高三數(shù)學(xué)不等式證明方法技巧試卷及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.用比較法證明\(a^2+b^2\geq2ab\)，作差后變形正確的是（）A.\((a-b)^2\)B.\((a+b)^2\)C.\(a(a-b)+b(b-a)\)D.\((a-b)(a+b)\)2.若\(a>b>0\)，則下列不等式中成立的是（）A.\(\frac{a}>\frac{b+1}{a+1}\)B.\(a+\frac{1}{a}>b+\frac{1}\)C.\(a+\frac{1}>b+\frac{1}{a}\)D.\(\frac{2a+b}{a+2b}>\frac{a}\)3.已知\(x>0\)，\(y>0\)，且\(x+y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值是（）A.2B.4C.6D.84.用分析法證明不等式\(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}<\sqrt{a-1}-\sqrt{a-2}(a\geq2)\)時(shí)，最后推得的顯然成立的不等式是（）A.\(0<1\)B.\(1<2\)C.\(2<3\)D.\(3<4\)5.已知\(a,b\inR\)，且\(ab>0\)，則下列不等式中恒成立的是（）A.\(a^2+b^2>2ab\)B.\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)C.\(\frac{1}{a}+\frac{1}>\frac{2}{\sqrt{ab}}\)D.\(\frac{a}+\frac{a}\geq2\)6.若\(a,b,c\)滿(mǎn)足\(c<b<a\)，且\(ac<0\)，那么下列選項(xiàng)不一定成立的是（）A.\(ab>ac\)B.\(c(b-a)>0\)C.\(cb^2<ab^2\)D.\(ac(a-c)<0\)7.已知\(x>0\)，則\(2-3x-\frac{4}{x}\)的最大值為（）A.\(2+4\sqrt{3}\)B.\(2-4\sqrt{3}\)C.\(2+2\sqrt{3}\)D.\(2-2\sqrt{3}\)8.用反證法證明“若\(a+b+c<3\)，則\(a,b,c\)中至少有一個(gè)小于1”時(shí)，應(yīng)（）A.假設(shè)\(a,b,c\)都大于1B.假設(shè)\(a,b,c\)都大于或等于1C.假設(shè)\(a,b,c\)都不小于1D.假設(shè)\(a,b,c\)都不大于19.已知\(a>0\)，\(b>0\)，且\(a+b=1\)，則\((1+\frac{1}{a})(1+\frac{1})\)的最小值為（）A.4B.6C.9D.1210.若\(a>b>1\)，\(P=\sqrt{\lga\cdot\lgb}\)，\(Q=\frac{1}{2}(\lga+\lgb)\)，\(R=\lg\frac{a+b}{2}\)，則（）A.\(R<P<Q\)B.\(P<Q<R\)C.\(Q<P<R\)D.\(P<R<Q\)答案：1.A2.C3.B4.A5.D6.C7.B8.B9.C10.B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列不等式證明過(guò)程正確的是（）A.若\(a,b\inR\)，則\(\frac{a}+\frac{a}\geq2\sqrt{\frac{a}\cdot\frac{a}}=2\)B.若\(x>0\)，\(y>0\)，則\(\lgx+\lgy\geq2\sqrt{\lgx\cdot\lgy}\)C.若\(x<0\)，則\(x+\frac{4}{x}=-[(-x)+(-\frac{4}{x})]\leq-2\sqrt{(-x)\cdot(-\frac{4}{x})}=-4\)D.若\(a,b\inR\)，且\(ab<0\)，則\(\frac{a}+\frac{a}=-[(-\frac{a})+(-\frac{a})]\leq-2\sqrt{(-\frac{a})\cdot(-\frac{a})}=-2\)2.用綜合法證明不等式時(shí)常用的不等式有（）A.\(a^2\geq0\)B.\((a-b)^2\geq0\)C.\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}(a,b>0)\)D.\(a^2+b^2\geq2ab\)3.已知\(a>0\)，\(b>0\)，且\(a+b=1\)，則下列不等式成立的是（）A.\(a^2+b^2\geq\frac{1}{2}\)B.\(2^{a-b}>\frac{1}{2}\)C.\(\log_2a+\log_2b\geq-2\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leq\sqrt{2}\)4.下列可以用來(lái)證明不等式的方法有（）A.比較法B.分析法C.綜合法D.反證法5.若\(x>0\)，\(y>0\)，且\(x+2y=1\)，則（）A.\(xy\leq\frac{1}{8}\)B.\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq3+2\sqrt{2}\)C.\(x^2+y^2\geq\frac{1}{5}\)D.\(\frac{y}{x}+\frac{x}{2y}\geq2\)6.已知\(a,b,c\)是不全相等的正實(shí)數(shù)，則下列不等式中一定成立的是（）A.\(a+b+c>\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)B.\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>0\)C.\(a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca\)D.\(\frac{a}+\frac{c}+\frac{c}{a}>3\)7.若\(a,b\inR\)，且\(a^2+b^2=1\)，則（）A.\(|a|+|b|\leq\sqrt{2}\)B.\(|ab|\leq\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq4\)D.\(a+b\leq\sqrt{2}\)8.用分析法證明不等式\(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}<\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2}(x\geq2)\)時(shí)，經(jīng)過(guò)一系列變形后可以得到（）A.\(0<1\)B.\(1<2\)C.\(x(x-1)>(x-2)(x+1)\)D.\(x^2>x^2-1\)9.已知\(m>0\)，\(n>0\)，且\(m+n=1\)，則（）A.\(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\geq4\)B.\(m^2+n^2\geq\frac{1}{2}\)C.\(\sqrt{m}+\sqrt{n}\leq\sqrt{2}\)D.\(mn\leq\frac{1}{4}\)10.下列說(shuō)法正確的是（）A.若\(a>b\)，則\(a^3>b^3\)B.若\(a>b\)，\(c>d\)，則\(a-c>b-d\)C.若\(a>b\)，\(c>0\)，則\(ac>bc\)D.若\(a>b\)，\(ab>0\)，則\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)答案：1.CD2.ABCD3.ABD4.ABCD5.ABCD6.ABCD7.ABD8.ACD9.ABCD10.ACD三、判斷題（每題2分，共20分）1.若\(a>b\)，則\(a^2>b^2\)。（）2.用綜合法證明不等式時(shí)，是從“已知”看“可知”逐步推向“未知”。（）3.若\(x>0\)，\(y>0\)，\(x+y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值為4。（）4.分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充要條件。（）5.若\(a,b\inR\)，且\(a+b=1\)，則\(ab\leq\frac{1}{4}\)。（）6.反證法就是通過(guò)證明命題的否定不成立，從而證明原命題成立。（）7.已知\(x>0\)，則\(x+\frac{1}{x}\geq2\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(x=1\)時(shí)等號(hào)成立。（）8.若\(a>b>0\)，\(c<d<0\)，則\(\frac{a}nffdvzf<\frac{c}\)。（）9.用比較法證明不等式\(a^2+b^2\geq2ab\)時(shí)，作差后配方得\((a-b)^2\)。（）10.若\(a,b,c\)滿(mǎn)足\(a>b>c\)，且\(abc<0\)，則\(ab>ac\)。（）答案：1.×2.√3.√4.×5.√6.√7.√8.√9.√10.×四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述用比較法證明不等式的步驟。答案：作差（或作商），然后對(duì)差式（或商式）進(jìn)行變形，如因式分解、配方等，最后判斷差的正負(fù)（或商與1的大小關(guān)系）得出結(jié)論。2.用分析法證明不等式\(\sqrt{6}+\sqrt{7}>2\sqrt{2}+\sqrt{5}\)。答案：要證\(\sqrt{6}+\sqrt{7}>2\sqrt{2}+\sqrt{5}\)，即證\((\sqrt{6}+\sqrt{7})^2>(2\sqrt{2}+\sqrt{5})^2\)，展開(kāi)得\(13+2\sqrt{42}>13+4\sqrt{10}\)，即證\(\sqrt{42}>2\sqrt{10}\)，再證\(42>40\)，顯然成立，所以原不等式成立。3.已知\(a>0\)，\(b>0\)，\(a+b=1\)，求\(\frac{1}{a}+\frac{2}\)的最小值。答案：\(\frac{1}{a}+\frac{2}=(\frac{1}{a}+\frac{2})(a+b)=1+\frac{a}+\frac{2a}+2=3+\frac{a}+\frac{2a}\geq3+2\sqrt{\frac{a}\cdot\frac{2a}}=3+2\sqrt{2}\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(\frac{a}=\frac{2a}\)時(shí)取等號(hào)，最小值為\(3+2\sqrt{2}\)。4.用反證法證明：若\(a,b\inR\)，且\(a+b>2\)，則\(a,b\)中至少有一個(gè)大于1。答案：假設(shè)\(a\leq1\)且\(b\leq1\)，那么\(a+b\leq2\)，這與已知\(a+b>2\)矛盾，所以假設(shè)不成立，即\(a,b\)中至少有一個(gè)大于1。五、討論題（每題5分，共20分）1.在證明不等式時(shí)，如何根據(jù)不等式的特點(diǎn)選擇合適的證明方法？答案：若不等式兩邊形式簡(jiǎn)單，可考慮比較法；若從條件到結(jié)論較難，可從結(jié)論出發(fā)用分析法；若條件和結(jié)論聯(lián)系明顯，由因?qū)Ч镁C合法；當(dāng)直接證明困難時(shí)，可嘗試反證法。2.已知\(x>0\)，\(y>0\)，且\(x+y=1\)，討論\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\)的取值范圍。答案：\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2-\frac{2}{xy}\)，由\(x+y=1\)得\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(x+y)=2+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geq4\)，\(xy\leq(\frac{x+y}{2})^2=\frac{1}{4}\)，\(\frac{1}{x