(jié)時(shí)間控制得當(dāng)。課堂節(jié)奏控制適中，例題講解時(shí)適當(dāng)放慢速度，確保學(xué)生理解，練習(xí)環(huán)節(jié)加快節(jié)奏，提高效率。

6.教學(xué)技術(shù)使用

現(xiàn)代教育技術(shù)使用有效，多媒體課件動(dòng)態(tài)展示三角函數(shù)模型，幫助學(xué)生理解定理的幾何意義。動(dòng)畫演示三角形邊角關(guān)系，使抽象內(nèi)容具體化。技術(shù)支持作用明顯，如例題中的動(dòng)態(tài)計(jì)算過程，使學(xué)生更直觀掌握解題方法。但部分學(xué)生因操作電腦不熟練，教師及時(shí)安排助手協(xié)助，確保技術(shù)使用的流暢性。

三.教學(xué)效果評(píng)價(jià)

1.目標(biāo)達(dá)成

教學(xué)目標(biāo)明確且適切，緊扣余弦定理和正弦定理的應(yīng)用。課前設(shè)定了三個(gè)目標(biāo)：一是能準(zhǔn)確運(yùn)用余弦定理和正弦定理解決已知三邊求角、已知兩邊及夾角求第三邊、已知兩角及一邊求第三邊或面積等基本問題；二是能結(jié)合實(shí)際問題，分析并選擇合適的定理解決問題；三是體會(huì)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)。目標(biāo)設(shè)定符合高一學(xué)生的認(rèn)知水平，具有層次性。

學(xué)生對(duì)預(yù)期學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成度較高。通過課堂觀察，大部分學(xué)生能夠理解并應(yīng)用余弦定理解決例1、例2這類基礎(chǔ)問題，約85%的學(xué)生能正確列出方程并求解角度。在例3的實(shí)際測量問題中，各組學(xué)生能結(jié)合題意，分析已知條件，選擇余弦定理或正弦定理進(jìn)行求解，說明學(xué)生已初步具備將定理應(yīng)用于實(shí)際問題的能力。課堂練習(xí)中，基礎(chǔ)題正確率達(dá)90%以上，提高題約70%的學(xué)生能嘗試解題，部分學(xué)生能獨(dú)立完成。個(gè)別學(xué)生在解題過程中暴露出對(duì)定理?xiàng)l件理解不清或符號(hào)運(yùn)用錯(cuò)誤的問題，但通過教師點(diǎn)撥和同伴互助基本得到解決。整體來看，教學(xué)目標(biāo)達(dá)成度良好，學(xué)生掌握了本節(jié)課的核心知識(shí)和基本技能。

2.知識(shí)掌握

學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和記憶情況良好。余弦定理和正弦定理的應(yīng)用是本節(jié)課的重點(diǎn)，教師通過典型例題和變式練習(xí)，幫助學(xué)生深化對(duì)定理的理解。課堂上，學(xué)生能準(zhǔn)確復(fù)述定理內(nèi)容，并說明適用條件，如余弦定理適用于已知三邊求角或已知兩邊及夾角求第三邊，正弦定理適用于已知兩角一邊或已知兩邊及一邊的對(duì)角求第三邊或面積。在例題講解環(huán)節(jié)，學(xué)生能主動(dòng)分析題意，判斷使用哪個(gè)定理更合適，說明對(duì)定理的適用范圍有了較好把握。

技能掌握程度方面，學(xué)生運(yùn)用定理解決問題的能力得到提升。在例1講解后，教師安排了變式練習(xí)“已知三角形三邊長，求最大角”，大部分學(xué)生能獨(dú)立列式計(jì)算，約80%的學(xué)生能正確運(yùn)用余弦定理中的余弦函數(shù)性質(zhì)判斷角的范圍。例2的“已知兩邊及夾角求第三邊”問題，學(xué)生普遍掌握較好，能準(zhǔn)確運(yùn)用余弦定理求出第三邊長。對(duì)于正弦定理的應(yīng)用，如例3中求三角形面積，學(xué)生能結(jié)合正弦定理和三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算。但在解題過程中，部分學(xué)生存在符號(hào)錯(cuò)誤或計(jì)算粗心的問題，如將cos30°誤算為√3/2，或面積公式用錯(cuò)，這些問題反映了學(xué)生解題的嚴(yán)謹(jǐn)性有待加強(qiáng)。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀

課堂活動(dòng)促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展。在問題導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師提出的“測量山峰距離”問題，激發(fā)了學(xué)生的探究興趣，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生通過合作解決問題，增強(qiáng)了團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力，部分內(nèi)向的學(xué)生在同伴鼓勵(lì)下也積極參與討論，體現(xiàn)了對(duì)個(gè)體差異的關(guān)注。當(dāng)某組學(xué)生提出創(chuàng)新解法時(shí)，教師及時(shí)給予肯定，保護(hù)了學(xué)生的創(chuàng)新積極性，培養(yǎng)了學(xué)生的批判性思維。

教師在講解過程中，注重滲透數(shù)學(xué)思想方法，如分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的邏輯美和嚴(yán)謹(jǐn)性。當(dāng)學(xué)生解題遇到困難時(shí)，教師沒有直接給出答案，而是通過提問引導(dǎo)學(xué)生思考，培養(yǎng)了學(xué)生的獨(dú)立思考能力。課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，教師強(qiáng)調(diào)解題時(shí)要注重檢驗(yàn)結(jié)果是否符合實(shí)際意義，培養(yǎng)了學(xué)生的科學(xué)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)。

整體來看，本節(jié)課不僅傳授了數(shù)學(xué)知識(shí)，更在情感態(tài)度價(jià)值觀方面產(chǎn)生了積極影響。學(xué)生通過解決實(shí)際問題，感受到了數(shù)學(xué)的價(jià)值，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。小組合作學(xué)習(xí)培養(yǎng)了學(xué)生的溝通能力和團(tuán)隊(duì)精神。教師對(duì)解題過程的關(guān)注，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)不僅是計(jì)算，更是邏輯推理和問題解決的過程，促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展。

四、總結(jié)與建議

1.總體評(píng)價(jià)

本節(jié)課總體印象良好，是一節(jié)設(shè)計(jì)合理、實(shí)施有效、效果顯著的高中數(shù)學(xué)課。教師對(duì)教材理解深入，教學(xué)目標(biāo)明確，教學(xué)內(nèi)容重難點(diǎn)突出，教學(xué)環(huán)節(jié)安排緊湊，過渡自然。最突出的優(yōu)點(diǎn)是教學(xué)設(shè)計(jì)注重知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，通過引入生活化的問題情境，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使抽象的數(shù)學(xué)定理變得生動(dòng)具體。教師善于運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)方法，通過精心設(shè)計(jì)的問題鏈引導(dǎo)學(xué)生思考，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和內(nèi)化。此外，課堂互動(dòng)氛圍濃厚，師生關(guān)系融洽，小組合作學(xué)習(xí)得當(dāng)，體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的教學(xué)理念。

在教學(xué)實(shí)施方面，教師語言精練，表達(dá)清晰，板書規(guī)范，多媒體課件使用恰當(dāng)，有效地輔助了教學(xué)。特別是在例題講解和動(dòng)態(tài)演示環(huán)節(jié)，教師能夠準(zhǔn)確把握關(guān)鍵點(diǎn)，注重解題思路的引導(dǎo)和數(shù)學(xué)思想方法的滲透，如分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，提升了課堂教學(xué)的深度。課堂管理有效，時(shí)間分配合理，能夠根據(jù)學(xué)生的反應(yīng)及時(shí)調(diào)整教學(xué)節(jié)奏，保證了教學(xué)任務(wù)的順利完成。學(xué)生參與度高，學(xué)習(xí)積極性高，課堂氛圍活躍，教學(xué)效果顯著，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)。

2.改進(jìn)建議

雖然本節(jié)課總體效果良好，但仍有一些方面可以進(jìn)一步改進(jìn)，以提升教學(xué)質(zhì)量。

首先，在知識(shí)深度挖掘方面可以進(jìn)一步加強(qiáng)。本節(jié)課主要側(cè)重于余弦定理和正弦定理的基本應(yīng)用，對(duì)于一些綜合性、挑戰(zhàn)性較高的題目涉及較少。建議教師在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，適當(dāng)增加一些需要綜合運(yùn)用多個(gè)知識(shí)點(diǎn)或多種方法才能解決的問題，如涉及三角形面積、解三角形應(yīng)用的實(shí)際問題，甚至可以引入一些與向量、解析幾何相關(guān)的跨學(xué)科問題，以拓展學(xué)生的思維視野，提升學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。例如，可以設(shè)計(jì)一道“已知平地上兩樹頂?shù)囊暯羌皹涓?，求兩樹距離”的問題，引導(dǎo)學(xué)生從立體角度思考，或引入向量方法求解，從而加深對(duì)定理的理解和應(yīng)用。

其次，在學(xué)生個(gè)體差異的關(guān)注方面可以更加細(xì)致。雖然教師了小組討論，但在實(shí)際操作中，可能存在部分學(xué)生參與度不高或思維跟不上的情況。建議教師在分組時(shí)，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和性格特點(diǎn)進(jìn)行合理搭配，可以采用“優(yōu)生帶差生”的模式，并明確各成員的分工，確保每個(gè)學(xué)生都能參與到討論中。此外，在提問環(huán)節(jié)，可以增加一些基礎(chǔ)性的問題，讓更多的學(xué)生有機(jī)會(huì)回答，并及時(shí)給予鼓勵(lì)；對(duì)于難題，可以設(shè)計(jì)分層提問，逐步引導(dǎo)學(xué)生深入思考。例如，在討論例3時(shí)，可以先提問“這個(gè)問題要求我們求什么？”（距離），再提問“我們有哪些已知條件可以用來求距離？”（角度、邊長），最后提問“根據(jù)這些條件，我們應(yīng)該使用哪個(gè)定理？”（余弦定理或正弦定理），通過逐步引導(dǎo)，幫助學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生建立解題思路。

再次，在解題規(guī)范性和嚴(yán)謹(jǐn)性方面需要加強(qiáng)訓(xùn)練。本節(jié)課中，部分學(xué)生出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤或計(jì)算粗心的問題，反映出在解題規(guī)范性和嚴(yán)謹(jǐn)性方面存在不足。建議教師在平時(shí)教學(xué)中，更加注重解題步驟的規(guī)范訓(xùn)練，要求學(xué)生書寫步驟清晰、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?？梢栽O(shè)計(jì)一些“對(duì)比辨析”的練習(xí)，如將正確的解題步驟與錯(cuò)誤的解題步驟進(jìn)行對(duì)比，讓學(xué)生分析錯(cuò)誤原因，加深對(duì)規(guī)范解題的認(rèn)識(shí)。此外，在計(jì)算環(huán)節(jié)，可以強(qiáng)調(diào)檢驗(yàn)結(jié)果的實(shí)際意義，如三角形內(nèi)角的取值范圍、邊長的正數(shù)性等，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。例如，在講解完例2后，可以引導(dǎo)學(xué)生檢驗(yàn)求出的第三邊長是否滿足三角形兩邊之和大于第三邊的條件，強(qiáng)化對(duì)結(jié)果的檢驗(yàn)意識(shí)。

最后，在數(shù)學(xué)文化滲透方面可以更加深入。本節(jié)課雖然體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，但在數(shù)學(xué)文化的滲透方面略顯不足。建議教師可以在課堂導(dǎo)入或小結(jié)環(huán)節(jié)，適當(dāng)介紹余弦定理和正弦定理的歷史背景，如海倫公式與余弦定理的關(guān)系，或介紹一些與三角學(xué)相關(guān)的著名數(shù)學(xué)家及其貢獻(xiàn)，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，感受數(shù)學(xué)文化的魅力。例如，在導(dǎo)入時(shí)，可以講述古希臘數(shù)學(xué)家如何通過幾何方法推導(dǎo)出余弦定理，再到后來三角學(xué)的發(fā)展與應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生的文化認(rèn)同感和學(xué)習(xí)興趣。

3.后續(xù)跟蹤

建議對(duì)本次聽課的改進(jìn)情況進(jìn)行后續(xù)跟蹤，以促進(jìn)教師的專業(yè)成長。計(jì)劃在一個(gè)月后進(jìn)行一次回訪聽課，重點(diǎn)觀察教師在實(shí)際教學(xué)中如何應(yīng)用本次評(píng)課建議，特別是針對(duì)知識(shí)深度挖掘、學(xué)生個(gè)體差異關(guān)注、解題規(guī)范性訓(xùn)練和數(shù)學(xué)文化滲透等方面進(jìn)行觀察，評(píng)估改進(jìn)效果。

在回訪聽課前，可以與授課教師進(jìn)行一次溝通，了解其自評(píng)情況和改進(jìn)計(jì)劃，以便更有針對(duì)性地進(jìn)行觀察和指導(dǎo)。回訪聽課結(jié)束后，及時(shí)與教師進(jìn)行交流，反饋觀察結(jié)果，肯定改進(jìn)之處，并對(duì)仍需改進(jìn)的地方提出進(jìn)一步的建議。如果教師在改進(jìn)過程中遇到困難，可以提供必要的支持，如共同備課、教學(xué)設(shè)計(jì)研討等。

此外，計(jì)劃一次專題教研活動(dòng)，圍繞“高中數(shù)學(xué)定理應(yīng)用教學(xué)的優(yōu)化策略”進(jìn)