2025-2026學年內蒙古包頭鐵路第一中學數(shù)學高三第一學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知命題：是“直線和直線互相垂直”的充要條件；命題：對任意都有零點；則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．2．已知集合，則集合（）A． B． C． D．3．某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示，在這一年中的水、電、交通開支（單位：萬元）如圖2所示，則該單位去年的水費開支占總開支的百分比為（）A． B． C． D．4．設等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．21 B．22 C．11 D．125．已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．6．設是虛數(shù)單位，若復數(shù)，則（）A． B． C． D．7．已知向量，且，則等于（）A．4 B．3 C．2 D．18．博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發(fā)奇想，設計兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則（）A．P1?P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1+P2＝ D．P1＜P29．已知是虛數(shù)單位，若，則（）A． B．2 C． D．310．設，滿足約束條件，若的最大值為，則的展開式中項的系數(shù)為()A．60 B．80 C．90 D．12011．設復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知，滿足約束條件，則的最大值為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．四邊形中，，，，，則的最小值是______.14．已知為雙曲線的左、右焦點，過點作直線與圓相切于點，且與雙曲線的右支相交于點，若是上的一個靠近點的三等分點，且，則四邊形的面積為_______．15．設滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為_.16．函數(shù)的最大值與最小正周期相同，則在上的單調遞增區(qū)間為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四邊形中，，，，沿對角線將翻折成，使得.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）如圖，在正四棱錐中，底面正方形的對角線交于點且（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求銳二面角的大?。?9．（12分）已知點P在拋物線上，且點P的橫坐標為2，以P為圓心，為半徑的圓（O為原點），與拋物線C的準線交于M，N兩點，且．（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線的準線與y軸的交點為H．過拋物線焦點F的直線l與拋物線C交于A，B，且，求的值．20．（12分）在某社區(qū)舉行的2020迎春晚會上，張明和王慧夫妻倆參加該社區(qū)的“夫妻蒙眼擊鼓”游戲，每輪游戲中張明和王慧各蒙眼擊鼓一次，每個人擊中鼓則得積分100分，沒有擊中鼓則扣積分50分，最終積分以家庭為單位計分.已知張明每次擊中鼓的概率為，王慧每次擊中鼓的概率為；每輪游戲中張明和王慧擊中與否互不影響，假設張明和王慧他們家庭參加兩輪蒙眼擊鼓游戲.（1）若家庭最終積分超過200分時，這個家庭就可以領取一臺全自動洗衣機，問張明和王慧他們家庭可以領取一臺全自動洗衣機的概率是多少？（2）張明和王慧他們家庭兩輪游戲得積分之和的分布列和數(shù)學期望.21．（12分）在角中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若．（1）求角A；（2）若的面積為，求的周長．22．（10分）為了打好脫貧攻堅戰(zhàn)，某貧困縣農科院針對玉米種植情況進行調研，力爭有效地改良玉米品種，為農民提供技術支援，現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進行統(tǒng)計，獲得莖葉圖如圖（單位：厘米），設莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米，否則為矮莖玉米．（1）求出易倒伏玉米莖高的中位數(shù)；（2）根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：抗倒伏易倒伏矮莖高莖（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，是否可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為抗倒伏與玉米矮莖有關？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

先分別判斷每一個命題的真假，再利用復合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當時，直線和直線，即直線為和直線互相垂直，所以“”是直線和直線互相垂直“的充分條件，當直線和直線互相垂直時，，解得.所以“”是直線和直線互相垂直“的不必要條件.：“”是直線和直線互相垂直“的充分不必要條件，故是假命題．當時，沒有零點，所以命題是假命題．所以是真命題，是假命題，是假命題，是假命題．故選：．本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關系，考查二次函數(shù)的圖象，考查學生對這些知識的理解掌握水平.2．D【解析】

弄清集合B的含義，它的元素x來自于集合A，且也是集合A的元素.【詳解】因，所以，故，又，，則，故集合.故選：D.本題考查集合的定義，涉及到解絕對值不等式，是一道基礎題.3．A【解析】

由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例，再計算出水費開支占水、電、交通開支的比例，相乘即可求出水費開支占總開支的百分比.【詳解】水費開支占總開支的百分比為.故選：A本題考查折線圖與柱形圖，屬于基礎題.4．A【解析】

由題意知成等差數(shù)列，結合等差中項，列出方程，即可求出的值.【詳解】解：由為等差數(shù)列，可知也成等差數(shù)列，所以，即，解得.故選:A.本題考查了等差數(shù)列的性質，考查了等差中項.對于等差數(shù)列，一般用首項和公差將已知量表示出來，繼而求出首項和公差.但是這種基本量法計算量相對比較大，如果能結合等差數(shù)列性質，可使得計算量大大減少.5．B【解析】

求出導函數(shù)，確定函數(shù)的單調性，確定函數(shù)的最值，根據(jù)零點存在定理可確定參數(shù)范圍．【詳解】，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，∴在上只有一個極大值也是最大值，顯然時，，時，，因此要使函數(shù)有兩個零點，則，∴．故選：B．本題考查函數(shù)的零點，考查用導數(shù)研究函數(shù)的最值，根據(jù)零點存在定理確定參數(shù)范圍．6．A【解析】

結合復數(shù)的除法運算和模長公式求解即可【詳解】∵復數(shù)，∴，，則，故選：A.本題考查復數(shù)的除法、模長、平方運算，屬于基礎題7．D【解析】

由已知結合向量垂直的坐標表示即可求解．【詳解】因為，且，，則．故選：．本題主要考查了向量垂直的坐標表示，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題．8．C【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321方案一坐車可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐車可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故選C.本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數(shù)，屬于基礎題.9．A【解析】

直接將兩邊同時乘以求出復數(shù)，再求其模即可.【詳解】解：將兩邊同時乘以，得故選：A考查復數(shù)的運算及其模的求法，是基礎題.10．B【解析】

畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)平移得到，再利用二項式定理計算得到答案.【詳解】如圖所示：畫出可行域和目標函數(shù)，，即，故表示直線與截距的倍，根據(jù)圖像知：當時，的最大值為，故.展開式的通項為：，取得到項的系數(shù)為：.故選：.本題考查了線性規(guī)劃求最值，二項式定理，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.11．D【解析】

先把變形為，然后利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出，得到其坐標可得答案.【詳解】解：由，得，所以，其在復平面內對應的點為，在第四象限故選：D此題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎題.12．D【解析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結合即可得到結論．【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，等價于，作直線，向上平移，易知當直線經過點時最大，所以，故選D．本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結合數(shù)形結合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

在中利用正弦定理得出，進而可知，當時，取最小值，進而計算出結果.【詳解】，如圖，在中，由正弦定理可得，即，故當時，取到最小值為.故答案為：.本題考查解三角形，同時也考查了常見的三角函數(shù)值，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中檔題．14．60【解析】

根據(jù)題中給的信息與雙曲線的定義可求得與,再在中,由余弦定理求解得,繼而得到各邊的長度,再根據(jù)計算求解即可.【詳解】如圖所示：設雙曲線的半焦距為.因為,,,所以由勾股定理,得.所以.因為是上一個靠近點的三等分點,是的中點,所以.由雙曲線的定義可知：,所以.在中,由余弦定理可得,所以,整理可得.所以,解得.所以.則.則,得.則的底邊上的高為.所以.故答案為：60本題主要考查了雙曲線中利用定義與余弦定理求解線段長度與面積的方法,需要根據(jù)雙曲線的定義表示各邊的長度,再在合適的三角形里面利用余弦定理求得基本量的關系.屬于難題.15．【解析】

根據(jù)滿足約束條件，畫出可行域，將目標函數(shù)，轉化為，平移直線，找到直線在軸上截距最小時的點，此時，目標函數(shù)取得最小值.【詳解】由滿足約束條件，畫出可行域如圖所示陰影部分：將目標函數(shù)，轉化為，平移直線，找到直線在軸上截距最小時的點此時，目標函數(shù)取得最小值，最小值為故答案為：-1本題主要考查線性規(guī)劃求最值，還考查了數(shù)形結合的思想方法，屬于基礎題.16．【解析】

利用三角函數(shù)的輔助角公式進行化簡，求出函數(shù)的解析式，結合三角函數(shù)的單調性進行求解即可．【詳解】∵，則函數(shù)的最大值為2，周期，的最大值與最小正周期相同，，得，則，當時，，則當時，得，即函數(shù)在，上的單調遞增區(qū)間為，故答案為：.本題考查三角函數(shù)的性質、單調區(qū)間，利用輔助角公式求出函數(shù)的解析式是解決本題的關鍵，同時要注意單調區(qū)間為定義域的一個子區(qū)間．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見證明；（2）【解析】

（1）取的中點，連.可證得，，于是可得平面，進而可得結論成立．（2）運用幾何法或向量法求解可得所求角的正弦值．【詳解】（1）證明：取的中點，連.∵，∴．又，∴.在中，，∴．又，∴平面，又平面，∴.（2）解法1：取的中點，連結，∵，∴,又，∴．又由題意得為等邊三角形，∴，∵，∴平面．作，則有平面，∴就是直線與平面所成的角．設，則，在等邊中，．又在中，，故．在中，由余弦定理得，∴，∴直線與平面所成角的正弦值為．解法2：由題意可得，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設，則在直角三角形中，可得，作于，則有平面幾何知識可得，∴．又可得，.∴,．設平面的一個法向量為，由，得，令，則得．又，設直線與平面所成的角為，則．所以直線與平面所成角的正弦值為．利用向量法求解直線和平面所成角時，關鍵點是恰當建立空間直角坐標系，確定斜線的方向向量和平面的法向量．解題時通過平面的法向量和直線的方向向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線與平面所成的角．求解時注意向量的夾角與線面角間的關系．18．（1）；（2）.【解析】

(1)以分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系,設底面正方形邊長為再求解與平面的法向量,繼而求得直線與平面所成角的正弦值即可.(2)分別求解平面與平面的法向量,再求二面角的余弦值判斷二面角大小即可.【詳解】解：在正四棱錐中,底面正方形的對角線交于點所以平面取的中點的中點所以兩兩垂直,故以點為坐標原點,以分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系．設底面正方形邊長為因為所以所以,所以,設平面的法向量是,因為,,所以,,取則,所以所以,所以直線與平面所成角的正弦值為．設平面的法向量是,因為,,所以,取則所以,由知平面的法向量是,所以所以,所以銳二面角的大小為．本題主要考查了建立平面直角坐標系求解線面夾角以及二面角的問題,屬于中檔題.19．(1)(2)4【解析】

（1）將點P橫坐標代入拋物線中求得點P的坐標，利用點P到準線的距離d和勾股定理列方程求出p的值即可；（2）設A、B點坐標以及直線AB的方程，代入拋物線方程，利用根與系數(shù)的關系，以及垂直關系，得出關系式，計算的值即可．【詳解】（1）將點P橫坐標代入中，求得，∴P（2，），，點P到準線的距離為，∴，∴，解得，∴，∴拋物線C的方程為：；（2）拋物線的焦點為F（0，1），準線方程為，；設，直線AB的方程為，代入拋物線方程可得，∴，…①由，可得，又，，∴，∴，即，∴，…②把①代入②得，，則．本題考查直線與拋物線的位置關系，以及拋物線與圓的方程應用問題，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．20．（1）（2）詳見解析【解析】

（1）要積分超過分，則需兩人共擊中次，或者擊中次，由此利用相互獨立事件概率計算公式，計算出所求概率.（2）求得的所有可能取值，根據(jù)相互獨立事件概率計算公式，計算出分布列并求得數(shù)學期望.【詳解】（1）由題意，當家庭最終積分超過200分時，這個家庭就可以領取一臺全自動洗衣機，所以要想領取一臺全自動洗衣機，則需要這個家庭夫妻倆在兩輪游戲中至少擊中三次鼓.設事件為“張明第次擊中”，事件為“王慧第次擊中”，，由事件的獨立性和互斥性可得（張明和王慧家庭至少擊中三次鼓），所以張明和王慧他們家庭可以領取一臺全自動洗衣機的概率是.（2）的所有可能的取值為－200，－50，100，250，400.，，，，.∴的分布列為－200－50100250400∴（分）本小題考查概率，分布列，數(shù)學期望等概率與