第19頁（共19頁）2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之復(fù)數(shù)（一）一．選擇題（共13小題）1．（2025?新高考Ⅰ）（1+5i）i的虛部為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．62．（2025?新高考Ⅱ）已知z＝1+i，則1zA．﹣i B．i C．﹣1 D．13．（2025?北京）已知復(fù)數(shù)z滿足i?z+2＝2i，則|z|＝（）A．2 B．22 C．4 D．84．（2024?新高考Ⅰ）若zz-1=1+A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i5．（2024?甲卷）設(shè)z＝5+i，則i（z+zA．10i B．2i C．10 D．﹣26．（2024?新高考Ⅱ）已知z＝﹣1﹣i，則|z|＝（）A．0 B．1 C．2 D．27．（2024?甲卷）設(shè)z=2i，則z?zA．﹣i B．1 C．﹣1 D．28．（2024?全國）計(jì)算3+4iA．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i9．（2024?北京）若復(fù)數(shù)z滿足zi=-1-iA．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i10．（2023?新高考Ⅱ）在復(fù)平面內(nèi)，（1+3i）（3﹣i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．（2023?新高考Ⅰ）已知z=1-i2+2iA．﹣i B．i C．0 D．112．（2023?北京）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，3），則z的共軛復(fù)數(shù)z=A．1+3i B．1-3i C．﹣1+3i D．﹣13．（2023?甲卷）5(1+iA．﹣1 B．1 C．1﹣i D．1+i二．多選題（共1小題）（多選）14．（2024?臺(tái)灣）設(shè)z為非零復(fù)數(shù)，且設(shè)α＝|z|、β為z的輻角，其中0≤β＜2π（其中π為圓周率）．對(duì)任一正整數(shù)n，設(shè)實(shí)數(shù)xn與yn分別為zn的實(shí)部與虛部．試選出正確選項(xiàng)（）A．若α＝1且β=3π7，則x10＝B．若y3＝0，則y6＝0 C．若x3＝1，則x6＝1 D．若數(shù)列{yn}收斂，則α≤1 E．若數(shù)列{xn}收斂，則數(shù)列{yn}也收斂三．填空題（共6小題）15．（2025?天津）已知i是虛數(shù)單位，則|3+ii|＝16．（2025?上海）已知復(fù)數(shù)z滿足z2＝（z）2，|z|≤1，則|z﹣2﹣3i|的最小值是．17．（2025?上海）已知復(fù)數(shù)z=2+ii，其中i為虛數(shù)單位，則|z|＝18．（2024?上海）已知虛數(shù)z，其實(shí)部為1，且z+2z=m(m∈R19．（2024?天津）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)(5+i)?(520．（2024?上海）已知Z1+i=i，則Z?

2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之復(fù)數(shù)（一）參考答案與試題解析一．選擇題（共13小題）題號(hào)1234567891011答案CABCACDDCAA題號(hào)1213答案DC二．多選題（共1小題）題號(hào)14答案BDE一．選擇題（共13小題）1．（2025?新高考Ⅰ）（1+5i）i的虛部為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．6【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部；復(fù)數(shù)的乘法及乘方運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法直接運(yùn)算確定虛部即可．【解答】解：令z＝（1+5i）i，則z＝5i2+i＝﹣5+i，所以z的虛部為1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查學(xué)生基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（2025?新高考Ⅱ）已知z＝1+i，則1zA．﹣i B．i C．﹣1 D．1【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算．【解答】解：由題意得：1z故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3．（2025?北京）已知復(fù)數(shù)z滿足i?z+2＝2i，則|z|＝（）A．2 B．22 C．4 D．8【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，然后利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解．【解答】解：由i?z+2＝2i，得i?z＝﹣2+2i，則z=-得|z|=2故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．4．（2024?新高考Ⅰ）若zz-1=1+A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】觀察等式，化簡可得z-【解答】解：由于zz-1則z-1+1z可得z＝1﹣i．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?甲卷）設(shè)z＝5+i，則i（z+zA．10i B．2i C．10 D．﹣2【考點(diǎn)】共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解．【解答】解：因?yàn)閦＝5+i，則z=5-故z+所以i（z+z）＝10i故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．6．（2024?新高考Ⅱ）已知z＝﹣1﹣i，則|z|＝（）A．0 B．1 C．2 D．2【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則求解即可．【解答】解：z＝﹣1﹣i，則|z|=(-1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的模的求法，是基礎(chǔ)題．7．（2024?甲卷）設(shè)z=2i，則z?zA．﹣i B．1 C．﹣1 D．2【考點(diǎn)】共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解．【解答】解：z=2i則z?z=故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．8．（2024?全國）計(jì)算3+4iA．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；數(shù)學(xué)模型法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【解答】解：3+4i故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．9．（2024?北京）若復(fù)數(shù)z滿足zi=-1-iA．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解．【解答】解：zi則z＝i（﹣1﹣i）＝1﹣i．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．10．（2023?新高考Ⅱ）在復(fù)平面內(nèi)，（1+3i）（3﹣i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)；復(fù)數(shù)的乘法及乘方運(yùn)算．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【解答】解：（1+3i）（3﹣i）＝3﹣i+9i+3＝6+8i，則在復(fù)平面內(nèi)，（1+3i）（3﹣i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，8），位于第一象限．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．11．（2023?新高考Ⅰ）已知z=1-i2+2iA．﹣i B．i C．0 D．1【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；共軛復(fù)數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：z=1-則z=故z-z故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．12．（2023?北京）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，3），則z的共軛復(fù)數(shù)z=A．1+3i B．1-3i C．﹣1+3i D．﹣【考點(diǎn)】由復(fù)平面中的點(diǎn)確定復(fù)數(shù)；共軛復(fù)數(shù)．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【解答】解：∵在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，3），∴z＝﹣1+3i則z的共軛復(fù)數(shù)z=-1-3故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（2023?甲卷）5(1+iA．﹣1 B．1 C．1﹣i D．1+i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】直接利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡求解即可．【解答】解：5(1+i3)(2+故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共1小題）（多選）14．（2024?臺(tái)灣）設(shè)z為非零復(fù)數(shù)，且設(shè)α＝|z|、β為z的輻角，其中0≤β＜2π（其中π為圓周率）．對(duì)任一正整數(shù)n，設(shè)實(shí)數(shù)xn與yn分別為zn的實(shí)部與虛部．試選出正確選項(xiàng)（）A．若α＝1且β=3π7，則x10＝B．若y3＝0，則y6＝0 C．若x3＝1，則x6＝1 D．若數(shù)列{yn}收斂，則α≤1 E．若數(shù)列{xn}收斂，則數(shù)列{yn}也收斂【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部；數(shù)列的極限．【專題】分類討論；極限思想；運(yùn)算求解；創(chuàng)新能力；新定義類．【答案】BDE【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式，z＝α（cosβ+isinβ），再由棣莫弗定理，zn＝αn（cos（nβ）+isin（nβ）），則xn，yn的形式即可確定：xn=【解答】解：選項(xiàng)A：若α＝1且β=3π7，則z=cos3π7+isin3π7，根據(jù)棣莫弗定理，z10=cos30選項(xiàng)B：若y3＝0，則α3sin（3β）＝0，因?yàn)棣痢?，所以sin（3β）＝0，即3β＝kπ，k∈Z．則y6=α選項(xiàng)C：若x3＝α3cos3β＝1，則若取α3＝2，cos3β=12，則cos選項(xiàng)D：yn=αnsin(nβ)，若α＞1，αn→∞，sin（nβ）震蕩變化，{yn}不收斂．所以{yn選項(xiàng)E：若數(shù)列{xn}收斂，則當(dāng)0＜α＜1，αn→0，則yn=αnsin(nβ)→0，{yn}收斂；當(dāng)α＝1時(shí)，xn＝cos（nβ）收斂，僅當(dāng)β＝0或π，此時(shí)yn＝sin（nβ）＝0故選：BDE．【點(diǎn)評(píng)】本題前三個(gè)選項(xiàng)考查了復(fù)數(shù)的三角形式及相關(guān)運(yùn)算，后兩個(gè)選項(xiàng)考查了用分類討論的方法解決極限問題．三．填空題（共6小題）15．（2025?天津）已知i是虛數(shù)單位，則|3+ii|＝10【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】10．【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得3+ii=1﹣3i【解答】解：因?yàn)?+ii=(3+i所以|3+ii|＝|1﹣3i|故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模的求解，屬于基礎(chǔ)題．16．（2025?上海）已知復(fù)數(shù)z滿足z2＝（z）2，|z|≤1，則|z﹣2﹣3i|的最小值是22．【考點(diǎn)】共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的模．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】22．【分析】設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），根據(jù)z2＝（z）2，可得ab＝0，又|z|≤1，可得z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡，由復(fù)數(shù)模的幾何意義，可得|z﹣2﹣3i|的最小值．【解答】解：設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），則z2＝a2﹣b2+2abi，（z）2＝a2﹣b2﹣2abi，因?yàn)閦2＝（z）2，所以abi＝0，即ab＝0，又|z|≤1，所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為-1≤a|z﹣2﹣3i|表示點(diǎn)（a，b）到點(diǎn)（2，3）的距離，由點(diǎn)（a，b）的軌跡可知，當(dāng)a＝0，b＝1時(shí)，|z﹣2﹣3i|有最小值，最小值為(0-2)故答案為：22．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的模，屬于中檔題．17．（2025?上海）已知復(fù)數(shù)z=2+ii，其中i為虛數(shù)單位，則|z|＝【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；復(fù)數(shù)的模．【專題】對(duì)應(yīng)思想；分析法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】5．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可．【解答】解：z=故|z故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．18．（2024?上海）已知虛數(shù)z，其實(shí)部為1，且z+2z=m(m∈R【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】2．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解．【解答】解：虛數(shù)z，其實(shí)部為1，則可設(shè)z＝1+bi（b≠0），所以z+2z=1+bi所以b-2b1+b所以m=1+故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?天津）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)(5+i)?(5-【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】7-5【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解．【解答】解：(5+i)?(5故答案為：7-5【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．20．（2024?上海）已知Z1+i=i，則Z?=﹣【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】﹣1﹣i．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及共軛復(fù)數(shù)的定義化簡即可求解．【解答】解：由題意可得z＝i（1+i）＝﹣1+i，所以z=-1﹣i故答案為：﹣1﹣i．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，涉及到共軛復(fù)數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．?dāng)?shù)列的極限【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、數(shù)列極限的定義：一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，無窮數(shù)列{an}的項(xiàng)an無限趨近于某個(gè)常數(shù)a（即|an﹣a|無限地接近于0），那么就說數(shù)列{an}以a為極限，記作n→∞liman＝a．（注：a不一定是{an}中的項(xiàng)2、幾個(gè)重要極限：3、數(shù)列極限的運(yùn)算法則：4、無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和：（1）公比的絕對(duì)值小于1的無窮等比數(shù)列前n項(xiàng)的和，當(dāng)n無限增大時(shí)的極限，叫做這個(gè)無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和，記做S=n→∞lim（2）【解題方法點(diǎn)撥】（1）只有無窮數(shù)列才可能有極限，有限數(shù)列無極限．（2）運(yùn)用數(shù)列極限的運(yùn)算法則求數(shù)列極限應(yīng)注意法則適應(yīng)的前提條件．（參與運(yùn)算的數(shù)列都有極限，運(yùn)算法則適應(yīng)有限個(gè)數(shù)列情形）（3）求數(shù)列極限最后往往轉(zhuǎn)化為1nm（m∈N）或qn（|q|＜（4）求極限的常用方法：①分子、分母同時(shí)除以nm或an．②求和（或積）的極限一般先求和（或積）再求極限．③利用已知數(shù)列極限（如等）．④含參數(shù)問題應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論求極限．⑤∞﹣∞，∞∞，0﹣0，0【命題方向】典例1：已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足：對(duì)于所有n∈N*，有4Sn=(an+1)2，其中Sn表示數(shù)列{A．0B．1C．12D．解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2，∴a1＝1．當(dāng)n≥2時(shí)，4an＝4Sn﹣4Sn﹣1＝（an+1）2﹣（an﹣1+1）2，∴2（an+an﹣1）=an2-an∴an﹣an﹣1＝2．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，∴an＝2n﹣1．∴l(xiāng)imn故選：C．典例2：已知點(diǎn)Pn（an，bn）在直線l：y＝2x+1上，P1為直線l與y軸的交點(diǎn)，等差數(shù)列{an}的公差為1（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn=1n|（3）若dn＝2dn﹣1+an﹣1（n≥2），且d1＝1，求證：數(shù)列{dn+n}為等比數(shù)列，并求{dn}的通項(xiàng)公式．解：（1）∵點(diǎn)Pn（an，bn）在直線l：y＝2x+1上，P1為直線l與y軸的交點(diǎn)，∴bn＝2an+1，a1＝0，∵等差數(shù)列{an}的公差為1（n∈N*），∴an＝0+（n﹣1）＝n﹣1．bn＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1．（2）解：由（1）可得an﹣a1＝n﹣1，bn﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，∴|P1Pn|=(an-a∴cn=1∴c2+c3+…+cn=1∴l(xiāng)imn（3）證明：n≥2，dn＝2dn﹣1+an﹣1，＝2dn﹣1+n﹣2，∴dn+n＝2（dn﹣1+n﹣1），∴數(shù)列{dn+n}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為d1+1＝2，公比為2，∴dn∴dn2．虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】i是數(shù)學(xué)中的虛數(shù)單位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我們把a(bǔ)+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，把a(bǔ)＝0且b≠0的數(shù)叫做純虛數(shù)，a≠0，且b＝0叫做實(shí)數(shù)．復(fù)數(shù)的模為a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中3．復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】i是數(shù)學(xué)中的虛數(shù)單位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我們把a(bǔ)+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，把a(bǔ)＝0且b≠0的數(shù)叫做純虛數(shù)，a≠0，且b＝0叫做實(shí)數(shù)．復(fù)數(shù)的模為a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中【解題方法點(diǎn)撥】﹣分解復(fù)數(shù)：通過給定的復(fù)數(shù)表達(dá)式，提取實(shí)部和虛部．﹣應(yīng)用：在復(fù)數(shù)運(yùn)算中，分開處理實(shí)部和虛部，簡化計(jì)算過程．【命題方向】﹣實(shí)部與虛部的提?。嚎疾槿绾螐膹?fù)數(shù)表達(dá)式中提取實(shí)部和虛部．﹣實(shí)部虛部的運(yùn)算：如何利用實(shí)部和虛部進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算和解決問題．若復(fù)數(shù)z＝a2﹣3+2ai的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝_____．解：若復(fù)數(shù)z＝a2﹣3+2ai的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則a2﹣3+2a＝0，解得：a＝﹣3或a＝1，故答案為：﹣3或1．4．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn)，且原點(diǎn)（0，0），對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)0．即復(fù)數(shù)z＝a+bi→復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z（a，b）→平面向量OZ→2、除了復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系外，還要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為a；（2）|z﹣z0|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)z0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．【解題方法點(diǎn)撥】﹣點(diǎn)的表示：將復(fù)數(shù)a+bi作為復(fù)平面上的點(diǎn)（a，b）進(jìn)行圖示．﹣幾何運(yùn)算：利用復(fù)平面上的點(diǎn)進(jìn)行幾何運(yùn)算和分析．【命題方向】﹣復(fù)平面的幾何表示：考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的點(diǎn)表示及其幾何意義．﹣復(fù)數(shù)的幾何應(yīng)用：如何在復(fù)平面中使用復(fù)數(shù)解決幾何問題．5．由復(fù)平面中的點(diǎn)確定復(fù)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn)，且原點(diǎn)（0，0），對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)0．即復(fù)數(shù)z＝a+bi→復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z（a，b）→平面向量OZ→2、除了復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系外，還要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為a；（2）|z﹣z0|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)z0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．【解題方法點(diǎn)撥】﹣從點(diǎn)到復(fù)數(shù)：通過點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y），直接確定復(fù)數(shù)x+yi．﹣幾何解釋：理解復(fù)數(shù)的幾何意義并應(yīng)用于實(shí)際問題中．【命題方向】﹣點(diǎn)與復(fù)數(shù)的關(guān)系：考查如何根據(jù)復(fù)平面上的點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．﹣復(fù)數(shù)的幾何應(yīng)用：如何利用復(fù)平面中的點(diǎn)解決實(shí)際問題．6．共軛復(fù)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】實(shí)部相等而虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)，叫做互為共軛復(fù)數(shù)．如2+3i與2﹣3i互為共軛復(fù)數(shù)，用數(shù)學(xué)語言來表示即：復(fù)數(shù)Z＝a+bi的共軛復(fù)數(shù)Z=a﹣bi【解題方法點(diǎn)撥】共軛復(fù)數(shù)的常見公式有：|Z|=|Z|；|Z【命題方向】共軛復(fù)數(shù)在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．試題難度不大，多為低檔題，要求能夠掌握共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，并能將復(fù)數(shù)的共軛加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算進(jìn)行推廣．運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)運(yùn)算解決一些簡單的復(fù)數(shù)問題，提高數(shù)學(xué)符號(hào)變換的能力，培優(yōu)學(xué)生類比推廣思想，從特殊到一般的方法和探究方法．7．復(fù)數(shù)的?！局R(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．復(fù)數(shù)的概念：形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)