/2024-2025學年吉林省長春市高三上學期第二學程考試數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．若，則=（）A． B．5 C． D．3．已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則以下數(shù)列：①；②；③；④中等比數(shù)列的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．已知焦點在y軸上的橢圓的焦距為2，則其離心率為（）A． B． C． D．5．某市為了了解全市10萬名高一學生的數(shù)學學習情況，抽取了該市某個區(qū)的15000名學生進行數(shù)學能力測試（百分制），并將這些學生的成績整理成如圖所示的頻率分布直方圖、根據(jù)頻率分布直方圖，下列說法正確的是（）A．圖中a的值為0.15B．估計樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為85C．用樣本可以估計全市高一學生數(shù)學能力測試不及格（低于60分）的人數(shù)為5000D．用樣本可以估計全市高一學生數(shù)學能力測試的平均分約為81.5分（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）6．如圖，是正三棱錐且側(cè)棱長為a，E，F(xiàn)分別是SA，SC上的動點，的周長的最小值為，則側(cè)棱SA，SC的夾角為（）A． B． C． D．7．若是函數(shù)的極小值點，則的極大值為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，且為偶函數(shù)，則滿足不等式的實數(shù)m的取值范圍為（）．A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知復(fù)數(shù)，（i為虛數(shù)單位），則（）A． B．的虛部為C． D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限10．已知正數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．11．已知點，直線l：，曲線C上的點滿足到F的距離與到l的距離之積為16，則下列說法正確的有（）A．曲線C關(guān)于y軸對稱B．曲線C經(jīng)過坐標原點C．設(shè)曲線C上動點到直線的距離為d，則的最小值為D．當點在曲線C上時，的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．三角形三邊長為，則以邊長為6的兩個頂點為焦點，過另外一個頂點的雙曲線的離心率為.13．十四屆全國人大一次會議于2023年3月5日在北京召開．會議期間，會議籌備組將包含甲、乙在內(nèi)的5名工作人員分配到3個會議廳負責進場引導(dǎo)工作，每個會議廳至少1人．每人只負責一個會議廳，則甲、乙兩人不分配到同一個會議廳的不同安排方法共有種．（用數(shù)字作答）14．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，，設(shè)，則數(shù)列的前項和為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知拋物線的焦點為，位于第一象限的點在拋物線上，且.(1)求焦點的坐標；(2)若過點的直線與只有一個交點，求的方程.16．在中，角對應(yīng)的三邊分別是，且(1)求角的值;(2)若，求的面積.17．甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為．在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．“星隊”在兩輪活動中猜對所有成語的概率為．(1)求的值；(2)求“星隊”在兩輪活動中，猜對3個成語的概率；(3)若某人在兩輪活動中至少猜對1個成語，則該人可獲得“優(yōu)秀隊員”稱號，求“星隊”的甲、乙兩人中恰有一人獲得此稱號的概率．18．如圖，在以為頂點的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，對的中點.(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面所成角的正弦值；(3)設(shè)點是內(nèi)一動點，，當線段的長最小時，求直線與直線所成角的余弦值.19．帕德近似是法國數(shù)學家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，……，（注：，，，，為的導(dǎo)數(shù)）已知在處的階帕德近似為.(1)求實數(shù)m，n的值；(2)證明：當時，；(3)設(shè)a為實數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.

答案1．【正確答案】B【詳解】由可得，且，所以.故選：B2．【正確答案】B【詳解】由，得，所以.故選：B3．【正確答案】C【詳解】數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，①不是定值，故不是等比數(shù)列；②為定值，故是公比為的等比數(shù)列；③為定值，故是公比為的等比數(shù)列；④為定值，故是公比為的等比數(shù)列；故等比數(shù)列的個數(shù)是3個.故選：C4．【正確答案】B【詳解】因為焦點在軸上的橢圓的焦距為2，所以，解得，所以橢圓的離心率.故選：B.5．【正確答案】C【詳解】A選項，根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，，解得，A選項錯誤；B選項，前個矩形條的面積為，前個矩形條的面積為：，故樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)落在中，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，于是，解得，B選項錯誤；C選項，根據(jù)直方圖可以看出，低于分的頻率為：，于是估計全市學生不及格的人數(shù)為：，C選項正確；D選項，由題意，平均數(shù)為：，D選項錯誤.故選：C.6．【正確答案】A【詳解】將三棱錐的側(cè)面沿著剪開，如圖所示：因為的周長的最小值為，所以當四點共線時，的周長最小，即，又因為，所以，即，又因為三棱錐是正三棱錐，所以，即側(cè)棱SA，SC的夾角為.故選：A7．【正確答案】D【詳解】由可得，又是函數(shù)的極小值點，所以，解得或，當時，，當時，，此時單調(diào)遞增，當時，，此時單調(diào)遞減，即是的極大值點，不符合題意，故舍去；當時，，當時，，此時單調(diào)遞增，當時，，此時單調(diào)遞減，當時，，此時單調(diào)遞增，即是的極大值點，是的極小值點，符合題意，此時，所以的極大值為.故選：D8．【正確答案】C【詳解】依題意，，令，由于為偶函數(shù)，故只需為奇函數(shù)，由，得，因為，定義域關(guān)于原點對稱，，由此可以驗證為奇函數(shù)．所以滿足題意，又由為偶函數(shù)，得，故的圖象關(guān)于直線對稱．，當時，，可知，當時，單調(diào)遞增，則時，單調(diào)遞減．原不等式即為，等價于，即，解得．故選C.9．【正確答案】AC【詳解】對于A，，A正確；對于B，的虛部為，B錯誤；對于C，，故，C正確；對于D，，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，D錯誤.故選：AC10．【正確答案】AC【詳解】對于選項A：因為，則，當且僅當，即時取等號，故選項A正確；對于選項B：，當且僅當，即時取等號，故選項B錯誤；對于選項C：由選項A可知，所以，當且僅當，即時取等號，故選項C正確；對于選項D：因為，當且僅當，即時取等號，這與x，y均為正數(shù)矛盾，故，故選項D錯誤.故選：AC.11．【正確答案】BCD【詳解】設(shè)曲線C上的點，則曲線的方程為.對A：令可得，所以點在曲線上，但點不在曲線上，故曲線不關(guān)于軸對稱，所以A錯誤；對B：令得或，故曲線過原點，所以B正確；對C：若，則，所以曲線上的點的橫坐標都不大于，所以，又，所以（當且僅當時取“”），所以C正確；對D：若，則，所以曲線上最左邊的點為，所以，故D正確.故選：BCD12．【正確答案】3【詳解】由雙曲線的定義，則.故313．【正確答案】【分析】將5名工作人員分配到3個會議廳，人數(shù)組合可以是和，先求出5名工作人員分配到3個會議廳的情況數(shù)，甲乙兩人分配到同一個會議廳的情況數(shù)，相減得到答案.【詳解】將5名工作人員分配到3個會議廳，人數(shù)組合可以是和，人數(shù)組合是時，共有種情況，其中甲?乙兩人分配到同一個會議廳的情況為種，從而甲?乙兩人不能分配到同一個會議廳的安排方法有種；人數(shù)組合是時，共有種情況，其中甲?乙兩人分配到同一個會議廳的情況為種，從而甲?乙兩人不能分配到同一個會議廳的安排方法有種，所以甲、乙兩人不分配到同一個會議廳的不同安排方法共有種.故答案為.14．【正確答案】【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，，解得，則，則，則數(shù)列的前項和為：.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）因為拋物線，，所以，所以，可得所以焦點的坐標.（2）因為點在拋物線上，所以，又位于第一象限，所以，所以，過點的直線與只有一個交點，直線斜率不存在不合題意；設(shè)直線與有且只有一個交點，由，得，當時，，即，即，當時，，只有一個根符合題意；所以的方程為或，即或.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）根據(jù)題意由正弦定理可得，整理可得，即，所以，可得，又，所以，又，因此；（2）由（1）得，由可得，解得或，當時，，又，所以兩角均為鈍角，不合題意，因此，，又，可得，同理，由正弦定理可得，可得，，因此的面積為.17．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）設(shè)分別表示甲兩輪猜對0個，1個，2個成語的事件，分別表示乙兩輪猜對0個，1個，2個成語的事件，則設(shè)“‘星隊’在兩輪活動中猜對了所有成語”，解得（2）由（1）知，設(shè)“兩輪活動‘星隊’猜對3個成語”，則，且與互斥，與與分別相互獨立，則所以兩輪活動‘星隊’猜對3個成語的概率為.（3）“‘星隊’的甲、乙兩人中恰有一人獲得此稱號”，則所以“星隊”的甲、乙兩人中恰有一人獲得此稱號的概率.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3).【詳解】（1）取的中點，連結(jié)，由已知得，是邊長為2的等邊三角形，是以為腰的等腰三角形，則，故,故平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）以為坐標原點，分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，即，取，則，設(shè)平面的一個法向量為，由，取，得，所以，因為，故平面與平面所成角的正弦值為.（3）點是內(nèi)一動點且，則點在以為直徑的圓上，當線段的長最小時，點在與圓的交點處，此時