2024?2025學(xué)年陜西省榆林三中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題紿出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合4={x\x2<4},B={x\0<%<3},則4AF=()

A.(0,3)B.(0,2)C.(-2,3)D.(-2,0)

2.已知復(fù)數(shù)z=-2+i,貝ij()

A.z的虛部為/B.\z\=5C.z=-2-tD.z>z

3.已知平面向量N=(3,-2),b=(1,入+1),若近_Lb,則4=(

AJB-3C-4D--l

4.已知m,n,I為三條不同的直線，a,0為兩個不同的平面，若an/?=l,mua,nu°,且m與幾異面,

則（）

A.i至多與m,幾中的一條相交B」與m,九均相交

C.1與m,ri均平行D」至少與?n,n中的一條相交

01

5.已知Q=logo.92025,b=2O24,c=log20252024,則()

A.a<b<ca<c<bC.c<a<bD.b<c<a

6.在△力8c中,內(nèi)角4B,C的芯邊分別為a,b,c,且4=%cosC=浮,c=4,則Q=()

A3B.竿244

A?亍D.472

7.如圖是一個正方體的展開圖，若將它還原為正方體，則（）H

C__G

A.AF1CHD

A

B.CH//BDR

C.E/與"共面

D.”與8G異面

8.中國冶煉鑄鐵的技術(shù)起源于春秋時期，并在戰(zhàn)國時期取得了顯著的進(jìn)步，推動了當(dāng)時社會的發(fā)展.現(xiàn)將一

個半徑為2cm的實(shí)心鐵球熔化后，澆鑄成一個圓臺狀的實(shí)心鐵錠（不考慮損耗），若該圓臺的一個底面周長

是另一個底面周長的2倍，高為2cm,則該圓臺的表面積為（）

(40+12E)TTc(80+24門1)n2

A.7CTKl2B.---------C1TT

C(40+2；\E&2?(804-12\HT)TT2

7nD.----------cm￡

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.下列關(guān)于空間幾何體的敘述錯誤的是（）

第1頁，共13頁

A.底面是正方形的棱錐是正四棱推

B.任何一個幾何體都必須有頂點(diǎn)、棱和面

C.有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺

D.一個棱柱至少有5個面

10.已知三個非零向量優(yōu)石，則下列命題正確的是（）

A.耘=3及則點(diǎn)=看

B.若位+方|=\a-h\,則WJL石

C.若同＞的,則方或4〈一方

D.若刃/瓦則（石1）?五=伍々）?石

II.若4,全是復(fù)數(shù)，則下列說法錯誤的是（）

士

1貝D

+ZEM

1

B若33

Z1=Z2=Z2

C.若Z1Z2WR,|z21H0,則aER

z2

D.若zj+Z；=0,則Zi=Z2或Zi=-z2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.用斜二測畫法作一個水平放置的平行四邊形的直觀圖，若直觀圖是一個角

為45。，邊長為2的菱形，則原來的平行四邊形的面積為

13.若亡即。=—3,則sE2。=.

14.如圖，正方體4BCO-的棱長為2,N為/Ci的中點(diǎn),若過當(dāng)。

的平面a〃平面CND],則a截該正方體所得截面圖形的面積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題13分）

已知更數(shù)=1+ini,z2=（〃J-6機(jī)十7）—2i（rnER,i為虛數(shù)單位）.

（1）若z=Zi+Z2為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；

（2）若3=昌在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求m的取值范圍.

16.（本小題15分）

在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為Q,b,c,且siMA+V3sin8sinC=siMB+siMc

第2頁，共13頁

(1)求角4的大?。?/p>

(2)若Q=2bcosC,判斷△4BC的形狀并說明理出.

17.(本小題15分)

如圖，已知四棱錐P-ABC。中，底面力BCD為平行四邊形，點(diǎn)M,N,Q分別是P4BD,PD的中點(diǎn).

(1)求證：MN〃平面PCO：

(2)求證：平面MNQ〃平面PBC.

18.(本小題17分)

已知二次函數(shù)/(%)滿足/(0)=2,函數(shù)g(x)滿足g(x-1)=4x-7,且不等式f(%)+g(x)<0的解集為(-

14).

(1)求/(%)的解析式;

(2)若關(guān)于％的不等式/'(3X)>(2m-1)-3X+*對任意的xeR恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

19.(本小題17分)

如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC,ADLAB,CD=1,AD=2,AB=3,E,"分別是線段8c和DC上

的動點(diǎn)，4E交80于點(diǎn)M,且屁=入近，DF=(1-A)DC,A€[0,1].

(1)若荏?灰=0,求；I的值；

(2)當(dāng)4=1時,求器的值;

JUu

⑶求|而+；通|的取值范闈.

第3頁，共13頁

故選：D.

根據(jù)線線之間的位置關(guān)系分析即可.

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：知a=，ogo.92025,b=2024°,,。=1。920252024,

則10go.92°25<log。9,=0=刑920251<，。920252024<Zo^202s2025=1=2024°<2024%

所以QVcVb.

故選：B.

根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小.

本題主要考查數(shù)值大小的比較，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：在△月3c中，由的式二手，ce(0,7t),

得sEC=V1-COS2c=J1一(^^)2=I，

由正弦定理得高=嬴,

A=TC=4，

所以。=等=等=早.

7

故選：A.

利用同角公式及正弦定理列式求解.

本題主要考查三角函數(shù)的同角公式，以及正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，畫出該正方體的直觀圖，

H(F)a。

對干4AC=AH=CH,為等邊三角形，4尸與CH所成的角為全/錯誤;

第5頁，共13頁

對千B：CH與BD異面，8錯誤；

對于C：直線E/與8G相交，所以直線E/與8G共面，。正確；

對于。：AF//8G，直線力"與8G共面，。錯誤.

故選：C.

畫出該正方體的直觀圖，根據(jù)直線共面，異面直線和直線夾角遂行判斷，得到答案.

本寇考查直線與平面的位置關(guān)系，解題中注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：將一個半徑為2cm的實(shí)心鐵球熔化后，澆鑄成一個圓臺狀的實(shí)心鐵錠（不考慮損耗），若該圓

臺的一個底面周長是另一個底面周長的2倍，高為2cm,

可得圓臺體積V=[兀R3=亭cm?,

?3O

如圖所示，設(shè)圓臺較大的底面半徑為。遇=2r,則較小的底面半徑為O28=r,

于是P1（nr2+47n*2+271T2）.2=苧，解得r=*cm,

過點(diǎn)B作88110遇，垂足為B],由圓臺的結(jié)構(gòu)特征得88]1底面01，

母線1明=卜S）2+22=需,

圓臺表面積S=4（*）2+（靜/+（春+3）.端I]=絲竽弛（加2）.

故選：B.

根據(jù)給定條件，利用球的體積公式、圓臺的體積公式列式求出圓臺兩底半徑，進(jìn)而求出圓臺的母線即可求

出表面積.

本題主要考查圓臺的表面積和體積，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】ABC

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對于4底面是正方形，且頂點(diǎn)在底面上的射影為底面正方形的中心的四棱錐是正四棱錐，力錯誤；

對于B，球沒有頂點(diǎn)和棱，B錯誤；

對于C，將兩個相同的梭臺的底面重合得到的多面體滿足有兩個可互相平行，具余各面都是梯形，但是這樣

第6頁，共13頁

的多面體不是棱臺，C錯誤；

對于D，棱柱的底面至少有3條邊，所以一個棱柱至少有5個面，。正確.

故選:ABC.

根據(jù)空間幾何體的定義和特點(diǎn)逐個選項(xiàng)判斷即可.

本題考查楂錐、棱臺、棱柱的結(jié)構(gòu)特征，注意棱錐、棱臺、楂柱的定義，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABD

【解析】解:已知三個非零向量演b,c,

對于4因?yàn)楣?3瓦

乂六正所端=嵩=看，

故,4正確：

對干8,因?yàn)樨?臼=\d-b\.

所以伍+方￥=(a-by,

即必+于+2a-b=五2+鏟_2無反

所以五7=0,

所以五通，

故B正確；

對于C,因?yàn)橄蛄坎荒鼙容^大小，

故C錯誤：

對于。，因?yàn)槲濉ǚ?/p>

又力W0,

所以存在實(shí)數(shù)上使得5=入方，

所以(石?五=Q方?書五=20?a?合石=m?司疝=入0?書優(yōu)

故D正確.

故選:ABD.

根據(jù)向量的數(shù)量關(guān)系及數(shù)乘運(yùn)算律判斷4應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律得五不=0判斷B；由向量的性質(zhì)即可

判斷C：應(yīng)用向量共線及數(shù)乘的運(yùn)算律判斷D.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了共線向量，屬中檔題.

11.【答案】BCD

第7頁，共13頁

【解析】解：4選項(xiàng)，設(shè)ZI=Q+/H',a,beR,由|z/=1,

2

得a?+b=1,zr+—=a+bi=a+bi+：=2aWR,故力選項(xiàng)正確：

Z\a+biQ'+'

B選項(xiàng)，當(dāng)Zi=1,Z2=-J+^i時，滿足z；=/，但ZiHZ2，故8選項(xiàng)錯誤；

4乙1

C選項(xiàng)，當(dāng)Zi=1+i,z2=1-i時，滿足2展2=(1+0(1-i)=26/?,

但＞言=湍f="凡故0選項(xiàng)錯誤；

。選項(xiàng)，當(dāng)Z1=1,Z2=i時，滿足Z；+Z2=0,但Z1工±Z2，故。選項(xiàng)錯誤.

故選：BCD.

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算即可判斷4舉例說明，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘方計算即可判斷BCD.

本題考查了復(fù)數(shù)的乘方計算，屬于中檔題.

12.【答案】8

【解析】解：根據(jù)題意，直觀圖是一個角為45。，邊K為2的菱形，則直觀圖的面枳5'=2(|x2x2x

sin45°)=272,

故原來的平行四邊形的面積S=2/IS，=8.

故答案為：8.

根據(jù)題意，求出直觀圖的面積，由原圖面積與直觀圖面積的關(guān)系，分析可得答案.

本題考查平面圖形的直觀圖，注意原圖面積與直觀圖面積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案1一稱

【解析】【分析】

本題主要考查正余弦齊次式的計算，屬于基礎(chǔ)題.

由已知結(jié)合二倍角公式及同先基本關(guān)系進(jìn)行化簡即可求解.

【解答】

解：因?yàn)閠an。=-3,

mil_2sin8cos8_2ta"_-3x2__3

川SW”-sin26+8s2g-l+taM6-l+(-3)2--5,

故答案為:

14.【答案】2/6

【脩析】解：根據(jù)題意可知，正方體/1BCO-力1勺。1歷的棱長為2,N為々g的中點(diǎn)，

如圖，取BC的中點(diǎn)E,的中點(diǎn)F,連接OE,B]E,B\F,FD,

第8頁，共13頁

囚為E,尸分別為3C,41。1的中點(diǎn)，所以尸Oi〃/N,FDi=B』,

所以四邊形FD1N4是平行四邊形，所以FB"/D]N,

又因?yàn)镈iNu平面CNOi，F(xiàn)/u平面CNOi，所以F/〃平面GVD〉

同理〃平面CNOi，

又BiECiF8i=8i，BiE,尸&u平面/DEBi，所以平面FDEB"/平面CN/,

即四邊形FDEB】為。截正方體所得截面圖形.

由上方體的棱長為2,易得四邊形FDE&是邊長為，石的菱形，

對角線即為正方體力BCD-A/GDi的體對角線叢。=CV孕=2/3.

又EF=,22+22=2幾

所求截面的面積S=x2x/~3x2>!~2=2V~6.

故答案為：2，^.

取BC的中點(diǎn)E,久久的中點(diǎn)凡先利用面面平行判定定理證明平面FDE/〃平面CNDi，得出四邊形FDE%

為a截正方體所得截面圖形，易得四邊形FDE%是菱形，求得該菱形的邊長即可求得面積.

本題考查了面面平行判定定理，屬于中檔題.

15.【答案】4；

(-U).

2

【解析】(1)解：由復(fù)數(shù)Zi=l+mi,z2=(m-6m+7)-2i,

22

得z=zY+z2=1+rni+(zn-6m+7)—2i=(zn—6m+8)+(m-2)i,

???復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，8=0,解得m=4；

(m-2Ho

(2)解：由Zi=14-mi,

4g-zi-1+而_(l+mi)(lT)_1+m.叱￡?

討l+11+i一(l+i)(l-0-22'

號解得TVmVl.

?.?3二含在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，??.

—<0

第9頁，共13頁

.?.實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(一LI).

(1)根據(jù)題意，化簡得到2=(巾2一6血+8)+(771-2)，，根據(jù)復(fù)數(shù)2為純虛數(shù)，列出方程組，即可求解；

(2)根據(jù)題意，化簡得到3=嚶+早i,根據(jù)3在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，列出不等式組，即

可求解.

本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】解：(1)在△A8C中，因?yàn)镾1MA十，3smBs/nCnslMB+slMc,

所以由正弦定理得。2=b2+c2-\[3bc,

余弦定理得cos/=":丁=苧，

而0VAe7T,

所以4=3

O

a+bc

(2)因?yàn)閍=ZbcusC=2bx0丫=-

、/2abaf

故"-c2-Qt即=c,

所以△力BC為等腰三角形.

【解析】⑴由正弦定理化簡已知等式可得。2=b2+c2_6賢,利用余弦定理可求cosA的值，結(jié)合0VAV

兀，可求力的值；

(2)利用余弦定理即可化簡得解.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】證明：⑴由題意：四棱錐P-48CD的底面48CD為平行四邊形，木

點(diǎn)M,N,Q分別是尸4BD,的中點(diǎn)，ZZI\D

N是"的中點(diǎn)，

???MN//PC，

又?；PCu平面PCD,MNP平面PCD,

MN//平面PCD.

(2)由(1),知MN"PC,

???M,Q分別是24，PD的中點(diǎn)，

:.MQ//AD//BC,

又丁BCu平面P8C,PCu平面P8C,BCPC=C,

第10頁，共13頁

MQu平面MNQ,MNu平面MNQ,MQCMN=M,

二平面MNQ//平面PBC.

【解析】(1)推導(dǎo)出四棱錐P—48co的底面ABC。為平行四邊形，MN//PC,由此能證明MN//平面PCD.

(2)推導(dǎo)出MN〃PC,MQ//AD//BC,由此能證明平面MNQ//平面P8C.

本題考查線面平行、面面平行的證明，考杳空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算

求解能力，是中檔題.

18.【答案】/(X)=2x2-3x4-2：

m<V-2—1.

【解析1解：(1)根據(jù)題目所給：三知二次函數(shù)/?(%)滿足/X0)=2,

函數(shù)g(x)滿足g(x-1)=4x-7,且不等式/'(￥)+gQ)<0的解集為(一1,1).

由g(x—1)=4%—7,得g(x—1)=4(%—1)-3,則g(x)=4x-3,

由二次函數(shù)/(%)滿足/'(())=2,設(shè)f(x)=ax2+bx+2(a*0),

不等式f(%)4-g(x)<0,即a*+(方+4)x—1<0,

依題意，-1］是方程Q%2+(b+4)x-1=0的二實(shí)根，且

于是-1+J=-"±-1xJ=-1，解得a=2,b=-3,

2a2a

所以/■(X)的解析式為/■(%)=2%2-3x+2.

(2)由(1)知，f(x)^2x2-3x+2,

不等式/'(3、)>(2m-1)?3、+9*o2(3X)2-3-3X+2>(2m-1)-3X+(3X)2=2m+2W3、+得，

依題意，不等式2m+2工對3人任意的恒成立，

而3、>0,3*+、N2J3*告=277,當(dāng)且僅當(dāng)3、二得，即3、時取等號，

因此2m+2W2V7,解得mWJI-1,

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m<V2-1.

(1)求出函數(shù)g(x),設(shè)出/(%)的解析式，利用給定的解集求出參數(shù)得解析式.

(2)由(1)的結(jié)論，等價變形不等式，分離參數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)值域及基本不等式求出最小值即可求解.

本題考查函數(shù)恒成立問題，涉及等價變形不等式，分離參數(shù)，屬于中等題.

第11頁，共13頁

19.【答案】；I=4

4

DM7

~DB=W'

13/5CT1

rI10

【解析】(1)在直角梯形ABCD中，AB//DC,ADLAB,CD=1,AD=2,48=3,

則=1RC=2/2,

因?yàn)檐?就=(近+AFC)-5C=^5-FC+AFC2=0,

可得一3x271x芋+82=0,

所以;l=*

(2)因?yàn)檐?AB+BE=XB+ABC=