2024-2025學年內蒙古自治區(qū)包頭市高二下學期期末考試數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知樣本數(shù)據(jù)為2,4,6,a,8,若刪除a后的新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)平均數(shù)相同，則。為().

A.3B.4C.5D.6

2.已知z=1—i,則=()-

A.1+2iB.2-iC.2+iD.1-2i

3.已知集合Z={x\x2=2%],集合8={xeZ\-l<%V2},則ZUB=().

A.{0}B.{0,2}C.{x|-l<x<2}D.{-1,0,1,2}

4,不等式專41的解集是()?

A.{%|-2<%<|)B.{x\x>2或x<-2}

C.[x\x>g或%<-2}D.{%|-2<%<1j

5.在中，內角4B,。所對的邊分別為a,b,c,若a=2,b=yj~2,c=V-3+1,則C=().

.7TT?lln旦3n

A?五B.五12D4

6.已知拋物線%2=4y的焦點為F,準線為［，過拋物線上一點P作PQ1［且垂足為Q,若|PF|=4,則MQ=().

A.苧B.73C.土？D.±/3

7.已知等比數(shù)列｛%｝的前幾項和為Sn，若的力。2且4a3,3a4,2。5成等差數(shù)列，則率=().

41

A.亮B』c—D—

6316

8.已知sin2a=(且a€則tan(a+：)=().

A.-5B.-2=C.-4AA5D.-75

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.若等差數(shù)列｛冊｝的前n項和為Sn,a2=4,S7=42,則下列說法正確的是().

A.46=7B.｛an+幾｝為遞增數(shù)列

C.%=獷+|nD.｛W^的前4項和嚙

10.已知函數(shù)/(久)是定義在R上的奇函數(shù)，當久V0時，/(%)=e%(%+2),則下列命題正確的是().

A.當％>0時，f(x)=-e-x(x-2)

B.%=3是f(%)的極大值點

第1頁，共15頁

C./(x)<0當且僅當0<久<2或久<-2

D.V久1，洶eR都有1/(巧)-/(%2)1<4

22

11.已知％,尸2是雙曲線C：|一方=19>0,6>0)的左、右焦點，過Fi作C的一條漸近線的垂線/,垂足為H

且/與雙曲線右支相交于點P,若COS"PF2=|且IP&I=5.則下列說法正確的是().

A.雙曲線的實軸長為4B.雙曲線的離心率為空

C.四邊形。F2PH的面積為15D.而=2而7

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知兩個不相等的向量工=(2,zn+1),5=(2—4皿1),若花〃(2—b),則m.

13.若函數(shù)/(%)=%(%-c)2在X=-1處有極小值，則/(3)等于.

14.在底面半徑為3V3及軸截面為正三角形的圓錐中放置內切球0,在球。1的上面放一個與球。1和圓錐側

面均相切的球。2，再在。1和。2之間放入一個球。3，則球。3半徑的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知函數(shù)/(%)=cos(%—(p)(0<(P<TU)為奇函數(shù).

Q)求3；

(2)設函數(shù)g(%)=/(%)?/(%*)，求g(%)的值域和對稱中心.

16.(本小題15分)

已知橢圓C「+源l(a>b>0)的長軸長為2質且離心率為苧.

(1)求橢圓C的方程；

(2)不經過原點。的直線/:了=久+爪與橢圓C交于A,B兩點，求入4。8的面積最大時直線，的方程.

17.(本小題15分)

如圖，在四邊形ABCD中，AD=1,AB1AD,AD//BC,Z_AEB=60。，/.BEC=90°,E是4。的中點.現(xiàn)將

-ABE沿BE翻折，使得點力移動至平面BCDE外的點P.

第2頁，共15頁

(1)若點F是靠近P的四等分點，求證：DF〃平面PBE；

(2)若平面PBE，平面8CDE,求平面PCD與平面P2E所成二面角的正弦值.

18.(本小題17分)

已知函數(shù)/'(久)=axln久-(a+l)x+1■久3且/(久)為f(x)的導數(shù).

(1)求函數(shù)f(x)在％=1處的切線方程(請用a表示)；

(2)討論;'(X)的極值點個數(shù)；

(3)當a<0時，設/''(x)的極值點為一個零點為"(ri>1),證明：m<

19.(本小題17分)

為緩解學生的壓力，某中學組織學生開展了一項有趣的比賽.甲，乙兩人參加比賽，比賽規(guī)則為：共進行

奇數(shù)局比賽，全部比完后，所贏局數(shù)多者獲勝.假設每局比賽甲贏的概率都是p(0<p<1),各局比賽之間

的結果互不影響且沒有平局.

(1)若兩人共進行5局比賽且p=|,設兩人所贏局數(shù)之差的絕對值為X.求X的分布列和數(shù)學期望；

(2)若兩人共進行2律+1(九川*,共2)局比賽且「=今記事件為表示“在前如―1局比賽中甲贏了k(k=

0,1,2,…,2n-1)局”.事件B表示“甲最終獲勝”，請寫出P(B|二二P(2|4nt),P(B|4n),

P(B|￡著工人)的值(直接寫出結果即可)；

(3)若兩人共進行了2幾—1(n6N*)局比賽，甲獲勝的概率記為Pn.證明：當,<p<l時，Pn+2-Pn+1<

p_p

rn+lrn*

第3頁，共15頁

答案解析

1.【答案】C

【解析】【分析】分別計算出刪除a前后的平均數(shù)，然后相等，計算可得.

【詳解】刪除前平均數(shù)為：2+4+g+a+820+a

5

2+4+64-8

刪除后平均數(shù)為:

4

所以半=5=>a=5.

故選：C

2.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求解.

【詳解】由z=1—i,則出=在==竽=1+2i.

z1—1十(1—嘿i)(l+：i?)2

故選：A.

3.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)集合的并集定義計算求解.

【詳解】集合力=[x\x2=2x}={0,2},集合B=[xeZ|-l<x<2]={-1,0,1),

貝UB={-1,0,1,2).

故選：D.

4.【答案】B

【解析】【分析】化簡式子可得—20,然后直接計算.

x+Z

【詳解】由題可知：1=^^-1<00=?x<一2或久2〈,

x+2x+2x+2x+23

不等式的解集為{久|x2：或尤<-2}.

故選：B

5.【答案】A

【解析】【分析】使用余弦定理求出角C的余弦值，在根據(jù)余弦值求出角C的大小即可.

22一一

【詳解】利用余弦定理可得，COSC=22+[(￡1)

噌ZXZXVZ4

cos7T-T=cos/11+.-7lJ\=cosT-Tcos71--si.n7-1s.inIT-=1-y/~2V_3—V~2=V-6

第4頁，共15頁

???CG(0,7T),則C=g.

故答案：4

6.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義，可得舛=3進而求得點P的坐標，得點Q坐標，利用斜率公式得解.

【詳解】由題，|PQ|=|PF|=yp+l=4,貝|yp=3,代入拋物線方程得孫=±2/百，

(2(±273,-1),又F(O,1),

???2±京=土?

故選：c.

【解析】【分析】利用基本量法可求公比，從而可得號的值.

36

【詳解】設等比數(shù)列｛冊｝的公比為q,因為由。。2,故qWL

由6。4=4。3+2a5，所以3%?q=2a3+^3'Q2?又。3。。，

/-3q+2=0,解得q=2或q=1(舍)，

01(1一~)22

./=4±

??56旬(1一《6)1-q61-26210

-

故選：B.

8.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)二倍角正弦公式計算結合弦化切計算求出tana,再結合兩角和正切公式計算求解.

【詳解】因為sin2a=。且aG償片)，sina>cosa,

3\42/

則(sina+cosa)2=1+2sinacoscr=1+1=|,所以sina+coscr=

(sinct—cosa)2=1—2sinacosa=1—|=p所以sina—cosa=芋，

/15

rmi」(.豆、tana+lsina+cosar-=

則tana+-=——=------==-V5.

\4/1—tanacosa—sinaV3

3

第5頁，共15頁

故選：D.

9.【答案】BC

【解析】【分析】對4由等差數(shù)列的前n項和公式結合等差數(shù)列的性質運算得解；對B,求出通項冊，進而

求出數(shù)列｛冊+帚的通項公式，判斷；對C,由等差數(shù)列前n項和公式求解判斷；對D,求出｛晨士｝的通項，

利用裂項相消法求和.

【詳解】對于4由57=42,則%產=42,所以的+ci7=12,即。2+。6=12,又a2=4,所以a6=8,

故4錯誤；

對于8,設等差數(shù)列｛a九｝的公差為d,由4知即=8,則即一。2=8—4=4d,

???d=1,???an=a2+（n—2）d=n+2,

所以冊+九=2幾+2,故數(shù)列｛與+幾｝為遞增數(shù)列，故5正確；

對于C,由冊=九+2,則Sn=遐等於■=；九2+?九，故C正確；

對于D'因為菽匚=麗嘉西=擊一肅'

所以｛就7｝的前4項和為G_§+G_/）+（H+G—勻=9；=擊故D錯誤.

故選：BC.

10.【答案】BCD

【解析】【分析】設x>。，則-％<0,利用函數(shù)的奇偶性即可判斷4直接解不等式可判斷C；根據(jù)導數(shù)符

號可判斷/'（X）的單調性即可判斷B；根據(jù)單調性即可求出f（x）的值域，即可判斷，

【詳解】/（久）是定義在R上的奇函數(shù)，設久>。，則—x<0,

則/（-比）=ef（-％+2）=-/（久），所以/（久）=ef（K-2）,故/不正確；

當x<0時，由/'（X）=e*（x+2）<0,得x+2<0,得x<—2,

當%>0時，由/'（久）=e~x（x—2）<0,得x—2<0,得0<x<2；

所以/（X）<0的解集為（一8,-2）U（0,2）,故C正確；

當x<0時，f(x)-ex(x+3),

所以比<一3時，/。）<0,單調遞減，一3<久<0時，f（x）>0,/（X）單調遞增,

所以刀=一3時，/（久）取的最小值為一e-3,且-3時，/（%）<0,

所以fQ）</（0）=2,即—e-3</（x）<1,

第6頁，共15頁

當x>0時，/'（%）=e-x（3—x）,

所以AX）在（0,3）上單調遞增，在（3,+8）上單調遞減，久=3是/'（尤）的極大值點，B選項正確；

由B選項分析可知當工=3時，/（X）取最大值為e-3,且龍〉3時，/（%）>0,

當x>0時，由/'（無）=eT（x-2）,所以x70,y（x）ff（0）=-2,所以一2</（無）We-3,

當％>0時，/（X）的值域為（-2,e-3],

因為函數(shù);'（X）是定義在R上的奇函數(shù)，

由對稱性可得Vxi，比26R,都有，（/）一/（肛）1<e-3+2<4,故。正確;

故選：BCD.

11.【答案】ACD

【解析】【分析】根據(jù)題意作圖，利用雙曲線性質和給定條件，解出a=2,利用三角形邊角關系解出b=3,c=

713；從而依次對各選項內容進行計算和判斷,選項4,B,根據(jù)雙曲線性質，實軸長為2a=4,離心率e=±=

a

手；選項C:根據(jù)OF2PH面積等于A的面積減去AF1H。的面積計算；選項。：根據(jù)三角形邊角關系得

出|而|=|而|+|Q同=2|麗且麗，麗共線且方向相同，得出麗=2麗.

【詳解】

已知”是過Fi作C的一條漸近線的垂線Z的垂足，其漸近線方程為：y=-1x,FM-c,0）,

22

根據(jù)點到直線距離公式，d.=\FH\-i--=b,\OH\=Vc-Z)=a.

XV砂+爐c

過點尸2向尸1P做垂線，垂足為Q，因為。Hl&Q,F2Q■!■%<?，所以OH八!/&Q，

又。為尸12中點且1。川=a,貝！J|&Ql=2a.

由COS/.F1PF2—可得sinZ-F1PF2—J1一⑨=?tanZ.F1PF2-p

在RSPQ4中，=孕=5,解得。=2,

SlnZ-F\rr2—

|P%|=9_

\PF1\-\PF2\=2a=4

又中=\FiQ\+\QP\=2b+tanz?PF2b+條=9ob=3,c=C^

ianz_r|rr2G)

第7頁，共15頁

所以：實軸長2a=4,故/對；離心率e=￡=孚，故3錯；

a2

APFR的面積Si=2F1P||F2P|sinNFiPF2=49-511一(|)2=18,

11

S'F/o=2ab=屋2?3=3,

所以S.FzPH=S]-S3F]HO=18-3=15,故C對.

人%尸2<?中，F(xiàn)2Q-LPFX,OH1PFv。為中點，

??.H為FiQ中點,即尸1印=|HQ|=b=3,

又taWiPB=寄=磊/|PQI=|a=3，

|PH|=|PQ|+\QH\=2\HF\\,又?.?麗，麗共線且方向相同，.?.麗=2笳，故。對.

故選：ACD.

12.【答案】-1/-0.5

【解析】【分析】利用平面向量的加減法運算規(guī)則得出訝-1=(4m,m),根據(jù)小!/9-辦列方程，解出爪=-

p代入驗證滿足題意.

(詳解】a=(2,m+1),b=(2—4m,1)

：.~a—b=(4m,m),

T—>1]

a/\!/(a—b)=2m=4m(m+1),解得m=一,,或TH=0(舍)，

把77i=一,弋入驗證，彼=93),萬―b=(—2,—芻，滿足a/\!/(a—b),符合題意.

所以，m

故答案為：-

13.【答案】108

【解析】【分析】由/(-1)=0,求得c并檢驗，求得f(x)的解析式，運算得解.

【詳解】/(%)=(%-c)2+2x(x—c)=(x-c)(3x—c),

因為/(x)在久=—1處有極小值，所以,(一1)=0,

即(-l—c)(一3一c)=0,解得c=-1或c=-3,

若c=-1,貝!|/'(%)=(久+l)(3x+1),

第8頁，共15頁

當％V-1或久〉一;時，/(X)>0,/(%)單調遞增,

當一1<%<一,時，/(%)<o,f(%)單調遞減，

所以/(%)在％=-1處取極大值，不合題意，

若c=-3,則/(x)=(%+3)(3%+3),

當久<-3或久>一1時，/(%)>0,/(%)單調遞增,

當-3V%V-1時，/(%)<0,/(%)單調遞減,

所以/(%)在久=-1處取極小值，合題意，

所以/(%)=x(x+3)2,則/(3)=3X(3+3)2=108.

故答案為：108.

14.【答案】3—苧

【解析】【分析】由題可知當球。3與。1和。2相切，且與母線相切時，球。3半徑的最大，求出。I和。2的半徑,

根據(jù)截面圖構建方程即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，當球。3與。1和。2相切，且與母線相切時，球。3半徑的最大，

軸截面圖如下，"S4B是邊長為6V3的等比三角形，

所以內切球。I的半徑q=gsAs嗚=3,設球。2的半徑為「2，球。3的半徑為r，

1?1sinzDSO2=翳=款=sin30°=SO2=2r2,

=

SO2+72=3r2=SE—2Tl=9—6=3=>r2l?

則AC=37I,SD=質，CD=2<3,

./-iMO-\3-T.nr八r\NO?1-丁

sinNM°3°i=—r--sinzJVO3O2=-=7—，

第9頁，共15頁

則COSAMO3O1=yj^,coszWO3O2=—,

CD=MN=(3+r)cosZ.M0301+(1+r)cosZ.N0302

=273r+2y/~r=273n市=

即r=3-苧

故答案為：3-學

15.【答案】解：(1)由/(%)=cos(%-0)為奇函數(shù)，則0=5+左4左￡Z),由0E[O,TC)得g=].

(2)由(1)得/(%)=cos-=sin%,

則9(%)=sin%?sin-=sinx?Qsinx一半cos%

=|sin2x11—cos2xV-3

sinx?cosx=sin2x

22r

11/i/3.\11.

2(2COS2X+—sinQ2xj=---sin(2x+J

4

1"'-1<sin(2x+HW1,—<——sin(2x+"<—,

\o/ZZ\ozZ

即W一白山(2久+?)外則g(%)的值域是［—］.

令2%+，=kn(keZ),.?.％=一尚+

o1ZZ

則g(x)的對稱中心是(-七+竽3)("eZ).

【解析】(D根據(jù)余弦函數(shù)的奇偶性運算得解；

(2)由(1),利用三角恒等變換化簡g(x),利用正弦函數(shù)有界性和對稱性求解.

16.【答案】解：(1)由已知2a=2/1,即a=6.

又由e=苧可得c=W^,所以川=a?-?2=1,

則橢圓C的方程為1+產=1.

(2)由題直線］與橢圓C有兩個交點力和8,設4(巧,為)，B(x2,y2).

y=x+m2

22

聯(lián)立9+產=1得^■+(%+7n/=14,即4x+6mx+3m—3=0,

第10頁，共15頁

22%i%2=—.

4=(6m)—16(3m—3)>0且久i+x2=

由直線，不過原點可得-2<m<2且THW0.

利用弦長公式=V1+l2.J(%1+%2)2-4%1%2=.j('罷)一4?37nj3

=V-2?J3一?|zn2=4—m2,

且點。到直線泊勺距離d=翳.

11\m\<6----------<3i----------/3「-------

???S=2\AB\d=a?—==?~2~yz4—m2=|m|V4—m2=Vm2(4—m2)

V3m2+4—m2/3

~42T，

【解析】（1）根據(jù)條件列出關于a,hc的方程求解即可；

（2）設出直線1的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結合韋達定理求出入OAB面積的表達式，利用基本不等式求出最大

值，進而得出答案.

17.【答案】解：（1）在線段PB上取靠近點P的四等分點G,連接FG與EG.

-1

???AD且E為AD的中點，4E=DE=芯

由N4EB=60。和NEBC=90°得BE=1及BC=2,

貝UDE//BC和DE=；BC.

又,喘=震=3所以GF〃BC和GF=%C,

從而。E〃GF和DE=GF,所以四邊形DEGF為平行四邊形，則DF〃EG.

第11頁，共15頁

又DFC平面PBE,EGu平面PBE,

所以DF〃平面PBE.

(2)由NBEC=90。得BE1EC.

因為平面PBE1平面BCDE,平面P8EC平面BCDE=BE,ECu平面BCDE,

所以EC_L平面PBE.

以E為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系E-xyz.

貝ijE(0,0,0),P6,。,苧)，C(0,73,0),B(l,0,0),D(一［祟°)

所以加=生-0,苧)，反=色手,0).

設平面PCD的法向量為五=(x,y,z),則巴,豆=°,

b,DC=0

f-x_V_3yH——z—0

即,413J_，令y=l,則x=—3，I,z=7,Wn=(-373,1,7).

(4x+—y=0

又EC，平面PBE,可取平面PBE的一個法向量為阮=(0,73,0),

貝"3%前)=^=/=等?

設平面PBE與平面PCD所成二面角為。，則sin。=1一(*)=次筍.

所以平面PBE與平面PCD所成二面角的正弦值為空孚

【解析】(1)先證明四邊形DEGF為平行四邊形得出線線平行，進而應用線面平行判定定理證明即可；

(2)先應用面面垂直性質定理得出EC1平面PBE,再建立空間直角坐標系求出平面PCD與平面P8E的法向量,

進而應用二面角公式計算求解余弦值，最后結合同角三角函數(shù)關系求值.

18.【答案】解：(1)由題得/(x)的定義域為(0,+8).

f(x)—alnx+x2—1且/'(1)=-ci—1,所以/(1)=0.

第12頁，共15頁

則;'(X)在x=1處的切線方程為y=—a—|

(2)由(1)得/(%)=alnx+/—1(%>0),設九(%)=/(%)=alnx+%2—1(%>0),

則h(x)=alnx+x2-1(久〉0),二/(￡)=?+2x=-+^x

①當Q之。時，/i(%)>0,則h(%)在(0,+8)上單調遞增.

又???/⑴=左⑴=0,/(%)在(0,1)上為負，在(L+8)上為正,

則/(%)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增,

即％=1是f(%)的唯一極小值點.

②當Q<0時，由九,(%)=0解得第=

⑴若J三VI時，則一2

由h(x)<0解得0<%V由，(x)>0解得%>

所以九。)在(0,上單調遞減，在學+8單調遞增,

所以九h(l)=0且％->。+有九(%)—+oo,

由零點存在定理得三勺使得M%i)=0,

則九(%)在(0,%1)和(1,+8)為正，在(%i，1)為負,

即/(%)在(0,+8)上有兩個極值點.

(ii)若J/=l時，則@=一2,由/;'(%)=0解得％=1.

此時似%)在(0,1)上單減，在(1,+8)上單增，所以九(%)>h(l)=0,

則/(%)在(0,+8)上單調遞增,即/(%)無極值點.

(iii)若J三>1時，即一2.

由九’(x)<0解得0<x<<x<,由，(x)>0解得%>

所以九(%)在(0,上單調遞減，在上單調遞增,

所以hh(l)=0且％->+8有h(%)T+00,

由零點存在定理得三%:三，+°°I使得左(%2)=。，

則九(%)在(0,1)和(%2,+8)為正,在(1,%2)為負，

第13頁，共15頁

即y。)在(0,+8)上有兩個極值點.

綜上，當。=一2,/'(久)無極值點.

當a20時，/(久)有一個極值點.

當—2<a<0或a<—2時，f(%)有兩個極值點.

(3)由(2)可得爪=J吊>1且a<-2,

要證TH<只需證2m-1V九，

由2m-1>TH,只需證/(2m-1)</(n)=0,

只需證Qln(2?n—1)+(2m—l)2—1<0,即一27n2]n(2/n—1)+(2m—I)2—1<0,

只需證ln(2m-1)>2--(m>1).

令g(m)=ln(2m-l)-2+^(m>