第02講一元一次不等式與一元一次不等式組內(nèi)容導航串講知識：思維導圖串講知識點，有的放矢重點速記：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升復習提升：真題感知+提升專練，全面突破知識點01不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式．知識點02不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．知識點03不等式的解與解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集．注意：不等式的解是具體的未知數(shù)的值，不是一個范圍不等式的解集是一個集合，是一個范圍．其含義：①解集中的每一個數(shù)值都能使不等式成立；②能夠使不等式成立的所有數(shù)值都在解集中知識點04一元一次不等式（組）的定義1.一元一次不等式（1）一元一次不等式的定義：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．（2）概念解析一方面：它與一元一次方程相似，即都含一個未知數(shù)且未知項的次數(shù)都是一次，但也有不同，即它是用不等號連接，而一元一次方程是用等號連接．另一方面：它與不等式有區(qū)別，不等式中可含、可不含未知數(shù)，而一元一次不等式必含未知數(shù)．但兩者也有聯(lián)系，即一元一次不等是屬于不等式．2.一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的定義：幾個含有同一個未知數(shù)的一元一次不等式組合在一起，就組成了一個一元一次不等式組．（2）概念解析形式上和方程組類似，就是用大括號將幾個不等式合起來，就組成一個一元一次不等式組．但與方程組也有區(qū)別，在方程組中有幾元一般就有幾個方程，而一元一次不等式組中不等式的個數(shù)可以是兩個及以上的任意幾個．知識點05解一元一次不等式（組）1.解一元一次不等式根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數(shù)為1．以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質(zhì)3，即可能變不等號方向，其他都不會改變不等號方向．注意：符號“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號與等號合寫形式．2.解一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．知識點06一元一次不等式（組）的整數(shù)解1.解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式的整數(shù)解．可以借助數(shù)軸進行數(shù)形結(jié)合，得到需要的值，進而非常容易的解決問題．2.一元一次不等式組的整數(shù)解（1）利用數(shù)軸確定不等式組的解（整數(shù)解）．解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式組的整數(shù)解．（2）已知解集（整數(shù)解）求字母的取值．一般思路為：先把題目中除未知數(shù)外的字母當做常數(shù)看待解不等式組或方程組等，然后再根據(jù)題目中對結(jié)果的限制的條件得到有關(guān)字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案．知識點07一元一次不等式（組）的應用（1）由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學模型，通過解不等式可以得到實際問題的答案．（2）列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關(guān)系．因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵．（3）列一元一次不等式（組）解決實際問題的方法和步驟：①弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù)．②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式．③解不等式，求出解集．④寫出符合題意的解．知識點08利用一次函數(shù)的圖象得到一元一次不等式的解集(1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函數(shù)的圖象在x軸上方的點的橫坐標所組成的集合.(2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函數(shù)的圖象在x軸下方的點的橫坐標所組成的集合.(3)一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2的解集，一次函數(shù)y=k1x+b1圖象在一次函數(shù)y=k2x+b2圖象上方的點的橫坐標所組成的集合.(4)一元一次不等式k1x+b1<k2x+b2的解集，一次函數(shù)y=k1x+b1圖象在一次函數(shù)y=k2x+b2圖象下方的點的橫坐標所組成的集合.考點一：不等式的基本性質(zhì)例1．（24-25七年級下·北京·期中）下列命題為假命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【知識點】不等式的性質(zhì)、判斷命題真假【分析】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，真假命題的判斷，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一判斷即可解答；【詳解】解：A、兩邊同時加上2得，，不等號的方向不變，說法正確，故選項不符合題意；B、兩邊同時乘以得，，不等號的方向改變，說法正確，故選項不符合題意；C、若，當時，，原說法不正確，假命題，故選項符合題意；D、，兩邊同時除以2，則，不等號的方向不變，說法正確，故選項不符合題意．故選：C．【變式1-1】（2025·四川綿陽·二模）以下說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】A【知識點】不等式的性質(zhì)【分析】本題考查不等式的性質(zhì)，解答關(guān)鍵是熟知不等式的基本性質(zhì)：不等式基本性質(zhì)1：不等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變；不等式基本性質(zhì)2：不等式的兩邊同時乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變；不等式基本性質(zhì)3：不等式的兩邊同時乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向變．據(jù)此逐項判斷即可．【詳解】解：A、若，則，正確，符合題意；B、當時，，原說法錯誤，不符合題意；C、若，，則，原說法錯誤，不符合題意；D、若，，則，原說法錯誤，不符合題意；故選：A．【變式1-2】（24-25七年級下·上海·期中）下列不等式變形正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【知識點】不等式的性質(zhì)【分析】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（3）不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．應用不等式的基本性質(zhì)，逐項判斷即可．【詳解】解：A．若，則，原變形正確，B．若且，則，原變形錯誤，C．若且，則，原變形錯誤，D．若，則，原變形錯誤，故選：A．【變式1-3】（2025·浙江杭州·二模）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】不等式的性質(zhì)【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變；②不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；③不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．根據(jù)不等式的性質(zhì)，對選項逐個判斷即可．【詳解】解：∵∴，，當時，，而一定成立，所以選項A，B，D不符合題意，選項C符合題意，故選：C．考點二：解一元一次不等式（組）例2.（北京市延慶區(qū)2024-2025學年七年級下學期4月期中考試數(shù)學試卷）按要求解下列不等式（組）(1)解不等式：，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．(2)解不等式組：，并寫出它的所有整數(shù)解．【答案】(1)(2)．所有整數(shù)解是．【知識點】在數(shù)軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集、求一元一次不等式組的整數(shù)解【分析】本題主要考查解不等式（組），掌握不等式的性質(zhì)是關(guān)鍵．（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)求解，并把解集表示在數(shù)軸上即可；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)求解，再根據(jù)不等組的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解”得到解集，最后根據(jù)整數(shù)解計算即可．【詳解】（1）解：，移項，得，系數(shù)化為1，得，這個不等式的解集在數(shù)軸上表示為：（2）解：，由①得：，由②得，，∴原不等式組的解集為，∴原不等式組的所有整數(shù)解是．【變式2-1】（24-25八年級下·陜西西安·期中）解不等式（組）(1)解不等式(2)解不等式組【答案】(1)(2)【知識點】求一元一次不等式的解集、求不等式組的解集【分析】本題主要考查了解一元一次不等式及一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解不等式的步驟．（1）利用解不等式的步驟進行求解即可；（2）利用解不等式組的步驟進行求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：解不等式①得；解不等式②得；∴該不等式組的解集為．【變式2-2】（24-25七年級下·四川宜賓·期中）解不等式（組）(1)(2)（在數(shù)軸上把解集表示出來，并寫出不等式組的整數(shù)解）【答案】(1)(2)；數(shù)軸見解析；整數(shù)解為和【知識點】求一元一次不等式的解集、在數(shù)軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集、求一元一次不等式組的整數(shù)解【分析】本題考查了解一元一次不等式（組）；（1）按解一元一次不等式的步驟求解即可；（2）先求出每一個不等式的解集，再找出公共解集即可．【詳解】（1）解：，去括號得，，移項得，，合并同類項得，，系數(shù)化為1得，；（2）解：，解不等式①，得，解不等式②，得，所以這個不等式的解集為，，在數(shù)軸上表示為整數(shù)解為和【變式2-3】（24-25八年級下·山東青島·期中）按題目要求解不等式或不等式組(1)解不等式：，并把解集表示在數(shù)軸上．(2)解不等式組．【答案】(1)，數(shù)軸表示見解析(2)【知識點】求一元一次不等式的解集、在數(shù)軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式和解一元一次不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．（1）按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出不等式的解集即可；（2）先求出每個不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．【詳解】（1）解：去分母得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，數(shù)軸表示如下所示：（2）解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式組的解集為．考點三：一元一次不等式（組）求解中錯解復原問題例3.（24-25七年級下·上海閔行·階段練習）下面是小明同學解不等式的過程，請認真閱讀并完成相應的任務．．解：，第一步，第二步，第三步，第四步．第五步任務一：填空①以上解題過程中，第一步是依據(jù)________________________進行變形的；②第________步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是________________________．任務二：請寫出正確的解題過程．【答案】任務一：①不等式的性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以同一個正數(shù)，不等號的方向不變；②三，移項沒有改變符號；任務二：見解析【知識點】求一元一次不等式的解集【分析】任務一：①根據(jù)不等式的性質(zhì)2可得答案；②由移項沒有改變符號可得第三步開始出現(xiàn)錯誤；任務二：先去分母，再去括號，移項，合并同類項，最后把未知數(shù)的系數(shù)化為1即可；【詳解】解：任務一：①以上解題過程中，第一步是依據(jù)不等式的性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以同一個正數(shù)，不等號的方向不變進行變形的；②第三步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是移項沒有改變符號；任務二：．解：，，，，．【變式3-1】（24-25七年級下·山西臨汾·期中）下面是小王同學解不等式的過程，請認真閱讀并完成相應的任務．解：．

…第①步．

…第②步．

…第③步．

…第④步(1)第①步的依據(jù)是________；(2)第________步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是________；(3)請直接寫出該不等式的解集．【答案】(1)不等式的性質(zhì)(2)②，去括號時數(shù)字3沒有乘以系數(shù)3(3)【知識點】不等式的性質(zhì)、求一元一次不等式的解集【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可得第①步的依據(jù)是不等式的性質(zhì)；（2）第②步去括號時數(shù)字3沒有乘以系數(shù)3，據(jù)此可得答案；（3）根據(jù)（2）所求，改正錯誤后解不等式即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得第①步的依據(jù)是不等式的性質(zhì)；（2）解：觀察解題過程可知，第②步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤原因是去括號時數(shù)字3沒有乘以系數(shù)3；（3）解：．

．

．

．【變式3-2】（24-25七年級下·上海奉賢·期中）以下是樂樂解不等式組的部分過程：解不等式①得，．第一步．第二步解不等式②得，．第三步．第四步．第五步第六步……(1)填空：樂樂的解題步驟存在一步或若干步錯誤，他所有錯誤步驟是；(2)請你寫出正確的解答過程，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】(1)第二步，第三步(2)見解析【知識點】在數(shù)軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集【分析】本題主要考查解一元一次不等式組，掌握不等式的性質(zhì)，不等式解集的取值方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)分別解出①②的解集，根據(jù)不等式組的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中間中，大大小小無解”的方法即可求解，再在數(shù)軸表示出來即可．【詳解】（1）解：樂樂的解答過程所有錯誤步驟是第二步，第三步；（2）解：解不等式①得，，，解不等式②得，，，，，則不等式組的解集為：．數(shù)軸上表示為：【變式3-3】（2025·寧夏吳忠·二模）解不等式組下面是某同學解不等式組的過程，請認真閱讀并完成相應任務．解：由①得：

第一步

第二步

第三步

第四步

第五步任務一：填空：（1）以上解題過程中，第一步是依據(jù)________進行變形的．（2）第________步開始出現(xiàn)錯誤．這一步錯誤的原因是________．任務二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集．【答案】任務一：（1）不等式的性質(zhì)；（2）五，不等號的方向沒有改變；任務二：解不等式②見解析，該不等式組的解集為【知識點】求不等式組的解集【分析】本題考查了解一元一次不等式，掌握不等式的性質(zhì)是關(guān)鍵．任務一：（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可求解；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可求解；任務二：根據(jù)不等式的解法解不等式②，再根據(jù)不等式組解集的求法表示不等式組的解集即可．【詳解】解：任務一：解：由①得：

第一步

第二步

第三步

第四步

第五步（1）第一步是依據(jù)不等式的性質(zhì)進行變形的，故答案為：不等式的性質(zhì)；（2）第五步開始出現(xiàn)錯誤．這一步錯誤的原因是不等號的方向沒有改變，故答案為：五，不等號的方向沒有改變；任務二：解不等式②：，該不等式組的解集為．考點四：根據(jù)一元一次不等式的解集求參數(shù)例4．（2025·廣東廣州·模擬預測）關(guān)于的不等式的解集如圖所示，則的取值范圍是．【答案】【知識點】求一元一次不等式的解集、在數(shù)軸上表示不等式的解集【分析】本題考查根據(jù)不等式的解集求參數(shù)的范圍，用數(shù)軸表示不等式的解集，由數(shù)軸可知，不等式的解集為：，進而得到，即可得出結(jié)果．【詳解】解：由圖可知：不等式的解集為：，∴，∴；故答案為：．【變式4-1】（24-25七年級下·上海松江·期中）已知關(guān)于x的不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，則m的值是．【答案】【知識點】求一元一次不等式的解集、在數(shù)軸上表示不等式的解集【分析】本題考查了解一元一次不等式、由數(shù)軸得出不等式的解集，解題的關(guān)鍵是得出不等式的解集后和數(shù)軸上的解結(jié)合得出關(guān)于m的方程．由不等式和數(shù)軸可以得出該不等式的解集，由此可知此時得到的兩個式子是一樣的，進而可以得到關(guān)于m的方程，解此方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：由數(shù)軸可得不等式的解集為，∴解不等式得，∴，解得：，故答案為：．【變式4-2】（24-25八年級下·廣東揭陽·階段練習）若的解集為，則的取值范圍是．【答案】【知識點】不等式的性質(zhì)、求一元一次不等式的解集【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)得，再解出的取值范圍，即可作答．本題主要考查了不等式的性質(zhì)，解一元一次不等式，不等式兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)，不等號的方向改變．【詳解】解：∵的解集為，∴，解得，故答案為：．【變式4-3】（24-25七年級下·四川內(nèi)江·期中）已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集是．【答案】/【知識點】求一元一次不等式的解集【分析】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)不等號方向要改變．由不等式的解集為得且，將原不等式變形可得，結(jié)合兩邊除以可得答案．【詳解】解：∵不等式，∴，∵不等式的解集為，∴且，∵∴∴，解得，故答案為：．考點五：利用一元一次不等式（組）的整數(shù)解求參數(shù)的取值范圍例5.（24-25八年級下·廣東揭陽·階段練習）關(guān)于的不等式有且只有三個負整數(shù)解，則的取值范圍為．【答案】【知識點】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整數(shù)解【分析】首先解不等式即，然后根據(jù)條件即可確定的取值范圍，即可作答．本題主要考查了一元一次不等式的整數(shù)解，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵不等式有且只有三個負整數(shù)解，則其負整數(shù)解為，∴的取值范圍為：∴故答案為：．【變式5-1】（24-25七年級下·安徽蚌埠·期中）已知不等式的正整數(shù)解恰是1，2，3，則a的取值范圍．【答案】【知識點】求一元一次不等式的整數(shù)解【分析】此題考查一元一次不等式的整數(shù)解，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則．根據(jù)題目中的不等式可以求得x的取值范圍，再根據(jù)不等式的正整數(shù)解恰是1，2，3，從而可以求得a的取值范圍．【詳解】由得，，∵不等式的正整數(shù)解恰是1，2，3，∴且，解得，，故答案為．【變式5-2】（24-25七年級下·江蘇揚州·階段練習）若關(guān)于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，則m的取值范圍是．【答案】【知識點】求一元一次不等式組的整數(shù)解、由一元一次不等式組的解集求參數(shù)【分析】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，解一元一次不等式組的應用，先求出不等式組中每個不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整數(shù)解進而求得m的取值范圍．【詳解】解：，解不等式得：，解不等式得：，則不等式組的解集是：，不等式組有3個整數(shù)解，則整數(shù)解是4，5，6，則．故答案為：．【變式5-3】（2025·四川瀘州·二模）關(guān)于的不等式組有且只有四個整數(shù)解，則的取值范圍是．【答案】【知識點】求一元一次不等式組的整數(shù)解、由不等式組解集的情況求參數(shù)【分析】本題主要考查求含參數(shù)的不等式解集，熟練掌握解一元一次不等式組，不等式組的整數(shù)解：是解題關(guān)鍵．求出原不等式組的解集，由解集恰好只有4個整數(shù)解，得出關(guān)于a的不等式組，解不等式組確定出a的范圍即可．【詳解】解：，解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式組的解集為：，∵不等式組只有4個整數(shù)解，為2，1，0，，∴，∴．故答案為：．考點六：根據(jù)一元一次不等式組的解集的情況求參數(shù)的取值范圍例6.（24-25八年級下·寧夏銀川·期中）不等式組的解集是，則m的取值范圍是．【答案】【知識點】求不等式組的解集、由一元一次不等式組的解集求參數(shù)【分析】本題考查了解一元一次不等式組，解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．解集的規(guī)律：同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到．先解得，利用同大取大得到，然后解關(guān)于m的不等式即可．【詳解】解：，解①，得，∴，∵不等式組的解集是，∴，∴．故答案為：．【變式6-1】（2025·河南周口·三模）關(guān)于的一元一次不等式組的解為，則的取值范圍為．【答案】．【知識點】由一元一次不等式組的解集求參數(shù)【分析】本題考查不等式組解集的確定，關(guān)鍵在于理解參數(shù)與第二個不等式解集之間的包含關(guān)系．通過比較兩個不等式解集的范圍，可確定的取值范圍．本題解第二個不等式，結(jié)合兩個不等式的解集關(guān)系，即可分析參數(shù)的取值范圍．【詳解】解：由，得到，即，已知不等式組的解集為，則第一個不等式的解集必須包含第二個不等式的解集，因此的取值范圍應滿足．故答案為：．【變式6-2】（24-25七年級下·湖南懷化·期中）若不等式組的解集是，則．【答案】1【知識點】有理數(shù)的乘方運算、由一元一次不等式組的解集求參數(shù)【分析】此題考查了解一元一次不等式組，以及有理數(shù)的乘方，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．分別表示不等式組的解集，根據(jù)已知解集確定出與的值，即可求出原式的值．【詳解】解：，解不等式得：，解不等式得：，由不等式組的解集為，得到，解得：，，則原式，故答案為：．【變式6-3】（2025·黑龍江大慶·一模）若不等式組無解，則的取值范圍為．【答案】【知識點】求不等式組的解集、由一元一次不等式組的解集求參數(shù)、由不等式組解集的情況求參數(shù)【分析】本題考查由不等式組解集情況求參數(shù)，涉及不等式組的解法，先解不等式組，再由不等式組無解，分類討論即可得到答案．掌握不等式組的解法，分類討論是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：，由①得；由②得③；不等式組無解，當時，，解③得，則不等式組一定有解，不符合題意；當時，，解③得為任意實數(shù)，則不等式組一定有解，不符合題意；當時，，解③得，則，解得；綜上所述，的取值范圍為，故答案為：．考點七：整式方程(組)與一元一次不等式（組）結(jié)合求參數(shù)的問題例7．（23-24七年級下·北京·期末）已知關(guān)于，的二元一次方程組的解滿足，則的取值范圍是．【答案】/【知識點】不等式組和方程組結(jié)合的問題【分析】本題考查了根據(jù)二元一次方程組解的情況求參數(shù)，一元一次不等式的解法；由方程組求得是解題關(guān)鍵．利用加減消元法求得，再建立不等式求m即可；【詳解】解：由①②，得：，∴，當時，，解得：，∴，故答案為：【變式7-1】（23-24八年級下·山東青島·階段練習）如果關(guān)于x、y的方程組的解滿足且，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】/【知識點】不等式組和方程組結(jié)合的問題、求不等式組的解集、已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)、加減消元法【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，數(shù)量掌握相關(guān)解法是解題關(guān)鍵．先解二元一次方程組，進而得到關(guān)于的不等式組，求解即可．【詳解】解：，由得：，解得：，將代入得：，解得：，且，，，的取值范圍是，故答案為：【變式7-2】（24-25八年級上·四川綿陽·期中）已知二元一次方程組，其中方程組的解滿足，則的取值范圍．【答案】【知識點】加減消元法、不等式組和方程組結(jié)合的問題【分析】本題考查了二元一次方程組的解和解一元一次不等式組的應用，先求出方程組的解，再把解代入到不等式中，最后解不等式即可求解，正確求出方程組的解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：得，，把代入①得，，∴，∴方程組的解為，∵方程組的解滿足，∴，即，解得，故答案為：．【變式7-3】（24-25八年級上·重慶·期中）若使得關(guān)于的不等式至少2個整數(shù)解，且關(guān)于x，y的方程組的解滿足，則滿足條件的整數(shù)之和是．【答案】【知識點】不等式組和方程組結(jié)合的問題【分析】本題主要考查了不等式組和方程組相結(jié)合的問題，先求出不等式組兩個不等式的解集，再根據(jù)不等式組至少有兩個整數(shù)解得到；再利用加減消元法得到，則，據(jù)此求出即可得到答案．【詳解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式組至少2個整數(shù)解，∴，∴；得：，∵，∴，∴，∴，∴滿足條件的整數(shù)m有3、4、5、6、7，∴滿足條件的整數(shù)之和是，故答案為：．考點八：一元一次不等式（組）與一次函數(shù)結(jié)合的問題例8.（遼寧省大連市金普新區(qū)2024-2025年八年級下學期期中數(shù)學試題）如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，則關(guān)于x的不等式的解集為．【答案】【知識點】由直線與坐標軸的交點求不等式的解集【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于或小于的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在x軸上或下方部分所有的點的橫坐標所構(gòu)成的集合．根據(jù)圖象得到函數(shù)的增減性及與x軸的交點的橫坐標，即能求得不等式的解集．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，∴由圖象可得：當時，一次函數(shù)的圖象在x軸上方∴關(guān)于x的不等式的解集為．故答案為：．【變式8-1】（24-25八年級下·四川自貢·期末）如圖，一次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點，則關(guān)于x的不等式組的解集為．【答案】【知識點】根據(jù)兩條直線的交點求不等式的解集【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式．先求出直線與x軸的交點坐標，然后根據(jù)函數(shù)特征，寫出在x軸上方，直線在直線上方所對應的自變量的范圍，即可得不等式組的解集．【詳解】解：令，則，解得，∴直線與x軸的交點坐標為，∵直線與直線交點為，∴關(guān)于x的不等式組的解集為．故答案為：．【變式8-2】（24-25八年級下·江西景德鎮(zhèn)·期中）如圖，平面直角坐標系中，經(jīng)過點的直線與直線相交于點，則不等式的解集為．【答案】【知識點】根據(jù)兩條直線的交點求不等式的解集【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與一元一次不等式．不等式的解集就是圖象上兩個一次函數(shù)的圖象都在軸的下方，且的圖象在的圖象的下邊的部分對應的自變量的取值范圍．【詳解】解：經(jīng)過點的直線與直線相交于點，不等式的解集為．故答案為：．【變式8-3】（2025八年級下·內(nèi)蒙古·專題練習）一次函數(shù)與的圖像如圖所示，則下列結(jié)論：①；②；③的值每增加，的值增加；④．其中正確的是．【答案】①②【知識點】根據(jù)兩條直線的交點求不等式的解集、兩直線的交點與二元一次方程組的解【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)逐項判斷，由一次函數(shù)圖像及其性質(zhì)可知的符號情況，從而可判斷①，由兩函數(shù)圖像的交點情況可判斷②，根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)可判斷③，利用特殊值法可判斷④，即可解題．【詳解】解：①由圖象可得：，∴，∴，故①正確；②∵一次函數(shù)與的圖象的交點的橫坐標為3，.∴，∴，即，故②正確；③∵，∴當?shù)闹得吭黾?，，故③錯誤，當時，由圖象可得：，故④錯誤．綜上所述，正確的是①②．故答案為：①②．考點九：用一元一次不等式與不等式組解決實際問題例9.（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）隨著技術(shù)的飛速發(fā)展，人工智能已經(jīng)成為商場中不可或缺的一部分，大大提升了顧客的購物效率和滿意度．某商場計劃分別用27000元和12000元購進A，B兩種型號的智能機器人，已知計劃購進A型機器人比購進B型機器人多2臺，且A型機器人的單價比B型機器人的單價每臺高．(1)A，B兩種型號機器人的單價各是多少？(2)春節(jié)將至，為應對購物高蜂，商場決定用不超過20000元再次購買這兩種型號的機器人共5臺，并要求再次購買的A型機器人的數(shù)量不少于B型機器人的數(shù)量．該商場應如何采購這批機器人？總費用是多少？【答案】(1)A型機器人的單價為4500元；B型機器人的單價為3000元(2)商場應購買A型機器人3臺，B型機器人2臺，總費用為19500元【知識點】銷售、利潤問題(二元一次方程組的應用)、一元一次不等式組的其他應用【分析】本題考查了二元一次方程組的應用和一元一次不等式組的應用，找準等量關(guān)系，正確的列出二元一次方程組和一元一次不等式組并求解是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)型機器人的進價為元，則型機器人進價為元，設(shè)購進型機器人臺，則購進型機器人臺，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可．（2）設(shè)再次購買型機器人臺，則購買型機器人臺，根據(jù)題意列出不等式組，解不等式組即可．【詳解】（1）解：設(shè)型機器人進價為元，購進型機器人臺，則型機器人進價為元，購進型機器人臺，根據(jù)題意，可列方程，解得，即型機器人進價為3000元，型機器人進價為元．（2）解：設(shè)再次購買型機器人臺，則購買型機器人臺，根據(jù)題意，得，解得，由于為整數(shù)，所以，總費用為元，故商場應購買型機器人3臺，型機器人2臺，總費用為19500元．【變式9-1】（2025·廣東廣州·二模）為響應“碳達峰，碳中和”的目標．其新能源公司推廣智能充電樁建設(shè)，已知建設(shè)充電樁的總成本（萬元）與充電樁數(shù)量（個）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，10個充電樁的總成本為12萬元，20個充電樁的總成本為22萬元．(1)求這個一次函數(shù)解析式；(2)若每安裝一個充電樁，公司可獲得0.7萬元的補貼，且本補貼可直接抵扣建設(shè)成本．該公司預計出資30萬元建設(shè)充電樁，則最多能建設(shè)多少個充電樁?【答案】(1)(2)最多能建設(shè)16個充電樁【知識點】用一元一次不等式解決實際問題、求一次函數(shù)解析式【分析】本題考查了一次函數(shù)的實際應用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意找出等量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式求解即可．（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為，把代入函數(shù)關(guān)系式，求出的值即可；（2）根據(jù)“實際出資≤預計出資-獲得的補貼”列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)一次函數(shù)解析式為，把代入函數(shù)關(guān)系式，得：，解得，所以，一次函數(shù)解析式為；（2）解：設(shè)最多能建設(shè)x個充電樁，根據(jù)題意得，，解得，，∵是整數(shù)，∴的最大值為：16，故最多能建設(shè)16個充電樁．【變式9-2】（2025·云南昆明·二模）“母親節(jié)”期間，某鮮花店計劃購進康乃馨和玫瑰花兩種鮮花，其中玫瑰花每束40元，購買康乃馨所需費用y（單位：元）與購買數(shù)量x（單位：束）的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示．(1)求y與x的函數(shù)解析式；(2)該鮮花店計劃購進康乃馨和玫瑰花共200束，若購買康乃馨的數(shù)量不超過150束，且不少于玫瑰花的數(shù)量，求購買這兩種鮮花的總費用W的最小值．【答案】(1)(2)8600元【知識點】一元一次不等式組的其他應用、最大利潤問題(一次函數(shù)的實際應用)【分析】此題考查了一次函數(shù)的應用，根據(jù)圖象求出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）運用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意得到一元一次不等式組，求出x的取值范圍，再得出W關(guān)于x的函數(shù)解析式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答．【詳解】（1）解：當時，設(shè)函數(shù)解析式為∵圖象過點∴

∴∴

當時，設(shè)函數(shù)解析式為∵圖象過，兩點，∴解得∴

綜上所述，；（2）解：由題意，得

∴

∴即

∵

∴W隨x增大而增大．又∵∴當時，W取得最小值8600．答：購買康乃馨和玫瑰花各100束時，花費最少，最少費用為8600元．【變式9-3】（2025年四川省南充市名校聯(lián)測中考二模數(shù)學試卷）某服裝商店開辟專柜購進兩款圍巾銷售，進貨價和銷售價如下表．款款進價（元/條）6050售價（元/條）9078(1)第一次用10000元購進兩款圍巾共180條，求兩款各購進多少條．(2)第二次根據(jù)銷售情況，A款進貨量不超過款進貨量的一半，計劃購進兩款圍巾共300條．應如何設(shè)計進貨方案，才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？(3)商店兩次進貨均按預期售完．請從利潤率的角度分析，哪一次更劃算？【答案】(1)兩款分別購進100條，80條(2)應購進A款圍巾100條，款圍巾200件，可獲最大利潤，最大利潤為8600元(3)從利潤率的角度看，第二次更劃算【知識點】用一元一次不等式解決實際問題、最大利潤問題(一次函數(shù)的實際應用)、銷售盈虧(一元一次方程的應用)【分析】本題考查了一元一次方程的實際應用，一元一次不等式的實際應用，一次函數(shù)的實際應用．（1）設(shè)A款購進條，則款購進條．根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程組求解即可；（2）設(shè)第二次A款購進條，則款購進條．利潤為元，先根據(jù)題意，列出不等式，求出x的取值范圍，再根據(jù)總利潤的利潤的利潤，得出y關(guān)于x的表達式，結(jié)合一次函數(shù)的增減性，即可解答．（3）先分別算出第一次的銷售利潤（A款利潤與B款利潤相加），再根據(jù)利潤率公式算出第一次利潤率；接著算出第二次進貨成本和利潤，進而得出第二次利潤率；最后比較兩次利潤率大小，判斷哪次更劃算．【詳解】（1）解：設(shè)A款購進條，則款購進條．由題意，得．解得．∴．即兩款分別購進100條，80條．（2）設(shè)第二次A款購進條，則款購進條．由題意，得．解得．設(shè)利潤為元，則．隨增大而增大，∴時，．此時．即應購進A款圍巾100條，款圍巾200件，可獲最大利潤，最大利潤為8600元．（3）第一次銷售利潤為（元）．銷售利潤率為．第二次進貨款為（元）．銷售利潤率為．∴從利潤率的角度看，第二次更劃算．一、單選題1．（2025·浙江杭州·二模）已知，那么下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】不等式的性質(zhì)【分析】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．本題主要利用若，，則，依次進行判斷即可．【詳解】解：A中，由，，則不一定成立，故選項A錯誤，不符合題意；B中，由，，則不一定成立，故選項B錯誤，不符合題意；C中，由，，則不一定成立，故選項C錯誤，不符合題意；D中，由，，則成立，故選項D正確，符合題意；故選：D．2．（2025·山東威?！ひ荒＃崝?shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負、不等式的性質(zhì)、有理數(shù)加法運算、有理數(shù)的減法運算【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，有理數(shù)的加減運算法則，根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負．解題的關(guān)鍵在于從數(shù)軸上獲取正確的信息．由數(shù)軸得，然后對各選項進行判斷即可．【詳解】解：由數(shù)軸得，，，∴、錯誤，故不符合要求；∵，∴，∴C正確，故符合要求；∵，∴，∴錯誤，故不符合要求；故選：C．3．（湖南省衡陽市八中教育集團2024-2025學年七年級下學期期中數(shù)學試題）已知關(guān)于的不等式組有解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】由不等式組解集的情況求參數(shù)【分析】本題考查了解不等式組，掌握不等式的性質(zhì)，不等式組的取值方法是關(guān)鍵．根據(jù)不等式的性質(zhì)求解，再根據(jù)不等式組的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解”判定即可．【詳解】解：，解①得，，解②得，，∵不等式組有解，∴，故選：A．4．（24-25八年級下·河南鄭州·期中）小明同學早上前要到達班級，出家門時是，已知他家離學校距離為，他跑步的速度為，走路的速度為，小明同學至少跑步多長時間才能保證不遲到，設(shè)小明同學跑步時間為，根據(jù)題意可列不等式正確的為（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】用一元一次不等式解決實際問題【分析】本題考查了不等式的運用，理解數(shù)量關(guān)系，正確列不等式是關(guān)鍵．根據(jù)題意可得，保證小明同學不遲到，則跑步時間與走路時間要小于，由此列式即可．【詳解】解：小明家離學校距離為，他跑步的速度為，走路的速度為，設(shè)小明同學跑步時間為，出家門時是，早上前要到達班級，保證小明同學不遲到，則跑步時間與走路時間要小于，∴，故選：C．5．（23-24八年級下·廣西河池·期末）已知一次函數(shù)與的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①；②；③關(guān)于x的方程的解為；④當時，其中正確的結(jié)論有（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【知識點】已知函數(shù)經(jīng)過的象限求參數(shù)范圍、根據(jù)兩條直線的交點求不等式的解集【分析】利用一次函數(shù)的性質(zhì)對①②進行判斷；利用兩直線的交點的橫坐標為3可對③進行判斷；利用兩直線的位置關(guān)系對④進行判斷．本題考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及一次函數(shù)與與一元一次不等式組的關(guān)系，熟練掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵直線經(jīng)過第一、二、四象限，∴，，所以①正確；∵直線與y軸的交點在x軸下方，∴，所以②錯誤；∵當時，，∴關(guān)于x的方程的解為，所以③正確；∵當，直線在直線的下方，∴時，．所以④錯誤．故答案為：C．二、填空題6．（2025·江西撫州·二模）在平面直角坐標系中，若點在第二象限，則的取值范圍是．【答案】【知識點】已知點所在的象限求參數(shù)、一元一次不等式組的其他應用【分析】本題考查各象限內(nèi)的點的坐標特點，解一元一次不等式組．根據(jù)第二象限內(nèi)的點的橫坐標為負數(shù)，縱坐標為正數(shù)即可列出不等式組，求解即可．【詳解】解：點在第二象限，，解得．故答案為：．7．（2025七年級下·全國·專題練習）若，則不等式組的整數(shù)解的和為．【答案】36【知識點】求一元一次不等式組的整數(shù)解【分析】此題考查解一元一次不等式組，求不等式組的整數(shù)解的應用，解題的關(guān)鍵是求出不等式組的解集，難度適中．根據(jù)新定義列出不等式組，求出不等式組的解集，再求出不等式組的整數(shù)解，最后求出答案即可．【詳解】解：根據(jù)，將不等式組整理得，解得：，所以整數(shù)，2，3，4，5，6，7，8，其和為，故答案為：36．8．（24-25八年級下·廣東揭陽·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，直線：與直線：交于點，則關(guān)于x的不等式組的解集為．【答案】【知識點】求一次函數(shù)解析式、根據(jù)兩條直線的交點求不等式的解集、由直線與坐標軸的交點求不等式的解集【分析】本題考查了一次函數(shù)與不等式的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．根據(jù)得，結(jié)合直線與直線交于點，可得的值，再利用數(shù)形結(jié)合思想解答即可．【詳解】解：由，得，∵直線與直線交于點，∴，解得，∴直線與直線交于點，又∵，∴根據(jù)圖像得：，故答案為：．9．（24-25八年級下·江西吉安·階段練習）已知關(guān)于的不等式組只有三個正整數(shù)解，則k的取值范圍是．【答案】【知識點】由不等式組解集的情況求參數(shù)【分析】本題考查了解一元一次不等式組，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”，先求出不等式組的解集，根據(jù)不等式組只有三個正整數(shù)解，得到，求出k的取值范圍即可．【詳解】解：，解不等式得：，解不等式得：，不等式組的解集為，不等式組只有三個正整數(shù)解，，解得，故答案為：．10．（24-25七年級下·全國·單元測試）如果關(guān)于x的不等式組有解，且關(guān)于x的方程有正整數(shù)解，那么符合條件k的所有整數(shù)和為．【答案】【知識點】由不等式組解集的情況求參數(shù)、解一元一次方程（一）——合并同類項與移項【分析】本題考查了不等式組的解，已知一元一次方程解的情況求參數(shù)，掌握不等式組的解集由所構(gòu)成的幾個不等式解集的公共部分組成是解題關(guān)鍵．先解方程，再根據(jù)不等式組有解求出的取值范圍，然后根據(jù)方程有正整數(shù)解得出，將的取值代入，找出符合條件的值，并相加即可得出答案．【詳解】解：解不等式，得．解不等式，得．該不等式組有解，，解得．整理方程，得．方程有正整數(shù)解，，解得，．當時，解得；當時，解得；當時，解得；當時，解得，不符合題意，舍去；符合條件的所有整數(shù)的和為．故答案為：．三、解答題11．（24-25七年級下·北京·期中）（1）解不等式，并寫出它的所有負整數(shù)解；（2）解不等式組，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】（1），不等式的負整數(shù)解為、；（2），見解析【知識點】求不等式組的解集、在數(shù)軸上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集【分析】本題考查的是解一元一次不等式與一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1可得；（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：（1）∵，∴，移項得：，整理得：，解得：，則不等式的負整數(shù)解為、；（2）由，得：，由，得：，則不等式組的解集為．將解集表示在數(shù)軸上如下：．12．（24-25七年級下·山西臨汾·期中）下面是某同學解不等式的過程，請認真閱讀并完成相應的任務．解：去分母，得．

第一步移項，得．

第二步合并同類項，得．

第三步x系數(shù)化成1，得．

第四步根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)第一步去分母的依據(jù)是________．(2)在解答過程中，第________處出錯，錯誤原因是________．(3)原不等式的正確解集為________．(4)解不等式組：并把解集表示在數(shù)軸上．【答案】(1)不等式的基本性質(zhì)(2)四；不等號的方向沒有改變（或不等式基本性質(zhì)運用錯誤）(3)(4)；數(shù)軸見解析【知識點】求不等式組的解集、在數(shù)軸上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集【分析】本題考查解不等式，求不等式組的解集，用數(shù)軸表示不等式的解集，正確的求出不等式的解集，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)進行求解即可；（2）第四步，系數(shù)化1時，不等號的方向沒有發(fā)生改變出錯；（3）第四步系數(shù)化1，正確的求解即可；（4）先求出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分，即為不等式組的解集，定邊界，定方向，在數(shù)軸上表示出不等式的解集即可?！驹斀狻浚?）解：第一步去分母的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)；（2）在解答過程中，第四步，系數(shù)化1時，不等號的方向沒有發(fā)生改變出錯；（3）解：去分母，得．移項，得．合并同類項，得．x系數(shù)化成1，得．（4）由①，得：；由②，得：，∴不等式組的解集為：；在數(shù)軸上表示解集如圖：13．（24-25七年級下·全國·課后作