2024-2025學(xué)年四川省瀘州市老窖天府中學(xué)高二(下)期中考試

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.在(%+|)4的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為()

A.6B.8C.12D.24

2.記S九為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和,若g+%=1。，。4a8=45,則S5=()

A.25B.22C.20D.15

3.從4件合格品和2件次品共6件產(chǎn)品中任意抽取2件檢查，抽取的2件中至少有1件是次品的概率是()

A.|B$C.|D.|

4.函數(shù)/(%)=2ex-cos》的圖象在汽=0處的切線方程為()

A.%—y+l=0B.%—y+2=0C.2%—y+2=0D.2%—y+1=0

5.函數(shù)/(%)=(%2-2%)e”的圖象大致是()

..JU,

if1Bn\rx

6.已知數(shù)列｛5｝滿足的=卷a“+i=即+島^則a“=()

313131

A-2~nB.2—RC.-HD2+n

7.某班有4B,C,D,E五名同學(xué)要排成一排進(jìn)行拍照,其中B同學(xué)不站在兩端，C,。兩名同學(xué)相鄰,

則不同的排列方式種數(shù)為()

A.12B.24C.36D.48

8.如圖，已知Fi，F(xiàn)2為雙曲線E：胃一，=l(a>0,b>0)的左、右焦

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)6,尸2分別作直線4，%交雙曲線E于4B,C,。四點(diǎn)，使得

四邊形2BCD為平行四邊形，且以4。為直徑的圓過(guò)6,|西j=|麗j,

則

雙曲線E的離心率為()

A"B.73

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知10個(gè)互不相同的樣本數(shù)據(jù)的，久2，…，久10的平均值為總則關(guān)于新樣本數(shù)據(jù)乂2，…，乂10，X，下

列說(shuō)法正確的是()

A,極差不變B.平均數(shù)變大C.方差變小D.中位數(shù)變小

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：f二叔的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)。(4,0)的直線Z與拋物線C交于4B

兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.對(duì)任意直線1,均有乙4OB=］B.若|2D|=2|BD|,則|ZF|+|BF|=11

C.AOAB面積的最小值為16D.以A8為直徑的圓與C的準(zhǔn)線不可能相切

11.已知函數(shù)f(x)=/+。K2+ex+d在(-8,0］上是增函數(shù)，在［0,2］上是減函數(shù)，且方程f(x)=0有3個(gè)不

等實(shí)根，它們分別為小，n,2,貝1」()

11

A.實(shí)數(shù)c為。B.而+益為定值C./(l)>3D.|m-n|>3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知數(shù)列滿足的=1,an+1=TpOGN*),則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an=

13.函數(shù)f(%)=%-s譏％的零點(diǎn)為.

14.設(shè)函數(shù)/⑶=2+ln^,a】=1,廝=/(；)+/($+/?)+…+/(?)何GN*,n>2).設(shè)數(shù)列｛an｝的

前幾項(xiàng)和治,則辿型的最小值為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

等比數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且的+a3=10,4說(shuō)=a2-a6.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛n?冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和〃?

16.(本小題15分)

A,B,C三個(gè)班共有120名學(xué)生，為調(diào)查他們的上網(wǎng)情況，通過(guò)分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的上網(wǎng)時(shí)

長(zhǎng)，數(shù)據(jù)如表(單位：小時(shí))：

Z班121313182021

B班1111.512131317.520

C班1113.5151616.51921

(I)試估計(jì)4班的學(xué)生人數(shù)；

(II)從這120名學(xué)生中任選1名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生一周上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)15小時(shí)的概率；

(III)從4班抽出的6名學(xué)生中隨機(jī)選取2人，從B班抽出的7名學(xué)生中隨機(jī)選取1人，求這3人中恰有2人一周

上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)15小時(shí)的概率.

17.(本小題15分)

如圖，在直三棱柱ABC—ZiBiG中，AB1AC,。為力的中點(diǎn).

(1)證明：ABil平面AiBD；

(2)若二面角A-BC-。的余弦值為?，求點(diǎn)力到平面BCD的距離.

4

18.(本小題17分)

已知函數(shù)/(%)=/—2%+alnx.

(1)若a=-4,求f(%)的極值；

(2)若。＞0,求函數(shù)/(%)的單調(diào)增區(qū)間；

(3)若。＞0,函數(shù)/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)久1，%2，第2，不等式/(%1)＞血%2恒成立，求實(shí)數(shù)血的取值范圍.

19.(本小題17分)

焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線E,其頂點(diǎn)到漸近線的距離為苧，直線過(guò)點(diǎn)P(-，虧,0)與雙曲線的左、右支分別

交于點(diǎn)4、B.

(1)求雙曲線E的方程；

(2)若4對(duì)=而，求直線AB的斜率；

(3)若點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C在第三象限，且SMOB〉2sAAPC，求直線48斜率的取值范圍.

答案解析

1.【答案】D

【解析】解：(%+勺4的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：/+1=c：x4-r?(|)『=C>2『?x4-2r,

令4-2r=0,解得r=2,則常數(shù)項(xiàng)為盤(pán)?22=24.

故選：D.

由二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式可得答案.

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：方法一：設(shè)等差數(shù)列｛a"的公差為d,首項(xiàng)為的，依題意可得，

。2+。6=+d+&+5d=10,即%+3d=5,

又a4a8=(ai+3d)(ai+7d)=45,解得：d=1,%=2,

所以=5a1+望Xd=5X2+10=20.

故選：C.

萬(wàn)法—>：u，2+cig-2a4■101a4a8—45,所以=5,ctg=9,

從而d==1,于是(13=a4—d=5—1=4,

所以S5=5a3=20.

故選：C.

方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列｛即｝的公差和首項(xiàng)，再根據(jù)前n項(xiàng)和公式即可解出；

方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)即可解出.

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查概率的求法，考查對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思

想，屬于基礎(chǔ)題.

抽取的2件中至少有1件是次品的對(duì)立事件是抽取的2件都是合格品，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求

出抽取的2件中至少有1件是次品的概率.

【解答】

解：從4件合格品和2件次品共6件產(chǎn)品中任意抽取2件檢查，基本事件總數(shù)n=北=15,

抽取的2件中至少有1件是次品的對(duì)立事件是抽取的2件都是合格品，有廢，

.??抽取的2件中至少有1件是次品的概率是：0=1一q=1-4=|.

Cg155

故選：C.

4.【答案】C

【解析】解：由已知得：切點(diǎn)為(0,2),

又/'(X)=2ex(cosx—sinx),

所以k=r(0)=2,

所以切線方程為：y=2%+2,即2x—y+2=0.

故選：C.

求出導(dǎo)數(shù)，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程.

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，指數(shù)函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.

利用函數(shù)的零點(diǎn)排除選項(xiàng)，結(jié)合比的變化趨勢(shì)，推出y的變化趨勢(shì)，推出結(jié)果即可.

【解答】

解：

函數(shù)/(久)=(/-2功〃有2個(gè)零點(diǎn)：0,2,

故選項(xiàng)A,B錯(cuò)誤;

當(dāng)x->—oo時(shí)，y-0,故。錯(cuò)誤.

故選：C.

6.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，&1+1=%1+宗量，則％i+i-與=；一Kp

貝!|斯=(an-an_1)+(an-i-an_2)+???...+(a2-a1)+=-+(1...+(言-

1、_31

/—2n

故選：A.

根據(jù)題意，由Q九+i=冊(cè)+/無(wú)變形可得的i+i-%i=忌匕=n~Nr進(jìn)而可得%=（%i-%i-1）+

11111111

（an-l-an-2）+-+（a2-。1）+的=]+（1-抄+（2一百）+（§一彳）...+一據(jù)此分析可得答

案.

本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，涉及數(shù)列的求和，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：已知有a,B,C,D,E五名同學(xué)要排成一排進(jìn)行拍照，其中B同學(xué)不站在兩端，C,。兩名

同學(xué)相鄰，

則C,。兩名同學(xué)相鄰，所以有彩種,

又因?yàn)锽同學(xué)不站在兩端，所以有心種，其他同學(xué)（CD看作一個(gè)整體）進(jìn)行排列有業(yè)種,

所以不同的排列方式種數(shù)為花艙“=24.

故選:B.

將C,。捆綁，先排B同學(xué)，再將其余同學(xué)（CD看作一個(gè)整體）全排列.

本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：設(shè)|。&|==久，則|。尸21=久一2a,

由雙曲線的對(duì)稱性和平行四邊形的對(duì)稱性可知：|CBI=MFil=x,

連接C6,則有|CFi|=|CFzl+2=久+2。，

|￡?C|=\DF2\+\CF2\=2x-2a,

由于心在以力D為直徑的圓周上，DF11

???4BCD為平行四邊形，AB//CD,：.DF11DC,

在直角三角形CD當(dāng)中，ICFJ2=IDFJ2+\CD\2,（K+2a）2=/+（2x—2a）2,

解得：x=3a,\DF1\=3a,|DF2|=a；

222

在直角三角形尻尸2。中，+\DF2\=I&F2E，（3a）+a?=（2c）,

得5a2=2c2,e

故選：D.

利用雙曲線的定義，幾何關(guān)系以及對(duì)稱性，再利用平行四邊形的特點(diǎn)，以及點(diǎn)在圓周上的向量垂直特點(diǎn),

列方程可解.

本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線離心率的求解等知識(shí)，屬于中等題.

9.【答案】AC

【解析】解：因?yàn)闃O差是數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差值，新樣本數(shù)據(jù)/，％2，…，X10,1的最大值和最小

值與原樣本數(shù)據(jù)與，久2,…，久10的最大值和最小值相同，

所以極差不變，故A正確；

因?yàn)榇?久2，…，勺0的平均值為￡，

所以新樣本數(shù)據(jù)與，久2，…，久10,1的平均值為把汽產(chǎn)出==后故B錯(cuò)誤；

設(shè)X],%2,....”10的方差為S2,則新樣本數(shù)據(jù)的方差為2110s2+G—房溝=^s2,

所以方差變小，故C正確；

根據(jù)中位數(shù)的概念可知，中位數(shù)可能變小，也可能變大，故。錯(cuò)誤.

故選:AC.

根據(jù)極差、平均數(shù)、方差、中位數(shù)定義理解及求法判斷各項(xiàng)的正誤.

本題主要考查了極差、平均數(shù)、方差和中位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ACD

【解析】解：由題意可知直線/的斜率不為0,故設(shè)其方程為久=my+4,設(shè)4(無(wú)1，%)，BQ2,月)聯(lián)立

(x=my+4

ly2=4x'

M>02

得必-4my-16=0則,Yi+y2=47n①，則反.OB=xrx2+yty2=(當(dāng)力)+=16—16=0，

6,2=一1616

則。41OB,故A正確；

因MD|=2|BD|,則yi=-2%與①式聯(lián)立得，m2=|F,則|4尸|+|BF|=小+刀2+2=m(yi+%)+

10=4m2+10=12,故B錯(cuò)誤：I%—J(月+內(nèi)尸—4yly2=716nl'+64,

2

則S/OAB=3x\OD\'\yr-y2\=8Vm+4>874=16,

等號(hào)成立時(shí)m=0,故C正確；

取線段4B的中點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E往準(zhǔn)線作垂線，垂足為N,

因+久2=m(.yi+丫2)+8=4m2+8,則E(2m2+4,2m),

22222

則|EN|=2m+5MBi=U1+m21yl—y2\=V1+m-V16m+64>則|4E|=2^/(1+m)(m+4),

貝!1|4E|2-\EN\2=4(l+m2)(m2+4)=(2m2+5)2=-9<0即|4E|<\EN\,則以4B為直徑的圓與C的

準(zhǔn)線相離，故。正確.

故選：ACD.

a設(shè)直線/的方程與拋物線方程聯(lián)立，再計(jì)算反?命=與犯+%%即可；B利用|力叫=2田叫可得當(dāng)=

-2y2，再與韋達(dá)定理結(jié)合求出血的值，再利用拋物線定義求解即可；C利用Jo.=gx?|月-即

可；。取線段4B的中點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E往準(zhǔn)線作垂線，垂足為N,計(jì)算|4E|,\EN\,再比大小即可.

本題考查直線與拋物線的綜合，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：因?yàn)?'(X)=x3+bx2+ex+d,所以尸(x)=3x2+2bx+c.

因?yàn)楹瘮?shù)/'(久)在(-8,0］上是增函數(shù)，在［0,2］上是減函數(shù)，

所以x=0是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，則［(0)=0,

將x=0代入/'‘(%)=3/+26x+c,c=0,故A正確；

其中一個(gè)根為0，即((0)=。今c=0,

另一根：3x+26=0=>x=—

所以/(%)=/+b%2+4，又方程/(%)=0有3個(gè)不等實(shí)根,它們分別為血，n,2.

所以/(%)=(%—2)(%—Til)(x—n)=x3—(m+n+2)%2+(2m+2n+mn)x—2mn.

由2m+2九+mn=0n—+-=一孑為定值，故3正確.

mn2

yC—b=m+n+2

［d=-2mn

由/'(2)=0n8+4b+d=0=d=—8—46

當(dāng)b=-3時(shí),d=-8+12=4,此時(shí)/'(久)=x3—3x2+4=(久一2)2(x+1),

所以〃久)=0只有兩個(gè)根，與/(久)=0有3個(gè)不等實(shí)根矛盾，所以6<-3.

因?yàn)?(I)=i+b+d=l+b-8-4b=-3b-7,

因?yàn)?<-3,所以/(I)>2,無(wú)法確定”1)>3,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?m—n)2=(m+n)2—4mn=(-b—2)2+2d=(-6—2)2+2(—8—4b)=(b—2)2—16,

因?yàn)?<—3,所以(6—2)2—16>(—3—2)2—16=9,所以|ni—故。正確.

故選：ABD.

先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可判斷出((久)=0有兩個(gè)解，一個(gè)是0,另一個(gè)大于2,可求c的值及b的取值范圍;

再根據(jù)方程/■(久)=0有三個(gè)不同實(shí)根，可得/'(x)=(x-2)(%-m)(久-?1),處理可得nt,n與b,d的關(guān)

系，接下來(lái)可逐項(xiàng)判斷選項(xiàng)的準(zhǔn)確性.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案”

n

【解析】解：由題意得W0,

再由廝+1=三，得二一=貯=1+工，

Qn+1?n+l0九an

ii

-------=1,又Q]=1,

可得數(shù)列｛a｝是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，

11

則不=1+(n-1)=n,即冊(cè)=

故答案為：

n

先取倒數(shù)，再得出｛(｝是等差數(shù)列結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算即可.

本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題.

13.【答案】0

【解析】解：/(x)=x-sinx,易得/'(0)=0,

又由「(X)=1-cosx,則f'(x)>0,故/'(x)在R上為增函數(shù)，

故函數(shù)/(久)=x-s譏久有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，即久=0.

故答案為：0.

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式易得”0)=0,分析函數(shù)的單調(diào)性易得函數(shù)/(久)=x-s譏x有且僅有1個(gè)零點(diǎn),

即可得答案.

本題考查函數(shù)零點(diǎn)的計(jì)算，注意函數(shù)零點(diǎn)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】?

【解析】解:因?yàn)閒(x)=2+In?,

所以f(x)+f(l—久)=2+ln一+2+ln±=4,

當(dāng)nN2時(shí)，即=/(；)+/(9+/?)+???+/(?)(!)，廝=〃/)+/(?)+…+〃；)②，

①+②得，2azi=[/(；)++[/(9+/(^^)]+…+[/(J~~)+f(》]=4+4+…+4=4(n-1),

所以冊(cè)=2(n-l)(n>2),

因?yàn)榈?1,所以an=[鼠_]),b；，

當(dāng)n=1時(shí)，顯土型=21；

n

當(dāng)幾22時(shí)，Sn=1+2+4+…+2(幾-1)=1+(2+2\)(nT)=n2_幾+1,

由[、1si+20n2-n+2121.

所以z丁=1^=n+豆一1'

而函數(shù)y=x+2—1在(0,丁五)上單調(diào)遞減，在(，五,+8)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)y=x+~~1在久=I處取得最小值，

因?yàn)閚eN*,所以當(dāng)ri=4時(shí)，無(wú)±型=基當(dāng)八=5時(shí)，刈±型=今，

n4n5

顯然苧>5所以無(wú)土型的最小值為茶

45n5

故答案為：

由/Q)+/(l-%)=4,結(jié)合倒序相加法，求得數(shù)列｛%J的通項(xiàng)公式，再確定目的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出

史亞的最小值.

n

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的求法，熟練掌握倒序相加法，對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查

分類(lèi)討論思想，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

15.【答案】解：(1)｛5｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公比為q,且q>0,由的+。3=10，

4cig—a2,46,

l^P4a?！猘2,=a/

得：q2=4,所以q=2.

由%+CI3=a1+4al=5al=10,得到a1=2

所以數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式為％,=2n.

(2)由條件知，&=1x2+2x22+3x23+…+幾x2"……①

又2加=1x22+2X23+3X24+???+nX2n+1......②

將兩式相減：即①-②可得一〃=2+22+23+-+2n-nx2n+1=2(2n-1)-nx2n+1=(1一

n)2n+1-2,

所以七=(n-l)2n+1+2.

故得數(shù)列｛n?5｝的前n項(xiàng)和〃=(n-l)2n+1+2.

【解析】(1)根據(jù)｛a“｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛a(的公比為q,且q>0,由的+a3=1。，

4退=口296,即可求解q、的的值，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)由數(shù)列｛幾?a"是差比數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法即可求解前幾項(xiàng)和加.

本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查等比數(shù)列、錯(cuò)位相減法等基礎(chǔ)知

識(shí)，以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

16.【答案】解：由題可得：A,B,C三個(gè)班抽取的人數(shù)分別為6,7,7,共有20人；

(I)由題可得：4班的人數(shù)估計(jì)為：120義力石=36人；

6+7+7

(H)抽取的20人中，網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)15小時(shí)的有：3+2+4=9；

.?.從這120名學(xué)生中任選1名學(xué)生，這名學(xué)生一周上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)15小時(shí)的概率為：4；

(III)從4班抽出的6名學(xué)生中隨機(jī)選取2人，從B班抽出的7名學(xué)生中隨機(jī)選取1人，共有抽法：XC^=105

種；

這3人中恰有2人一周上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)15小時(shí)的抽法有：①均來(lái)自4班，有髭X己=15種；

②一個(gè)來(lái)自4班，一個(gè)來(lái)自8班，有?x?xC=18種；

故共有：15+18=33種;

?.這3人中恰有2人一周上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)15小時(shí)的概率為：蓋=費(fèi).

【解析】先根據(jù)已知求得力，B,C三個(gè)班抽取的人數(shù)分別為6,1,7,共有20人;

(I)直接根據(jù)其所占比例求解即可;

(II)求出表中網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)15小時(shí)的人數(shù)所占比例即可求解結(jié)論;

(III)先求出基本事件的總數(shù)，再求出符合條件的個(gè)數(shù)，相比即可求解.

本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用以及用樣本估計(jì)總體和排列組合知識(shí)的應(yīng)用，是對(duì)知識(shí)的綜合考查.

17.【答案】解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅瘟/B為正方形，所以

ABr1//,

因?yàn)?4i_L平面4/1且&C1u平面Z/iG，所以Z&lAiCi，

由481AC,得/1。11/1當(dāng)，

又A4inZ/i=&,AA±u平面AZ//,A1B1u平面A4//,所

以AG1平面44//,x

又他u平面44$/,所以A1C11ZB1，

又C&G=4,ArBu平面a/D,AGu平面A/D,

所以AB1，平面&BD；

(2)由⑴知,AB,AC,44]兩兩互相垂直，

則以力為原點(diǎn)，AB,AC,44]所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)4C=2a(a>0),則4(0,0,0),5(73,0,0),C(0,2a,0),D(0,a,y/l),

所以前=(_，^,2a,0),CD=(0,-cz,/3),

設(shè)元=(x,y,z)是平面BCD的一個(gè)法向量，則g,吧=一晝+2ay=°,

[n?CD=-ay+V3z=0

令y=V"^，則久=2a,z=a,所以記=(2a,a)為平面BCD的一個(gè)法向量，

由題知，平面ABC的一個(gè)法向量為記=(0。1),

因?yàn)槎娼莂-Be-。的余弦值為C,

4

則|cos(沅，元>|=黑=3^=?，解得a=L所以記=(2,門(mén),1)，

因?yàn)檠?(73,0,0),所以點(diǎn)4到平面BCD的距離為d=警==苧.

【解析】(1)由線面垂直的判定定理可證41G1平面44/1B,從而證得41G1AB1，再由線面垂直的判定

定理即可證明；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)4C=2a(a>0),求出平面BCD和平面ABC的法向量，由向量的夾角公式建立

方程可求出a,再由點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可.

本題考查線面垂直的證明和點(diǎn)到平面距離的求法，二面角的求法等，屬于中檔題.

18.【答案】極小值為-4萬(wàn)2,無(wú)極大值；

當(dāng)0<a<：時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,上手)及(如產(chǎn),+8)；當(dāng)a2g時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間

為(0,+8);

3

(-co,---ln2].

【解析】(1)當(dāng)a=—4時(shí)，/(%)=x2—2x—4)％,%>0,

則,(嗎=2x-2--=2田*2)=2生2)空1),

XXX

所以當(dāng)久6(0,2)時(shí)，f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x6(2,+8)時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),

所以函數(shù)只有極小值，為/'(2)=-4Zn2；

(2)因?yàn)?'(%)=2比-2+?=2x]丫丑,%>。,

又因?yàn)閥=2/—2+a的判斷別式/=4(1-2a),

1

好

時(shí)

當(dāng)a>

-2-/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

1

當(dāng)

O<a<時(shí)

2-

令/(久)=0,得刈=匕筍>0,久2=小尹>0,

此時(shí)廣⑺=

所以當(dāng)e(0,1一丁勺u(yù)(出產(chǎn),+8)時(shí),f(%)>o,

所以〃久)在(0,1一手巧及(上產(chǎn),+8)上單調(diào)遞增；

⑶由(2)知，當(dāng)0<a<g時(shí)，％1+%2=1，xix2=p

1

則0v刈<2v%

由/(%i)>zn%2恒成立，

即好—2勺+alnxr>mx2,

i2

即(1—%2)—2(1—%2)+2(1—冷)％21n(1—&)之瓶%2，

1

即TH<X-----F2(1—%2)ln(l—%2)，

2x2

1