角

*4.3.1

1.理解角的概念，掌握角的表示方法.

2.會比較角的大小，認(rèn)識角的常用度量單位，并能進(jìn)行簡單的換算，會計算角的和與差.

3.理解角的平分線的概念，會用符號語言表示，

4.了解余角和補(bǔ)角的概念，掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，并能應(yīng)用這些性質(zhì)解決相關(guān)問題.

硼.如世棒＜8

知識點(diǎn)一角的概念及表示方法

1.角的概念

（1）（有爭態(tài)）有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn),

這兩條射線是角的兩條邊.

（2）（動態(tài)）角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，旋轉(zhuǎn)開始

時的射線叫做角的始邊，終止時的射線叫做角的終邊.

1.“公共端點(diǎn)（頂點(diǎn)）”和“兩條射線（邊）”這兩個條件缺一不可.

2.平角和周角都是角，而不是“線”，不能說“平角是直線”或“直線是平角”，

也不能說“周角是射線，射線是周角”.

即學(xué)即練下列說法：。兩條射線所組成的圖形叫做角：②一條射線旋轉(zhuǎn)而成的圖形叫做

角；③兩邊成一更線的角是平角；④平角是一條直線.其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

2.角的表示方法

圖形記法說明

字母。表示頂點(diǎn)，要寫在

A用三個大寫字母表示，左中間，A,C表示角的兩邊

圖的角記作NAOC上的點(diǎn)，用該表示法可以

表示任何一個角

用一個大寫字母表示，左當(dāng)以某一個字母表示的

圖的角記作N0頂點(diǎn)的角只有一個時，可

用這個頂點(diǎn)的字母來表

示角

用數(shù)字1,2,3,…表示，或要在靠近角的頂點(diǎn)處加

用小寫希臘字母Q,6,上瓠線，該表示法形象直

…表示，ZAOB可記作觀，只方便表示單獨(dú)的

匕Z1,ZB0C可記作N2,角，不方便表示含有角的

ZDOC可記作NQ用

性意：

j(l)用三個大寫字母可表示任一角(頂點(diǎn)字母寫中間)；

(2)用一個大寫字母表示獨(dú)立角(必須用頂點(diǎn)字母)；

(3)用數(shù)字或希臘字母表示單獨(dú)角(頂點(diǎn)處必須畫弧線，并標(biāo)上數(shù)字或希臘字母).

(4)在表示角時，同一個角可能有多種表示方法，一般選取較簡單的表

：示方法.

L...................................................................................................................................................................................................................

知識點(diǎn)二角度制及換算

1,角的度量單位

把一個周角360等分，每一份就是1度的角，記作1°;

把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，記作「；

把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，記作1”.

2.角度制的概念

以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.

3.角度制的換算

1周角=360°,1平角=180°,1°=60,,1'=60".

角的大小與邊的長短無關(guān)，因為角的兩邊是射線，不可以度量.角的大小只與構(gòu)

成角的兩邊張開的大小有關(guān).角既可以度量，也可以比較大小，還可以參與運(yùn)算.

4.角的度■單位之間的關(guān)系：

1°=60*r=60"1°=3600"

1"=

V3600J

題型1角的概念理解

例1（2025上?湖南衡陽?七年級校考階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.由兩條射線組成的圖形叫做角B.多項式7孫3+2.。+5是三次三項式

C.八棱錐有9個面D.Q與8的和的3倍〃表示為”

舉一反三1（2025上?廣東佛山?七年級?？计谥校┫铝姓f法不正確的是（）

A.1直角=1周角B.1周角=2平角

4

C.角的兩邊越長角就越大D.經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線

舉一反三2（2024上.黑龍江大慶.六年級?？计谀┯梅糯?倍的放大鏡看30。的角，看到

的角的度數(shù)是（）

A.30°B.60°C.90°D.不確定

舉一反三3（2025上?吉林松原?七年級校聯(lián)考期末）在/AOB的內(nèi)部引一條射線，圖中共

有3個角；若引兩條射線，圖中共有6個角；若引〃條射線，圖中共有個角.

題型2角的表示方法

例2（2025上?河北石家莊?七年級統(tǒng)考期中）下列圖形中，能用NO和N1表示同一個角的

是（）

①小于90。的角是銳角；②等于90。的角是直角；③大于90。的角是鈍角；

④平角等于180。；⑤周角等于360。.

舉一反三2（2025上?湖北武漢?七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）因為鈍角大于90。，所以大于90。的

角就是鈍角.

題型4畫特殊角

例4（2024上?黑龍江哈爾濱?七年級統(tǒng)考期末）用一副三角板不能畫出的角是（）.

A.75°B.105°C.110°D.135°

舉一反三1（2024上?湖北武漢?七年級統(tǒng)考期末）畫圖，說理題

如圖，已知四個點(diǎn)A、B、C、D；

4?

⑴畫射線AO；

（2）畫線段8C；

（3）畫NACD；

⑷畫出一點(diǎn)P，使2到點(diǎn)A、B、C、。的距離之和最小，并說明理由.

舉一反三2（2024上?安徽宣城?七年級統(tǒng)考期末）（1）請在給定的圖中按照要求畫圖：

C

.\

AB

①畫射線48；

②畫平角團(tuán)84。；

③連接AC.

（2）點(diǎn)仄。分別表示兩個村莊，它們之間要鋪設(shè)燃?xì)夤艿?若節(jié)省管道，則沿著線段

鋪設(shè).這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是：.

舉一反三3（2024上,廣西玉林?七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知/MON,按下列要求畫圖.

（1）在NMON的內(nèi)部畫射線。尸；

（2）畫NMOQ,使GV在NMOQ的內(nèi)部：

（3）在完成（1）、（2）后，圖中共個角，并寫角的名稱.

題型5鐘面角

例5（2025上?陜西西安V年級?？茧A段練習(xí)）鐘表上顯示的時刻是10點(diǎn)30分時，時針與

分針?biāo)傻慕鞘牵ǎ?/p>

A.75°B.120°C.135°D.150°

舉一反三1（2025上?陜西西安?七年級校考階段練習(xí)）每天早上9點(diǎn)10分我們的“課間操

分享”活動都會如約而至，此時時針與分針?biāo)鶌A的角為（）

A.1650B.1450C.150°D.160°

舉一反三2（2025上?廣西梧州?七年級統(tǒng)考期末）從2時整到3時35分，時針轉(zhuǎn)過的角度

是（）

A.25°B.65°C.47.5°D.75°

舉一反三3（2025上?陜西西安?七年級校考階段練習(xí)）每天下午第一節(jié)課的時間是2:15分，

則2:15時的分針與時針夾角是度.

舉一反三4（2025上?江蘇鹽城?七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）“時鐘里的數(shù)學(xué)問題〃：時鐘是我

們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｓ玫纳钣闷罚姳砩系臅r針和分針都繞其軸心旋轉(zhuǎn)，如圖1,表盤中1一

12均勻分布，分針60分鐘轉(zhuǎn)動一周是360。，時針60分鐘移動一周的、是30。，這樣，分

針轉(zhuǎn)速為每分鐘轉(zhuǎn)6度，時針轉(zhuǎn)速為每分鐘轉(zhuǎn)g度.

【課題學(xué)習(xí)】三點(diǎn)二十分時，時針與分針?biāo)山嵌榷嗌俣?？解決這個問題，可以先考慮三點(diǎn)

整，時針與分針?biāo)山嵌葹?0。；從三點(diǎn)到三點(diǎn)二十分，我們可以先計算分針轉(zhuǎn)動的角度，

20x6=120°,時針轉(zhuǎn)動的角度，20x1=10°,120-（904-10）=20°,三點(diǎn)二十分時，時針與

分針?biāo)山嵌仁?0。,

圖I圖I備用圖圖2圖3

【問題解決】

⑴三點(diǎn)三十分時，時針與分針?biāo)山嵌仁恰＃c(diǎn)四十分時，時針與分針?biāo)山嵌仁?/p>

（2）如圖2,十二點(diǎn)鐘時，時針與分針重合，在十二點(diǎn)鐘到十三點(diǎn)鐘之間，小明發(fā)現(xiàn)存在著時

針和分針垂直的情況，請求出具體的時刻：

⑶當(dāng)時針和分針?biāo)山嵌葹?80。時形成一條直線，這條直線剛好平分鐘面，我們將這洋的

時刻稱為“美妙時刻”，如圖3,六點(diǎn)整就是一個美妙時刻，從0時到24時共個美妙

時刻.

題型6方向角的表示

例6（2024上?廣東湛江?七年級校考期末）如圖，/AOB是直角，則射線OB表示的方向是

()

A.南偏西55°B.南偏東55。C.北偏西35。D.北偏東35。

舉一反三1（2025上?黑龍江綏化?六年級?？计谥校┮詫W(xué)校為觀測點(diǎn)，廣場在西偏北30。

的方向上，如圖中正確的是（）

北廣場北

c1

吟卜礦東----------申礦東

舉一反三2科技館在博物館的北偏西30。方向，那么博物館在科技館的（）方向.

A.北偏西30。B.南偏東30。C.西偏北60°D.東偏南30。

舉一反三3（2025上?陜西西安?七年級西安市西光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在燈塔。處

觀測到輪船A位于北偏西54。的方向，408=141。，那么輪船8在燈塔。的的方向上.

北

14（2025上?黑龍江綏化?六年級?？计谥校└鶕?jù)圖示信息回答問題.

:演樂場"

,200小，本育館

⑴龍龍從家出發(fā)，先向東偏（）（）。方向走（）m,到達(dá)體育館，接著從體育館

向北偏（）（）。方向走（）m到達(dá)娛樂場.

⑵已知公園在龍龍家北偏東50。方向800m處，電影院在體育飾北偏西60。方向400m處，請

你在圖中標(biāo)出公園和電影院的位置.

題型7與方向角有關(guān)的計算題

例7（2024上?浙江臺州?七年級統(tǒng)考期末）如圖，射線。4的方向是北偏東20。，射線。8的

方向是西北方向，則NA04的度數(shù)是（）

北

A.55°B.0°C.65°D.70°

舉一反三1（2025上?北京西城?七年級北師大實(shí)驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從點(diǎn)A出發(fā)沿北偏

東40。方向可行至點(diǎn)8,從點(diǎn)A出發(fā)沿南偏西20。方向可行至點(diǎn)C,那么的度數(shù)為（）

A.20°B.60°C.150°D.160°

舉一反三2（2025上?吉林長春?七年級長春市第八十七中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，一艘輪

船行駛到8處時，測得小島4、C的方向分別為北偏西30。23'和西南方向，則/48C的度數(shù)

是（）

A.104。37'B.94。37'C.120°23'D.114037f

舉一反三3（2025上?江蘇南通?七年級啟東市長江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，甲沿北偏東5（）。

方向前進(jìn)，乙沿圖示方向前進(jìn)，甲與乙前進(jìn)方向的夾角。為100。，則此時乙位于A地

的_______

舉一反三4（2025上?黑龍江綏化?六年級?？计谥校┮园藣u為觀測點(diǎn)，B島在東偏。方

向，距4島270km,以8島為觀測點(diǎn)A島在偏。方向，距B島km.

北

一、單選題

1.（2025上?黑龍江綏化,七年級統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（）

A.單項式2a2。的次數(shù)是2

D.如果q=々，那么a—〃

cc

C.連接兩點(diǎn)之間的線段，叫做這兩點(diǎn)之間的距離

D.若點(diǎn)A在點(diǎn)。的北偏東30。方向上，點(diǎn)8在點(diǎn)。的西北方向上，則NAO8=15。

2.（2025上?西藏日喀則,七年級?？计谀楸Ｕ蠈W(xué)生的睡眠時間，教育部規(guī)定，小學(xué)生

上課時間不能早于8:00.如圖，8點(diǎn)鐘時，分針與時針?biāo)鶌A的度數(shù)是（）

A.800°B.150°C.130°D.120°

3.（2025上?吉林松原?七年級校聯(lián)考期末）下列說法正確的是（）

A.兩條射線組成的圖形叫作角B.延長直線八笈至點(diǎn)C

C.兩點(diǎn)之間直線最短D.兩點(diǎn)碓定一條直線

4.（2024上?新疆省直轄縣級單位?七年級?？计谀┫铝姓f法：（1）兩條射線組成的圖形

叫做角；（2）角的兩邊是兩條直線；（3）角的大小與我們畫出的角的兩邊的長短無關(guān)；（4）

線段上有無數(shù)個點(diǎn)；（5）兩個銳角的和一定是鈍角，其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.（2025上?重慶江北?七年級字水中學(xué)校考期末）如圖，下列表示不正確的是（)

D

A.AB+BC=ACB.ZC=45°

C.NB+NB=1800D.Z1+Z2=ZADC

二、填空題

6.（2024上?江西贛州七年級統(tǒng)考期末）把一個20。的角放在10倍的放大鏡下看，這個角

是度.

7.（2024上?廣東湛江?七年級校考期末）如圖，某海域有三個小島A,B,O,在小島。處

觀測小島A在它北偏東62。52’38"的方向上，小島B在它南偏東38。12’36",則的度數(shù)

8.（2025上?福建福州?七年級統(tǒng)考期末）甲看乙的方向為北偏東30，那么乙看甲的方向

是.

9.（2024I：?黑龍江綏化?六年級?？计谀┤绻珗@在廣場的東偏北40。方向上，距離是600m,

那么廣場在公園的（）方向上，距離是（）m.

三、解答題

10.（2025上?西藏日喀貝！?七年級?？计谀┳鲌D：如圖，平面上有四個點(diǎn)A,B,C,D.按

下列要求在下圖中用三角板或直尺畫出圖形：

A*B

D

C

（1）畫射線A3；

（2）畫直線CD,與射線AB相交于點(diǎn)M；

⑶畫N'ACZ）；

（4）連接A。、BC,線段AD與線段8C交于點(diǎn)N.

11.（2024上?黑龍江雞西六年級統(tǒng)考期末）（1）荷花池在噴泉的北偏東50。的方向上，這

是以為觀測點(diǎn).

（2）麗麗家在學(xué)校北偏東。方向，距離是4（X）m.

玲玲家在學(xué)校北偏西。方向，距離是400m.

芳芳家在學(xué)校南偏65。方向，距離是300m.

12.（2025上?江蘇淮安?二年級統(tǒng)考期末）生活處處有數(shù)學(xué)，就看你是否有數(shù)學(xué)的眼光.同

學(xué)們都見過機(jī)械手表吧，讓我們一起去探索其中隱含的數(shù)學(xué)知識.

一塊手表如圖①所示，把它抽象成數(shù)學(xué)模型：如圖②，表帶的兩端用點(diǎn)4和點(diǎn)。表示，表

盤與線段AO交于點(diǎn)仄C,O為表盤圓心.

6

6

圖①圖②

⑴若BC為4cm,CD:AB=3:2,8是AC中點(diǎn)，則手表全長AD=_cm.

⑵表盤上的點(diǎn)8對應(yīng)數(shù)字“12”，點(diǎn)C對應(yīng)數(shù)字“6"，OE為時針，QN為分針，8：30時表盤

指針狀態(tài)如圖③所示，分針CW與OC重合.

6

①NEON=_度;

②作射線OM，使NEOM=25°,求此時/BOM的度數(shù).

⑶如圖④所示，F(xiàn)在BC下方,已知N8。尸=55。，從8:30（分針OV與OC重合，OE仍為時

針）開始，在一小時以內(nèi).經(jīng)過多少分鐘后，射線QV、射線OE、射線O/中一條射線是另

兩條射線組成的角的平分線.

4.3.1角

4

1.理解角的概念，掌握角的表示方法.

2.會比較角的大小，認(rèn)識角的常用度量單位，并能進(jìn)行簡單的換算，會計算角的和與差.

3.理解角的平分線的概念，會用符號語言表示，

4.了解余角和補(bǔ)角的概念，掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，并能應(yīng)用這些性質(zhì)解決相關(guān)問題.

第卜如鈍棒＜8

知識點(diǎn)一角的概念及表示方法

1?角的概念

（1）（有爭態(tài)）有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn),

這兩條射線是角的兩條邊.

（2）（動態(tài)）角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，旋轉(zhuǎn)開始

時的射線叫做角的始邊，終止時的射線叫做角的終邊.

1.“公共端點(diǎn)（頂點(diǎn)）”和“兩條射線（邊）”這兩個條件缺一不可.

2.平角和周角都是角，而不是“線”，不能說“平角是直線”或“直線是平角”，

也不能說“周角是射線，射線是周角

即學(xué)即練下列說法：。兩條射線所組成的圖形叫做角；②一條射線旋轉(zhuǎn)而成的圖形叫做

角；③兩邊成一直線的角是平角：④平角是一條直線.其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

解析：由于①和②沒有說明兩條射線是否有公共端點(diǎn)，缺少組成角的要素，因而都是錯的；

③正確；④錯，因為平角是角，它具有角的頂點(diǎn)、角的兩邊，直線很顯然不具備這些.

答案：A

2.角的表示方法

圖形記法說明

用三個大寫字母表示，左字母0表示頂點(diǎn)，要寫在

A

圖的角記作NA0C中間，A,C表示角的兩邊

上的點(diǎn)，用該表示法可以

表示任何一個角

當(dāng)以某一個字母表示的

用一個大寫字母表示，左頂點(diǎn)的角只有一個時，可

圖的角記作NO用這個頂點(diǎn)的字母來表

示角

用數(shù)字1,2,3,…表示，或要在靠近角的頂點(diǎn)處加

用小寫希臘字母a,B,上弧線，該表示法形象直

…表示，ZAOB可記作觀，只方便表示單獨(dú)的

幺N1,NBOC可記作N2,角，不方便表示含有角的

A

ZDOC可記作Za角

注意：

(1)用三個大寫字母可表示任一角(頂點(diǎn)字母寫中間)；

(2)用一個大寫字母表示獨(dú)立角(必須用頂點(diǎn)字母，

(3)用數(shù)字或希臘字母表示單獨(dú)角(頂點(diǎn)處必須畫瓠線，并標(biāo)上數(shù)字或希臘字母).

(4)在表示角時，同一個角可能有多種表示方法，一般選取較簡單的表

示方法.

知識點(diǎn)二角度制及換算

1?角的度?單位

把一個周角360等分，每一份就是1度的角，記作1°;

把1度的甬60等分，每一份叫做1分的角，記作「；

把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，記作1”.

2.角度制的概念

以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.

3.角度制的換算

1周角二360°,1平角=180°,1°=60',1'=60".

:注意：

角的大小與邊的長短無關(guān)，因為角的兩邊是射線，不可以度量?角的大小只與構(gòu)

成角的兩邊張開的大小有關(guān).角既可以度量，也可以比較大小，還可以參與運(yùn)算.

4.角的度量單位之間的關(guān)系:..............................................

H。=

1°=60'，r=60，13600”*

徽西的分析

題型1角的概念理解

例1（2025上?湖南衡陽?七年級?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.由兩條射線組成的圖形叫做角B.多項式7不，3+2D，+5是三次三項式

C.八棱錐有9個面D.9與人的和的3倍”表示為

【答案】C

【分析】本題考查了角的定義、列代數(shù)式、棱錐的面和多項式的相關(guān)定義，屬于基礎(chǔ)性題目,

比較簡單.

【詳解】解：A.具有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，故A錯誤；

B.多項式7盯3+2冷，+5是四次三項式，故B錯誤：

C.八棱錐有9個面，故C正確；

D.匕與〃的和的3倍"表示為3,+6）,故D錯誤.

故選：C.

舉一反三1（2025上?廣東佛山?七年級?？计谥校┫铝姓f法不正確的是（）

A.1直角=，周角B.1周角=2平角

4

C.角的兩邊越長角就越大D.經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線

【答案】C

【分析】本題考查了角的概念，周角，平角，直角的定義，確定直線的條件，熟練掌握相關(guān)

概念是解答本題的關(guān)鍵.

根據(jù)1直角=90。.1周角=360。，1平角=180。.確定直線的條件，分析每一個選項，只有C

不正確，由此選出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意得:

A選項中，1直角=90。，!周角二90。，此選項說法正確，故不符合題意；

4

B選項中，1周角二360。，2平角=360。，此選項說法正確，故不符合題意；

C選項中，角的大小與角為兩邊長度無關(guān)，此選項說法不正確，故符合題意：

D選項中，經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有?條直線，此選項說法正確，故不符合題意.

故選：C.

舉一反三2(2024上?黑龍江大慶?六年級?？计谀?用放大2倍的放大鏡看30。的角，看到

的角的度數(shù)是()

A.30°B.60°C.90°D.不確定

【答案】A

【分析】角的大小和邊的長短無關(guān)，與角張升的角度的大小有關(guān)，血放大鏡看到的角，放大

的只是角的邊，所以，無論用多少倍的放大鏡看角，角的大小都不變，可據(jù)此解題.

【詳解】解：由題意得用放大10倍的放大鏡看30。的角，看到的度數(shù)是30。.

故選：A

【點(diǎn)睛】解析此題考查的是角的大小的比較，角的大小的比較，不是比較邊的長短，而是比

較角的張開的角度的大小.

舉一反三3(2025上?吉林松原?七年級校聯(lián)考期末)在/AQ8的內(nèi)部引一條射線，圖中共

有3個角：若引兩條射線，圖中共有6個角：若引〃條射線，圖中共有個角.

【答案】；(〃+2)(〃+1)

【分析】本題主要考查圖形變化類的規(guī)律題，每兩條射線組成一個角，一條射線與其他射線

都能組成一個角，當(dāng)引出n條射線時，此時共有(〃+2)條射線，其中每一條射線與剩余(川+1)

條射線都組成一個角，可組成(〃+1)個角，(〃+2)條射線可組成的角(〃+2)(〃+1)個角，但

每個角都算了兩次，則引出n條射線能組成：(〃+2)(〃+1)個角.

【詳解】解：在/AOA的內(nèi)部引一條射線，圖中共有1+2=3個角;

若引兩條射線，圖中共有1+2+3=6個角；

若引n條射線，圖中共有1+2+3+…+(〃+1)=((〃+2)(〃+1)個角；

故答案是：+2)(〃+1).

題型2角的表示方法

例2(2025上?河北石家莊?七年級統(tǒng)考期中)下列圖形中，能用NO和N1表示同一個角的

是()

【答案】A

【分析】本題考杳了角的概念，熟記角的表示方法是解題關(guān)鍵.在頂點(diǎn)處只有一個角的情況,

才可用頂點(diǎn)處的一個大寫字母來記這個角.

【詳解】解：A、因為頂點(diǎn)。處只有一個角，所以這個角能用NO和N1,符合題意；

B、因為頂點(diǎn)。處不止一個角，所以這里的所有角均不能用NO表示，不符合題意：

C、因為頂點(diǎn)。處不止個角，所以這里的所有角均不能用/O表示，不符合題意：

D、因為頂點(diǎn)0處不止?個角，所以這里的所有角均不能用NO表示，不符合題意；

故選A.

舉一反三1(2025上?全國?七年級專題練習(xí))如圖所示，回答下列問題:

A

E

BC

⑴寫出能用一個字母表示的角：；

（2）寫出以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的角；

⑶圖中共有個小于平角的角.

【答案】ZAZC4ABE,/EBC,/ABC7

【分析】本題考查的是角的表示方法.

（1）確定以這個字母為頂點(diǎn)的角只有1個，從而可得答案；

（2）根據(jù)角的定義分別確定以B為頂點(diǎn)的角即可；

（3）分別確定以A,B,C,E為頂點(diǎn)的小于平角的角即可.

【詳解】（1）解：能用一個字母表不的先有：ZA,ZC.

故答案為：ZAZC.

（2）以B為頂點(diǎn)的角有：/ABE/EBCZABC.

故答案為：NABE,NEBC,NABC.

（3）圖中共有7個小于平角的角，分別是：NABE,NABC,/EBC,NA,/C,NBEA，

/BEC,共7個.

故答案為：7.

舉一反三2如圖所示，回答下列問題：

⑴寫出能用一個字母表示的角：

⑵寫出以點(diǎn)3為頂點(diǎn)的角：

⑶圖中共有個小于平角的角.

【答案】⑴NANC

（2jBE,/EBC,/ABC

(3)7

【分析】（1）確定以這個字母為頂點(diǎn)的角只有1個，從而可得答案；

（2）根據(jù)角的定義分別確定以B為頂點(diǎn)的角即可；

（3）分別確定以A,B,C,E為頂點(diǎn)的小于平角的角即可.

【詳解】（1）解：能用一個字母表示的角有：/A,NC.

故答案為：NA,ZC.

（2）以為頂點(diǎn)的角有：NABE、NA4C,NEBC.

故答案為：NABE,/ABC,NEBC.

（3）圖中共有7個小于平角的角，分別是：

NABE,ZABC,NEBC,—A,NC,/BEA,NBEC.

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】本題考杳的是角的表示方法,熟記角的含義與第的表示方法是解本題的關(guān)鍵.

題型3角的分類

例3（2024上?湖南婁底?七年級統(tǒng)考期末）在一副七巧板中，有我們學(xué)過的（）

A.8個銳角，6個直角，2個鈍角B.12個銳角，9個直角，2個鈍角

C.8個銳角，10個直角，2個鈍角D.6個銳角，8個直角，2個鈍角

【答案】B

【分析】根據(jù)一副七巧板圖形，查出銳角，直角和鈍角的個數(shù)即可.

【詳解】5個等腰直角三角形，5個直角，10個銳角，1個正方形，4個直角，1個平行四邊

形，2個鈍角，2個銳角，

在一副七巧板中根據(jù)12個銳角，9個直角，2個鈍角.

【點(diǎn)睛】本題考查角的分類，平面圖形，掌握角的分類，平面圖形是解題關(guān)鍵.

舉一反三1（2025上?全國?七年級專題練習(xí)）下列說法中，正確的有個

①小于90。的角是銳角：②等于90。的角是直角：③大于90。的角是鈍角：

④平角等于180。；⑤周角等于360。.

【答案】3

【分析】本題主要考查了銳角、直角、鈍角、平角以及周角的定義，屬于基礎(chǔ)題.掌握銳角、

直角、鈍角、平角以及周角的定義是解答本題的關(guān)鍵.實(shí)際解答時，要學(xué)會舉反例.

【詳解】①小于90。的角也可能是0。，不一定是銳角，原說法錯誤；

②等于90。的角是直角，說法正確；

③平角大于，鄉(xiāng)。。但不是鈍角，原說法錯誤；

④平角等于180。,說法正確;

⑤周角等于360。，說法正確，

故正確的有3個，

故答案為：3.

舉一反三2（2025匕湖北武漢?七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）因為鈍角大于90。，所以大于90。的

角就是鈍角.

【答案】x

【分析】根據(jù)鈍角的范圍即可作出判斷.

【詳解】解：團(tuán)鈍角的度數(shù)范圍是大于90。且小于180。，

團(tuán)原題說法錯誤，

故答案為：”

【點(diǎn)睛】此題考查了鈍角，熟練掌握鈍角的度數(shù)范圍是解題的關(guān)鍵.

題型4畫特殊角

例4（2024上?黑龍江哈爾濱?七年級統(tǒng)考期末）用一副三角板不能畫出的角是（）.

A.75°B.105°C.110°D.135。

【答案】C

【分析】105。=60。+45。，1。5。角可以用一幅三角板中的60。角和45。角畫;75。=45。+30。，75°

角可以用一幅三角板中的45。角和30。角畫；135。=90。+45。，135°角可以用一幅三角板中的直

角和90。角或45。角畫；110。角用一副三角板不能畫出.

【詳解】解：105。角可以用一幅三角板中的60。角和45。角畫;

75。角可以用一幅三角板中的45。角和30。角畫；

110°角用一副三角板不能畫出；

135。知可以用一幅三角板中的直角和90。角或45。角畫。

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考杳了利用一副三角板畫出的特殊角，找出規(guī)律是解決此類題的最好方法，應(yīng)

讓學(xué)生記住凡是能用一副三角板畫出的角的度數(shù)都是15。的整數(shù)倍.

舉一反三1(2024上?湖北武漢?七年級統(tǒng)考期末)畫圖，說理題

如圖，已知四個點(diǎn)A、B、C、D；

/?￡)?

⑴畫射線AO；

⑵畫線段BC；

⑶畫4CD；

⑷畫出一點(diǎn)P，使P到點(diǎn)A、B、C、。的距離之和最小，并說明理由.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

⑶見解析

⑷見解析

【分析】(1)過AO畫射線即可.

(2)連接B和C即可.

(3)分別以C為頂點(diǎn)畫射線C4、CO即可.

(4)連接8。，4C與80的交點(diǎn)就是P點(diǎn)位置，根據(jù)線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線段距離最

短；結(jié)合題意，要使它與四個村莊的距離之和最小，就要使他在AC與BO的交點(diǎn)處.

【詳解】⑴解：如圖所示：

(2)如圖所示;

(3)如圖所示;

（4）P點(diǎn)即為所求，

根據(jù)線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之訶，線段距離最短；

結(jié)合題意，要使它與四個村莊的距離之和最小，就要使他在AC與8。的交點(diǎn)處.

【點(diǎn)睛】本題考查了射線，線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線段距離最短.要求學(xué)生能靈活應(yīng)用所

學(xué)的知識，解決實(shí)際問題.

舉一反三2（2024上?安數(shù)宣城?七年級統(tǒng)考期末）（1）請在給定的圖中按照要求畫圖：

C

AB

①畫射線AB：

②畫平角回B4O：

③連接AC

（2）點(diǎn)從C分別表示兩個村莊，它們之間要鋪設(shè)燃?xì)夤艿?若節(jié)省管道，則沿著線段3c

鋪設(shè).這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是：.

【答案】（1）①見解析；②見解析；③見解析：（2）兩點(diǎn)之間，線段最短

【分析】（1）①根據(jù)射線的定義，作出圖形即可：②根據(jù)平角的定義，作出圖形即可；

③根據(jù)線段的定義，作出圖形即可；

（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決問題.

【詳解】解：（1）①如圖，射線AB即為所求；

②如圖，團(tuán)BAD即為所求；

③如圖，線段AC即為所求；

（2）沿著線段BC鋪設(shè).這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是：兩點(diǎn)之間線段最短.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線，射線，平角的定義，線段的基本事實(shí)，熟練掌握直線是兩端

都沒有端點(diǎn)、可以向兩端無限延伸、不可測量長度的線；射線是只有一個端點(diǎn)，它從一個端

力、向另一邊無限延長不可則量長度的線；直線上兩個點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段；網(wǎng),點(diǎn)之

間線段最短是解題的關(guān)鍵.

舉一反三3（2024上?廣西玉林?七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知/MON,按下列要求畫圖.

（1）在NMON的內(nèi)部畫射線OP：

（2）畫NMOQ,使QN在NMOQ的內(nèi)部：

（3）在完成（1）、（2）后,圖中共個角，并寫角的名稱.

【答案】（1）見解析；（2）見解析：（3）6；/MOP、"ON、NMOQ、/PON、/POQ、

4NOQ

【分析】（1）根據(jù)射線的定義即可作圖OP：

（2）根據(jù)角的定義即可作圖/MOQ；

（3）根據(jù)角的定義，有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形即可求解.

【詳解】解：（1）如圖，射線OP為所作；

（2）如圖，/MO。為所作；

（3）圖中共有6個角，它們?yōu)橐襑OP,ZMON,NMOQ,4PON,4POQ,NN。。.

【點(diǎn)睛】此題主要考查角的定義及作圖，解題的關(guān)鍵是熟知角的構(gòu)成及定義.

題型5鐘面角

例5<2025上?陜西西安?■二年級?？茧A段練習(xí)）鐘表上顯示的時刻是10點(diǎn)30分時，時針與

分針?biāo)傻慕鞘牵ǎ?/p>

A.75°B.120°C.135°D.150°

【答案】C

【分析】本題考查了鐘面角.根據(jù)時鐘上一大格是30。進(jìn)行計算即可解答.

【詳解】解：由題意得:

4x300+-x30°=135°,

2

團(tuán)鐘表10點(diǎn)30分時，時針與分針?biāo)傻慕鞘牵?35。，

故選：C.

舉一反三1（2025上?陜西西安?七年級?？茧A段練習(xí)）每天早上9點(diǎn)10分我們的“課間操

分享”活動都會如約而至，此時時針與分針?biāo)鶌A的角為（）

A.165°B.145°C.150°D.160°

【答案】B

【分析】本題考查了鐘面角，根據(jù)先求出時針指向9,分針指向2時的度數(shù)，再減去時針從

9點(diǎn)到9點(diǎn)10分的過程中，實(shí)際轉(zhuǎn)動的角度可得答案，掌握時針和分針每分鐘走過的角度是

解題關(guān)鍵.

【詳解】解：畫出鐘面圖，如卜：

若時針指向9,分針指向2時的度數(shù)為：曾x5=150。，

但實(shí)際上從9點(diǎn)到9點(diǎn)10分時，時針繞鐘表中心旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為30。、2=5。，

60

故鐘面上時針和分針的夾角為150。-5。=145。，

故選：B.

舉一反三2（2025上?廣西梧州?七年級統(tǒng)考期末）從2忖整到3時35分，時針轉(zhuǎn)過的角度

是（）

A.25°B.65°C.47.5°D.75°

【答案】C

【分析】本題考查鐘表分針?biāo)D(zhuǎn)過的角度計算.因為鐘表上的刻度是把一個圓平均分成了

7

12等份，每一份是30。，從2點(diǎn)到3時35分，時針轉(zhuǎn)過了1萬份，再計算度數(shù).

【詳解】解：團(tuán)從2點(diǎn)到3時35（分），時針轉(zhuǎn)過了1+3￡5=1二7大格，

7

回轉(zhuǎn)過的角度是1乃x30。=47.5。.

故選：C.

舉一反三3（2025上?陜西西安?七年級?？茧A段練習(xí)）每天下午第一節(jié)課的時間是2:15分，

則2:15時的分針與時針夾角是度.

【答案】22.5

【分析】本題主要考查了鐘面角，根據(jù)鐘面的特點(diǎn)可知2:15時分包指向數(shù)字3,時針在數(shù)

字2和3之間且走了!大格，再求出一大格的度數(shù)即可得到答案.

【詳解】解：團(tuán)2:15時分針指向數(shù)字3,時針在數(shù)字2和3之間且走了。大格，

4

團(tuán)此時分針與時夾角是寫、（1-￡|=22-5°，

故答案為：22.5.

舉一反二4（2025匕江蘇鹽城?七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）"時鐘里的數(shù)學(xué)問題J時鐘是找

們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｓ玫纳钣闷罚姳砩系臅r針和分針都繞其軸心旋轉(zhuǎn)，如圖1，表盤中1—

12均勻分布，分針60分鐘轉(zhuǎn)動一周是360。，時針60分鐘移動一周的《是30。，這樣，分

針轉(zhuǎn)速為每分鐘轉(zhuǎn)6度，時針轉(zhuǎn)速為每分鐘轉(zhuǎn)g度.

【課題學(xué)習(xí)】三點(diǎn)二十分時，時針與分針?biāo)山嵌榷嗌俣?？解決這個問題，可以先考慮三點(diǎn)

整，時針與分針?biāo)山嵌葹?0。；從三點(diǎn)到三點(diǎn)二十分，我們可以先計算分針轉(zhuǎn)動的角度，

20x6=120°,時針轉(zhuǎn)動佗角度，20x1=10°,120-（904-10）=20°,三點(diǎn)二十分時，時針與

⑴三點(diǎn)三十分時，時針與分針?biāo)山嵌仁?。，三點(diǎn)四十分時，時針與分針?biāo)山嵌仁?/p>

⑵如圖2,十二點(diǎn)鐘時，時針與分針重合，在十二點(diǎn)鐘到十三點(diǎn)鐘之間，小明發(fā)現(xiàn)存在著時

針和分針垂直的情況，請求出具體的時刻：

⑶當(dāng)時針和分針?biāo)山嵌葹?80。時形成一條直線，這條直線剛好平分鐘面，我們將這洋的

時刻稱為“美妙時刻”，如圖3,六點(diǎn)整就是一個美妙時刻，從0時到24時共個美妙

時刻.

【答案】⑴75；130

（2）在12：岑或12：得時，時針與分針垂直

⑶22

【分析】本題考查了鐘面角的計算、一元一次方程的應(yīng)用：

（1）先求出從三點(diǎn)開始分針旋轉(zhuǎn)的角度，再求出時針旋轉(zhuǎn)的角度，利用最終差值公式即可

求解；

（2）設(shè)從十二點(diǎn)開始過了x分鐘時針與分針垂直，最終差值可以是90?；?70。，分類討論：

當(dāng)最終差值為90。時，當(dāng)最終差值為270。時，利用最終差值公式即可求解.；

（3）再次到達(dá)美妙時刻時，相當(dāng)于分針比時針多旋轉(zhuǎn)一周，時針每分鐘旋轉(zhuǎn)0.5。，分針每

分鐘旋轉(zhuǎn)6。，則時針每分鐘少旋轉(zhuǎn)5.5。，則可求得下一個美妙時刻所經(jīng)過的時間為

720

360子5.5=丁丁分，再利用一天的時間除以下一個美妙時刻所經(jīng)過的時間即可求解；

熟練掌握題干中鐘面角的最終差值的計算方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：三點(diǎn)整時，時針與分針?biāo)傻慕菫?0。，從三點(diǎn)到三點(diǎn)三十分，分針?biāo)?/p>

轉(zhuǎn)的角度是30x6。=180。，時針?biāo)D(zhuǎn)的角度為30xg=15。，

???三點(diǎn)三十分時，時針與分針?biāo)山嵌仁?80。-（90。+15。）=75。，

三點(diǎn)到三點(diǎn)四十分時，分針?biāo)D(zhuǎn)的角度是40x60=240。，時針?biāo)D(zhuǎn)的角度為40x；=20。，

二.三點(diǎn)三十分時，時針與分針?biāo)山嵌仁?40。-（90。+20。）=130。，

故答案為：75；130.

（2）設(shè)從十二點(diǎn)開始過了x分鐘時針與分針垂直,

由題意得：分針旋轉(zhuǎn)角度-（初始角度+時針旋轉(zhuǎn)角度）=最終差值，當(dāng)時針與分針垂直時,

最終差值可以是90。或27（）。,

當(dāng)最終差值為90。時，6A--X=90,

2

“a180

解得：X=

當(dāng)最終差值為270。時，6A--A=270,

心心540

解得：工二丁「，

綜上所述，在12：詈或1Z岑時，時針與分針垂直.

（3）再次到達(dá)美妙時刻時，相當(dāng)于分針比時針多旋轉(zhuǎn)一周，時針每分鐘旋轉(zhuǎn)0.5。，分針每

分鐘旋轉(zhuǎn)6。,

則時針每分鐘少旋轉(zhuǎn)5.5。,

??倒達(dá)卜」個美妙時刻需要的時間為360+5.5=7畀20分,

?天有24x60=1440分鐘,

一，八720M

1440+---=22,

11

即一天有22個美妙時刻,

故答案為：22.

題型6方向角的表示

例6（2024上?廣東湛江?七年級?？计谀┤鐖D，/AOB是直角，則射線08表示的方向是

A.南偏西55°B.南偏東55。C.北偏西35。D.北偏東35。

【答案】B

【分析】本題考查了方向角.熟練掌握角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

如圖，由題意知，NC08=180。-35。-90。，然后判斷作答即可.

【詳解】解:如圖,

由題意知，ZCOB=180°-35°-90°=55°,

團(tuán)射線OB表示的方向是南偏東55。,

故選：B.

舉一反三1（2025上?黑龍江綏化?六年級校考期中）以學(xué)校為觀測點(diǎn)，廣場在西偏北30。

的方向上，如圖中正確的是（）

【分析】本題考查了方位角，根據(jù)方位角的定義即可求解:熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：以學(xué)校為觀測點(diǎn)，廣場在西偏北30。的方向上的是：

舉一反三2科技館在博物館的北偏西30。方向，那么博物館在科技館的（）方向.

A.北偏西30cB.南偏東30cc.西偏北60cD,東偏南30c

【答案】B

【分析】方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目

標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)成北（南）偏東（西）多少度.根據(jù)定義就

可以解決.此題主要考查了方向角，描述方向角時:一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西.

【詳解】解：科技餌在博物館的北偏西30。方向，那么博物館在科技館的南偏東30。方向.

故選：B.

舉一反三3（2025上?陜西西安?七年級西安市西光中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在燈塔。處

觀測到輪船A位于北偏西54。的方向，NAOB=141°,那么輪船8在燈塔。的的方向上.

北

【答案】南偏東15。（或東偏南75。）

【分析】本題考查了方向角，根據(jù)題意得4=54。，進(jìn)而可得N2=15。，根據(jù)方向角的表示方

法即可求解，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖:

.-.Z3=9O°-Z1=36°,

Z4OB=141°,

/.Z2=ZAOB-Z3-900=15°,

90°-15°=75°,

則輪船9在燈塔。的南偏東15?；驏|偏南75。的方向上，

故答案為：南偏東15°（或東偏南75。）.

舉一反三4（2025上?黑龍江綏化?六年級?？计谥校└鶕?jù)圖示信息回答問題.

5:娛樂場"

龍?zhí)d：沖弋---/才....'

25t

*J"

,200*j體育館

⑴龍龍從家出發(fā)，先向東偏（）（）。方向走（）m,到達(dá)體育館，接著從體育館

向北偏（）（）°方向走（）m到達(dá)娛樂場.

⑵已知公園在龍龍家北偏東50。方向8（X）m處，電影院在體育館北偏西60。方向4（X）m處，請

你在圖中標(biāo)出公園和電影院的位置.

【答案】⑴南：30；600；東；25；400

（2）見解析

【分析】本題主要考查了方位角的實(shí)際應(yīng)用，熟知方位角的定義是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)體育館百龍龍家東偏南30度方向上且相距600米，娛樂場在體育館北偏東25度

方向上且相距500米進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)方位角的描述依據(jù)對應(yīng)的距離作圖即可.

【詳解】（1）解：由題意得，龍龍從家出發(fā)，先向東偏南30。方向走3x200=600m到達(dá)體

育館，接著從體育館向北偏東25。方向走2x200=400m到達(dá)娛樂場，

故答案為：南：30：600：東：25：400：

（2）解：如圖所示，電影院和公園的位置即為所求.

題型7與方向角有關(guān)的計算題

例7（2024上?浙江臺州?七年級統(tǒng)考期末）如圖，射線。4的方向是北偏東20。，射線。8的

方向是西北方向，則/A08的度數(shù)是（）

南

A.55°B.0°C.65°D,70°

【答案】C

【分析】本題考查了方向用的定義，解決本題的關(guān)鍵是計算出N80C得度數(shù).用方向角描

述方向時,通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊，故描述方向角時，

?般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西.根據(jù)方向角的定義，得到N8OC的度數(shù)，即可解

答.

南

同射線0B的方向是西北方向，

0Z5OC=45°

回射線OA的方向是北偏東20。，

0Z4OC=2O°

即ZAOB=NAOC+ZBOC=65°

故選：C

舉一反三1（2025上?北京西城?七年級北師大實(shí)驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從