2024-2025學(xué)年四川省廣元市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.sml5°cosl5°=()

2.已知復(fù)數(shù)z=3+i,貝弦在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.收集到一組數(shù)據(jù)：10,20,30,70,80,90,100,110,則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）

A.85B.90C.95D.100

4.有一組樣本數(shù)據(jù)叼，叼，…，xn,其平均數(shù)和方差分別為京s2.由這組數(shù)據(jù)得到一組新樣本數(shù)據(jù)為，先，

…，%，其中%=4/+3（，=1,2,…,①，其平均數(shù)和方差分別為9,s'2,貝N）

A.y=4xB.y=4尤+3C.s'2—4s2D.s'2-4s2+3

5.已知五=（—3,4）,b=（2,-1）,則日在石上的投影向量的模為（）

A.2B.275C.AA5D.|

6.已知直角梯形的上底長為1,下底長為2,高為四，則直角梯形繞下底所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何

體的表面積為()

A.(2AA3+3)兀B.(2AA3+4)兀C.(4，5+3)兀D.(3，5+4)兀

7.已知sin?+a)=q,cos(與+S)=1|,a6印片)邛6?片)，貝!Jcos(a—￡)=()

人56

16B噌D

AF6565-H

8.設(shè)P（久i，%）和Q（＞2,%）是以原點。為圓心的單位圓上的兩個點，乙POQ=氏且］＜。＜兀,sin（0+令=

奇，則+%%的值為（）

4334

A--5B-5C5D5

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知直線小，n和平面a,0,則下列命題中真命題是（）

A.若?！ā?m//a,則ni〃S

B.若m〃7i,m1a,則n1a

C.若nuq,m//n,則

D.若a±S，ml/?,7nta,則zn〃a

10.下列式子正確的是()

A.sml5°+cosl5°=￥B.cos75°=源:方

L4

C.a&(0,9時，sina<tanaD.tan!20+tan33°+tanl2°tan33°=1

11.正方體ZBCD-EFGH的棱長為2,AP=PE,CM=yCE{ye(0,1)),FQ=A￡T+M(A,M￡[0,1],且

|A|+豐0).下列結(jié)論正確的是()

A.\PQ\+|QC|的最小值為，正

B.若2=2”，則EQ〃平面BPG

C.若；I==I，則四面體QBPF的體積為？

D.點M到直線BG的距離的最小值為空

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知某地區(qū)有小學(xué)生12000人，初中生11000人，高中生9000人，現(xiàn)在要了解該地區(qū)學(xué)生的近視情況，

準備抽取320人進行調(diào)查，則按比例分配的分層抽樣應(yīng)該抽取高中生—一人.

13.在△ABC中，角力，B,C的對邊分別為a,b,c,若2asin14=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,則4=

14.在四棱錐P—ABC。中，底面ABC。為等腰梯形，PB1底面4BCD.若PB=AB=CD=4。=1,BC=

2,則這個四棱錐的外接球表面積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

如圖，在正方體4BCD-A/QDi中，

(1)求證：名。1平面4/。1；

(2)求直線和平面&DCB]所成的角.

A

16.(本小題15分)

某校高一年級共1000名學(xué)生參加“墨香盈校，書韻伴行”讀書節(jié)知識競賽，學(xué)校隨機抽取了若干份試卷對

其得分(滿分100分)進行統(tǒng)計，按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5組,制成如圖所

示的頻率分布直方圖.

(1)求a的值；

(2)用樣本估計總體，試估計本次讀書節(jié)知識競賽得分的中位數(shù)(保留一位小數(shù))；

(3)用樣本估計總體，試估計本次讀書節(jié)知識競賽得分不低于80的人數(shù).

17.(本小題15分)

如圖，在RtA4BC中，ABAC=90°,AB^AC=1,荏+而=6,點尸為邊8c上靠近點8的三等分點.

(1)求證：CE1AF；

(2)求NAFC的余弦值.

18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐E—4BCD中，BC1平面力BE,BC//AD,且4D=2BC=2,F是DE的中點.

(1)證明：DA1CF；

(2)若BA=BE=2,直線CF與直線DB所成角的余弦值為手.

(i)求四面體4BDE的體積；

(苴)求二面角E-DC-B的正弦值.

19.(本小題17分)

已知函數(shù)/(X)=2cos(3X+0)+V-2(0<a><2,0<<p<^).

請在下面的三個條件中任選兩個解答問題.

①函數(shù)/(久)的圖象過點(0,2，為；

②函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點?，，為對稱；

③函數(shù)/(久)相鄰兩個對稱軸之間距離為2.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)若切是函數(shù)/(X)的零點，求cos⑶或到”的值組成的集合;

(3)當ae(—2,0)時，是否存在a滿足不等式/(2a+|)>f(a)?若存在，求出a的范圍；若不存在，請說明

理由.

答案解析

1.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查二倍角正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.

由正弦的二倍角公式變形即可解之.

【解答】

解：因為si?12a=2sinacosa,

1i

所以sinl5°cosl5°=-sin300=

L4

故選：A.

2.【答案】D

【解析】解：復(fù)數(shù)z=3+i,貝3=3-i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為(3,-1),位于第四象限.

故選：D.

求出W在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標即可.

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解:因為8x75%=6,

所以該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是也羅=95.

故選：C.

根據(jù)百分位數(shù)的定義求解.

本題主要考查了百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：因為％=4%+3(i=l,2j“,n),

所以新樣本數(shù)據(jù)為，%，…，%的平均數(shù)為y=41+3,方差為S'2=42S2=16S2.

故選:B.

利用平均數(shù)和方差的性質(zhì)求解.

本題主要考查了平均數(shù)和方差的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：由已知，貝皈在3上的投影向量的模為臀=瞿=2=.

\b\V5

故選：B.

根據(jù)平面向量的投影向量的模的定義進行求解.

本題主要考查平面向量的投影向量，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解:由題意直角梯形的上底長為1,下底長為2,高為門，

繞下底所在的直線旋轉(zhuǎn)后所得幾何體如圖所示：

所得幾何體為一個圓錐與一個同底的圓柱的組合體，

由題意可得，0D=BC=gCD=1,48=2,

AD=VXO2+OD2=2,

底面圓的面積為TTX(<3)2=3兀，

故圓錐的側(cè)面積為兀xx2=2/兀，

圓柱的側(cè)面積為2兀XAA3x1=2737T，

所以所得幾何體的表面積為3兀+2<3TT+2/37T=(3+4<3)TT.

故選：C.

先確定旋轉(zhuǎn)后的幾何體為一個圓錐與一個同底的圓柱的組合體，然后由圓柱與圓錐的側(cè)面積公式求解即

可.

本題考查了空間旋轉(zhuǎn)體的理解與應(yīng)用，圓錐與圓柱的側(cè)面積公式的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與空間想象

能力，屬于中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：因為ae有，為，所以3+aeS，：),

由sing+a)=—|,得cos(*+a)=-J1-(-|)2=一'

因為/?e6,為，所以1+￡e(兀,2兀),

由cos岑+S)=也得sin岑+S)=_J1_(守=-A,

所以sin嗎+a)-(Y+6)1=sin?+a)cos岑+S)-cos?+a)sin岑+￡)

312,4、，5、56

=一耳義行一(一二)*(一記)=一在，

由sin[?+a)-(^+[)]=sin(a-B-令=-cos(a-0),所以cos(a一夕)=||.

故選：D.

根據(jù)題意，求出cos@+a)和sin(牛+/?),得出sin[?+a)-耳+/?)],由此求出cos(a-0)的值.

本題考查了三角函數(shù)的求值運算問題，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：因為sin(J+1)=W(s譏。+cos。)=呆所以s譏。+cos。=:①，

4Z1U□

112

所以1+2sin3cos0=(sin3+cosd)2=—,sin3cos3=——,

49

則1—2sin9cos。=(sin3—cosB)2=—,

因為6G（，,"）,sindcosO<0,所以cos。<0,sind>0,sin6—cosO>0,

貝!JsinJ—cos3=（②，

由①②得,sinO=I，cosO=-I，

所以%i%2+yi，2—OP?OQ=1x1xcosO=—|.

故選：B.

根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)，可得sin。+cos。，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及。范圍可得sinOcos。,

sind-cos。，再根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標表示可得第1牝+y，2的值.

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及向量的數(shù)量積，屬于中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解：若戊〃，，m//a,則zn〃S或?nu',所以/選項錯誤;

若租〃幾，mLa,則九_La,所以8選項正確；

若nua,mJ",則m〃a或mca,所以C選項錯誤；

若al。，ml)5,m<ta,則m〃a,所以D選項正確.

故選：BD.

根據(jù)空間中各要素的位置關(guān)系，逐一判斷即可.

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

10.【答案】ACD

【解析】解：由題意得s譏15。=sin(45°—30°)=sin45°cos30°—cos45°sin30°=

4

cosl5°=cos(45°—30°)=cos45°cos30°+sm45°sm30°=

所以sinl5。+cosl5。=疾二代+—=乎，cos75。=s譏15。=可知A正確，B錯誤;

44Z4

當aG(0,1)時，sina>0,且」一>1,

'2，cosa

]

所以sina—tana=sina(l-----)<0,可得sina<tana,故。項正確；

、cosa，

由tan45°=tan(12°+33°)=1,可得署胃等券=1,

所以tcml2°+tan33°=1-tan12°tan33°,可得tcml2°+tan33°+tanl20tan33°=1,故。項正確.

故選：ACD.

根據(jù)兩角和與差的三角函數(shù)公式求出s,15。、cosl5。與cos75。的值，即可判斷出48兩項的正誤；根據(jù)銳角

的三角函數(shù)值為正數(shù)，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系判斷出C項的正誤；根據(jù)tan45。=tan(12。+33。)，運

用兩角和的正切公式進行推導(dǎo)，可判斷出。項的正誤.

本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式等知識，屬于基礎(chǔ)題.

1L【答案】BCD

【解析】解：如圖，以E為原點建立空間直角坐標系,

對于4因而=兩,則P為2E中點,又2(0,0,2),￡(0,0,0),C(2,2,2),

則P(0,0,l),從而「關(guān)于%0丫平面對稱點為七(0,0,-1),

則|PQ|+\QC\=|PiQ|+\QC\>\P±C\=,22+22+32=/17.

當且僅當Pl,Q,C三點共線時取最小值，故A錯誤；

對于8,因尸(2,0,0),"(0,2,0),

貝I前=(2,0,0)，防=(0,2,0)，

則的=2前+〃麗=(2尢2出0)對于8,因尸(2,0,0),H(0,2,0),

則前=(2,0,0)，EH=(0,2,0),貝。的=%前+〃麗=(24,24,0),

又B(2,0,2),G(2,2,0),則麗=(2,0,1),同=(2,2,—1),

設(shè)平面BPG法向量為瓦=01，%,為)，則1%,?=2/+z】=°,

I方?PG=2x1+2y1-z1=0

取%i=l,則蘇=(1,-2,-2),則的?蘇=2；1-4”，因4=2出

則的?元=0,又易得EQa平面BPG,貝|EQ〃平面BPG,故B正確；

對于C,由B分析，的=(2,1,0)，貝i]Q(2,l,0),

1-1o

則四面體QBPF的體積為味BPF=:SABPF'Q=^x2x2xl=1,故C正確；

對于。，因而=丫謂⑶e(0,1))，貝”由=—y就，又反?=(2,2,2)，

則由=(一2%-2y,—2y)，又德=(0,0,-2)，GB=(0,-2,2)，

則前=(—2y,—2y,2—2y)，詢在南方向上的投影向量的模為：噂第=*=合，

則M到直線BG的距離為Jg而2-2=J8y2+(2-2y乃一2=J12y2-8y+2=J12(y-1)2+|>

口=至,

N33

當且僅當y=g時取等號，故。正確.

故選：BCD.

如圖以E為原點建立空間直角坐標系.對于4做出P關(guān)于xOy平面對稱點P「當B，Q,C三點共線時取最

小值；對于B,求出平面BPG法向量加驗證的.%是否為。即可判斷選項正誤；對于C,由題可得

<2(2,1,0),則四面體QBPF的體積為為_BPF；對于由題可得M到直線BG的距離為石彳二代入題中數(shù)

據(jù)可判斷選項正誤.

本題考查棱錐的體積，屬于中檔題.

12.【答案】90

【解析】解：由題意可知，按比例分配的分層抽樣應(yīng)該抽取高中生的人數(shù)為V：黑…X320=90

人.

故答案為：90.

根據(jù)分層隨機抽樣的定義求解.

本題主要考查了分層隨機抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】y

【解析】解：因為2asim4=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,

由正弦定理可得2a2=2b2+be+2c2+be,

整理可得：b2+c2-a2=-bc,

由余弦定理可得接+c2-a2=2bccosA,

可得cos/=-2，而AE(0,7T),

可得a=y.

故答案為：y.

由正弦定理，余弦定理可得cos力的值，再由角4的范圍，可得角4的大小.

本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.【答案】57r

【解析】解：如圖,

因為底面4BCD為等腰梯形，AB=CD=AD=1,BC=2,

BC—AD-TJ-

所以cos乙48c=—七一=』故乙48c=百，

所以等腰梯形48CD的外接圓圓心為線段BC中點M,

則四棱錐的外接球球心。在過點M且與平面2BCD垂直的直線上，

又PB1底面ABCD.所以球心。在線段PC中點處，

所以R=竿=亭故四棱錐的外接球表面積為4兀底=5兀.

故答案為：57r.

根據(jù)題意作出圖形，先結(jié)合條件求出等腰梯形4BCD的外接圓圓心位置,再由四棱錐的特征得到外接球球

心。的位置，從而求出外接球的半徑和表面積.

本題主要考查求幾何體外接球表面積，屬于中檔題.

15.【答案】證明過程見解析；30°.

【解析】解：(1)證明：如圖所示，連接Bi%,

因為。1平面41Gu平面a/iGDi，

所以g1&Q,

又因為Bi。1J.右。[，B[D]CtDD]=D「B1D1,￡)￡>iu平面

所以&Q，面。。/],而OB】u平面OD/i，從而461DB1,

同理可證BC11平面DC2,

而。8Iu平面DCBi，所以BC】1DB「

又因為力iG1DB],ZiGnBC】=G，4iQ,BC】u平面a/G，

所以i平面a/Q；

(2)設(shè)BC1GB1C=M,連接&M,

由(1)得BM!_平面AjOCBi，

則即為直線和平面&DCB1所成角的平面角,

又4/u平面&DCBi，

所以BMl&M,

在RtA&BM中，ArB=<2,BM=號,

、

所LL以rlsi.n/BcA4iM”=—BMr=-1,

A-[DZ

又0。</.BA^M<90°,

所以NB&M=30°,

即直線&B和平面A/CBi所成的角為30。.

(1)只需證明41GIDBi，BCr1DB1,再結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證；

(2)設(shè)BCiGBiC=M,連接&M,根據(jù)BM，平面&DCB1，可得NB&M即為直線和平面所成角

的平面角，再解RtA&BM即可.

本題考查線面垂直的判定，以及線面角的計算，屬于中檔題.

16.【答案】a=0.004；

77.4；

400.

【解析】(1)由頻率分布直方圖可得10x(0.038+0.034+0.018+0.006+d)=1,所以a=0.004；

(2)因為(0.004+0.018)X10<0.5,(0.004+0.018+0.038)X10>0.5,

所以本次讀書節(jié)知識競賽分數(shù)的中位數(shù)在[70,80)這一組，

設(shè)本次讀書節(jié)知識競賽分數(shù)的中位數(shù)為％,則(0.004+0.018)x10+0.038(%-70)=0.5,解得x?77.4,

所以估計本次讀書節(jié)知識競賽分數(shù)的中位數(shù)為77.4；

(3)由頻率分布直方圖可得讀書節(jié)知識競賽分數(shù)不低于80的頻率為(0.034+0.006)X10=0.4,

用樣本估計總體，可以估計讀書節(jié)知識競賽分數(shù)不低于80的人數(shù)為1000X0.4=400,

所以估計本次讀書節(jié)知識競賽分數(shù)不低于80的人數(shù)為400.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖即可求解；

(2)根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(3)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)即可求解.

本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)，屬于中檔題.

17.【答案】證明過程見詳解；

~10~,

【解析】(1)證明：因為NB4C=90。，AB=AC=1,荏+箱=6,點尸為邊8c上靠近點8的三等分點,

可得E為力B的中點，AB-AC=0,且B=C=45。，BC=42,

所以荏-AF=(AE-AC)-(AB+BF)=(jxfi-AC)-(AB+|fiC)

11

=AB-硝?河+可函-AB)]

1一一2一1一

=-AC)-^AB+^AQ

—料C-^AB-AC=0,

所以而1宿

即CE14F；

(2)解：因為行-CF=((XB+BF)?|CB=|(Zfi+-CB=-CB-

=1171B|?|CB|cosl35°—^x2=—|xlxV_2x(―苧)—[='，

\AF\=AF=AB2+BF2-2AB-BFcosB=1+1-2xlx等X年=§\CF\=CF=等，

vJ。4DD

所以cos<黨，F(xiàn)C>=cos<M==

3X3

所以cos乙4FC=cos<FX,FC>=

(1)由題意可證得布?通=0,即證得結(jié)論；

(2)求出而?不?的值，AF,CF的值，進而求出都與而夾角的余弦值，進而求出N4FC的余弦值.

本題考查用向量的方法證明直線與直線垂直及角的余弦值，屬于中檔題.

18.【答案】證明過程請見解答；①嬰；㈤苧.

o4

【解析】(1)證明：取4E的中點H,連接FH,BH,

因為F是DE的中點，所以4D〃FH,AD=2FH,

XBC//AD,且4D=2BC=2,

所以BC〃FH,BC=FH,即四邊形BCF”是平行四邊形,

所以C77/BH,

因為BCJ_平面ABE,BC//AD,所以AD1平面ABE,

又BHu平面ABE,所以AD1BH,

所以力D1CF.

(2)解：⑴連接DH,

因為BA=BE=2,H是AE的中點，所以BH14E,

由(1)知,AD1BH,

因為4En4D=4,AE.ADu平面力DE,所以1平面4DE,

又DHu平面力DE,所以B”1DH,

由(1)知，CF//BH,

又直線CF與直線DB所成角的余弦值為手，所以cosNDB”=苧，

44

在RtABD“中，BD=+/」2=2Gcos乙DBH=邙=黑=瞿，即=C，

4DDZV2

所以AE=2AH=2-JAB2-BH2=2J22-(\A3)2=2，即仆ABE是邊長為2的等邊三角形，

所以四面體4B0E的體積為％TBE=累0-S4ABE=|-2-|-2-73=^.

(ii)取4B的中點M,連接EM,貝帕MlAB,且EM=門，

因為力。1平面ABE,EMu平面ABE,所以4。1EM,

XABCtAD=A,AB、ADu平面48CD,所以EM1平面4BCD,

過點M作MN1CD于點N,連接EN,則NMNE即為二面角E-DC—B的平面角，

在直角梯形48CD中，CM=，I，DM=CD=/5，

而ACDM的面積S=^MN.CD=3CM.JCD2-(^CM)2.

所以MNJ(后日-存產(chǎn)即時'=亮，

所以EN=7MN2+EM2=J(左下+(O=等

3__

所以sin/MNE=瑞=蠱=邛，

7T

故二面角E-DC-8的正弦值為蟲.

4

(1)取力E的中點H,連接F”，BH,先證四邊形BCFH是平行四邊形，可得CF//BH,再證4。1BH,從而

得AD1CF；

(2)(i)連接。H,先證BH,平面ADE,得BHJ.DH,再由CF〃BH,知cosADB”=乎，進而知BH=C，

然后利用棱錐的體積公式，求解即可；(ii)取4B的中點M,連接EM,先證EM，平面4BCD,再過點M作

MNLCD于點、N,連接EN,由三垂線定理知NMNE即為所求，然后結(jié)合等面積法與銳角三角函數(shù)求解即

可.

本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面垂直的判定與性質(zhì)定理，棱錐的體積公式，以及二面角的定

義與求法是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：（1）若選①②，

①由/■(())=得2cos0+，！=2/2,即COSR=苧，又0<R<狙<p=%

②若/(%)的圖象關(guān)于點,俏)對稱；

則2cos+^)-0,得藪3+.=/C7T+即3=2/OT+1，kEZ,

v0<<2,k=0時,3=]，

則/(%)=2coscx+》+

若選①③，

①由f(0)=2，"^得2cos0+V-2=2V-2,即cosp=苧，又。<cp<5得口=

③函數(shù)/(%)相鄰兩個對稱軸之間距離為2.則3=2,

即7=4,則稱=4,得3=

則/(%)=2cos6%+$+V~2.

若選②③，

③函數(shù)/(%)相鄰兩個對稱軸之間距離為24心=2,

即T=4,則4=4,得3=

co2

②若/(%)的圖象關(guān)于點對稱；

則2cosgx卷