目錄contents5.1留數(shù)定理5.2留數(shù)計(jì)算5.3定理類型的洛朗級(jí)數(shù)：(z0為孤立奇點(diǎn))---（1）--（2）作如圖的小回路,根據(jù)柯西積分定理有：所以：

--（3）

而前面的知識(shí)告訴我們：--(4)所以(3)式為：--(5)討論a-1的重要性→留數(shù)→根據(jù)柯西積分定理：有：留數(shù)定理：留數(shù)定理將積分變?yōu)榱魯?shù)之和。1.一般方法：原則上講：將f(z)在環(huán)域上展開求和直接求積分一樣繁瑣，一般用于本性奇點(diǎn)留數(shù)計(jì)算。1.一般方法：原則上講：將f(z)在環(huán)域上展開求和直接求積分一樣繁瑣，一般用于2.可去奇點(diǎn)：可去奇點(diǎn)留數(shù)為零。本性奇點(diǎn)留數(shù)計(jì)算。1.一般方法：原則上講：將f(z)在環(huán)域上展開求和直接求積分一樣繁瑣，一般用于2.可去奇點(diǎn)：可去奇點(diǎn)留數(shù)為零。3.極點(diǎn)留數(shù)：極限法。本性奇點(diǎn)留數(shù)計(jì)算。1）單極點(diǎn):洛朗級(jí)數(shù)為：3.極點(diǎn)留數(shù)：極限法。----（I）特殊情況：(II)1）單極點(diǎn):洛朗級(jí)數(shù)為：3.極點(diǎn)留數(shù)：極限法。2）階極點(diǎn):3.極點(diǎn)留數(shù)：極限法。2）階極點(diǎn)的情況:3.極點(diǎn)留數(shù)：極限法。1）單極點(diǎn):2）階極點(diǎn):1.一般方法：原則上講：將f(z)在環(huán)域上展開求和直接求積分一樣繁瑣，一般用于2.可去奇點(diǎn)：可去奇點(diǎn)留數(shù)為零。3.極點(diǎn)留數(shù)：極限法。本性奇點(diǎn)留數(shù)計(jì)算。例1：求在z0=1的留數(shù)解：第（1）種解法z0=1是奇點(diǎn)1）確定奇點(diǎn)：2）確定奇點(diǎn)類型：∴z0=1是一階極點(diǎn)3）計(jì)算留數(shù)：運(yùn)用第一個(gè)公式：解：第（2）種解法：運(yùn)用第二個(gè)公式z0=1是奇點(diǎn)1）確定奇點(diǎn)：2）確定奇點(diǎn)類型：運(yùn)用第二個(gè)公式：3）計(jì)算留數(shù)：例2：確定的極點(diǎn)，求這些極點(diǎn)的留數(shù)極限是非零有限值。所以：z0=nπ是單極點(diǎn)，解：第（1）中解法：運(yùn)用第一個(gè)公式1）確定奇點(diǎn)：2）確定奇點(diǎn)類型：3）計(jì)算留數(shù)：運(yùn)用第一個(gè)公式：5.3：留數(shù)定理的類型（計(jì)算實(shí)變函數(shù)的積分）5.3.1．類型原理留數(shù)定理實(shí)變積分易積分舊知識(shí)再理解：實(shí)變函數(shù)積分的本質(zhì)：路徑積分；復(fù)變函數(shù)積分的本質(zhì)：路徑積分；實(shí)變函數(shù)是復(fù)變函數(shù)的特殊情況；作變量代換：所以原積分變?yōu)椋篴)．處理辦法

例：計(jì)算：（0＜ε＜1）解：1)代入變換得積分：2)確定積分函數(shù)在環(huán)路內(nèi)的奇點(diǎn)：3)根據(jù)留數(shù)定理計(jì)算環(huán)路積分b)．例題4)計(jì)算積分：解題步驟：2)確定積分函數(shù)在環(huán)路內(nèi)的奇點(diǎn)3)根據(jù)留數(shù)定理計(jì)算環(huán)路積分1)進(jìn)行積分變換4)計(jì)算積分處理辦法：作極限：如果極限存在，稱極限值稱為反常積分的值,如果時(shí)極限存在的話，該極限稱為積分的主值。記作：作如圖的積分路徑延展：所以有：例3、計(jì)算：解：，具有單極點(diǎn)在上半平面，1）確定函數(shù)奇點(diǎn)：2）選出上半平面奇點(diǎn)：3）判斷奇點(diǎn)類型：是單極點(diǎn)，4）根據(jù)奇點(diǎn)類型計(jì)算留數(shù)：5）計(jì)算積分：例4、計(jì)算：(n為正整數(shù))1）確定函數(shù)奇點(diǎn)：3）判斷奇點(diǎn)類型：n階極點(diǎn)解：，函數(shù)的奇點(diǎn)2）選出上半平面奇點(diǎn)：4）根據(jù)奇點(diǎn)類型級(jí)數(shù)留數(shù)：5）計(jì)算積分：原理：同理：如果看成類型（二）積分：則：按類型（二）積分要求：當(dāng)z在上半平面→∞時(shí)，和一致→0。現(xiàn)在的條件：z→∞，F(xiàn)(z),G(z)→0；有區(qū)別，能否抹掉這個(gè)區(qū)別？能約當(dāng)引理：

為正數(shù)。CR為半圓周（上半平面），設(shè)z在上半平面和實(shí)軸上→∞時(shí)，F(xiàn)(z)一致→0，則：證明：跳當(dāng)z在上半平面或?qū)嵼S上→∞時(shí)，F(xiàn)（z）→0，所以只證明：有界，上式可寫為：（積分為面積和），如圖：在0≤范圍內(nèi)≤在 當(dāng)m為負(fù)數(shù)時(shí):是對(duì)實(shí)軸的映象.∴類型（三）的積分可化為類型（二）的積分:｛在上半平面所有奇點(diǎn)