統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)點(diǎn)梳理與練習(xí)題一、引言統(tǒng)計(jì)與概率是研究數(shù)據(jù)規(guī)律與不確定性的核心學(xué)科，是現(xiàn)代科學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的基礎(chǔ)工具。統(tǒng)計(jì)關(guān)注數(shù)據(jù)的收集、整理、描述與推斷，通過樣本信息推測(cè)總體特征；概率則量化事件發(fā)生的可能性，為統(tǒng)計(jì)推斷提供理論支撐。本文將系統(tǒng)梳理統(tǒng)計(jì)與概率的核心知識(shí)點(diǎn)，并配套針對(duì)性練習(xí)題，幫助讀者鞏固理解與應(yīng)用。二、統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)梳理（一）數(shù)據(jù)收集：從總體到樣本統(tǒng)計(jì)研究的對(duì)象是總體（研究對(duì)象的全體），但實(shí)際中常通過樣本（總體的一部分）推斷總體。數(shù)據(jù)收集方法分為兩類：1.普查：對(duì)總體全部個(gè)體進(jìn)行調(diào)查（如人口普查）。優(yōu)點(diǎn)：結(jié)果準(zhǔn)確；缺點(diǎn)：成本高、耗時(shí)長(zhǎng)，不適用于破壞性試驗(yàn)（如檢測(cè)燈泡壽命）。2.抽樣調(diào)查：從總體中隨機(jī)抽取樣本進(jìn)行調(diào)查（如民意調(diào)查）。關(guān)鍵原則：隨機(jī)性（每個(gè)個(gè)體被抽中的概率相等）、代表性（樣本能反映總體特征）；常見方法：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（如抽簽）、分層抽樣（按特征分組后抽樣，如按年齡分層調(diào)查收入）、系統(tǒng)抽樣（如每隔10個(gè)選1個(gè)）。（二）數(shù)據(jù)整理：從原始數(shù)據(jù)到結(jié)構(gòu)化原始數(shù)據(jù)需通過分組與匯總轉(zhuǎn)化為可分析的形式：1.頻數(shù)分布表：將數(shù)據(jù)按區(qū)間分組，統(tǒng)計(jì)每組的頻數(shù)（該組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)）與頻率（頻數(shù)/總樣本量）；分組原則：組距一致、不重疊（如10-20、20-30，而非10-20、15-25）、不遺漏（覆蓋所有數(shù)據(jù)）。2.可視化工具：直方圖：用矩形高度表示頻數(shù)，反映數(shù)據(jù)的分布形態(tài)（如對(duì)稱、左偏、右偏）；箱線圖：顯示數(shù)據(jù)的五數(shù)概括（最小值、下四分位Q?、中位數(shù)Q?、上四分位Q?、最大值），可識(shí)別異常值（超過Q?-1.5×IQR或Q?+1.5×IQR的數(shù)據(jù)，IQR=Q?-Q?）；折線圖：展示數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì)（如股票價(jià)格走勢(shì)）；餅圖：顯示各分類數(shù)據(jù)的比例（如各產(chǎn)品銷售額占比）。（三）數(shù)據(jù)描述：集中趨勢(shì)與離散程度描述數(shù)據(jù)的分布特征需從集中趨勢(shì)（數(shù)據(jù)向中心聚集的程度）與離散程度（數(shù)據(jù)分散的程度）兩方面入手：1.集中趨勢(shì)度量均值（Mean）：所有數(shù)據(jù)的算術(shù)平均，公式為：\[\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\quad(\text{樣本均值})\quad;\quad\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i\quad(\text{總體均值})\]特點(diǎn)：受極端值影響大（如收入數(shù)據(jù)中的高收入者會(huì)拉高均值）。中位數(shù)（Median）：將數(shù)據(jù)從小到大排序后，位于中間位置的數(shù)值（n為奇數(shù)時(shí)取中間值，n為偶數(shù)時(shí)取中間兩值的平均）。特點(diǎn)：不受極端值影響，適合偏態(tài)分布數(shù)據(jù)（如收入、房?jī)r(jià)）。眾數(shù)（Mode）：數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值。特點(diǎn)：適合分類數(shù)據(jù)（如最受歡迎的產(chǎn)品型號(hào)），可能有多個(gè)或無眾數(shù)。2.離散程度度量極差（Range）：最大值與最小值的差，公式為：\[R=\max(x_i)-\min(x_i)\]特點(diǎn)：簡(jiǎn)單但受極端值影響大。方差（Variance）：每個(gè)數(shù)據(jù)與均值差的平方的平均，反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度：\[s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\quad(\text{樣本方差})\quad;\quad\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2\quad(\text{總體方差})\]注：樣本方差用n-1而非n，是為了無偏估計(jì)（即樣本方差的期望等于總體方差）。標(biāo)準(zhǔn)差（StandardDeviation）：方差的平方根，單位與原始數(shù)據(jù)一致，更易解釋：\[s=\sqrt{s^2}\quad;\quad\sigma=\sqrt{\sigma^2}\]四分位距（IQR）：上四分位Q?與下四分位Q?的差，公式為：\[IQR=Q_3-Q_1\]特點(diǎn)：反映中間50%數(shù)據(jù)的離散程度，不受極端值影響。（四）統(tǒng)計(jì)推斷：從樣本到總體統(tǒng)計(jì)推斷的核心是用樣本信息估計(jì)或檢驗(yàn)總體參數(shù)（如總體均值μ、總體比例p），主要包括參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)。1.抽樣分布：推斷的理論基礎(chǔ)樣本均值的抽樣分布：從總體中抽取多個(gè)樣本量為n的樣本，樣本均值$\bar{x}$的分布稱為抽樣分布。中心極限定理（CLT）：當(dāng)樣本量n足夠大（通常n≥30）時(shí)，無論總體分布如何，樣本均值$\bar{x}$近似服從正態(tài)分布，即：\[\bar{x}\simN\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)\]標(biāo)準(zhǔn)誤（StandardError）：樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差，反映樣本均值與總體均值的差異，公式為：\[SE(\bar{x})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\quad(\text{總體標(biāo)準(zhǔn)差已知})\quad;\quadSE(\bar{x})=\frac{s}{\sqrt{n}}\quad(\text{總體標(biāo)準(zhǔn)差未知})\]2.參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)：用樣本統(tǒng)計(jì)量直接估計(jì)總體參數(shù)（如用樣本均值$\bar{x}$估計(jì)總體均值μ）。優(yōu)良性準(zhǔn)則：無偏性（估計(jì)量的期望等于總體參數(shù)）、有效性（方差最?。⒁恢滦裕颖玖吭龃髸r(shí)估計(jì)量趨近于總體參數(shù)）。區(qū)間估計(jì)：給出總體參數(shù)的置信區(qū)間（包含總體參數(shù)的概率為置信水平1-α），公式為：\[\bar{x}\pmz_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\quad(\sigma已知，z檢驗(yàn))\quad;\quad\bar{x}\pmt_{\alpha/2}(n-1)\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\quad(\sigma未知，t檢驗(yàn))\]注：$z_{\alpha/2}$是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α/2分位數(shù)（如95%置信水平時(shí)，$z_{0.025}=1.96$）；$t_{\alpha/2}(n-1)$是自由度為n-1的t分布分位數(shù)（n較小時(shí)用t分布，n大時(shí)t分布趨近于正態(tài)分布）。3.假設(shè)檢驗(yàn)基本邏輯：通過樣本數(shù)據(jù)判斷原假設(shè)H?（如μ=μ?）是否成立，若樣本證據(jù)足夠強(qiáng)，則拒絕H?，接受備擇假設(shè)H?（如μ≠μ?）。步驟：1.建立假設(shè)：H?（零假設(shè)，通常為“無差異”或“無效果”）與H?（備擇假設(shè)，通常為“有差異”）；2.選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（如z統(tǒng)計(jì)量、t統(tǒng)計(jì)量）；3.確定顯著性水平α（通常取0.05，即拒真錯(cuò)誤的概率）；4.計(jì)算p值（或臨界值）：p值是在H?成立的情況下，得到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率；5.做出結(jié)論：若p≤α，則拒絕H?；否則，不拒絕H?。兩類錯(cuò)誤：Ⅰ類錯(cuò)誤（拒真）：H?為真時(shí)拒絕H?，概率為α；Ⅱ類錯(cuò)誤（納偽）：H?為假時(shí)接受H?，概率為β（β與α負(fù)相關(guān)，樣本量增大時(shí)β減?。?。三、概率知識(shí)點(diǎn)梳理（一）基本概念：隨機(jī)試驗(yàn)與事件1.隨機(jī)試驗(yàn)（E）：滿足以下條件的試驗(yàn)：可重復(fù)進(jìn)行；結(jié)果不確定；所有可能結(jié)果已知。2.樣本空間（Ω）：隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果的集合（如擲骰子的Ω={1,2,3,4,5,6}）。3.事件（A）：樣本空間的子集（如擲骰子“出現(xiàn)偶數(shù)”是事件A={2,4,6}）。基本事件：僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件（如“出現(xiàn)1”）；必然事件（Ω）：一定發(fā)生的事件；不可能事件（?）：一定不發(fā)生的事件。（二）事件的關(guān)系與運(yùn)算包含：若A發(fā)生則B必發(fā)生，記為A?B；并事件（A∪B）：A或B至少一個(gè)發(fā)生；交事件（A∩B）：A與B同時(shí)發(fā)生（簡(jiǎn)記為AB）；補(bǔ)事件（$\bar{A}$）：A不發(fā)生的事件（$\bar{A}$=Ω\A）；互斥事件：A與B不能同時(shí)發(fā)生（AB=?）；對(duì)立事件：A與B互斥且必有一個(gè)發(fā)生（AB=?且A∪B=Ω），此時(shí)$\bar{A}$=B。（三）概率的定義與性質(zhì)1.古典概型：滿足以下條件的概率模型：樣本空間Ω有限；每個(gè)基本事件等可能發(fā)生。概率公式：\[P(A)=\frac{\text{A包含的基本事件數(shù)}}{\text{Ω的基本事件總數(shù)}}\]示例：擲骰子“出現(xiàn)偶數(shù)”的概率P(A)=3/6=0.5。2.幾何概型：樣本空間Ω為連續(xù)區(qū)域（如長(zhǎng)度、面積、體積），概率與區(qū)域度量成正比：概率公式：\[P(A)=\frac{\text{A的區(qū)域度量}}{\text{Ω的區(qū)域度量}}\]示例：在[0,1]區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取數(shù)，取到0.5到0.8之間的概率P(A)=0.3/1=0.3。3.頻率定義：在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率$f_n(A)=\frac{\text{發(fā)生次數(shù)}}{n}$，當(dāng)n→∞時(shí)，$f_n(A)$穩(wěn)定于P(A)（大數(shù)定律）。4.公理化定義（柯爾莫哥洛夫）：概率是滿足以下公理的函數(shù)P(·)：非負(fù)性：P(A)≥0；規(guī)范性：P(Ω)=1；可列可加性：若A?,A?,…互斥，則$P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)$。（四）概率的計(jì)算方法1.加法公式：一般形式：$P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)$；互斥事件：若AB=?，則$P(A∪B)=P(A)+P(B)$；對(duì)立事件：$P(\bar{A})=1-P(A)$（常用簡(jiǎn)化計(jì)算，如求“不發(fā)生”的概率）。2.條件概率：在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，公式為：\[P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\quad(P(B)>0)\]示例：擲骰子已知“出現(xiàn)偶數(shù)”（B={2,4,6}），則“出現(xiàn)2”（A={2}）的條件概率P(A|B)=1/3。3.乘法公式：一般形式：$P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)$；獨(dú)立事件：若A與B獨(dú)立（B的發(fā)生不影響A的概率），則$P(AB)=P(A)P(B)$（推廣到多個(gè)獨(dú)立事件：$P(A_1A_2…A_n)=P(A_1)P(A_2)...P(A_n)$）。4.全概率公式：若A?,A?,…,A?是Ω的一個(gè)劃分（互斥且覆蓋Ω），則對(duì)任意事件B，有：\[P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)\]用途：將復(fù)雜事件B分解為多個(gè)簡(jiǎn)單事件的組合，計(jì)算其概率。5.貝葉斯公式：基于全概率公式，求逆概率（已知B發(fā)生，求A_i發(fā)生的概率）：\[P(A_i|B)=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(A_j)P(B|A_j)}\]用途：更新先驗(yàn)概率（P(A_i)）為后驗(yàn)概率（P(A_i|B)），如醫(yī)學(xué)診斷（已知癥狀，求患病概率）。（五）隨機(jī)變量與分布隨機(jī)變量（X）是將樣本空間映射到實(shí)數(shù)的函數(shù)（如擲骰子的結(jié)果X=1,2,…,6），分為離散型（取值有限或可列）與連續(xù)型（取值連續(xù)）。1.離散型隨機(jī)變量概率質(zhì)量函數(shù)（PMF）：$P(X=x_k)=p_k$，滿足$p_k≥0$且$\sump_k=1$；分布函數(shù)（CDF）：$F(x)=P(X≤x)=\sum_{x_k≤x}p_k$；期望（均值）：$E(X)=\sumx_kp_k$（反映隨機(jī)變量的平均水平）；方差：$Var(X)=E(X2)-(E(X))2$（反映隨機(jī)變量的波動(dòng)程度），其中$E(X2)=\sumx_k2p_k$；常見分布：二項(xiàng)分布（Binomial）：記為X~B(n,p)，表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（伯努利試驗(yàn)）中成功的次數(shù)，每次成功概率為p；PMF：$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$（k=0,1,…,n）；期望：$E(X)=np$；方差：$Var(X)=np(1-p)$。泊松分布（Poisson）：記為X~P(λ)，表示單位時(shí)間/空間內(nèi)稀有事件發(fā)生的次數(shù)（如每分鐘電話次數(shù)）；PMF：$P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$（k=0,1,…）；期望與方差：$E(X)=Var(X)=\lambda$。2.連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)（PDF）：$f(x)$，滿足$f(x)≥0$且$\int_{-∞}^{+∞}f(x)dx=1$；分布函數(shù)（CDF）：$F(x)=P(X≤x)=\int_{-∞}^{x}f(t)dt$；期望：$E(X)=\int_{-∞}^{+∞}xf(x)dx$；方差：$Var(X)=E(X2)-(E(X))2$，其中$E(X2)=\int_{-∞}^{+∞}x2f(x)dx$；常見分布：均勻分布（Uniform）：記為X~U(a,b)，表示X在[a,b]區(qū)間內(nèi)均勻取值；PDF：$f(x)=\frac{1}{b-a}$（a≤x≤b）；期望：$E(X)=\frac{a+b}{2}$；方差：$Var(X)=\frac{(b-a)2}{12}$。正態(tài)分布（Normal）：記為X~N(μ,σ2)，是最常見的連續(xù)分布（如身高、體重、測(cè)量誤差）；PDF：$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)2}{2\sigma2}}$；性質(zhì)：對(duì)稱于μ（鐘形曲線），σ越大曲線越平坦；標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：μ=0，σ=1，記為Z~N(0,1)，可通過Z變換將正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$；期望與方差：$E(X)=\mu$；$Var(X)=\sigma2$。四、練習(xí)題與解答（一）統(tǒng)計(jì)部分基礎(chǔ)題1.某班級(jí)10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)椋?5,90,78,92,88,75,80,95,85,82。計(jì)算：（1）均值、中位數(shù)、眾數(shù)；（2）樣本方差與標(biāo)準(zhǔn)差。解答：（1）排序后成績(jī)：75,78,80,82,85,85,88,90,92,95。均值：$\bar{x}=\frac{75+78+80+82+85+85+88+90+92+95}{10}=84$；中位數(shù)：中間兩數(shù)為85和85，故中位數(shù)=85；眾數(shù)：85出現(xiàn)2次，眾數(shù)=85。（2）樣本方差：\[s^2=\frac{1}{10-1}[(75-84)^2+(78-84)^2+...+(95-84)^2]=\frac{1}{9}[81+36+16+4+0+0+16+36+64+121]=\frac{374}{9}≈41.56\]標(biāo)準(zhǔn)差：$s=\sqrt{41.56}≈6.45$。2.某公司用分層抽樣調(diào)查員工收入，按部門分為銷售部（200人）、技術(shù)部（100人）、行政部（50人），抽取樣本量為35。求各部門的抽樣人數(shù)。解答：總體容量N=200+100+50=350，抽樣比k=35/350=0.1。銷售部：200×0.1=20人；技術(shù)部：100×0.1=10人；行政部：50×0.1=5人。提高題3.某產(chǎn)品的重量服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，已知σ=0.5，抽取16個(gè)樣本，樣本均值$\bar{x}=10$。求μ的95%置信區(qū)間。解答：σ已知，用z檢驗(yàn)，95%置信水平對(duì)應(yīng)的$z_{0.025}=1.96$。標(biāo)準(zhǔn)誤$SE=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0.5}{\sqrt{16}}=0.125$。置信區(qū)間：$\bar{x}±z_{0.025}×SE=10±1.96×0.125=10±0.245$，即(9.755,10.245)。4.某工廠聲稱產(chǎn)品合格率為95%，抽取100件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)有8件不合格。用α=0.05檢驗(yàn)該廠聲稱是否屬實(shí)。解答：建立假設(shè)：H?:p=0.95（合格率為95%），H?:p≠0.95（合格率不等于95%）。樣本比例$\hat{p}=1-\frac{8}{100}=0.92$。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（z統(tǒng)計(jì)量）：\[z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}=\frac{0.92-0.95}{\sqrt{\frac{0.95×0.05}{100}}}=\frac{-0.03}{0.0218}≈-1.376\]α=0.05對(duì)應(yīng)的臨界值為±1.96，計(jì)算p值：$p=2×P(Z≤-1.376)≈2×0.084=0.168$（通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得）。因p>0.05，不拒絕H?，即沒有足夠證據(jù)否定該廠的聲稱。（二）概率部分基礎(chǔ)題1.擲兩枚均勻骰子，求：（1）點(diǎn)數(shù)之和為7的概率；（2）點(diǎn)數(shù)之和大于10的概率。解答：樣本空間Ω有6×6=36個(gè)基本事件。（1）點(diǎn)數(shù)之和為7的事件A={（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）}，共6個(gè)，故P(A)=6/36=1/6。（2）點(diǎn)數(shù)之和大于10的事件B={（5,6）,（6,5）,（6,6）}，共3個(gè)，故P(B)=3/36=1/12。2.已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，P(A|B)=0.6，求P(A∪B)。解答：由乘法公式得P(AB)=P(B)P(A|B)=0.5×0.6=0.3。加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.5-0.3=0