-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次月考（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：人教A版2019必修第二冊平面向量及其應(yīng)用+復(fù)數(shù)+立體幾何初步+統(tǒng)計。5．難度系數(shù)：0.65。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則（

）A．2 B． C． D．【答案】A【詳解】因，，則，則，.故選：A.2．在中，已知，則C＝（

）A．60° B．30° C．30°或150° D．60°或120°【答案】D【詳解】由正弦定理可得，即，解得，則或.故選：D3．在中，在上且，設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】如圖，在中，在上且，所以.則.又因為，所以.故選：B4．巴黎奧運會在2024年7月27日至8月12日舉行，在這期間，中國視聽大數(shù)據(jù)（CVB）顯示，直播總觀看戶次超46億，分天觀看戶次（億）分別為：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08．則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為（

）A．2.03 B．2.21 C．2.12 D．3.55【答案】B【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排列，0.08，1.62，1.88，2.03，2.21，2.24，2.25，2.35，2.59，2.74，2.74，2.88，3.55，3.64，4.22，4.39，5.53，，取第五位數(shù)據(jù)2.21，故選：B．5．折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若，，且圓臺的表面積為，則該圓臺的高為（

）A． B． C．3 D．【答案】D弧長公式求得，，再用圓臺的表面積公式解得，進(jìn)而再得圓臺的高為．【詳解】設(shè)，圓臺高為，上下底面半徑分別為：.則，解得，所以圓臺的表面積為：，解得，故圓臺的高為：．故選：D.6．在中，的對邊分別為，且滿足，則的面積（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由余弦定理，即，，.故選：C.7．已知三棱錐的四個面均為直角三角形，平面，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，構(gòu)造如圖所示的長方體，設(shè)其外接球的半徑為，易知三棱錐的外接球就是長方體的外接球，則，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：D.8．在直角三角形中，，，是斜邊上的兩個動點，且，則取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，在中，，則，，令，則，于是得當(dāng)時，，當(dāng)或時，，所以取值范圍為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，由生成新數(shù)據(jù)，則（

）A．新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為B．新數(shù)據(jù)的方差為C．新數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定比原數(shù)據(jù)的中位數(shù)大D．新數(shù)據(jù)的極差一定比原數(shù)據(jù)的極差大【答案】AD【詳解】A.新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故正確；B.新數(shù)據(jù)的方差為，故錯誤；C.設(shè)原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為m，則新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，故錯誤；D.原數(shù)據(jù)的極差為，新數(shù)據(jù)的極差，故正確；故選：AD10．已知都是復(fù)數(shù)，下列選項中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BD【詳解】對于選項A，取，，則，，滿足，但，則A不正確；對于選項B，設(shè)，，因為，所以不同時為0，，則B正確；對于選項C，取，，滿足，則C不正確；對于選項D，因為，所以，所以或，則，則D正確．故選：BD．11．如圖，正方體的棱長為1，點P是棱上的一個動點（包含端點），則下列說法不正確的是（

）A．存在點P，使面B．二面角的平面角為60°C．P到平面的距離最大值是D．的最小值是【答案】BC【詳解】當(dāng)與點重合時，，平面，不在面故面，A正確；二面角即二面角，平面角為，B錯誤；，得到平面，故，同理可得平面，設(shè)交平面于，則，當(dāng)與點重合時，P到平面的距離，C錯誤.如圖所示：，當(dāng)共線時等號成立，D正確；故選：BC.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，其中14題第一空2分，第二空3分。12．已知一個利用斜二測畫法畫出直觀圖如圖所示，其中，，，則原的面積為.【答案】21【詳解】由直觀圖還原原圖形，如圖，，，則，故答案為：21.13．已知向量.若，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為.【答案】【詳解】由，又，所以，得，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為，故答案為：14．某校高一學(xué)生對學(xué)校附近的一段近似直線型高速公路進(jìn)行實地測繪（如圖），結(jié)合地形，他們選擇了，兩地作為測量點.通過測量得知：，兩地相距300米，，分別位于地正東和東偏南方向上；，和分別位于地的北偏東，和南偏東方向上.則，兩地之間的距離為米；若一輛汽車通過高速公路段用時約50秒，則該輛汽車的車速約為千米/小時.（參考數(shù)據(jù)：，，，）

【答案】100072【詳解】

在中，，，米，，由正弦定理得，即得米；在中，米，，，，由正弦定理得，即得米，在中，，米，米，由余弦定理得，即，所以米千米，秒小時，所以速度為千米/小時，故答案為：1000；72.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）對任意非零向量，定義(1)若向量，求的值(2)若單位向量滿足，求向量與的夾角的余弦值【詳解】（1）向量，則；（5分）（2），（7分）解得，（9分）所以.（13分）16．（15分）某小區(qū)物業(yè)公司為進(jìn)一步提升服務(wù)質(zhì)量，隨機抽取了200名住戶進(jìn)行業(yè)主滿意度問卷調(diào)查.把收集到的評分?jǐn)?shù)據(jù)按，，依次分為第一至第六組（所有評分x滿足）.統(tǒng)計各組頻數(shù)并計算相應(yīng)頻率，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中的a值；(2)求業(yè)主評分平均數(shù)的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(3)從評分低于70分的業(yè)主中用分層隨機抽樣的方法抽取14人進(jìn)行電話回訪，則第一組，第二組和第三組被抽到的業(yè)主人數(shù)分別是多少?【詳解】（1）由題意可得，（2分）解得.（4分）（2）由題意可知：，所以業(yè)主評分平均數(shù)的估計值為74.（10分，公式3分，結(jié)果3分）（3）評分低于70分的三組頻率之比為，（12分，敘述有理即可）故第一組抽到的人數(shù)為，第二組抽到的人數(shù)為，第三組抽到的人數(shù)為，即第一組，第二組和第三組被抽到的業(yè)主人數(shù)分別是2，4，8.（15分）17．（15分）如圖，在直三棱柱中，所有棱長均為4，D是AB的中點．(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的正弦值．【詳解】（1）連接交于，（1分）在直三棱柱中，所有棱長均為4，因此四邊形是正方形，所以是的中點，（2分）而D是AB的中點，因此有，（4分）而平面，平面，（6分）所以平面；（7分）（2）由（1）可知：，因此異面直線與所成角為（或其補角），（8分）因為是正方形，所以，（9分）在直三棱柱中，所有棱長均為4，因此四邊形是正方形，因此有，（10分）在直三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直線，因此有，（11分）由余弦定理可知：，（13分）因此.（15分）18．（17分）已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求B的大??；(2)若，，求外接圓的半徑；(3)若點M在線段AC上，，，求的最小值．【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，（1分）則，整理得，（2分）而，則，（3分）兩邊平方得，（4分）又，，（5分）于是，（6分）解得，（7分）所以.（8分）（用輔助角公式亦可）（2）由余弦定理得，（9分）而，則，（10分）解得，，（11分）所以外接圓的半徑為.（12分）（3）由，，得，由，，得，（13分）則，即，（14分）因此，（15分）當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，（16分）所以的最小值為.（17分）19．（17分）如圖，四棱錐的底面是邊長為的正方形，．(1)證明：平面平面；(2)若，且與平面的夾角為（i）證明；（ii）求二面角的正弦值．【詳解】（1）如圖①所示，設(shè)，連接，因為四邊形為正方形，所以，（1分）又因為為的中點，且，所以，（2分）又，，平面，所以平面，（3分）又平面，所以平面平面；（4分）（2）（）如圖②所示，在平面中過點作交于點，因為平面，又平面，所以，（5分）又，，平面，所以平面，（