第二章二次函數(shù)二次函數(shù)基礎(chǔ)講義北師大版（2012）初中數(shù)學(xué)九年級下冊一、知識點(diǎn)回顧1.1二次函數(shù)的定義（教材原文）：

1.形式：形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、1.2二次函數(shù)的圖象與基本性質(zhì)（教材核心內(nèi)容）：

1.圖象：拋物線，對稱軸為直線x=?b2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)為?b2a,4ac?b24a。

2.開口方向：

a>0時開口向上，頂點(diǎn)為最低點(diǎn)；

a<0時開口向下，頂點(diǎn)為最高點(diǎn)。

3.特殊形式：

頂點(diǎn)式1.3二次函數(shù)與實(shí)際問題（教材應(yīng)用）：

1.最值問題：通過頂點(diǎn)坐標(biāo)求最大值或最小值；

2.幾何問題：如面積、距離的最優(yōu)化。二、重難點(diǎn)講解2.1二次函數(shù)解析式的確定方法

重難點(diǎn)：根據(jù)已知條件選擇合適形式（一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式）求解。

示例：

已知拋物線過點(diǎn)(1,4)，頂點(diǎn)為(2,3)，求解析式。

解析：

1.用頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x?2.2二次函數(shù)的最值應(yīng)用

核心方法：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型，利用頂點(diǎn)求最值。

示例：

用20米長的籬笆圍一個矩形雞舍，一面靠墻，求雞舍的最大面積。

解析：

1.設(shè)垂直于墻的邊長為x米，則平行于墻的邊長為(20?2x)米；

2.面積S=x(20三、易錯點(diǎn)與解題方法3.1常見易錯點(diǎn)

1.忽略a≠0的條件：

錯誤：將y=3x2+2x誤認(rèn)為二次函數(shù)，但若題目中未明確a≠0，需額外驗(yàn)證。

2.頂點(diǎn)坐標(biāo)計算錯誤：

錯誤：計算頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x=?b2a時符號錯誤（如a=3.2解題技巧與方法

1.待定系數(shù)法的步驟：

步驟1：根據(jù)已知條件選擇解析式形式（一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式）；

步驟2：代入已知點(diǎn)或條件，建立方程組；

步驟3：解方程組求系數(shù)。

示例：

已知拋物線與x軸交于(?1,0)和(3,0)，且過點(diǎn)(0,3)，求解析式。

解析：

1.用交點(diǎn)式y(tǒng)=a(四、鞏固練習(xí)基礎(chǔ)題：

已知二次函數(shù)y=應(yīng)用題：

某商店銷售一種商品，每件成本50元，售價80元時每天售出100件。每降價1元，銷量增加10件。求每日最大利潤。綜合題：

拋物線過點(diǎn)(1,0)、(3答案與解析：

1.頂點(diǎn)(2,?1)，對稱軸x=2，開口向上

最大利潤為3750元解析：設(shè)降價x元，利潤W=(80?50?解析式y(tǒng)=2x解析：用交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x?1)(x?一、選擇1.(單選)下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（

）A.B.C.D.2.(單選)下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（

）A.B.C.D.3.(單選)下列函數(shù)中，是的二次函數(shù)的是（）A.B.C.D.4.(單選)下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（

）A.B.C.D.5.(單選)下列函數(shù)是二次函數(shù)的有（）（1）y＝1﹣x2；（2）y＝；（3）y＝x（x﹣3）；（4）y＝ax2+bx+c；（5）y＝2x+1；（6）y＝2（x+3）2﹣2x2．A.1個B.2個C.3個D.4個6.(單選)下列函數(shù)中，是關(guān)于的二次函數(shù)的是（

）A.B.C.D.7.(單選)下列各式中，y是關(guān)于x的二次函數(shù)的是（）A.B.C.D.8.(單選)下列函數(shù)式二次函數(shù)的是（

）A.B.C.D.二、填空1.二次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)為

．2.把變成一般式，它的常數(shù)項(xiàng)為

．3.已知二次函數(shù)開口向下，則

．4.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，小明用4張面積相等的直角三角形紙片（任意兩張均不能完全重合）做如下探究：如圖，，將每張直角三角形紙片的一個銳角頂點(diǎn)與重合，一直角邊在射線上，且另一個銳角頂點(diǎn)位于內(nèi)部，得到4個位于內(nèi)部的銳角頂點(diǎn)，探究這4個頂點(diǎn)的分布規(guī)律．關(guān)于這4個頂點(diǎn)，下列說法正確的是

．（寫出所有正確結(jié)論的序號）①它們中的任意三點(diǎn)都不在同一直線上；②它們可以在同一直線上；③它們在雙曲線的同一分支上；④它們可以在同一條拋物線上．5.如圖，矩形綠地的長和寬分別為和．若將該綠地的長、寬各增加，擴(kuò)充后的綠地的面積為，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系是

．（填“正比例函數(shù)關(guān)系”、“一次函數(shù)關(guān)系”或“二次函數(shù)關(guān)系”）6.若是關(guān)于的二次函數(shù)，則

7.觀察：①；②；③；④；⑤；⑥．這六個式子中，二次函數(shù)有

．（只填序號）8.已知二次函數(shù)開口向下，則

.三、解答1.如圖，用長為的籬笆（虛線部分），兩面靠墻圍成矩形的苗圃．(1)設(shè)矩形的一邊為，面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)上述函數(shù)是什么函數(shù)？(3)并寫出自變量的取值范圍；(4)當(dāng)時，所圍苗圃的面積是多少？2.化肥能讓土壤中的有機(jī)質(zhì)含量增加，提高土壤中的重要微生物孢子的含量和多樣性，既能改良土壤的活性，又能改變土壤的性質(zhì)，從而提高土壤的肥力，增加農(nóng)作物的產(chǎn)量．某科研團(tuán)隊分析了化肥使用量與某農(nóng)作物產(chǎn)量之間的關(guān)系．部分內(nèi)容如下：種植方式一：在種植過程中不添加化肥，該農(nóng)作物的產(chǎn)量為15噸/公頃；種植方式二：在種植過程中，記該農(nóng)作物的產(chǎn)量為y（噸/公頃），化肥的使用總量為x（噸/公頃）．記錄的部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：x/（噸/公頃）2.23.04.25.06.57.58.59.410.3y/（噸/公頃）21.325.732.235.841.043.143.440.830.8根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，解決下列問題：(1)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，畫出y關(guān)于x的函數(shù)圖象；(2)若將（1）中所畫函數(shù)圖象補(bǔ)全，則該函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為_______．(3)若某農(nóng)業(yè)基地在種植該農(nóng)作物時，兩種種植方式均存在．①該農(nóng)作物每公頃的產(chǎn)量最多相差_______噸（結(jié)果保留1位小數(shù)）；②當(dāng)兩種方式的種植面積相同時，若種植方式二的總產(chǎn)量不低于方式一總產(chǎn)量的2倍，該基地化肥的使用總量需控制在_______（噸/公頃）至_______（噸/公頃）范圍內(nèi)（結(jié)果保留整數(shù)）．

3.已知二次函數(shù)．(1)完成如表：

(2)根據(jù)（1）的結(jié)果在平面直角坐標(biāo)系中利用描點(diǎn)法畫出此拋物線．(3)結(jié)合函數(shù)圖象，當(dāng)時，的取值范圍是

．4.某汽車的行駛路程與行駛時間之間的函數(shù)表達(dá)式為．y是x的二次函數(shù)嗎？求汽車行駛的路程．5.一位滑雪者從某山坡滑下并滑完全程，滑行距離s（單位：m）與滑行時間t（單位：s）近似滿足“一次函數(shù)”、“二次函數(shù)”關(guān)系中的一種．測得一些數(shù)據(jù)如下：滑行時間滑行距離

(1)s是t的

函數(shù)（填“一次”、“二次”）；(2)求s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；(3)已知第二位滑雪者也從該山坡滑下并滑完全程，且滑行距離與第一位滑雪者相同，滑行距離s（單位：m）與滑行時間t（單位：s）近似滿足函數(shù)關(guān)系．記第一位滑雪者滑完全程所用時間為，第二位滑雪者滑完全程所用時間為，則

（填“<”，“=”或“>”）．6.關(guān)于x的函數(shù)，甲說：“此函數(shù)不一定是二次函數(shù)．”乙說：“此函數(shù)一定是二次函數(shù)．”誰的說法正確？為什么？7.下列函數(shù)中（x，t為自變量），哪些是二次函數(shù)？如果是二次函數(shù)，請指出二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．(1)；(2)；(3)；(4)．8.如圖，為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定在一塊一邊靠墻（墻長）的空地上修建一個矩形小花園，小花園一邊靠墻，另三邊用總長的柵欄圍住，如圖所示．若設(shè)矩形小花園邊的長為，面積為．(1)與之間是

函數(shù)關(guān)系（填“一次”或“二次”）；(2)求出與之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量取值范圍）；(3)當(dāng)為何值時，小花園的面積最大？最大面積是多少？9.已知二次函數(shù)．(1)將該函數(shù)表達(dá)式化為二次函數(shù)的一般形式；(2)寫出該二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．10.將一矩形紙片放在直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，在軸上，，．(1)如圖，在上取一點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)，求直線的解析式．(2)如圖，在、邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)、，將沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)，過作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．①求證：．②設(shè)，探求：與滿足的等量關(guān)系式，并將用含的代數(shù)式表示（指出變量的取值范圍）．(3)在（）的條件下，當(dāng)時，點(diǎn)在直線上，問在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．11.如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)點(diǎn)是拋物線對稱軸上的一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)連接，點(diǎn)是線段下方拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在什么位置時，的面積最大，求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)．(4)點(diǎn)在軸上，且，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．12.設(shè)在一個變化過程中有兩個變量與，如果對于的每一個值，都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么就說是的函數(shù)，記作．在函數(shù)中，當(dāng)自變量時，相應(yīng)的函數(shù)值可以表示為．例如：函數(shù)，當(dāng)時，在平面直角坐標(biāo)系中，對于函數(shù)的零點(diǎn)給出如下定義：如果函數(shù)在的范圍內(nèi)對應(yīng)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且，那么函數(shù)在的范圍內(nèi)有零點(diǎn)，即存在（），使，則叫做這個函數(shù)的零點(diǎn)，也是方程在范圍內(nèi)的根．例如：二次函數(shù)的圖象如圖所示觀察可知：，，則．所以函數(shù)在范圍內(nèi)有零點(diǎn)．由于