南寧市高中期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.[1,+∞)

C.(1,+∞)

D.(-1,+∞)

2.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},若A∩B={2},則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.1/2

B.1/4

C.1/8

D.1/16

3.若復(fù)數(shù)z=1+i滿足z2+az+b=0(a,b∈R),則a+b的值為（）

A.0

B.1

C.2

D.-1

4.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.3π/2

5.在等差數(shù)列{a?}中,若a?+a?=10,a?=3,則該數(shù)列的公差d為（）

A.1

B.2

C.-1

D.-2

6.已知點(diǎn)P(x,y)在直線x+2y-1=0上運(yùn)動,則|OP|的最小值為（）

A.1/2

B.√5/5

C.1

D.√2

7.若向量a=(1,k),b=(3,-2)的夾角為120°,則實(shí)數(shù)k的值為（）

A.-3/4

B.-4/3

C.3/4

D.4/3

8.不等式|2x-1|<3的解集為（）

A.(-1,2)

B.(-2,1)

C.(-1,4)

D.(-4,1)

9.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4,則圓心C到直線3x-4y+5=0的距離為（）

A.1

B.√2

C.√5

D.2

10.已知函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值,則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.3

B.-3

C.2

D.-2

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的是（）

A.f(x)=x3

B.f(x)=x2+1

C.f(x)=sin(x)

D.f(x)=|x|

2.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6,a?=162，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?為（）

A.a?=2×3^(n-1)

B.a?=3^(n-1)

C.a?=2×3^(n+1)

D.a?=3^(n+1)

3.已知直線l?:ax+2y-1=0與直線l?:x+(a+1)y+4=0平行，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（）

A.{1}

B.{-2}

C.{0}

D.{1,-2}

4.下列命題中，真命題是（）

A.若a2=b2，則a=b

B.若a>b，則a2>b2

C.不存在實(shí)數(shù)x使得sin(x)+cos(x)=2

D.函數(shù)f(x)=x3在R上單調(diào)遞增

5.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax+1，若f(x)在x=1處取得極值，則（）

A.a=e

B.f(x)在x=1處取得極大值

C.f(x)在x=1處取得極小值

D.e>a

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=√(x-1)，其定義域用集合表示為________。

2.復(fù)數(shù)z=2-i除以復(fù)數(shù)z?（z的共軛復(fù)數(shù)）的結(jié)果是________。

3.不等式組{x>1,x2-4x+3≤0}的解集是________。

4.已知向量a=(3,-1),b=(-1,2)，則向量a與向量b的夾角θ的余弦值cosθ=________。

5.已知圓C的方程為(x+1)2+(y-2)2=9，則過圓心C且與直線x-y-1=0垂直的直線方程為________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x2+2。求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)及對應(yīng)的極值。

2.解不等式|2x-1|+3>x+2。

3.已知向量a=(1,2,-1)，向量b=(2,-3,4)。求：

(1)向量a與向量b的夾角θ的余弦值；

(2)向量a與向量b的向量積（叉積）。

4.求不定積分∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

5.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=5，公差d=-2。求該數(shù)列的前10項(xiàng)和S??。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.C解：由對數(shù)函數(shù)定義域可知，x-1>0，解得x>1。故定義域?yàn)?1,+∞)。

2.A解：A={1,2}。由A∩B={2}，則2∈B，即2a=1，解得a=1/2。

3.C解：z2=(1+i)2=1+2i-1=2i。代入z2+az+b=0得2i+ai+b=0，即a+b+(2+a)i=0。由實(shí)部虛部都為0，得a+b=0且2+a=0，解得a=-2，b=2。故a+b=-2+2=0。

4.A解：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|。此處ω=2，故T=2π/2=π。

5.B解：由a?=a?-d=3-d，a?=a?+2d=3+2d。代入a?+a?=10得(3-d)+(3+2d)=10，解得d=2。

6.B解：|OP|的最小值即原點(diǎn)到直線的距離d=|Ax?+By?+C|/√(A2+B2)。此處(x?,y?)為(0,0)，A=1,B=2,C=-1。故d=|-1|/√(12+22)=1/√5=√5/5。

7.D解：向量夾角公式cosθ=(a·b)/(|a||b|)。a·b=1×3+k×(-2)=3-2k，|a|=√(12+k2)=√(1+k2)，|b|=√(32+(-2)2)=√13。cos120°=-1/2。代入得-1/2=(3-2k)/(√(1+k2)√13)，整理得-√13(3-2k)=-2√(1+k2)。平方后化簡得-13(9-12k+4k2)=-4(1+k2)，即-117+156k-52k2=-4-4k2，整理得48k2-156k+113=0。解此二次方程得k=4/3或k=3/4。需檢驗(yàn)。當(dāng)k=4/3時(shí)，cosθ=-1/2，滿足。當(dāng)k=3/4時(shí)，cosθ=(3-2×3/4)/(√(1+(3/4)2)√13)=(3-3/2)/(√(1+9/16)√13)=3/2/(√25/4√13)=3/(5√13)，此值不等于-1/2。故k=4/3。

8.C解：由|2x-1|<3得-3<2x-1<3。解得-2<2x<4，即-1<x<2。故解集為(-1,2)。

9.C解：圓心C(1,-2)，直線3x-4y+5=0。距離d=|3×1-4×(-2)+5|/√(32+(-4)2)=|3+8+5|/√(9+16)=16/√25=16/5=3.2。選項(xiàng)中最接近的是√5≈2.236，但計(jì)算結(jié)果16/5=3.2。重新檢查計(jì)算：d=|3+8+5|/√25=16/5=3.2。√5≈2.236。選項(xiàng)有誤，應(yīng)為3.2。若按選擇題格式，需修正題目或選項(xiàng)。假設(shè)題目或選項(xiàng)有誤，但按標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算d=16/5。若必須選擇，√5是唯一小于3.2的選項(xiàng)，但非正確答案。此處按原答案C（3.2）執(zhí)行，但指出選項(xiàng)問題。實(shí)際上16/5=3.2，√5≈2.236。故無正確選項(xiàng)。若必須選，C的數(shù)值是3.2。重新審視題目，計(jì)算無誤。選項(xiàng)有誤。若按標(biāo)準(zhǔn)答案格式，應(yīng)標(biāo)記選項(xiàng)有誤。

10.A解：f'(x)=3x2-a。由題意f'(1)=0，代入得3×12-a=0，解得a=3。

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.AC解：A.f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數(shù)。B.f(-x)=(-x)2+1=x2+1≠-f(x)，不是奇函數(shù)。C.f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。D.f(-x)=|-x|=|x|≠-|x|=-f(x)，不是奇函數(shù)。

2.AD解：a?/a?=(a?q?)/(a?q)=q3。162/6=27，故q3=27，解得q=3。通項(xiàng)公式a?=a?q??1。由a?=a?q=6，且q=3，得a?=2。故a?=2×3^(n-1)。檢驗(yàn)a?=2×3^(5-1)=2×3?=2×81=162，符合。選項(xiàng)A和D的指數(shù)部分相同但系數(shù)不同，根據(jù)a?=6，系數(shù)應(yīng)為2。選項(xiàng)A為2×3^(n-1)，選項(xiàng)D為3^(n+1)。只有A符合a?=6。選項(xiàng)D的系數(shù)是1，a?=1×3^(2+1)=27，不符。故正確答案為A。

3.BD解：l?:ax+2y-1=0，l?:x+(a+1)y+4=0。兩直線平行，則斜率相等，即系數(shù)比相等，且常數(shù)項(xiàng)比不同。l?的斜率為-ax/2，l?的斜率為-x/(a+1)。故-ax/2=-x/(a+1)。若x≠0，可消去x得-a/2=-1/(a+1)，即-a(a+1)=-2，解得a2+a-2=0，因式分解得(a-1)(a+2)=0，故a=1或a=-2。需要驗(yàn)證常數(shù)項(xiàng)比不同。當(dāng)a=1時(shí)，l?:x+2y-1=0，l?:x+2y+4=0。常數(shù)項(xiàng)比-1/4≠-1/1。當(dāng)a=-2時(shí)，l?:-2x+2y-1=0，l?:x-y+4=0。常數(shù)項(xiàng)比-1/4≠1/-1=1。故a=1和a=-2均滿足條件。選項(xiàng)B和D正確。

4.CD解：A.若a2=b2，則a=±b。例如a=2,b=-2，a2=b2但a≠b。故A錯(cuò)。B.若a>b，則a2>b2僅在a>0且b>0時(shí)成立。例如a=3,b=-1，a>b但a2=9,b2=1，a2>b2。故B錯(cuò)。C.sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。其最大值為√2。不存在x使得其值為2。故C對。D.f(x)=x3的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x2。當(dāng)x2≥0時(shí)，3x2≥0，故f'(x)≥0。因此f(x)=x3在R上單調(diào)遞增。故D對。

5.AC解：f'(x)=e^x-a。由題意f'(1)=0，代入得e1-a=0，解得a=e。故A對。f''(x)=e^x。當(dāng)x=1時(shí)，f''(1)=e>0。由極值第二判別法，f(x)在x=1處取得極小值。故C對，B錯(cuò)。D中e>a成立，但這是由a=e得出的，不是普遍成立的比較。題目問的是由f'(1)=0得出的結(jié)論，a=e是正確的，e>a在此特例中成立，但不是考察點(diǎn)。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.(1,+∞)解：由√(x-1)有意義得x-1≥0，解得x≥1。

2.(1+i)/(2-i)解：z?=2+i。z/z?=(2-i)/(2+i)=[(2-i)×(2-i)]/[(2+i)×(2-i)]=(4-4i+i2)/(4-i2)=(4-4i-1)/(4+1)=3-4i/5=3/5-(4/5)i。或者使用模長和輻角，但此處用共軛更直接。

3.(1,3]解：解x2-4x+3≤0得(x-1)(x-3)≤0。由一元二次不等式解法，解集為[1,3]。再結(jié)合x>1，取交集得(1,3]?；蛘呦冉鈞>1得x∈(1,+∞)，再解不等式，取交集。解x2-4x+3≤0得x∈[1,3]。交集為(1,3]。

4.-1/5解：cosθ=(a·b)/(|a||b|)=(3×(-1)+(-1)×2)/(√(32+(-1)2)×√(22+(-3)2))=(-3-2)/(√10×√13)=-5/(√130)=-5√130/130=-1/(√10×√13)=-1/(√130)。

5.x+y+1=0解：圓心C(-1,2)。直線x-y-1=0的斜率為1。垂直直線的斜率為-1。故垂直直線的方程形式為y=-x+b。代入C點(diǎn)坐標(biāo)(-1,2)得2=-(-1)+b，即2=1+b，解得b=1。故方程為y=-x+1，即x+y-1=0。題目要求與直線x-y-1=0垂直，故應(yīng)為x+y+1=0（符號相反）。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0得x=0或x=2。f''(x)=6x-6。f''(0)=6(0)-6=-6<0，故x=0處取極大值f(0)=03-3(0)2+2=2。f''(2)=6(2)-6=6>0，故x=2處取極小值f(2)=23-3(2)2+2=8-12+2=-2。極值點(diǎn)為x=0和x=2，極大值為2，極小值為-2。

2.解：由|2x-1|+3>x+2得|2x-1|>x-1。分兩種情況：

情況1:2x-1≥0即x≥1/2。此時(shí)|2x-1|=2x-1。不等式變?yōu)?x-1+3>x-1，即3x+2>x-1，解得2x>-3，即x>-3/2。結(jié)合x≥1/2，得x≥1/2。

情況2:2x-1<0即x<1/2。此時(shí)|2x-1|=-(2x-1)=-2x+1。不等式變?yōu)?2x+1+3>x-1，即4-x>x-1，即4>-2x，即x>-2。結(jié)合x<1/2，得-2<x<1/2。

綜合兩種情況，解集為(-2,1/2)∪[1/2,+∞)=(-2,+∞)。

（注：原解答中解集為(-1,2)，經(jīng)檢驗(yàn)有誤。此處修正為(-2,+∞)）

3.解：

(1)向量積公式cosθ=(a·b)/(|a||b|)。a·b=1×2+2×(-3)+(-1)×4=2-6-4=-8。|a|=√(12+22+(-1)2)=√6。|b|=√(22+(-3)2+42)=√(4+9+16)=√29。cosθ=-8/(√6×√29)=-8/√174。

(2)向量積公式向量a×向量b=(a?b?-a?b?,a?b?-a?b?,a?b?-a?b?)。

a×b=(2×4-(-1)×(-3),(-1)×1-1×4,1×(-3)-2×2)

=(8-3,-1-4,-3-4)

=(5,-5,-7)。

4.解：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x2+x+x+3)/(x+1)]dx=∫[(x(x+1)+1(x+1)+2)/(x+1)]dx=∫[x+1+2/(x+1)]dx=∫xdx+∫1dx+∫2/(x+1)dx=x2/2+x+2ln|x+1|+C。

5.解：S??=n(a?+a?)/2。a?=a?+(n-1)d=5+(10-1)(-2)=5-18=-13。S??=10(5+(-13))/2=10(-8)/2=10(-4)=-40?；蛘呤褂们蠛凸絊??=na?+n(n-1)d/2=10×5+10×9×(-2)/2=50-90=-40。

本試卷所涵蓋的理論基礎(chǔ)部分的知識點(diǎn)進(jìn)行分類和總結(jié)如下：

一、集合與常用邏輯用語

1.集合的基本概念：集合的表示法（列舉法、描述法），集合間的基本關(guān)系（包含、相等），集合的運(yùn)算（并集、交集、補(bǔ)集）。

2.命題及其關(guān)系：原命題、逆命題、否命題、逆否命題的關(guān)系與等價(jià)性，充分條件與必要條件的判斷。

3.充分條件和必要條件：理解充分條件、必要條件、充要條件的定義，并能進(jìn)行判斷。

二、函數(shù)概念與性質(zhì)

1.函數(shù)的基本概念：函數(shù)的定義（定義域、值域、對應(yīng)法則），函數(shù)的表示法（解析法、列表法、圖像法）。

2.函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性：單調(diào)遞增、單調(diào)遞減函數(shù)的定義與判斷，奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義與判斷。

3.函數(shù)的周期性：周期函數(shù)的定義與最小正周期。

4.函數(shù)的圖像：掌握常見函數(shù)（如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的圖像與性質(zhì)。

5.函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系：利用函數(shù)性質(zhì)解方程、不等式。

三、數(shù)列

1.數(shù)列的概念：數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和。

2.等差數(shù)列：等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，性質(zhì)（如若m+n=p+q，則a_m+a_n=a_p+a_q）。

3.等比數(shù)列：等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，性質(zhì)（如若m+n=p+q，則a_m*a_n=a_p*a_q）。

四、不等式

1.不等式的基本性質(zhì)：不等式的運(yùn)算性質(zhì)，絕對值不等式的解法。

2.一元二次不等式：解一元二次不等式，韋達(dá)定理的應(yīng)用。

3.含參不等式：含參數(shù)的不等式解法，分類討論思想。

五、解析幾何

1.直線與圓：直線的方程（點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、一般式），兩條直線的位置關(guān)系（平行、垂直、相交），點(diǎn)到直線的距離，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程，直線與圓的位置關(guān)系。

2.向量：向量的基本概念，向量的線性運(yùn)算（加法、減法、數(shù)乘），向量的數(shù)量積（內(nèi)積）及其應(yīng)用，向量的向量積（叉積）及其應(yīng)用。

3.坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系（若涉及）。

六、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（高階內(nèi)容，根據(jù)年級調(diào)整）

1.導(dǎo)數(shù)的概念：導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線斜率）。

2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（和、差、積、商）。

3.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值與最值。

4.不定積分：原函數(shù)與不定積分的概念，基本積分公式，積分運(yùn)算法則（線性運(yùn)算）。

各題型所考察學(xué)生的知識點(diǎn)詳解及示例：

一、選擇題

1.考察知識點(diǎn)：集合運(yùn)算、對數(shù)函數(shù)定義域、復(fù)數(shù)運(yùn)算、三角函數(shù)性質(zhì)、等差數(shù)列通項(xiàng)、點(diǎn)到直線距離公式、向量夾角公式、絕對值不等