第06講角度計算七大幾何模型

塞內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

;正教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

第二步：練

7大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升r小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

8析教材學(xué)知識

【知識點(diǎn)18字模型】

【結(jié)論】如圖，AC與應(yīng)＞相交于點(diǎn)。，則/4+NB=/C+〃.

【證明】在4ABO中，力//8//4。8=/80°.在4(?。0中，ZC+ZD+ZCOD=180°.

,:NAOB=/COD,:./A+NB=N3/D.

【知識點(diǎn)2飛鏢模型】

【結(jié)論】如圖所示，已知四邊形ABDC,則/BOC=/4+/B+NC.

【證明】如圖，延長8。交AC于點(diǎn)E

ZBEC是ZABE的外角，,/ZBEC=^A+ZB.又：/BDC是ZCDE的外角,

ZBDC=ZBEC+ZC=ZA+ZB+ZC.

【知識點(diǎn)3A字模型】

【結(jié)論】如圖所示，/DAE的兩邊上各有一點(diǎn)、B,C,連接2C,則4>3C+/ECB=/80O+NA

【證明】和4cB是ZABC的夕卜角，Z.ZDBC^ZA+ZACB,ZECB=ZA+ZABC.

5LVZA+ZABC+ZACB=180°,：.GBC+4cB=/A+/ACB+/ABC+NA=180°+NA.

【知識點(diǎn)4老鷹抓小鴻模型】

【結(jié)論】如圖所示，/A+NBFC=NDBF+/FCE.

【證明】如圖,連接AF.

NDBF是ZABF的外角，ZFCE是ZACF的外角，/FCE=ZCAF+ZCFA,

ZDBF+/FCE=ZBAF+ZBFA+ZCAF+ZCFA=ZBAC+ZBFC,

ZBAC+4FC=/DBF+/FCE.

【知識點(diǎn)5雙內(nèi)角平分線模型】

-1

【結(jié)論】如圖所示，在ZABC中，BD,CD分別是/42c和/4C2的平分線，則/BDC=90。+：/4.

13------

【證明】

T^ZABD=ZDBC=C,NACD=/BCD=y.

由ZABC的內(nèi)角和為180。,得ZA+2x+2y^l80°.@

由』BDC的內(nèi)角和為180。,得/BDC+x+y=180°.②

由②得尤—=180°-NBOC③

把③代人①，得/A+2a8O°-NBO0=/8O°,即2/BDC=18()o+/A,

1

ZBDC=90°+-ZA.

【知識點(diǎn)6雙外角平分線模型】

【結(jié)論】如圖所示，NABC的外角平分線8。和CZ)相交于點(diǎn)O,則NBZ)C=90。-

【證明】設(shè)/EBD=/CBD=x,ZBCD-ZFCD=y.

由ZBCD的內(nèi)角和為180°,得x+y+/BDC=180。.①

易得2x+2y=180。+NA②

由①得x+y=180°-ZBDC.?

把③代人②，得2(180°-/BDC)=180°+/A,

2ZBDC=180°-ZA,

1

ZBDC=90°--ZX.

【知識點(diǎn)7內(nèi)外角平分線模型】

【結(jié)論】如圖所示，/4BC的內(nèi)角平分線BO和外角平分線C。相交于點(diǎn)D,則“三24.

【證明】T^ZABD=ZDBC=X,4CD=/ECD=y.

由外角定理得2y=44+2x,①

產(chǎn)ND+x.②

把②代人①，得2(^D+x)=xA+2x,

即

8練題型強(qiáng)知識

【題型18字模型】

【例1】如圖1,線段48、CD相交于點(diǎn)0,連接4。、CB,我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”.如圖2,

在圖1的條件下，AD4B和NBCD的平分線4P和CP相交于點(diǎn)P,并且與CD、4B分別相交于M、N.試解答下

圖1

(1)在圖1中，證明:Z-A+Z-D=Z-C+Z-B；

⑵仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：個；

(3)圖2中，當(dāng)/。=50度，AB=40度時，求NP的度數(shù).

(4)圖2中乙D和乙8為任意角時，其他條件不變，試問NP與ND、NB之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系.(直接寫出

結(jié)果，不必證明).

【變式1-1］如圖，是由線段AB,CD,DF,BF,CA組成的平面圖形，ZZ)=28°,則/A+/B+/C+/P的

度數(shù)為—.

【變式1-2］如圖，BP平分交CD于點(diǎn)RDP平分N4DC交4B于點(diǎn)E,與相交于點(diǎn)G,ZX=42°.

(1)若乙4DC=60。，求乙4EP的度數(shù)；

(2)若NC=38。，求NP的度數(shù).

【變式1-3】【問題背景】

(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明NA+NB=NC+ND；

【簡單應(yīng)用】

(2)如圖2,AP、CP分別平分/BAD.ZBCD,若NABC=46。，ZADC=26°,求NP的度數(shù)；

【問題探究】

(3)如圖3,直線AP平分/BAD的外角/FAD,CP平分/BCD的外角/BCE,若/ABC=36。，ZADC=16°,

請猜想NP的度數(shù)，并說明理由.

【拓展延伸】

(4)①在圖4中，若設(shè)NC=a,ZB=p,ZCAP=|ZCAB,NCDP=1/CDB,試問NP與NC、NB之間的

數(shù)量關(guān)系為：(用a、。表示/P)；

②在圖5中，AP平分/BAD,CP平分/BCD的外角/BCE,猜想/P與NB、/D的關(guān)系，直接寫出結(jié)

論.

【題型2飛鏢模型】

【例2】如圖，用鐵絲折成一個四邊形ABCQ(點(diǎn)C在直線8。的上方)，且/A=70。，ZBCD=12Q°,若使

ZABC./ADC平分線的夾角NE的度數(shù)為100。，可保持NA不變，將NBCD(填嘴大’或"減

小”)______°,

A

D

【變式2-1］在社會實踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計了如上圖這樣一個零件,如果N4=52°,乙B=25°,ZC=

30°,Z.D=35°,ZE=72°,那么=°,

A

【變式2-3］如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品一圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，請

發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：

(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究NBDC與乙4、乙B、NC之間的關(guān)系，并說明理由；

(2)請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：

①如圖2,把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XV、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)8、C,若乙4=50°,

直接寫出乙4BX+N4CX的結(jié)果；

②如圖3,DC平分乙EC平分Z71EB,若ACME=50。,NDBE=130。，求NDCE的度數(shù)；

③如圖4,乙4BD,乙4CD的10等分線相交于點(diǎn)Gl、G2,…、G9,若NBDC=140。,4BG1。=77。,求乙4的度

數(shù).

【題型3A字模型】

【例3】如圖，將一個三角形剪去一個角后，Z1+Z2=230°,貝叱4等于()

B

A.35°B.50°C.65°D.70°

【變式3-1］如圖是某建筑工地上的人字架，若41=120。，那么N3-42的度數(shù)為

【變式3-2】探索歸納:

(D如圖1,已知△ABC為直角三角形，44=90。，若沿圖中虛線剪去N4貝此1+42=；

(2)如圖2,已知△ABC中，44=30。，剪去乙4后成四邊形，則41+N2=；

(3)如圖2,根據(jù)(1)與(2)的求解過程，你歸納猜想N1+N2與乙4的關(guān)系是；

(4)如圖3,若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究N1+N2與乙4的關(guān)系，并說明理由.

【題型4老鷹抓小雞模型】

【例4］把三角形紙片A8C沿DE折疊.

⑴如圖1,點(diǎn)4落在四邊形BCDE內(nèi)部點(diǎn)A處時，乙4與4WC、4EB之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變,

寫出這種關(guān)系并證明；

(2)如圖2,點(diǎn)4落在四邊形8CDE外部點(diǎn)A處時，直接寫出〃與NZDC、乙4EB之間的數(shù)量關(guān)系.

【變式4-1］如圖，三角形紙片4BC中，乙4=100。，ZS=40°,將紙片的角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)，若

Na=30°,貝叱0的度數(shù)是()

【變式4-2］如圖，在AABC中，將AaBC沿直線機(jī)翻折，點(diǎn)8落在點(diǎn)。的位置，若N1—N2=60。，則NB的

C.35°D.60°

【變式4-3】如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)A落在四邊形8CDE內(nèi)時，則/A與/1+/2之間有始終不

變的關(guān)系是()

B.2ZA=Z1+Z2

C.3A=Z1+Z2D.3ZA=2(Z1+Z2)

【題型5雙內(nèi)角平分線模型】

【例5】如圖，在AABC中，NABC和/ACB的平分線相交于點(diǎn)P.

(1)若/ABC+/4CB=130。，求/BPC的度數(shù).

(2)當(dāng)NA為多少度時，ZBPC=3ZA?

【變式5-1］如圖，AABC的NABC和NACB的角平分線BE和CP相交于點(diǎn)。，ZA=60°,則NBOC的大

小為()

B.120°C.130°D.150°

【變式5-2】如圖，BE平分N4BD,CF平分NACD,BE與CF交于點(diǎn)G,若乙BDC=140°,乙BGC=100°,貝=

()

A

A.80°B.75°C.60°D.45°

【變式5-3】已知△ABC中，乙4=60°,在圖（1）中“BC、"CB的角平分線交于點(diǎn)。1，則計算可得480道=

120°；

（1）在圖（2）中，設(shè)N4BC、乙4cB的兩條三等分角線分別對應(yīng)交于0人。2,得到NBO2c則NB。2c=；

（2）在圖（3）中請你猜想，當(dāng)乙4BC、乙4cB同時"等分時，（n-1）條等分角線分別對應(yīng)交于。＞。2…On_r,

則43冊_道=（用含"的代數(shù)式表示）.

【題型6雙外角平分線模型】

【例6】如圖，乙4BD和乙4CE是AABC的夕卜角，BF和CG分另U是N4BD和乙4CE的角平分線，延長FB和GC交于

點(diǎn)、H.設(shè)N4=a,乙H=0,貝以與/?之間的數(shù)量關(guān)系為.

H

【變式6-1】在△ABC中，乙4BC的平分線與N4CB的平分線相交于點(diǎn)P.4BC的外角平分線與乙4cB的外角

平分線相交于點(diǎn)Q,當(dāng)“=65。，則NBPC=_。；

【變式6-2］如圖，EG,FG分別是NMEF和NNFE的角平分線，交點(diǎn)是G,BP,CP分另U是NMBC和NNCB的角

平分線，交點(diǎn)是尸，F(xiàn),C在A/V上，B,E在4M上，若NG=69°,那么NP=.

【變式6-3］如圖，AD,BD分另IJ是AABC的夕卜角NBAF,NABG的角平分線；AE,BE分別是NABD的

角平分線；AM,BN分另ij是NF4D,NDBG的角平分線.當(dāng)NC=（）時，AMWBN.

C.60°D.120°

【題型7內(nèi)外角平分線模型】

【例7】如圖，點(diǎn)。為△ABC邊BC的延長線上一點(diǎn)，若乙4:乙4BC=3:4,AACD=140°,乙4BC的角平分線

與乙4CD的角平分線交于點(diǎn)M,則NM=度.

【變式7-1】如圖，/.ABC=Z.ACB,40、BD、CO分別平分NE4C、乙4B式和乙4CF.以下結(jié)論：?AD\\BC；

②4ACB=24ADB；③DB平分N/WC；?^ADC=90°-Z.ABD.其中正確的結(jié)論有.（填序號）

【變式7-2］如圖，點(diǎn)B、C分別在AM、4V上運(yùn)動（不與4重合），是NBCN的平分線，的反向延長線

交乙4BC的平分線于點(diǎn)P.知道下歹?。菽膫€條件①NABC+NACB；②乙4；③4NCD-乙ABP；④N2BC的值，

不能求乙P大小的是（）

C.③D.④

【變式7-3］如圖，在△ABC中，NA=48。，△ABC的內(nèi)角4BC與外角4"。的平分線相交于點(diǎn)兒,得到NA1；

乙4/C與乙4修。的平分線相交于點(diǎn)&，得到乙42；……按此規(guī)律繼續(xù)下去，乙4"_/C與441TCD的平分線

相交于點(diǎn)4“，要使乙和的度數(shù)為整數(shù)，則n的最大值為（）

C.5D.6

1.如圖，已知在△28C中，NA=40。，現(xiàn)將一塊直角三角板放在△ABC上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)

過點(diǎn)8,C,直角頂點(diǎn)。落在△ABC的內(nèi)部，則乙4BD+乙48=（）.

2.如圖，在△ABC中，4E平分NB4C,4。，8C于點(diǎn)D.的角平分線BF所在直線與射線4E相交于點(diǎn)G,

若4ABC=3ZC,且NG=20°,貝UNDFB的度數(shù)為（）

C.60°D.65°

3.如圖，已知乙4=60°,ZS=40。/。=30°,貝此。+NE等于（

7

B

A.30°B.40°C.50°D.60°

4.小明把一副含45。，30。的直角三角板如圖擺放，其中NC=ZF=90°,乙D=30°,則Na+N/?等于（）

A.180°B.210°C.360°D.270°

5.在三角形紙片ABC中，乙4=90。，4c=22。，點(diǎn)。為AC邊上靠近點(diǎn)C處一定點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上一動點(diǎn),

沿DE折疊三角形紙片，點(diǎn)C落在點(diǎn)L處.有以下四個結(jié)論：

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)C'落在2C邊上時，^ADC=44°；

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)。落在AABC內(nèi)部時，^ADC+Z.BEC=44°；

③如圖3,當(dāng)點(diǎn)。落在△ABC上方時，^BEC-^ADC=44°；

④當(dāng)LEII4B時，NCDE=34?；騈CDE=124。，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

圖2圖3

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.如圖，在AABC中，點(diǎn)、D、E分別在邊48、4C上，如果乙4=60。，那么N1+N2的大小為

7.如圖，AD,CE都是△ABC的角平分線，且交于點(diǎn)。，ADAC=30°,Z.ECA=35°,則NAB。的度數(shù)為.

BDC

8.如圖，四邊形4B0C中，ABAC與NBOC的角平分線相交于點(diǎn)P,若NB=16。,NC=42。，則NP='

9.如圖，zX+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=—度.

10.如圖，在A/IBC中，AD是BC邊上的高，AE,BF分另U是NBAC和N4BC的角平分線，它們相交于點(diǎn)。,

AAOB=125°.求NC4D的度數(shù).

11.(1)如圖1,這是一個五角星28CDE,求乙4+48+4。+/。+4￡t的度數(shù).

(2)如圖2,如果點(diǎn)B向右移動到AC上，直接寫出44+4。35+/。+4。+45的度數(shù).

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)B向右移動到4c的另一側(cè)時，直接寫出乙4+4。8石+/。+/￡)+4后的度數(shù).

(4)如圖4,求N2+ZB+ZC+Z￡>+Z￡+NF的度數(shù).

12.我們把有一組對頂角的兩個三角形組成的圖形叫做“8”字圖形，如圖1,AD,BC相交于點(diǎn)0,連接48,

CQ得至U“8”字圖形4BDC.

(1)如圖1,試說明N2+N8=NC+4。的理由;

(2)如圖2,N4BC和N4DC的平分線相交于點(diǎn)E,利用(1)中的結(jié)論探索NE與Nd、NC間的關(guān)系;