向量基底變換題目及答案向量基底變換是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，涉及到向量空間中不同基底之間的轉(zhuǎn)換。以下是一些關(guān)于向量基底變換的題目和相應(yīng)的答案。題目一：基底變換矩陣的計(jì)算題目描述：設(shè)向量空間\(V\)的兩個(gè)基底分別為\(\alpha=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}\)和\(\beta=\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}\)，其中：\[\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1)\]\[\beta_1=(1,1,0),\beta_2=(0,1,1),\beta_3=(1,0,1)\]求從基底\(\alpha\)到基底\(\beta\)的基底變換矩陣\(P_{\beta\leftarrow\alpha}\)。答案：要找到從基底\(\alpha\)到基底\(\beta\)的基底變換矩陣\(P_{\beta\leftarrow\alpha}\)，我們需要將每個(gè)\(\beta\)向量表示為\(\alpha\)向量的線性組合。具體來(lái)說(shuō)，我們需要解以下方程組：\[\beta_1=a_{11}\alpha_1+a_{21}\alpha_2+a_{31}\alpha_3\]\[\beta_2=a_{12}\alpha_1+a_{22}\alpha_2+a_{32}\alpha_3\]\[\beta_3=a_{13}\alpha_1+a_{23}\alpha_2+a_{33}\alpha_3\]將\(\beta\)向量的坐標(biāo)代入，我們得到：\[(1,1,0)=a_{11}(1,0,0)+a_{21}(0,1,0)+a_{31}(0,0,1)\]\[(0,1,1)=a_{12}(1,0,0)+a_{22}(0,1,0)+a_{32}(0,0,1)\]\[(1,0,1)=a_{13}(1,0,0)+a_{23}(0,1,0)+a_{33}(0,0,1)\]解這些方程，我們得到：\[a_{11}=1,a_{21}=1,a_{31}=0\]\[a_{12}=0,a_{22}=1,a_{32}=1\]\[a_{13}=1,a_{23}=0,a_{33}=1\]因此，基底變換矩陣\(P_{\beta\leftarrow\alpha}\)為：\[P_{\beta\leftarrow\alpha}=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}\]題目二：向量在不同基底下的坐標(biāo)表示題目描述：已知向量\(v=(2,3,1)\)在基底\(\alpha\)下的坐標(biāo)為\([v]_{\alpha}=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}\)，求該向量在基底\(\beta\)下的坐標(biāo)\([v]_{\beta}\)。答案：已知\([v]_{\alpha}=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}\)和基底變換矩陣\(P_{\beta\leftarrow\alpha}=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}\)，我們可以通過(guò)以下公式計(jì)算\([v]_{\beta}\)：\[[v]_{\beta}=P_{\beta\leftarrow\alpha}[v]_{\alpha}\]代入數(shù)值計(jì)算：\[[v]_{\beta}=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot2+0\cdot3+1\cdot1\\1\cdot2+1\cdot3+0\cdot1\\0\cdot2+1\cdot3+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\5\\4\end{pmatrix}\]因此，向量\(v\)在基底\(\beta\)下的坐標(biāo)為\([v]_{\beta}=\begin{pmatrix}3\\5\\4\end{pmatrix}\)。題目三：驗(yàn)證基底變換矩陣的逆矩陣題目描述：已知基底變換矩陣\(P_{\beta\leftarrow\alpha}=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}\)，求其逆矩陣\(P_{\alpha\leftarrow\beta}\)，并驗(yàn)證\(P_{\alpha\leftarrow\beta}P_{\beta\leftarrow\alpha}=I\)。答案：要找到\(P_{\beta\leftarrow\alpha}\)的逆矩陣\(P_{\alpha\leftarrow\beta}\)，我們可以使用高斯消元法或伴隨矩陣法。這里我們使用伴隨矩陣法。首先計(jì)算\(P_{\beta\leftarrow\alpha}\)的行列式：\[\det(P_{\beta\leftarrow\alpha})=1(1\cdot1-0\cdot1)-0(1\cdot1-0\cdot0)+1(1\cdot1-1\cdot0)=1+1=2\]接著計(jì)算\(P_{\beta\leftarrow\alpha}\)的伴隨矩陣：\[\text{adj}(P_{\beta\leftarrow\alpha})=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}\]因此，逆矩陣\(P_{\alpha\leftarrow\beta}\)為：\[P_{\alpha\leftarrow\beta}=\frac{1}{\det(P_{\beta\leftarrow\alpha})}\text{adj}(P_{\beta\leftarrow\alpha})=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&1\end{pmatrix}\]驗(yàn)證\(P_{\alpha\leftarrow\beta}P_{\beta\leftarrow\alpha}=I\)：\[P_{\alpha\leftarrow\beta}P_{\beta\leftarrow\alpha}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&