/2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高三上學(xué)期12月考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．2．已知向量，若，則（）A． B． C．2 D．3．已知集合，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知函數(shù)的圖象向左平移后所得的函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．85．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在軸上的投影為點(diǎn)，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．6．已知等比數(shù)列滿足，，記為其前項(xiàng)和，則（）A． B． C． D．77．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．8．若關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．體育教育既能培養(yǎng)學(xué)生自覺鍛煉身體的習(xí)慣，又能培養(yǎng)學(xué)生開拓進(jìn)取、不畏艱難的堅(jiān)強(qiáng)性格.某校學(xué)生參加體育測試，其中甲班女生的成績與乙班女生的成績均服從正態(tài)分布，且，，則(

).A． B．C． D．10．已知中，角所對(duì)的邊分別為的面積記為，若，則（

）A．B．的外接圓周長為C．的最大值為D．若為線段的中點(diǎn)，且，則11．已知定義在上的函數(shù)和，是的導(dǎo)函數(shù)且定義域?yàn)椋魹榕己瘮?shù)，，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，各項(xiàng)系數(shù)和為729，則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為．13．在中，角的對(duì)邊分別為，的面積，則的最小值為，此時(shí)的周長為．14．已知是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)，是圓：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，則的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列滿足.(1)比較的大小，并寫出過程；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.16．某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計(jì)了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計(jì)男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計(jì)579111086460(1)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”．請完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常男生女生合計(jì)(2)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會(huì)導(dǎo)致肥胖等諸多健康問題．以樣本頻率估計(jì)概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為，求和；(3)若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運(yùn)動(dòng)愛好者”，為進(jìn)一步了解他們的生活習(xí)慣，在樣本的10名“運(yùn)動(dòng)愛好者”中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.10.050.012.7063.8416.63517．已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，，E為CD的中點(diǎn)，．(1)證明：平面平面；(2)若，PC與平面所成的角為，試問在側(cè)面PCD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使得平面PCD？若存在，求出點(diǎn)N到直線PD的距離；若不存在，請說明理由．18．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，且橢圓的離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)為，直線的斜率為，求；(3)直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，橢圓在點(diǎn)處的切線分別為與交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上.請你判斷直線是否經(jīng)過定點(diǎn)，并說明理由.19．已知函數(shù).(1)若為奇函數(shù)，求此時(shí)在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)，且存在分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).（i）求函數(shù)的極值；（ii）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

答案1．【正確答案】C【詳解】，故.故選：C.2．【正確答案】A【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，解得．故選：A3．【正確答案】A【詳解】由，可得，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又，由，可得，所以B=xx<1，所以，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4．【正確答案】D【分析】平移后的解析式為奇函數(shù)得到，求出的最小值.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，所以，又，所以，解得，因?yàn)?，所以時(shí)，取得最小值，最小值為8.故選D.5．【正確答案】B【分析】設(shè)拋物線上點(diǎn)設(shè)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，配方后求最值即可.【詳解】由拋物線可知，焦點(diǎn)為，設(shè)，則，則，所以，當(dāng)時(shí)，的最小值是，故選B6．【正確答案】A【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，依題意，，，即，∴，，解得或，∴，，或，，，∴.故選：A7．【正確答案】A【詳解】如圖：在中，，由余弦定理：,所以，所以外接圓半徑為，即.在直角三角形中，，，所以.設(shè)棱錐外接球半徑為，在直角三角形中，，解得.所以球的表面積為.故選：A8．【正確答案】C【詳解】由可得，即，當(dāng)時(shí)，，不等式在上顯然成立；當(dāng)時(shí)，令，則在上恒成立，由，在上，所以在上單調(diào)遞增，又時(shí)，，，所以只需在上恒成立，即恒成立．令，則，即在上單調(diào)遞增，其中，故，所以此時(shí)有．綜上，．故選：C．9．【正確答案】ACD【詳解】選項(xiàng)A：由，得，故A正確；選項(xiàng)B：由，得，故B不正確；選項(xiàng)C：由于隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，該正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為直線：，所以，故C正確；選項(xiàng)D：解法一：由于隨機(jī)變量，均服從正態(tài)分布，且對(duì)稱軸均為直線：，，所以在正態(tài)曲線中，的峰值較高，正態(tài)曲線較“瘦高”，隨機(jī)變量分布比較集中，所以，故D正確.解法二：因?yàn)椋?，所以，故D正確.故選：ACD.10．【正確答案】AC【詳解】依題意，，故A正確；記外接圓的半徑為，則，則的外接圓周長為，故B錯(cuò)誤；由余弦定理，，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；由C可知，當(dāng)時(shí)，為等邊三角形，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．【正確答案】AC【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，兩邊求導(dǎo)得，所以為奇函數(shù)，因?yàn)?，，所以，則，所以，即的周期，因?yàn)闉槎x域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以，則，故B錯(cuò)誤；在中，令，可得，所以，故A正確；由，令，可得，則，則，即，所以，故D錯(cuò)誤；在中，令，得，在中，令，得，兩式相加得，即，故C正確．故選：AC12．【正確答案】240或3840【詳解】由于的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，即，解得n＝6．又由于的展開式系數(shù)和為729，令得，即，解得或-4，的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故240或384013．【正確答案】8/【詳解】由和正弦定理可得，故,，，故,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，，故，此時(shí)周長為，故8，14．【正確答案】【詳解】由題知，圓的半徑，，圓的半徑，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，所以，因?yàn)?，，所以四邊形為矩形，則為的中點(diǎn)，且，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，整理得，所以點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上.因?yàn)?，所以，設(shè)與圓交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則，，在和中，且，所以與相似，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且垂直于軸時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)證明見解析.【詳解】（1）因?yàn)?，所?若，則，這與矛盾.所以.故.（2）由，所以.所以.由（1）可知：，所以.16．【正確答案】(1)填表見解析；性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系(2)，(3)分布列見解析；期望為【詳解】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常男生72330女生141630合計(jì)213960零假設(shè)為：性別與鍛煉情況獨(dú)立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)；根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計(jì)算可得根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1（2）因?qū)W?？倢W(xué)生數(shù)遠(yuǎn)大于所抽取的學(xué)生數(shù)，故近似服從二項(xiàng)分布，易知隨機(jī)抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率即可得，故，．（3）易知10名“運(yùn)動(dòng)愛好者”有7名男生，3名女生，所以的所有可能取值為；且服從超幾何分布：故所求分布列為0123可得17．【正確答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）由四邊形是直角梯形，，，，可得，，從而是等邊三角形，，平分．為的中點(diǎn)，，，又，，平面，平面平面，平面，所以平面平面.（2）在平面內(nèi)作于，連接，平面，又平面，平面平面．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面為與平面所成的角，則，由題意得，，為的中點(diǎn)，．以，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，假設(shè)在側(cè)面內(nèi)存在點(diǎn)，使得平面成立，設(shè)，由題意得，，，，由，得，解得，滿足題意，，，取，，，，，，求出點(diǎn)N到直線PD的距離為.所以N點(diǎn)直線PD的距離為.18．【正確答案】(1)；(2)；(3)直線恒過定點(diǎn)，理由見詳解【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）方法一：點(diǎn)差法：設(shè)，則①，又在橢圓上，則，，兩式相減得：，即：②，由①②得，.而.方法二：橢圓方程代換：設(shè)，直線，①，②，又，即③，由①②③得，；方法三：聯(lián)立方程：設(shè)，直線，①，聯(lián)立方程得，，②，由①②得，，則.又，.（3）設(shè)，先求橢圓在點(diǎn)處的切線的方程.方法一：根據(jù)判別式求解橢圓在點(diǎn)處的切線，設(shè)，聯(lián)立方程得，，，，，.，即.同理可得，.，可得T點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即，又，可得，，由題意可知直線的斜率不為0，設(shè).，整理得，，即.又，則.，即直線恒過定點(diǎn)1,0.

方法二：導(dǎo)數(shù)的幾何意義：.當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，.，則切線斜率，，即.當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，同理可得.，同理可得，.，可得T點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即，又，可得，，由題意可知直線的斜率不為0，設(shè).，整理得，，即.又，則.，即直線恒過定點(diǎn)1,0.19．【正確答案】(1)(2)（i）答案見解析；（ii）.【詳解】（1）為奇函數(shù)，有，則，經(jīng)檢驗(yàn)知滿足題意，所以所以，，所以在點(diǎn)處的切線方程為.（2）（i），因?yàn)楹瘮?shù)既存在極大值，又存在極小值，則必有兩個(gè)不等的實(shí)根，則，令可