專題04直線與圓

嫌內(nèi)容早知道

所第一層鞏固提升練

題型一：軌跡：阿圓

題型二：軌跡：相關(guān)點代入型

題型三：待定系數(shù)求圓的方程

題型四：兩圓的公切線

題型五：圓的切線最值

題型六：切線三角形面積最值

題型七：切點弦

題型八：切弦與角度

題型九：圓的旋轉(zhuǎn)切線

題型十：殘圓與函數(shù)

題型H■?一:圓型“將軍飲馬”

題型十二：直線與圓大題：偉大定理

題型十三：直線與圓：定點

題型十四：圓綜合大題

?第二層能力提升練

版第三層高考真題練

--------?-O-O-O-?--------

題型

?01軌跡：阿圓

★技巧積累與運用

已知平面上兩點A、B,則所有滿足PA/PB=k,且K不等于1的點P的軌跡，是一個圓心在A、

B兩個點的所在直線上的圓。這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓

即PA=KPB,k不等于1,則P點軌跡是一個圓，可直接設(shè)點推導(dǎo)

1.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點A(-2,0),8(2,0),動點M滿足|跖4|=2|九必|,貝ij^MAB面積的

最大值為()

162032

A.B.6C.—D.

3T

2.已知點/(4,0),5(3,2),拋物線C:/=4x的焦點為尸，尸是C上的動點，動點W滿足卜2|兒回，則

下列說法正確的是()

A.點B在動點Af的軌跡上

B.△尸EB周長的最小值為4+2后

C.當(dāng)NMFS最小時，點W的橫坐標(biāo)為4

D.AAFA/r面積的最大值為4+2后

3.阿波羅尼斯圓(ApolloniusCircle)是指在平面上，給定兩點48以及一個常數(shù)左(左片1),所有滿足?詬，=左

(尸為動點)的點尸的軌跡.這個軌跡是一個圓，最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，因此得名.現(xiàn)已知定

點/(TO),2(1,1),點尸是圓C+產(chǎn)=4上的動點，則2歸/|+|尸邳的最小值為.

題型

。2軌跡：相關(guān)點帶入型

★技巧積累與運用

求軌跡

(1)直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；

(2)定義法：如果能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；

(3)相關(guān)點法：用動點0的坐標(biāo)X、了表示相關(guān)點尸的坐標(biāo)飛、為，然后代入點尸的坐標(biāo)(%,%)所滿足的

曲線方程，整理化簡可得出動點。的軌跡方程；

(4)參數(shù)法：當(dāng)動點坐標(biāo)無、了之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找無、了與某一參數(shù)f得到方程，即

為動點的軌跡方程；

(5)交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程.

1.已知點P在圓(》-2)2+了2=1上運動，。為坐標(biāo)原點，則線段。尸的中點的軌跡方程為()

1

A.…B.（1）92+/7=5

C.（X-I）*2+）2=]D.（x-2）2+y2=~

2.下列說法正確的有()

A.直線2x+??y+l=0過定點

B.圓/+r=36上的動點尸與定點。(4,0)所連線段的中點”的軌跡方程為(x-2『+y2=9

C.若圓。1：/+/-2了-3=0與圓。2：1+/-6尤-10y+〃？=0有唯一公切線，則機=25

D.圓/+(?-1『=4上存在兩個點到直線x+尸2=0的距離為2

3.已知點”(TO),3(3,0),若圓卜-加-1)2+(夕_加+2)2=1上存在點尸滿足方.麗=5,則實數(shù)擾的取值

范圍是.

題型

……-03待定系數(shù)求圓的方程

★技巧積累與運用

圓的一般方程對應(yīng)的圓心和半徑

圓的一般方程X?+/+Dx+砂+尸=0。2+R-年＞0)表示的圓的圓心為半徑長為

-yjD2+E2-4F.

2

2

1.過坐標(biāo)原點，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（）

A.x2+y2—2x—3y=0B.+2x-3y=0

C.x2+y2-2x-^-3y=0D.x2+j^2+2x+=0

2.已知V/BC的三個頂點為/（-1,2）,3（2,1）,。（3,4）,則下列關(guān)于丫/3。的外接圓圓”的說法正確的是（）

A.圓M的圓心坐標(biāo)為（1,3）

B.圓M的半徑為石

C.圓新關(guān)于直線x+y=O對稱

D.點（2,3）在圓M內(nèi)

3.已知圓C的圓心在直線y=-x+5上，且圓C過點（2,6）、（5,3）,若圓C'與圓C關(guān)于直線無+2y-2=0對

稱，則圓C，的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

題型

……-04兩圓的公切線

★技巧積累與運用

公共弦直線：當(dāng)兩圓相交時，兩圓方程（爐，產(chǎn)項系數(shù)相同）相減便可得公共弦所在直線的方程.

1.已知圓M:（x—l）2+（y—2）2=2與圓"：/+/-6彳一8卜+機=0恰有三條公切線，則機=（）

A.15B.17C.21D.23

222

2.已知圓G：/+V=l，C2：（x-3）+（j-3）=r^>0）,則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)r=l時，圓G與圓C,有2條公切線

B.當(dāng)廠=2時，>=1是圓A與圓C2的一條公切線

C.當(dāng)廠=3時，圓￡與圓g相離

D.當(dāng)/*=4時，圓。與圓C2的公共弦所在直線的方程為y=-x+l

3.寫出與圓（x-4+（y-2>=g和圓（尤-2）2+（y-Ip=；都相切的一條直線方程.

題型

一一05圓的切線最值_____________________

★技巧積累與運用

圓切線，基本方法和思維，是轉(zhuǎn)化為如下圖的對稱切線三角形。所以，與切線有關(guān)的，大多

數(shù)都通過切線三角形轉(zhuǎn)化為與“圓心有關(guān)”

1.由直線y=x+i上的點向圓（》-3）2+3+2）2=1引切線，則切線長的最小值為（）

A.yfnB.3cc.y/19D.2出

3

2.已知點N(3,-4)在直線/上，圓C:(x-l『+(y+2『=4,則下列說法正確的是()

A.若圓C關(guān)于直線/對稱，則直線/的方程為x+〉+l=O

B.若點尸是圓C上任意一點，則14Pl的最大值為2亞+4

C.若直線/與圓C相切于點3,則|/同=2

D.若直線/與圓C相切，則直線/的方程為y=-4或》=3

3.已知點尸(x,y)為直線/:2x+y+4=0上的動點，過尸點作圓。：/+(”1)2=1的切線PR,四,切點為48,

則APAB周長的最小值為.

題型

--06切線三角形面積最值

★技巧積累與運用

通過切線三角形，把面積轉(zhuǎn)化為圓心有關(guān)的最值范圍來求解

1.點尸是圓C：(x-3『+e-3)2=2上一動點，過點尸向圓O：/+/=1作兩條切線，切點分別為A,B,

則四邊形E4O8面積的最大值為()_

A.25B.2V17C.V17D.同

2.已知點尸滿足|尸/|=拒|依|,點/(一1,0),8(1,0),C(0,V7),則()

A.當(dāng)/尸CZ最小時，|PC|=2逝B.當(dāng)/尸C4最大時，|PC|=20

C.當(dāng)面積最大時，|尸出=2后D.當(dāng)行|PC|-|P/|最大時，AP/2面積為力’

3.已知圓C：(x-2)2+y=1,過直線尤-亞y=0上點尸引圓C的切線，切點為/,B,則當(dāng)A48C的面積

最大時，點尸的坐標(biāo)為.

題型

一……07切點弦

★技巧積累與運用

圓的切線常用結(jié)論：

(1)過圓爐+夕2=/上一點p(xo，/)的圓的切線方程為：xox-\-yoy=r2-.

(2)過圓(x—a)2+(y—6)2="上一點尸(枇，次)的圓的切線方程為：(祝一a)(x—a)+(yo—b)(y—6)=/.

(3)過圓C：/+產(chǎn)+6+4+尸=0外一點M(xo,/)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程的求法：

①以河為圓心，切線長為半徑求圓”的方程；②用圓M的方程減去圓C的方程即得；

(x—a)2+(y—6)2="外一點尸(xo，泗)做切線，切點所在直線方程(切點弦方程)為：(xo-d)(x—a)+(yo—b)(y

~b)=r1.

1.已知點尸在直線x+y=4上，過點P作圓(?:/+/=4的兩條切線，切點分別為A,8則點M(4,2)到直

線距離的最大值()

A.VWB.2MC.3而D.4M

2.已知P是直線/:尤+y-4=0上一動點，0是圓。:/+必=2上一動點，過點尸作圓O的兩條切線，切

點分別為A、B,則().

4

A.點0到直線/的距離的取值范圍為［血,4逝］

B.直線恒過定點

C.四邊形尸/。8的面積的最小值為26

D.莎?麗的最小值為3

3.已知圓/：x2+（y-2）2=l,。是x軸上動點，分別是圓M的切線，切點分別為48兩點，則直

線恒過定點.

題型

―08切線與角度

1.已知圓C：?+，=1,過圓C外一點p作C的兩條切線，切點分別為4瓦若乙4尸8=120。，則|/同=（）

A.瓜一也B.1C.41D.V3

2

2.在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點，己知/（1,0）,3（-1,0）,設(shè)動點C滿足動點尸滿足上4LPC,

則|。H的最大值為（）

A.1B.C.V2D.2

3.已知點P是直線/：3工+4〉-7=0的動點，過點尸引圓C:（x+iy+/=/（->0）的兩條切線P”、PN,

27r

切點為M、N,當(dāng)NMZW的最大值為彳時，則廠=（）

A.1B.y/2C.V3D.2

題型,

------09圓的旋轉(zhuǎn)切線

*技巧積累與運用

圓的動切線

（a,b）到直線系M:（x-a）cos6+（y-b）sin6=2?（0W6V2萬）距離,每條直線的距離

A/COS20+sin20

直線系河：（工—@）956+5—1）卜足8=氏（04夕421）表示圓（》—2）2+（32—>2=尺2的切線集合,

1.對于方程x2+/tanc=l,ae］_^^|,表示的曲線C,下列說法正確的是（）

A.曲線C只能表示圓、橢圓或雙曲線

B.若C為負(fù)角，則曲線C為雙曲線

C.若C為正角，則曲線C為橢圓

5

D.若C為橢圓，則曲線C的焦點在x軸上

2.設(shè)直線系加:雙0$。+翅11。=1,04。<2%，對于下列四個命題：

(1)M中所有直線均經(jīng)過某定點；

(2)存在定點戶不在”中的任意一條直線上；

(3)對于任意整數(shù)〃,“23,存在正”邊形，其所有邊均在M中的直線上；

(4)W中的直線所能圍成的正三角形面積都相等；

其中真命題的是()

A.(2)(3)B.(1)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)

3.設(shè)直線系M:xcos8+(y-2)sin(9=l,0<6><2^,對于下列四個命題：

(1)W中所有直線均經(jīng)過一個定點；

(2)存在定點?不在M中的任意一條直線上；

(3)對于任意整數(shù)"，"23,存在正"邊形，其所有邊均在W中的直線上；

(4)M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等；其中真命題的是()

A.(2)(3)B.(1)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)

-……10殘圓與函數(shù)

★技巧積累與運用

帶根號型，兩邊平方后可以轉(zhuǎn)化為圓的方程，但是要注意根號的函數(shù)值不會為負(fù)，所以限制了取值范圍，

稱為“殘圓”

1.已知/(X)是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y=/a-l)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，若不等式

亨卜/(26卡(x+2))〈0的解集為區(qū)間［凡可，且b-a=2,貝()

A.-V3B.V3C.2D.-2

2.已知直線/：質(zhì)-y+64-6=0和曲線c：y=^二］，當(dāng):<左<2時，直線/與曲線C的交點個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.無法確定

3.若直線/：依7-2=0與曲線c：Jl-("l)2=x-l有兩個不同的交點,則實數(shù)上的取值范圍是()

44444

A.(―,+°o)B.(—,4)C.[-2,--)U(—,2]D.(—,2]

J3。。。

題型

11圓型“將軍飲馬”

1.己知尸(0,2),0(2,0),直線4：2丘一2y+4+。=0,直線右：2x+2郎+右左一1=0,若M為44的交點，則

|MP|+21Moi的最小值為()_「

A.V17B.3>/3C.V15D.在

2.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲

線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之

一，指的是：己知動點M與兩個定點A、B的距離之比為X(2>0,4=1),那么點M的軌跡就是阿波羅

6

尼斯圓.若已知圓0：/+丁=1和點/，同，點雙4,2）,/W為圓。上的動點，則2網(wǎng)+阿的最小值

為（）_

A.2航B.2M

C.V35D.737

3.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲

線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究

成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A,B的距離之比為"4>0"Hl）,那么點M的軌跡就是阿波羅

尼斯圓.如動點/與兩定點/吸,。］,3（5,0）的距離之比為|時的阿波羅尼斯圓為/+/下面，我們

來研究與此相關(guān)的一個問題：已知圓O:/+/=4上的動點M和定點工（-1,0）,5（1,1）,則21M+的

最小值為（）

A.2+V10B.V21C.V26D.729

題型

12直線與圓大題：韋達定理

★技巧積累與運用

解決直線與圓相交問題，韋達定理題型常用步驟：

（1）得出直線方程，設(shè)交點為/（孫乂）,B{X2,y2）；

（2）聯(lián)立直線與圓方程，得到關(guān)于x（或V）的一元二次方程；

（3）寫出韋達定理；

（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為西+%,占超形式；

（5）代入韋達定理求解.

1.橢圓E:工+亡=1的左、右焦點分別為4,8,過片作直線4交E于4B兩點.過耳作垂直于直線4的直

43

線交E于C，。兩點.直線4與4相交于點尸.

⑴若直線4的斜率為I,求直線4的方程.

（2）求點P的軌跡方程.

⑶求四邊形/C3O面積的取值范圍.

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知/（-1,-1）,5（2,-1）,。何,〃）為三個不同的定點.以原點0為圓心的圓與線

段都相切.

（1）求圓。的方程及見”的值；

/、uuuruuiri

⑵若直線/：V=x+MfeR）與圓。相交于兩點且OM-ON=,求/的值；

IpAI

⑶在直線/。上是否存在異于A的定點。，使得對圓。上任意一點尸，都有黃=2（彳為常數(shù)）？若存在,

求出點。的坐標(biāo)及彳的值；若不存在，請說明理由.

3.已知圓"+2丫+/=4,圓G：（x-2『+y2=4,若平面內(nèi)一點尸到。的切線長與到G的切線長之

7

比為定值2(2>0,且4"),則稱點尸為"X型切圓關(guān)聯(lián)點"，記2=好時，點P的軌跡為C.

5

(1)求C的方程；

⑵過點C(-2,o)的直線4交c于A,B兩點,過G與4垂直的直線4交C于。，E兩點.

①求四邊形面積的最大值；

②設(shè)W為線段48的中點，N為線段ZJE的中點，證明：直線過定點.

題型?、

........13直線與圓：定點

★技巧積累與運用

定點題型：

1.證明直線過定點，一般情況下，通過題中條件，尋找直線y=kx+b中b=f(k)的函數(shù)關(guān)系，或者設(shè)參，求

解出含參直線方程，再求解出含參直線所過的定點。

2.證明定點，可以通過特殊化法先確定定點坐標(biāo)，再證明定點適合題意。

1.已知圓-2)2=1,點尸是直線/：x+2y=0上的一動點，過點P作圓M的切線E4,PB,切點

為N,B.

(1)當(dāng)四邊形叢上0的面積為百時，求點尸的坐標(biāo)；

(2)若△尸的外接圓為圓N,試問：當(dāng)尸運動時，圓N是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由.

點F2(1,0)，點。在圓片上運動QF?的垂直平分線交斷于點P

⑴求動點尸的軌跡C的方程;

⑵過點的動直線/交曲線C于A、8兩點，求證：以力B為直徑的圓恒過定點7(0,1).

3.已知拋物線￡:f=2處(°>0),焦點為下，點C(2,l)在E上，直線4:了=h+1(左片0)與E相交于45兩

點，過48分別向￡的準(zhǔn)線/作垂線，垂足分別為4,4.

⑴設(shè)AE4圈AF4v尸巡的面積分別為岳國,邑，求證：5；=4邑5；

(2)若直線/C,8C分別與/相交于W,N,試證明以MN為直徑的圓過定點P,并求出點P的坐標(biāo).

題型

14圓綜合大題

1.已知圓C:x2+『=16分別與X、y軸正半軸交于A、8兩點，尸為圓C上的動點.

8

⑴若線段N尸上有一點。，滿足而=2出，求點。的軌跡方程；

（2）過點（3,4）的直線加截圓C所得弦長為2幣，求直線m的方程；

⑶若P為圓C上異于43的動點，直線4P與V軸交于點直線2尸與x軸交于點N,求證：|/叫忸叫為

定值.

2.已知平面內(nèi)的動點”與兩個定點N（T1）,8（-1,4）的距離的比為9記動點M的軌跡為曲線廠

（1）求曲線「的方程，并說明其形狀；一

（2）已知。過直線x=5上的動點尸（5,0）分別作曲線「的兩條切線P0,PR（0、R為切點）,證明：直

線。及過定點，并求該定點坐標(biāo)；

3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過原點和點并且圓心在x軸上，圓C與x軸正半軸的交點為

P.

⑴求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)4心為圓C的動弦，且￡￡不經(jīng)過點尸，記匕、/分別為弦6尸、￡尸的斜率.

（i）若尢泡=-1,求△尸片心面積的最大值；

（ii）若勺&=4,請判斷動弦42是否過定點？若過定點，求該定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.

1.過點尸（1,6）作斜率為左的直線/交圓￡：/+r=8于A,3兩點，動點。滿足瑞=居、若對每一個

確定的實數(shù)左，記|尸。|的最大值為一皿，則當(dāng)上變化時，4m的最小值是（）

A.1B.逝C.0D.2

\PA\

2.已知平面上兩定點A、B,則所有滿足匕臼=幾（％>0且4wl）的點尸的軌跡是一個圓心在45上，半

徑為|占卜的圓.這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知棱長為3的正方體

N3CD-44CQ表面上動點尸滿足歸旬=2|尸外則點P的軌跡長度為（）

A.2兀B.—+A/3TIC.在+@ED.（2+石）兀

332V'

3.在平面直角坐標(biāo)系X。'中，圓O:x2+/=i,若曲線了=左卜-1|+2上存在四個點￡。=1,2,3,4）,過動點

9

—?—?3

片作圓。的兩條切線，A,B為切點,滿足則左的取值范圍是().

A.[-加B.

4.一條動直線4與圓/+/=1相切，并與圓一+/=25相交于點/,B,點P為定直線，2：x+y-10=0上

動點，則下列說法正確的是()

A.存在直線小使得以AB為直徑的圓與4相切

B.的最小值為150-2附

C.萬.麗的最大值為-27+10后

D.|P/|+|PB|的最小值為80

5.已知平面向量心b,3滿足同=i,W=2,a2=a-s>2/=z「，貝uR一同一可2的最小值為-

6.已知斜率為1的直線與拋物線C：/=2px(p>0)交于點42,以點河(4,1)為圓心的圓過點4B,且圓

M關(guān)于直線48對稱.

⑴求拋物線C與圓M的方程；

⑵過V軸上的點P作斜率為1的直線/,交圓M于點。，尺，且與C交于不同的兩點，求|尸。||依|的取值范圍.

7.已知橢圓C：W+m=1>6>0)過點(2,1),且離心率為也.

ab2

⑴求橢圓c