專題18圓的基本概念及垂徑定理(9大類型精準(zhǔn)練+過關(guān)檢測)

口1.內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué);；教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

8大核心考點精準(zhǔn)練

第二步：記

思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升

8析教材學(xué)知識

知識點L圓

(1)動態(tài)：如圖，在一個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點0旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成

的圖形叫做圓，固定的端點。叫做圓心，線段0A叫做半徑.以點0為圓心的圓，記作“。0”，讀作“圓0”.

方法提示：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可;

②圓是一條封閉曲線.

(2)靜態(tài)：圓心為0,半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點。的距離等于定長r的點的集合.

方法提示：

①定點為圓心，定長為半徑；

②圓指的是圓周，而不是圓面；

③強調(diào)“在一個平面內(nèi)”是非常必要的，事實上，在空間中，到定點的距離等于定長的點的集合是球

面，一個閉合的曲面.

知識點2.圓的有關(guān)概念

1.弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦.

2.直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.

方法提示：

直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.

3.弧的有關(guān)概念：

圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作彘，讀作“圓弧AB”或“弧AB”

半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧；

劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.

注意：弦和孤的關(guān)系：弦是連接圓上任意兩點之間的線段，孤是圓上任意兩點之間的部分，是曲線，每條

孤對應(yīng)一條弦，而每條弦對應(yīng)的孤有兩條。

4.同心圓與等圓

圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.

圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.

5.等弧

在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.

知識點3.垂直于弦的直徑

名稱交學(xué)語言符號語言

垂直于弦的直徑平分弦,并8是直徑,I

垂徑定理,=<AC=BG

且平分弦所時的兩條弧CDLABIX*

[AI>=BD

CDLAB.

平分弦（不是直徑）的直徑垂CD是直徑,'

垂徑定理

直于弦,并且平分弦所刻的AC=BC.

的推論58不是直徑）|

兩條孤AD^BD

平分弦所對的一條孤的直徑CD1AB,

AC=BC.

垂直平分弦，并且平分弦所?=>AM=BM,

8是直徑

對的另一條弧AD=BD

拓展

CD是直徑，

弦的垂直平分線經(jīng)過例心.CDLAB.

=,AC^BC.

并且平分弦所對的兩條弧AM^BM

A^BD

對于一個廁和一條直線,如果具備下列五個條件中的任意兩個.那么

歸納一定具備尤他三個:①過圓心;②垂直于弦；③平分弦（非直徑）S。評

分弦所對的劣?。虎萜椒窒宜鶎Φ膬?yōu)弧簡記為“知二推三”

【類型】一、圓的基本概念

1.（24-25九年級下?上海?階段練習(xí)）下列語句中正確的是（）

A.直徑是經(jīng)過圓心的直線B.經(jīng)過圓心的線段是半徑

C.半圓是弧D.以直徑為弦的弓形是半圓

2.（23-24九年級上.寧夏石嘴山?期中）如圖，下列說法正確的是（）

D.弦48把圓分成兩條弧，其中AC2是劣弧

3.（24-25九年級上?河南商丘?期中）早在兩千多年前的戰(zhàn)國時期，《墨經(jīng)》一書中就給出了圓的描述性定

義：“圜（這里讀yuan）,一中同長也”，這就是說，圓是平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合.其中“定

長”指的是.

4.（2025九年級下?全國?專題練習(xí)）如圖，在。中,

（1）半徑有：.

（2）直徑有：.

【類型2】直徑與弦長問題

5.（24-25九年級上?河南周口?期末）若A,3是半徑為4的。上的兩個點，則弦的長不可能是（）

A.2B.6C.8D.10

6.（23-24九年級上?陜西渭南?期中）已知A、B為。上的兩點，若（。的半徑為3,則的長不可能是

（）

A.1B.3C.5D.7

7.（2024九年級上?安徽?專題練習(xí)）已知。的半徑是3,A、8是圓周上的兩點，則A3兩點間的最長距離

是（）

A.3B.6C.12D.不能確定

8.（24-25九年級下?湖南長沙?開學(xué)考試）已知。的半徑為5,是0的弦，則A8的長度。的取值范

圍是.

【類型3】圓有關(guān)周長與面積的計算

9.（24-25九年級上?云南玉溪?期中）如圖，在。中，ZAO3=60。，弦的長為3,則O的面積為（）

A.3兀B.6兀C.8兀D.9TI

10.（23-24九年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）平面內(nèi)，長為5cm的線段。尸繞著端點。旋轉(zhuǎn)一周，線段。尸的

中點〃所經(jīng)過的路徑長為

11.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?模擬預(yù)測）如圖，半徑為「的。沿著邊長為。的正方形A5CD的邊作無滑動地滾動

一周回到原來的位置，。自身轉(zhuǎn)動的圈數(shù)是.（用含。，/的代數(shù)式表示）

【類型4】垂徑定理的認(rèn)識

12.（24-25九年級上?山東德州?期中）以下命題正確的是（）

A.任何一條直徑都是圓的對稱軸B.周長相等的圓是等圓

C.平分弦的直徑垂直于弦D.直徑是圓上任意兩點所連的線段

13.（23-24九年級上.江蘇南通?期中）如圖，CD是。的直徑，A8是弦，CDLAB,垂足為M,則下列

結(jié)論中錯誤的是（）

AC=BCC.OM=MDD.AD=BD

14.（21-22九年級上.全國?課后作業(yè)）如圖，是。。的直徑，弦ABLCD于點E,則下列結(jié)論不一定成

立的是（）

A.AE=BEB.OE=DEC.AC=BCD.AD=BD

［類型5］垂徑定理的計算

15.（24-25九年級下?浙江杭州?階段練習(xí)）如圖，點A,B,C在。上，8垂直平分A3于點。.現(xiàn)測得

A.5dmB.10dmC.4dmD.6dm

16.（2025?貴州遵義?二模）如圖，的半徑為10,AB=16,尸是弦AB上的一個動點（不與A,2重合），

符合條件的OP的值不可能是（）

17.（2025?河北唐山?二模）如圖，將一把寬為2cm的刻度尺（單位：cm）放在一個圓形茶杯的杯口上，

刻度尺的一邊與杯口外沿相切，另一邊與杯口外沿相交的兩個交點的讀數(shù)恰好是2和10,則茶杯的杯口外

沿半徑為.

18.（24-25九年級上?重慶永川?期中）如圖，A8是。的直徑，弦CD，AB于點E,連接OC,若BE=2,

8=8.

B

⑴求CE的長度；

⑵求OC的長度.

【類型5】垂徑定理與同心圓問題

19.（22-23九年級上?浙江杭州?階段練習(xí)）如圖，在兩個同心圓。中，大圓的弦AB與小圓相交于C,O

兩點.

⑴求證：AC=BD.

（2）若4c=2,BC=4,大圓的半徑R=5,求小圓的半徑八

20.（24-25九年級上?河南駐馬店?期末）如圖，兩個圓都是以。為圓心，大圓的弦AB交小圓于C,。兩點.

⑴求證：AC=BD；

（2）若■=8,9=1,小圓的半徑為5,求大圓的半徑R的值.

【類型6】平行弦問題

21.（11-12九年級上.安徽蕪湖.階段練習(xí)）已知。的半徑為13cm,弦筋〃CD,AB=24cm,CD=10cm,

則AB,CD之間的距離為（）

A.17cmB.7cmC.12cmD.17cm或7cm

22.（22-23九年級上?天津和平?期末）。半徑為5,弦AB〃CD,AB=6,CD=8,則AB與C。間的距

離為（）

A.1B.7C.1或7D.3或4

23.（23-24九年級上?浙江溫州?階段練習(xí)）如圖，。的兩條弦（48不是直徑），點E為中

點，連接EC,ED.

（1）求證：直線EOJ_A3；

（2）求證：EC=ED.

24.（2023?河南駐馬店?二模）如圖，在。中，AB是直徑，弦EF〃AB.

（1）在圖1中，請僅用不帶刻度的直尺畫出劣弧所的中點P；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）如圖2,在（1）的條件下連接OP、PF,若OP交弦EF于點Q,△PQF的面積6,且斫=12,求。

的半徑；

【類型7】垂徑定理的推論

25.（2025?廣東湛江?二模）如圖，A,B,C在。上，AC,交于點。.若AD=CD=8,OD=6,

則。半徑的長為（）

A.2而B.6C.8D.10

26.（2025?河南新鄉(xiāng)?三模）如圖，A、B在。上，連接。4,OB,AB.N-AO3的平分線交A8于點C,

交。。于點￡>,連接AD,BD.下列結(jié)論錯誤的是（）

A.AC=BCB.ODYABC.OC=CDD.AD=BD

27.（21-22九年級上?北京?階段練習(xí)）如圖，A8是。的弦,C為A3的中點，OC的延長線與<。交于點

求,：。的半徑.

28.（2025?安徽滁州?三模）如圖，A8是。的直徑，弦C。交A8于點E,點8是劣弧CD的中點.

⑴求證：AC^AD.

⑵若NC4D=60。，。的半徑為1,求弦CD的長.

［類型8］垂徑定理的實際應(yīng)用

29.（2025?陜西漢中?二模）工人師傅在檢查排污管道時發(fā)現(xiàn)淤泥堆積，如圖，排污管道的橫截面是直徑為

1m的：O,測得淤泥（陰影部分）橫截面的最大寬度為Q8m,則淤泥的最大深度CD為（）

B.0.4mC.0.3mD.0.2m

30.（2025?陜西榆林?三模）石拱橋是中國傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，它的主橋拱是圓弧形.如圖是某地

的石拱橋局部，其跨度A8為24米,A8所在圓的半徑為20米，則這個弧形石拱橋的拱高（A8的中點C

C.4米D.2米

31.（2025?廣東中山?一模）如圖1,平底燒瓶是實驗室中使用的一種燒瓶類玻璃器皿，主要用來盛液體物

質(zhì)，它的截面圖可以近似看作是由。去掉兩個弓形后與矩形ABC。組合而成的圖形，其中3C〃MV,若。

的半徑為25mln,AB-36mm,BC=14mm,MN=30mm,求該平底燒瓶的高度.

32.（23-24八年級下?江蘇鹽城?期中）如圖①，圓形拱門屏風(fēng)是中國古代家庭中常見的裝飾隔斷，既美觀

又實用，彰顯出中國元素的韻味.圖②是這一款拱門的示意圖，已知拱門所在圓的半徑為1.7m,拱門最下

端AB=1.6m.

圖①

（1）求拱門最高點到地面的距離;

（2）現(xiàn)需要給房間內(nèi)搬進(jìn)一個直徑為3m的圓桌面（桌面的厚度忽略不計），己知搬桌面的兩名工人在搬運時

所抬高度相同（桌面與地面平行），通過計算說明工人將桌面抬高多少（即桌面與地面的距離）就可以使

該圓桌面通過拱門.

串知識職框架

【類型】一、圓的基本概念

【類型9】垂徑定理的實際應(yīng)用

【類型2】直徑與弦長問題

【類型8】垂徑定理的推論

圓的基本概念及垂徑定【類型3】圓有關(guān)周長與面積的計算

【類型7】平行弦問題

理（9大類型精準(zhǔn)練）【類型4】垂徑定理的認(rèn)識

【類型6】垂徑定理與同心圓問題

【類型5】垂徑定理的計算

8過關(guān)測穩(wěn)提升

一、單選題

1.（2025?河北滄州?模擬預(yù)測）如圖，已知四條弧線蠢,心,原，原，點尸在其中一條弧線所在的圓上,

A.AB所在的圓上B.C。所在的圓上C.環(huán)所在的圓上D.GH所在的圓上

2.（24-25九年級下?湖北孝感?期中）如圖，A為，。上一點，按以下步驟作圖：

①連接②以點A為圓心，49長為半徑作弧，交G。于點8；

③在射線OB上截取3c=03；④連接AC.則ZACO的度數(shù)是（）

3.（2025?河北邢臺?三模）下列圖形分別為正方形、圓、扇形、等邊三角形（相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示），長度

為1的線段可以在圖形的內(nèi)部及邊界通過移轉(zhuǎn)（即平移或旋轉(zhuǎn)），自由地從豎放移轉(zhuǎn)到橫放，且圖形面積

最小的是（）

2

4.（2025?四川南充?一模）如圖，零件輪廓由一個半圓和一段拋物線y=，無2+。圍成.若AB=6,則CD=

（）

5.（2025?山東威海?一模）如圖1是山西平遙推光漆器，圖2是選取該漆器上的部分圖案并且放大后的示

意圖，四邊形ABCZ）是邊長為2的正方形，分別以正方形的四個頂點為圓心，對角線長的一半為半徑在正

方形內(nèi)畫弧，四條弧相交于點0.則圖中陰影部分的面積為（）

圖1圖2

1

A.2兀一4B.71—2C.2兀D.—7i

4

6.（2025?云南西雙版納?一模）如圖，是，。的直徑,AC=CD,ZAOC=50°,貝()

C.80°D.100°

7.（2025?山東荷澤?三模）如圖，A5是，，。的直徑，弦CD交于點尸，AP=2,BP=6,ZAPC=30%

則CO的長為（）

A.715B.2y/15C.2A/5D.8

8.（24-25九年級下?廣東廣州?期中）如圖，有一個底部呈球形的燒瓶，球的半徑為6cm,瓶內(nèi)液體已經(jīng)過

半，最大深度CD=8cm,則截面圓中弦AB的長為（）

C.Sy/2cmD.4^/15cm

二、填空題

9.（24-25九年級上?河南南陽?期末）。的最長弦為8cm,則。的半徑長為cm.

10.（24-25九年級上?河北邢臺?階段練習(xí)）早在2000多年前的戰(zhàn)國時期，《墨經(jīng)》一書中就給出了圓的描

述性定義：“圜（這里讀邛曲），一中同長也”這就是說，圓是平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合.其

中定點是.

11.（2025?甘肅隴南?三模）己知矩形A3C。的頂點8,C在半徑為5的半圓。上，頂點在直徑砂上.若

ED=2,則矩形ABCD的面積為.

12.（23-24九年級上?四川南充?期中）如圖所示，AB為。的直徑，是.。的弦，AB、CD的延長線

交于點E,已知AB=2￡>E,ZAEC=20°,則NAOC=.

13.（2025?河南?模擬預(yù)測）如圖，正方形ABC。的頂點A,8分別與數(shù)軸上表示數(shù)0,2的點重合，點C在

4上，則A與數(shù)軸正半軸的交點E表示的數(shù)為.

14.（2025?廣西南寧?三模）“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個問題：“今有圓材，埋在

壁中，不知大小，以鋸鋸之,深一寸，鋸道長一尺，問：徑幾何？”大意是:如圖，CD為1。的直徑，弦

垂足為E,CE=1寸，AB=10寸，則。的直徑CD為寸.

EO

15.（2025?湖南懷化?三模）如圖，CD為。的直徑，弦