2024-2025學(xué)年新疆昌吉州高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題紿出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.直線=0的傾斜角為（）

A.0°B.30°C.45°D.60°

2.在等差數(shù)列｛冊｝中0n>0,劭=11，QII=5,則由等于（）

A.-15B.15C.25D.-25

3.若橢圓與+<=l（a>埼）的長半軸長等于其焦距，則a=（）

QJ

A.2B.2\f2C.2\f3D.4

4.已知空間四邊形。一NBC,M,N分別是。48C的中點，且6J=五，OB=h,OC=c,用五，b,2表示向

量而為（）

A.1a+|S+|cB.+|c

C.-1a+|b+icD.-ia+15-ic

5.在等比數(shù)列｛%｝中,若%+。2=4,a3+a4=16,則電+。8=（）

A.16B.64C.256D.340

6.圓%2+產(chǎn)=4與圓工2+y+2）,一6=0的公共弦長為（）

A.1B.2C.<3D.2V3

7.棱長為1的正四面體產(chǎn)一/lBC中，P4與平面718c所成角的正弦值是（）

A.-B.-C.-D.—

La53/

8.已知%，％分別是雙曲線E：1f1=l的左、右焦點，M是E的左支上一點，過力作“1M尸2角平分線

的垂線，垂足為N,。為坐標(biāo)原點，則|ON|二（）

A.4B.2C.3D.1

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知等差數(shù)列｛的｝的前n項和為立，且公差d工0,。2+。30=16.則以下結(jié)論正確的（）

A.2a15+。18=24

B.若S8=$9，則d=y

C.若d=-2,則S”的最大值為S21

D.若a”，a16,%8成等比數(shù)列，則d=4

第1頁，共15頁

10.已知圓C：%2-4%+產(chǎn)=0直線八(m+i)x+2y-3-m=0,(mWR),貝ij()

A,直線竹亙過定點(1,1)

B.存在實數(shù)m,使得直線/與圓C沒有公共點

C.當(dāng)m=-3時，圓C上恰有兩個點到直線侑勺距離等于1

D.圓C與圓d+y2-2x+8y+1=0只有一條公切線

11.如圖，在校長為1的正方體力BCO-Ai/GDi中，點P在線段4C(包括端%____________G

點)上運動，則下列結(jié)論正確的是［)小

A.異面直線4P與A山所成角的取值范圍是/修)\jJ：,

B.平面4DP與平面4BCD所成夾角的余弦值取值范圍是［苧,1］*……\/C

C.三棱錐4-Pg。的體積為定值

D.當(dāng)P為B］C的中點時，P到BD］的跑離為華

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在數(shù)列｛%｝中,an+an+1=2n,則數(shù)列｛%｝前10項和的值為____.

13.已知直線。的一個方向向量為(4,a),直線，2的一個方向向量為(1—Q,2),若1i，。，貝g的直為____.

14.已知拋物線Qy2=2px(p>0),F為拋物線C的焦點，過點D(-*0)作直線交拋物線于48兩點，若

\AF\=6,\BF\=3,則拋物線。的準(zhǔn)線方程為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

己知直線八3x+y-6=0和圓心為C的圓42+丫2-2丫-4=0,判斷直線I與圓C的位置關(guān)系：如果相交，

求直線1被圓C所截得的弦長.

16.(本小題15分)

已知48兩點的坐標(biāo)分別是(一2,0),(2,0),直線AM,相交于點M,且直線AM的斜率與直線的斜率

的差為-4,記點M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)將曲線C向上平移4個單位得到曲線￡已知直線l：y=3x+2與曲線E有兩個不同的交點D,E,求而?布.

17.(本小題15分)

如圖，在直三棱柱力8。一481cl中，ACLBC,側(cè)面為正方形，AC=BC=2,D,E分別為ACX

的中點.

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(1)求證：0E〃平面B/gC；

(2)求點8到平面&DE的距離.

18.(本小題17分)

已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列,前n項和為又,滿足%+。4=1。，S7=49.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)求數(shù)歹U｛一的前71項和7\：

(3)是否存在正整數(shù)m.>2)使得;，工，,成等差數(shù)列？若存在，求出m.九的值：若不存在，請說

a2am知

明理由.

19.(本小題17分)

22

定義：若橢圓M：3+/=1(。>8>0)上的兩個點力(啊,3),8(叫痣)滿足竺詈+爺=1，則稱4B

為該橢圓的一個“共趣點對”，田點(血1，%)關(guān)于M的一個共挽點為(巾2，叫)，已知橢圓C的離心率為弓，且

橢圓。過點做2,1).

(1)求橢圓M的方程；

(2)求點A關(guān)于M的所有共枕點的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點P,Q在MI.,且所〃而，求點A關(guān)于M的所有共枕點和點P,Q所圍成封閉圖形面積的最大值.

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本題主要考查向量的運算法則，屬于基礎(chǔ)題.

如圖所示，連接。N,AN,利用向量的中點公式可得麗怎+沆＞AN=^（AC+AB）,即可得出.

【解答】

解：如圖所示，連接ON,AN,

則麗至+瓦）=：（5+7）,

一］一一

AN=^（AC+AB）

［一一一

=^（OC-2OA+OB）

=1（-2a+b+c）

=—a+；工，

所以而=2（而+而）

=-/d+齊+

故選C.

5.【答案】C

【解析】解:設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,

則。3+。4=q2（Qi+a2）,

由題意得16=4q2,解得q2=%

所以即+。8=《4（。3+04）=16x16=256.

故選：C.

由等比數(shù)列的性質(zhì)計算即可.

本寇考查等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

第5頁，共15頁

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)兩個圓的交點為4B,

圓>2+,2=4的圓心為（o,o）,半徑r=2,

+=4可得y=i,

x2+y24-2y-6=0

則48所在直線的方程為y=l,

(0,0)到直線48的距離d=l,

則|AB|=2xx/rz-d2=2<3,

故選:D.

根據(jù)題意，設(shè)兩個圓的交點為力、兒聯(lián)立.兩個圓的方程可得相交弦力B所在直線的方程，結(jié)合直線與圓的位

置關(guān)系分析可得答案.

本題考查圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及弦長的計算，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：如圖，過P作P。1平面ABC十點。，連接40,

則/尸4。即為P4與平面4BC所成角，

因為正四面體P—ABC棱長為1,

則0為448C的外心，則4。=IABCOS30°=

?5J

PO=VPA2—AO2=JM_(苧產(chǎn)=竽,

則sinzP/40=普=學(xué)

/Ai

所以P4與平面48C所成角的正弦值為手

故選：B.

作出線面角，由正四面體的性質(zhì)，即可求出其正弦值.

本題考查線面角的計算，屬于中檔題.

8.【答案】B

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【解析】解：Fi，尸2分別是雙曲線E：3-*=1的左、右焦點，M是E的左支上一點，過尸2作乙"M七角

平分線的垂線，垂足為N，。為坐標(biāo)原點，

則雙曲線[一4=1的實半軸長為a=2,

412

延長&N交直線于點出

H]\\

由題意有=|NH|=|NF2l，

又。是F1F2中點，

所以|0N|=撲倒=g(|M*一|MH|)=|(|MF2|-IMFJ)=a=2.

故選:B.

根據(jù)雙曲線的定義及中垂線的性質(zhì)求解

本題主要考查雙曲線的性質(zhì)應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】ABD

【解析】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得牝+。30=16=2%6=%6=8,又S”為數(shù)列｛冊｝的前n項和，

a

對干42a*+%8=由5+(由5+。18)=?15+%6+n=3a16=24,故4正確；

對于8,若S8=$9，則$9-58=。9=。，

所以09+7d=。16=d=5，故5正確；

對于C,若d=-2vo,則數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列，

又Gi6+4d=a20=。，則工的最大值為S19或S20，故C錯誤；

對于0,若由5，Q16，。18成等比數(shù)列，則后6=。15。18，即82=[8—d)(8+2d),

解得d=4或0(舍去)，即d=4正確，故力正確.

故選:ABD.

由等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)結(jié)合等差中項可得X正確：由S”與%的關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得8正確；由數(shù)

列的單調(diào)性和等差數(shù)列的性質(zhì)可得C錯誤：由等比中項的計算可得。正確.

本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題.

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10.【答案】AC

【解析】解：由直線心(m4-l)x+2y-3-m=0化為直線，的方程為(x-+%+2、-3=0,由工一1=

0,x+2y-3=0,得x=l,y=1,直線2過定點(1,1),故4正確；

C：(x-2)2+y2=4,又(1-2)2+#=2V4,即定點(1,1)在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相交，有兩個交點，

故B錯誤；

當(dāng)m=—3時，直幺劃：x—y=0,圓心C(2,0)到直線[的距離為d=與攝=V3,

而圓C半徑為2,且2-VIVI,因此恰有2個點到直線1的距離等于1,故C正確：

圓K+產(chǎn)-2%+8y+1=0化為(無-I)2+(y+4)2=16,

圓K+必一2%+8y+1=0的圓心為(1,一4),半徑為4,

兩圓圓心距為4-2=2<d=V(1-2)2+(-4-0)2=/17<6=4+2,

所以兩圓相交，因此它們有兩條公切線，故。錯誤.

故選:AC.

求出直線/過的定點判斷4判斷定點與圓的位置關(guān)系判斷&求出圓心到直線距離判斷C；判斷圓與圓的位

置關(guān)系判斷D.

本題考查點到直線的距離，考查圓與圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

11.【答案】BCD

【解析】解：對于力選項，AAD//BC因此異面直線AP與A2所成的角即為AP與BiC所成的角，

當(dāng)點P位于??；虍?dāng)點重合時，由于△力當(dāng)。是等邊三角形，則力P與所成的角為土

當(dāng)點P位于&C的中點時，因為ABJL平面BCCiB],8PJLB]C,

因此AP14C,此時，力戶與當(dāng)。所成的角為去

由干△ABE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，知道P從過程中，AP與BiC所成的角先從與增大到

7,再減小到小

因此異面直線AP與&D所成角的取值范圍是.怎，引，故力選項錯誤；

對干C選項，因為力1。/IBG4。U平面4G。，/。仁平面&GD,

因此當(dāng)。/平面4GD,因為點p在線段當(dāng)。上運動，

因此點P到平面4GD的距離為定值，又△&GD的面積為定值，

故三棱錐的體積為定值，運用等體積法知道，三棱錐A】-PCiD的體積為定值，故。選項正確；

對于“選項，以。為原點，分別以DA,DC,0歷所在直線為，y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

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則。(0,0,0),力(L0,0)，取平面4BCD的法向量西=(0。1),

設(shè)平面ADP的法向量膈=(卬％2),設(shè)P(a,l,a),ae[0,1],

則a=(1,0,0),DP=(a,1,a),則信:沈;,即盤：+°為+aZ1=0'

令力=a,則/=0,Zt=-1?則得沅J=(0,a,—1),

設(shè)面4DP與平面48CD所成夾角為a,

因此cosa=|cos可，碼|=嵩偏1

因為a€[0,1],a2+1E[1,2],因此Va?+1￡J+1[苧，月，

因此平面40P與平面力8C0所成夾角的余弦值取值范圍是[學(xué),1],故8選項正確;

對于D選項，則8(1,1,0),。1(0,0,1),當(dāng)尸為81c的中點時，P(1,1,1).

因此西二(一1,-1,1),=

設(shè)而在西上的投影向量的模為商面=喘「聲鬻上二圣

I西=JT』+O2+G)2=苧

d=J研2一腳,可得d=JJW=華,

即P到85的距而為X,故。選項正確.

O

故選：BCD.

對于4利用異面直線所成角的計算方法，即可進行判斷；對于C,利用線面平行的判定定理，得出/C//

平面再根據(jù)一:棱錐的體積的計算方法，即可進行判斷；對于BD,通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用

坐標(biāo)法求出平面與平面所成角的余弦值和點到直線的距離即可正行判斷.

本題考查棱錐的體積，屬于中檔題.

12.【答案】50

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【解析】解：在數(shù)列｛%｝中,an+an+1=2n,

所以S10=+。2）+（。3+Q。+…+（的+Q10）

=2+6+10+14+18=50.

故答案為：50.

根據(jù)遞推公式和數(shù)列的并項求和即可.

本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的并項求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬「基礎(chǔ)題.

13.【答案】2

【解析】解:由題意直線一的一個方向向量為（4,Q）,

直線L的一個方向向量為（1一。，2），

。工，2，

可得4（1—a）+2a=0=a=2.

故答案為：2.

結(jié)合直線的方向向量，由向量垂直的坐標(biāo)表示可得.

本題考查了兩直線平行，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】x=-2

【脩析】解：由過點。（-10）作直線交拋物線于48兩點，

可設(shè)直線方程為％=my-*

y2=2px

聯(lián)立=m_p,消去'可得y2-2pmy+p2=①A=4p2m2-4p2>0,

2

則為+丫2=2pm,yiy2=P2?①

設(shè)<g,yi）,見必必），

由拋物線的焦半徑公式可得|"|=/+9=6,|8F|=工2+§=3,

即訂少1=6,iny2=3,

代人①可得+y2）=2pm2=9,m2yly2=血2P2=18,

由兩式相除解得p=4,

p

--

所以拋物線C的準(zhǔn)線方程為x2-2.

故答案為：%=-2.

第10頁，共15頁

設(shè)出直線方程，直曲聯(lián)立，表示出韋達定理，再由拋物線的焦半徑公式結(jié)合韋達定理計算即可.

本題主要考查拋物線的性質(zhì)應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題.

15.【答案】解：圓好+丫2-2丫-4=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為%2+8-1)2=5,

???圓心坐標(biāo)為C(O,1),半徑r=仄,

圓心C到直線，的距離d=騁=乎v膈，

V9+1L

二直線I與圓C相交,

???直線，被圓。所截的弦長為2K=2」5一(手)2=/10.

【解析】求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓的圓心和半徑，利用點到電線的距離求得圓心C到直線E的距離dvr,

從而判斷直線L與圓。相交，再根據(jù)勾股定理求得直線1被圓C所截得的弦長.

本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，直線被圓截得的線段長的求法，考查運算求

解能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】y=%2-4(%工土2).

2.

【解析】(1)設(shè)點根據(jù)題意可知*工±2,

直線8M的斜率跖”=力，直線的斜率為心”二系，

*vLA-i-La

那么可得心"-kRM=--77=-4,

整理可得y=X2-4(x2).

(2)結(jié)合第一間可知曲線E為y=x2(x。士2)；

設(shè)其孫力)，

v3x2

2,整理可得》2-3%-2=0,根的判別式4=9+8=17>0,

ty=xz

根據(jù)韋達定理可得%i+小=3,%i%2=-2；

xxxx2

因此瓦?OE-xrx2+7172=i2+(i2)=-2+4=2.

(1)設(shè)點M(x,y),根據(jù)斜率之差的值整理可得曲線。的方程；

(2)易知曲線E為y=x2(x工土2),聯(lián)立曲線E和直線，的方程并利用韋達定理以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得

結(jié)果.

本題考查軌跡方程，屬于中檔題.

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17.【答案】(1)證明：連接BQ,

在△/8C］中，因為D,E分別為AB,4C］的中點，

所以。E//BCV又DEC平面881clC,u平面

所以0E//平面881clC；

(2)解：在直三棱柱48。一%當(dāng)好中，AC1BC,

則C4CB,Cg兩兩垂直，

如圖，以C為坐標(biāo)原點，CA，CB，京為x,y,z軸正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系，

x

則C(0,0,0),4(2,0,0),B(0,2,0),81(0,2,2),

g(0,0,2),0(1,1,0),E(l,0,l),

率=(1,-2,-1)，屁=(0,-1,1).

設(shè)平面B1DE的法向量為五=(x,y,z),

令2=1,貝k=3,y=1,

所以五=(3,1,1)為平面的一個法向量，

設(shè)點B到平面々DE的距離九,又前=(1,一1,0),

則九=|

1HT1-7TT=~

所以點8到平面々DE的距離為需.

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【解析】(1)連接BG，運用中位線性質(zhì)，結(jié)合線面平行判定定理證明即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，得到關(guān)犍點坐標(biāo)，求出平面的法向量，結(jié)合點面距離公式計算即可.

本題考查線面平行的判定，考查點到平面距離的求法，屬中檔題.

18.【答案】an=2n—1；

3n2+57i

4(n+l)(n+2)；

存在，n=8,m=3.

【解析】(1)由數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為d,由與+。4=10,$7=49,

可得2%+4d=10,即%+2d=5,

又7%+21d=49,即%+3d=7,

解得%=1，d=2,

所以即=1+2(n-1)=2n-1；

(2)Sn="(i+｝T)=M,

所以—?=(篇2_1=X；+)，

加”/n3十24+35十+n-1n+1+nn+2)2［十2n+1n+2)4(九+1；5+2)'

(3)假設(shè)存在正整數(shù)?n,n,(n>m>2),使得;成等差數(shù)列，

a2aman

則2=±+±,

am?na2

即3='+上

12m-12n-l3

即3(2九-1)=(2m-1)5+1