-2024學(xué)年六年級數(shù)學(xué)上冊典型例題系列第八單元：數(shù)列、算式、數(shù)表規(guī)律綜合專項練習(xí)一、填空題。1．找規(guī)律，填數(shù)。10，14，22，38，70，134，()，()。2．找規(guī)律填空。1，2，4，7，()，16，22，()。3．按規(guī)律填空：2、5、10、17、26、37…第n個數(shù)是()。4．按規(guī)律填數(shù)：1，3，7，13，21，31，()，()。5．計算時，可以轉(zhuǎn)化成：()－()，得數(shù)是()。6．若，則n＝()。7．一列分?jǐn)?shù)：、、、、、、…，按規(guī)律，是這列分?jǐn)?shù)中的第()個。8．找規(guī)律填空。(1)，，，，，()，…(2)，，()＝()。9．將連續(xù)的正整數(shù)按下圖規(guī)律排列，則2016所在的位置是第()行第()列。10．如果，，，依次類推，()，()。二、解答題。11．有一列數(shù)：，，，，，，，…它的前2015個數(shù)的和是多少？12．先計算下面各題，然后找出規(guī)律。（1）＝（2）＝（3）＝13．觀察算式的規(guī)律：，，，，……。用含字母的式子表示規(guī)律：()。用規(guī)律計算：()。14．12

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10……問：2013正下方是多少？15．“貝爾數(shù)”是以美國數(shù)學(xué)家的名字命名的一組整數(shù)數(shù)列。它的排列形狀像個三角形，又稱“貝爾三角形”。請認(rèn)真觀察下面數(shù)列，并完成問題。（1）第5行第一個數(shù)“15”是怎么得到的？（2）填出第5行兩個括號中的數(shù)。16．通過計算并觀察①②③小題，猜想出④的結(jié)果，寫出你的發(fā)現(xiàn)，并用圖形進(jìn)行說明。①②③…則：④發(fā)現(xiàn)：____________________________________________________說明：17．先觀察再解答。（1）因為×＝1、×＝1，所以和、和叫做互為倒數(shù)。下面的兩個互為倒數(shù)的乘積，你知道是多少嗎？直接寫出得數(shù)。×＝（

）

×＝（

）

2×＝（

）（2）你能寫出下面各數(shù)的倒數(shù)嗎？

18．劉老師把自然數(shù)(0除外)按下面的樣子排列．(1)照下面的規(guī)律排下去，第6行有多少個數(shù)？第10行有多少個數(shù)？(2)第1行到第6行一共有多少個數(shù)？(3)第1行到第5行所有數(shù)相加的和是多少？19．計算1＋3＋5＋7＋9＋11＋…＋17＋19＝（

）。下面是三位同學(xué)的解法：□小剛：1和19相加，3和17相加……一共有5組這樣的加法，因此可以列式20×5計算。□小紅：根據(jù)我們學(xué)過的“數(shù)與形”的方法，這是一列從1到19的奇數(shù)列相加，可以用“10的平方”計算。□小麗：假設(shè)這列數(shù)是1＋2＋3＋4＋5＋…＋19＋20，可以列式（1＋20）×20÷2－10×（10＋1）計算。（1）你覺得哪些同學(xué)的解法正確，在□里畫√。（2）用你喜歡的方法計算下題，請用遞等式寫出過程。3＋5＋7＋9＋…＋19＋2120．找規(guī)律，并計算。觀察下列兩組等式：第一組：；；。第二組：；；；?；卮鹣铝袉栴}：（1）我發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：兩個分?jǐn)?shù)的（

）相同，并且等于分母之（

），則這兩個分?jǐn)?shù)的和就等于它們的積。（2）根據(jù)這個規(guī)律計算：①；

②若，則正整數(shù)m等于（

）。

2023-2024學(xué)年六年級數(shù)學(xué)上冊典型例題系列第八單元：數(shù)列、算式、數(shù)表規(guī)律綜合專項練習(xí)一、填空題。1．找規(guī)律，填數(shù)。10，14，22，38，70，134，()，()。【答案】262518【分析】數(shù)列中用后項減去前項，14－10＝4＝2×2，22－14＝8＝2×2×2，依次驗證，發(fā)現(xiàn)規(guī)律就是第幾項減去其前項的差就是幾個2的乘積，據(jù)此解答?！驹斀狻?4－10＝4＝2×222－14＝8＝2×2×238－22＝16＝2×2×2×270－38＝32＝2×2×2×2×2134－70＝64＝2×2×2×2×2×2規(guī)律：數(shù)列的第2項減去第1項的差等于2個2的積，數(shù)列的第3項減去第2項的差等于3個2的積……數(shù)列的第7項減去第6項的差等于7個2的積，即（262）－134＝2×2×2×2×2×2×2＝128；數(shù)列的第8項減去第7項的差等于8個2的積，即（518）－262＝2×2×2×2×2×2×2×2＝256。【點睛】考查探索數(shù)的排列規(guī)律。2．找規(guī)律填空。1，2，4，7，()，16，22，()?！敬鸢浮?129【分析】根據(jù)數(shù)字排列的規(guī)律，1＋1＝2，2＋2＝4，4＋3＝7，即從第二個數(shù)開始依次加從1開始的整數(shù)，據(jù)此規(guī)律可得出答案?！驹斀狻?＋4＝11，11＋5＝16，16＋6＝22，22＋7＝29?！军c睛】本題主要考查的是找數(shù)字排列的規(guī)律，解題的關(guān)鍵是找出數(shù)字排列的規(guī)律，進(jìn)而計算得出答案。3．按規(guī)律填空：2、5、10、17、26、37…第n個數(shù)是()?！敬鸢浮縩2＋1【分析】觀察數(shù)列可知，2＝12＋1，5＝22＋1，10＝32＋1，17＝42＋1，26＝52＋1，則第n個數(shù)是n2＋1?！驹斀狻坑煞治隹芍?、5、10、17、26、37…第n個數(shù)是n2＋1?！军c睛】本題考查數(shù)字的排列規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用規(guī)律是解題的關(guān)鍵。4．按規(guī)律填數(shù)：1，3，7，13，21，31，()，()。【答案】4357【分析】根據(jù)題意可知，1＝1，3＝1＋2，7＝1＋2＋4，13＝1＋2＋4＋6，21＝1＋2＋4＋6＋8，31＝1＋2＋4＋6＋8＋10，據(jù)此可知下一個數(shù)比31多加12，也就是43，再下一個數(shù)比43多加14，以此類推?！驹斀狻?1＋12＝4343＋14＝571，3，7，13，21，31，43，57?！军c睛】通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是應(yīng)該具備的基本能力。5．計算時，可以轉(zhuǎn)化成：()－()，得數(shù)是()?！敬鸢浮?【分析】把整個圖形的面積看作單位“1”，表示陰影部分的面積，根據(jù)“陰影部分的面積＝1－空白部分的面積”求出的結(jié)果，據(jù)此解答。【詳解】＝1－＝所以，計算時，可以轉(zhuǎn)化成：1－，得數(shù)是。【點睛】本題主要考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，把算式轉(zhuǎn)化為圖形進(jìn)行分析是解答題目的關(guān)鍵。6．若，則n＝()?！敬鸢浮?9【分析】1＋3＝[（1＋3）÷2]2＝22＝41＋3＋5＝[（1＋5）÷2]2＝32＝91＋3＋5＋7＝[（1＋7）÷2]2＝42＝16……1＋3＋5＋7＋9＋…＋n＝[]2＝2025，由此可知，（1＋n）2＝2025×4，據(jù)此求出n的值。【詳解】根據(jù)分析可知，[]2＝2025（1＋n）2＝2025×4（1＋n）2＝8100（1＋n）2＝9021＋n＝90n＝90－1n＝89若1＋3＋5＋7＋9＋…＋n＝2025，則n＝89。7．一列分?jǐn)?shù)：、、、、、、…，按規(guī)律，是這列分?jǐn)?shù)中的第()個?！敬鸢浮?8【分析】觀察數(shù)列可知，分母是2的分?jǐn)?shù)有1個，分母是3的分?jǐn)?shù)有2個，分母是4的分?jǐn)?shù)有3個，發(fā)現(xiàn)分母是n的分?jǐn)?shù)有（n－1）個，分子從1到n－1依次排列，據(jù)此解答即可。【詳解】由分析可知：分母是2的分?jǐn)?shù)有1個，分母是3的分?jǐn)?shù)有2個，分母是4的分?jǐn)?shù)有3個，分母是5的分?jǐn)?shù)有4個，分母是6的分?jǐn)?shù)有5個，分母是7的分?jǐn)?shù)有6個，分母是8的分?jǐn)?shù)有7個；1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝（1＋2＋7）＋（4＋6）＋（3＋5）＝10＋10＋8＝20＋8＝28則按規(guī)律，是這列分?jǐn)?shù)中的第28個?！军c睛】本題考查數(shù)列的排列規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用規(guī)律是解題的關(guān)鍵。8．找規(guī)律填空。(1)，，，，，()，…(2)，，()＝()。【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)觀察可知，分母依次乘2，分子依次加2，則下一個分?jǐn)?shù)，分母為32×2＝64，分子為9＋2＝11；（2）根據(jù)觀察可知，分母的排列順序為前一個分母乘2，分子都是1，這樣的分?jǐn)?shù)相加之后的和等于1減去最后一個加上的分?jǐn)?shù)，據(jù)此分析解答?！驹斀狻浚?），，，，，，…（2）【點睛】找到分?jǐn)?shù)的排列規(guī)律是解題的關(guān)鍵。9．將連續(xù)的正整數(shù)按下圖規(guī)律排列，則2016所在的位置是第()行第()列。【答案】1045【分析】根據(jù)題意可知，第奇數(shù)列的第一行的數(shù)為所在列數(shù)的平方，然后向下每一行遞減一個數(shù)與列數(shù)相同的行止，第偶數(shù)行的第一列的數(shù)是所在行數(shù)的平方，然后向右每一列遞減1至于行數(shù)相同的列止，根據(jù)此規(guī)律求出與2016最接近的平方數(shù)，然后找出所在的列數(shù)與行數(shù)即可。【詳解】根據(jù)分析可知，第一行的第1、3、5列的數(shù)分別是1、9、25，為所在列數(shù)的平方；然后向下每一行遞減1與列數(shù)相同的行止，第一列的第2、4、6行的數(shù)分別是4、16、36，為所在行數(shù)的平方，然后向右每一列遞減1止于行數(shù)相同為止。因為452＝2025；2025－2016＋1＝9＋1＝10所以在第10列第45行。將連續(xù)的正整數(shù)按下圖規(guī)律排列，則2016所在的位置是第10列第45行?！军c睛】通過觀察、分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是應(yīng)該具備的基本能力。10．如果，，，依次類推，()，()?！敬鸢浮?46.2【分析】觀察等式可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，，表示從1開始連續(xù)個自然數(shù)相乘，再求出、、時式子的值，最后根據(jù)四則運算的順序求出的值，據(jù)此解答?！驹斀狻浚剑剑剿?，24，。【點睛】根據(jù)題中給出的算式找出新運算的規(guī)律是解答題目的關(guān)鍵。二、解答題。11．有一列數(shù)：，，，，，，，…它的前2015個數(shù)的和是多少？【答案】1007.5【詳解】以1為分母的數(shù)有1個，相加和S1＝1，以2為分母的數(shù)有2個，相加和S2＝+＝，以3為分母的數(shù)有3個，相加和S3＝++＝2，…以n為分母的數(shù)有n個，相加和Sn＝++…+＝＝，求前2015個數(shù)的和，先確定第2015個數(shù)分母是什么，即求滿足1+2+3+4…+m＝≥2015的最小整數(shù)n，易得n＝63，62×63÷2＝1953，分母為63的數(shù)有2015﹣1953＝62個，即、、、…、，則前2015個數(shù)的和是：S＝S1+S2+…S62++++…+＝（1+2+3+…62）÷2+（1+2+3+…+62）÷63＝（1+62）×62÷2÷2+（1+62）×62÷2÷63＝976.5+31＝1007.5答：它的前2015個數(shù)的和是1007.5．12．先計算下面各題，然后找出規(guī)律。（1）＝（2）＝（3）＝【答案】（1）；（2）；（3）規(guī)律：后一種加數(shù)是前一個加數(shù)的一半的連加算式的和是：1減最后一個加數(shù)的差，即分母是最后一個加數(shù)的分母，分子比分母少1。【分析】這三個算式中每一個相加的加數(shù)中后一個加數(shù)的分母是前一個加數(shù)分母的2倍，可以利用拆項法分別算出算式（1）和是、算式（2）和是、算式（3）和是，通過比較可知，這三個算式的和正好分別是1減最后一個加數(shù)的差，由此解答?！驹斀狻浚?），＝＝1－＋－＋－＝1－＝（2）＋＋＋＝（1－）＋（－）＋（－）＋（－）＝1＋－＋－＋－＝1－＝（3）＋＋＋＋＝（1－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）＝1－＋－＋－＋－＋－＝1－＝規(guī)律是：后一種加數(shù)是前一個加數(shù)的一半的連加算式的和是：1減最后一個加數(shù)的差，即分母是最后一個加數(shù)的分母，分子比分母少1。【點評】此題主要考查利用拆項法求和的方法。13．觀察算式的規(guī)律：，，，，……。用含字母的式子表示規(guī)律：()。用規(guī)律計算：()?！敬鸢浮縩2?（n?1）2＝n＋n＋1210【分析】觀察題目給出的算式，發(fā)現(xiàn)前一個數(shù)都比后一個數(shù)大1，而且前一個數(shù)的平方減去后一個數(shù)的平方最終等于前數(shù)加后數(shù)，由此可得到規(guī)律?！驹斀狻浚?）n2?（n?1）2＝n＋n＋1（2）＝20＋19＋18＋17＋……＋2＋1＝20×10＋10＝200＋10＝210【點睛】本題考查學(xué)生的觀察能力，找到規(guī)律然后利用規(guī)律是解題的關(guān)鍵。14．12

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10……問：2013正下方是多少？【答案】2076【分析】由題意可知：第幾行就有幾個數(shù)字，第n行就有n個數(shù)字，那么前n行共有1+2+3+…+n=n（n+1）÷2個數(shù)字，而63×64÷2=2016，所以2013在第63行，那么前62行共有62×（62+1）÷2=1955，所以第63行第一個數(shù)字是1996，2013在第63行第60個數(shù)字，而第64行是從2017開始，那么第60個數(shù)字是2076，據(jù)此解答即可．解答本題的關(guān)鍵是正確理解其中的規(guī)律，進(jìn)而找出2013所在的行，所在行中的第幾個數(shù)字，確定下一行從幾開始即可．【詳解】因為：63×64÷2=2016所以2013在第63行第60個數(shù)字而第64行是從2017開始，那么第60個數(shù)字是2076答：2013正下方是2076．15．“貝爾數(shù)”是以美國數(shù)學(xué)家的名字命名的一組整數(shù)數(shù)列。它的排列形狀像個三角形，又稱“貝爾三角形”。請認(rèn)真觀察下面數(shù)列，并完成問題。（1）第5行第一個數(shù)“15”是怎么得到的？（2）填出第5行兩個括號中的數(shù)?！敬鸢浮浚?）第5行第一個數(shù)“15”是通過第四行的最后一個數(shù)得來的；（2）27；52【分析】（1）仔細(xì)觀察得知，每排的最后一個數(shù)都等于下一排的第一個數(shù)；（2）其他任何一個數(shù)等于它左邊相鄰數(shù)加左邊相鄰數(shù)上面的一個數(shù)?！驹斀狻浚?）通過分析可知，第5行第一個數(shù)“15”是通過第四行的最后一個數(shù)得來的；（2）20＋7＝27；37＋15＝52【點睛】本題是一道探究規(guī)律的題目，根據(jù)已知數(shù)字確定數(shù)形中的規(guī)律是解答的關(guān)鍵。16．通過計算并觀察①②③小題，猜想出④的結(jié)果，寫出你的發(fā)現(xiàn)，并用圖形進(jìn)行說明。①②③…則：④發(fā)現(xiàn)：____________________________________________________說明：【答案】①②③④發(fā)現(xiàn)及說明見詳解【詳解】①②③…則：④發(fā)現(xiàn)：計算結(jié)果以最后一個分?jǐn)?shù)的分母作分母，分子等于分母減1。如圖：依次選取余下的一半，就會出現(xiàn)這種情況：【點睛】數(shù)和圖形的規(guī)律是相對應(yīng)的，圖形的排列有什么變化規(guī)律，數(shù)的排列就有相應(yīng)的變化規(guī)律。17．先觀察再解答。（1）因為×＝1、×＝1，所以和、和叫做互為倒數(shù)。下面的兩個互為倒數(shù)的乘積，你知道是多少嗎？直接寫出得數(shù)。×＝（

）

×＝（

）

2×＝（

）（2）你能寫出下面各數(shù)的倒數(shù)嗎？

【答案】（1）1；1；1；（2）；；；；【分析】（1）觀察已知算式可知：兩個互為倒數(shù)的數(shù)的乘積是1；（2）觀察已知算式可得：求真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，將分子和分母互換位置即可；據(jù)此解答?！驹斀狻浚?）×＝1

×＝1

2×＝1（2）的倒數(shù)是的倒數(shù)是的倒數(shù)是的倒數(shù)是的倒數(shù)是【點睛】理解已知算式，找出兩個互為倒數(shù)的數(shù)的乘積是1、求真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，將分子和分母互換位置即可，是解題的關(guān)鍵。18．劉老師把自然數(shù)(0除外)按下面的樣子排列．(1)照下面的規(guī)律排下去，第6行有多少個數(shù)？第10行有多少個數(shù)？(2)第1行到第6行一共有多少個數(shù)？(3)第1行到第5行所有數(shù)相加的和是多少？【答案】(1)第6行有：6×2－1＝11(個)第10行有：10×2－1＝19(個)(2)1＋3＋5＋7＋9＋11＝36(個)(3)1＋2＋3＋…＋25＝325點撥：因為第5行有5×2－1＝9(個)數(shù)，所以從第1行到第5行一共有1＋3＋5＋7＋9＝25(個)數(shù)，這25個數(shù)就是1～25，再求和．【詳解】略19．計算1＋3＋5＋7＋9＋11＋…＋17＋19＝（

）。下面是三位同學(xué)的解法：□小剛：1和19相加，3和17相加……一共有5組這樣的加法，因此可以列式20×5計算?！跣〖t：根據(jù)我們學(xué)過的“數(shù)與形”的方法，這是一列從1到19的奇數(shù)列相加，可以用“10的平方”計算?！跣←悾杭僭O(shè)這列數(shù)是1＋2＋3＋4＋5＋…＋19＋20，可以列式（1＋20）×20