2025年暑期新高一數(shù)學(xué)人教新版學(xué)困生專題復(fù)習(xí)《圓》

選擇題（共10小題）

1.（2025?廈門模擬）如圖，點A,B,C都在O。上，若NACB=36°,貝（）

A.18°B.54°C.36°D.72°

2.（2025?長沙模擬）如圖，點A、B、C在O。上，△OAB為等邊三角形，則NACB的度數(shù)是（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

3.（2024秋?揚州期末）若。。的半徑為2,在同一平面內(nèi)，點尸與圓心。的距離為3,則點P與。。的

位置關(guān)系是（）

A.點尸在O。外B.點尸在。。上C.點尸在。。內(nèi)D.無法確定

4.（2025?市中區(qū)二模）若正多邊形的一個內(nèi)角是140。，則這個正多邊形的邊數(shù)是（）

A.5B.6C.8D.9

5.（2025?衢州三模）中國高鐵已成為中國現(xiàn)代化建設(shè)的重要標(biāo)志，如圖是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計的圓

曲線（即圓弧），高鐵列車在轉(zhuǎn)彎時的曲線起點為4曲線終點為2,過點42的兩條切線相交于點C,

列車在從A到2行駛的過程中轉(zhuǎn)角a為50°,若圓曲線的半徑。4=3初7,則這段圓曲線（弧AB）的

長為（）km.

ca

5

C.-7TD.3n

6

6.（2025?山亭區(qū)二模）如圖，O。與正六邊形。的邊。4、OE分別交于點HG,則弧尸G對的

圓周角NPPG的大小為（）

C.75°D.30°

7.（2025?淹橋區(qū)校級模擬）如圖，AB.。是。。的弦，MAB=CD,若/80。=84°,則NAC。的度

C.46°D.48°

8.（2025?濱湖區(qū)二模）下列判斷正確的是（）

A.弧長相等的弧是等弧

B.過三點可以確定一個圓

C.同弧或等弧所對的圓心角相等

D.垂直于半徑的直線是圓的切線

9.（2025?玉林模擬）如圖，正五邊形A8CZJE的邊長為2,以A為圓心，以48為半徑作弧BE,則陰影部

分的面積為（）

A

10.（2025?市北區(qū)校級模擬）如圖，己知8。是O。的直徑，BOLAC于點E,ZAOC=100°,則/OCD

的度數(shù)是（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

二.填空題（共5小題）

H.（2024秋?新市區(qū)校級期末）將兩個底面積相同的圓錐按如圖方式粘合成一個新幾何體，己知原來的兩

個圓錐母線長分別為AC=3,AB=4,新幾何體的最大橫截面圓的半徑AD=2,則新幾何體的表面積

12.（2025?西陵區(qū)模擬）日常生活中常見的裝飾盤由圓盤和支架組成（如圖1）,它可以看作如圖2所示的

幾何圖形.己知AC=B￡>=5cm,ACVCD,垂足為點C,BD±CD,垂足為點。，CD=16cm,。。的

半徑r=l（kM,則圓盤離桌面C￡>最近的距離是

13.（2025?扶溝縣二模）如圖，在扇形04B中，已知NAOB=90°,OA=V2,過油的中點C作CD_LO4,

CE±OB,垂足分別為。、E,則圖中陰影部分的面積為.

14.（2025?武進(jìn)區(qū)校級模擬）如圖，A8是。。的直徑，點C,D,E在。。上，若/C=100°,則NE的

度數(shù)為.

15.（2025?蓬江區(qū)校級一模）如圖，為半圓的直徑，且AB=4,半圓繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°,點A旋

轉(zhuǎn)到A'的位置，則圖中陰影部分的面積為.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?泉州校級模擬）如圖，過圓錐的頂點S和底面圓的圓心。的平面截圓錐得截面△SAB,其中SA

=SB,48是圓錐底面圓。的直徑，已知SA=7CMJ,AB=4cm,求截面△SAB的面積.

o

17.(2025?靈武市一模)如圖，AB是。。的直徑，C為。。上一點，點。在A8的延長線上，ZBCD=Z

A.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若ND=30°,。。的半徑為6c%.求圓中陰影部分的面積.

18.(2024秋?喀什地區(qū)期末)如圖，已知為。。的直徑，是弦，且ABLCD于點E,連接AC、OC、

BC.

(1)求證：NACO=/BCD；

(2)若EB=2,CD=8,求。。的半徑.

19.(2024秋?蒙城縣期末)如圖，A8是。。的直徑，/XABC內(nèi)接于。。，點/為△ABC的內(nèi)心，連接C/

并延長交。。于點。，E是比上任意一點，連接AQ,BD,BE,CE.

(1)若/A8C=25°,求NCEB的度數(shù)；

(2)求證：DI=DA.

D

20.(2025?南山區(qū)模擬)如圖，zMBC內(nèi)接于OO,A8為。。的直徑，C。平分/ACB交。。于點。，交

AB于點F,過點D作。。的切線DE交CA的延長線于點E.

(1)求證：AB//DE；

(2)連接A。，如果AB=10,CD=S,求。尸的長.

2025年暑期新高一數(shù)學(xué)人教新版學(xué)困生專題復(fù)習(xí)《圓》

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案BDADCBDCAB

選擇題（共10小題）

1.（2025?廈門模擬）如圖，點A,B,C都在。。上，若NACB=36°,貝（）

【考點】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】與圓有關(guān)的計算；幾何直觀.

【答案】B

【分析】利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半得到/AO8,再用等腰三角形的性質(zhì)即可

得出結(jié)論.

1

【解答】解：vZACB=^ZAOB,ZACB=36°,

/.ZAOB=2XZACB=12°.

'：OA^OB,

...△OAB是等腰三角形，

VZAOB+ZOAB+ZOBA^1SQ°,

1

：.ZOAB=^（180°-ZAOB）=54°,

故選：B.

【點評】本題主要考查了圓周角定理，利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半解答是解題

的關(guān)鍵.

2.（2025?長沙模擬）如圖，點A、B、C在上，△OAB為等邊三角形，則NACB的度數(shù)是（）

O'A

A.60°B.50°C.40°D.30°

【考點】圓周角定理；等邊三角形的性質(zhì).

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；幾何直觀.

【答案】D

【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到NAO3=60°,然后根據(jù)圓周角定理求NACB的度數(shù).

【解答】解：為等邊三角形，

AZAOB=60°,

1

AZACB=^ZAOB^30°.

故選：D.

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對

的圓心角的一半.也考查了等邊三角形的性質(zhì).

3.（2024秋?揚州期末）若。。的半徑為2,在同一平面內(nèi)，點尸與圓心。的距離為3,則點P與。。的

位置關(guān)系是（）

A.點尸在外B.點P在。。上C.點P在。。內(nèi)D.無法確定

【考點】點與圓的位置關(guān)系.

【專題】推理能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)點P到圓心的距離與圓的半徑比較大小即可得出結(jié)論.

【解答】解：:。。的半徑廠為2,在同一平面內(nèi)，點P與圓心O的距離d為3,3>2,

d>r,

點尸與O。的位置關(guān)系是：點尸在O。外，

故選：A.

【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟記點與圓的位置關(guān)系：點與圓心的距離d,當(dāng)

時，點在圓外；當(dāng)d=r時，點在圓上；當(dāng)時，點在圓內(nèi).

4.（2025?市中區(qū)二模）若正多邊形的一個內(nèi)角是140°,則這個正多邊形的邊數(shù)是（

A.5B.6C.8D.9

【考點】正多邊形和圓.

【專題】多邊形與平行四邊形.

【答案】D

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，可得答案.

【解答】解：設(shè)正多邊形是〃邊形，由內(nèi)角和公式得：

（w-2）780°=140°Xn,

解得n=9,

故選：D.

【點評】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2025?衢州三模）中國高鐵已成為中國現(xiàn)代化建設(shè)的重要標(biāo)志，如圖是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計的圓

曲線（即圓?。哞F列車在轉(zhuǎn)彎時的曲線起點為A,曲線終點為8,過點A、B的兩條切線相交于點C,

列車在從A到8行駛的過程中轉(zhuǎn)角a為50°,若圓曲線的半徑OA=3左機，則這段圓曲線（弧A8）的

長為（）km.

【考點】弧長的計算；多邊形內(nèi)角與外角；切線的性質(zhì).

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【答案】C

【分析】由轉(zhuǎn)角a為50°可得NAC2=130°,由切線的性質(zhì)可得N。AC=/。3C=90°,根據(jù)四邊形

的內(nèi)角和定理求出/AOB,然后根據(jù)弧長公式計算即可.

【解答】解：?.?轉(zhuǎn)角a為50°,

AZACB=180°-50°=130°,

:過點A,5的兩條切線相交于點C,

：.ZOAC=ZOBC=90°,

AZAOB=360°-90°-90°-130°=50°，

一,,1/、r507rx35TT

MB的長為不丁=—km,

6

故選：c.

【點評】本題主要考查了切線的性質(zhì)、弧長公式，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵.

6.（2025?山亭區(qū)二模）如圖，。。與正六邊形。4BCOE的邊。4、?！攴謩e交于點足G,則弧FG對的

圓周角NPPG的大小為（）

A.45°B.60°C.75°D.30°

【考點】圓周角定理；多邊形內(nèi)角與外角.

【答案】B

【分析】首先求得正六邊形。4BCr>E的內(nèi)角的度數(shù)，然后由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周

角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得答案.

【解答】解：：六邊形0ABeOE是正六邊形，

18O>62

/.ZAOE=°^~）=120°,即/EOG=120°,

1

AZFPG=^ZFOG=60".

故選：B.

【點評】此題考查了圓周角定理與正六邊形的性質(zhì).此題比較簡單，注意掌握正六邊形內(nèi)角的求法與在

同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半定理的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思

想的應(yīng)用.

7.（2025?浦橋區(qū)校級模擬）如圖，AB.CD是。。的弦，且AB=C。，若480。=84°,則/AC。的度

數(shù)為（）

A.42°B.44°C.46°D.48°

【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系求出/AOC=/8OO=84°,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：如圖，連接OA,

'：AB=CD,

：.AB=CD,

C.AB-AD=CD-AD,

：.AC=BD,

'：OA=OC,

1i

AZACO=ZCAO=^(180°-ZAOC)=2x(180°-84°)=48°,

故選：D.

【點評】此題考查了圓心角、弧的關(guān)系，熟練掌握圓心角、弧的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

8.(2025?濱湖區(qū)二模)下列判斷正確的是()

A.弧長相等的弧是等弧

B.過三點可以確定一個圓

C.同弧或等弧所對的圓心角相等

D.垂直于半徑的直線是圓的切線

【考點】切線的判定；圓的認(rèn)識；確定圓的條件.

【專題】推理能力.

【答案】c

【分析】分別根據(jù)圓的確定條件，圓周角定理，圓的切線的判定，等弧的概念依次進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A、能夠完全重合的弧是等弧，故錯誤，不符合題意；

2、不在同一直線上的三點確定一個圓，故錯誤，不符合題意；

C、同弧或等弧所對的圓心角相等，正確，符合題意；

。、垂直于半徑的直線是圓的切線，錯誤，應(yīng)為經(jīng)過半徑外端且與半徑垂直的直線為圓的切線，故不符

合題意，

故選：C.

【點評】本題考查了圓的確定，圓周角定理，圓的切線的判定，等弧的概念，熟練掌握知識點是解題的

關(guān)鍵.

9.（2025?玉林模擬）如圖，正五邊形A8CZJE的邊長為2,以A為圓心，以48為半徑作弧BE,則陰影部

分的面積為（）

【考點】正多邊形和圓；扇形面積的計算.

【專題】多邊形與平行四邊形；與圓有關(guān)的計算；運算能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出正五邊形的內(nèi)角和，再求出NA的度數(shù)，利用扇形面積公式計算

即可.

【解答】解：根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式可得：（5-2）X180°=540°,

正五邊形每個內(nèi)角度數(shù)為：/4=平=108。，

._1087T-22_67r

扇形ABE=360=丁

故選：A.

【點評】本題考查了扇形面積和正多邊形內(nèi)角和的計算，熟練掌握扇形面積公式和正多邊形內(nèi)角和公式

是解答本題的關(guān)鍵.

10.（2025?市北區(qū)校級模擬）如圖，已知8。是。。的直徑，8O_LAC于點E,ZAOC=100°,則/OC。

的度數(shù)是（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

【考點】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】與圓有關(guān)的計算；幾何直觀.

【答案】B

1

【分析】由垂徑定理知NBOC=2NAOC=50°,再根據(jù)圓周角定理可得答案.

【解答】解：???瓦）是OO的直徑，BD±AC,ZAOC=100°,

1

：.ZBOC=^ZAOC=50°,

則/8OC=±N8OC=25°,

?：OD=OC,

：.ZOCD=ZBDC=25°.

故選：B.

【點評】本題主要考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理及圓周角定理等知識點.

二.填空題（共5小題）

H.（2024秋?新市區(qū)校級期末）將兩個底面積相同的圓錐按如圖方式粘合成一個新幾何體，已知原來的兩

個圓錐母線長分別為AC=3,AB=4,新幾何體的最大橫截面圓的半徑4。=2,則新幾何體的表面積為

14n.

【考點】圓錐的計算；截一個幾何體.

【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力.

【答案】14n.

【分析】SK=itrl,據(jù)此即可求解.

【解答】解：由圖可知：新幾何體的表面積=TTX2X3+TTX2X4=14TT,

故答案為：14TT.

【點評】本題考查了圓錐的側(cè)面積公式，正確進(jìn)行計算是解題關(guān)鍵.

12.（2025?西陵區(qū)模擬）日常生活中常見的裝飾盤由圓盤和支架組成（如圖1）,它可以看作如圖2所示的

幾何圖形.已知AC=8￡）=5c%,ACLCD,垂足為點C,BD±CD,垂足為點。，CD=16cm,。。的

半徑廠=10cm,則圓盤離桌面最近的距離是1。".

【考點】垂徑定理；勾股定理的應(yīng)用.

【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】1cm.

【分析】連接AB,OA,過點。作OGLCD于點G,交AB一點、E,交。。于點尸.利用垂徑定理，勾

股定理求出。E,EF,再求出PG可得結(jié)論.

【解答】解：如圖2,連接AB,OA,過點。作OGJ_。于點G,交A8于點E,交。。于點E

圖2

,：ACLCD,BD_LCD,

J.AC//BD,

9

：AC=BDf

：.四邊形ACDB是平行四邊形，

VZACD=90°,

???四邊形ACDB是矩形，

J.AB//CD,AB=CD=16cm,

9：OG±CD,

：.OGLAB,

.\AE=EB=8cm,

OE=yJOA2—AE2=V102—82=6(cm),

.\EF=OF-OE=10-6=4(cm),

?：EG=AC=BD=5cm,

：.FG=EG-EF=5-4=1(cm),

圓盤離桌面CD最近的距離是1cm,

故答案為：lc〃z.

【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會添加

常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

13.(2025?扶溝縣二模)如圖，在扇形048中，已知NAOB=90°,OA=VL過油的中點C作CD±OA,

Tl

CE±OB,垂足分別為。、E,則圖中陰影部分的面積為--1.

c

【考點】扇形面積的計算.

【專題】與圓有關(guān)的計算；推理能力.

TT

【答案】一一L

2

【分析】連接。C,根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形。0E是矩形，再根據(jù)44s證明△COOg/XCOE,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到。。=。￡從而得到矩形CQOE是正方形，求出正方形的邊長，再根據(jù)扇

形和正方形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖，連接0C,

\'CD±OA,CELOB,

：.ZCDO=ZCEO=90°,

VZAOB=90°,

四邊形COOE是矩形，

:點C是血的中點，

ZAOC=ZBOC,

在△C。。與△(%)￡中，

'/CDO=NCE0

-Z.AOC=乙BOC，

、0C=0C

:.△CODQXCOE(AAS),

OD=OE,

:四邊形COOE是矩形，

矩形CDOE是正方形，

'：OC=OA=V2,

：.2OE2=0c2=(72)2=2,

OE=1,

圖中陰影部分的面積=9°,唱產(chǎn))—1X1=5—1，

36U，

故答案為：--1.

C

0

【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系、扇形面積的計算、矩形的判定、正方形的判定和性質(zhì)、全

等三角形的判定和性質(zhì)，正確識別圖形是解題的關(guān)鍵.

14.（2025?武進(jìn)區(qū)校級模擬）如圖，是的直徑，點C,D,E在。。上，若NC=100°,則NE的

度數(shù)為10°.

【考點】圓周角定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由A8為。。的直徑，根據(jù)圓周角定理的推論得到/ACB=90°,再根據(jù)角的和差及圓周角定

理求解即可.

【解答】解：如圖，連接AC,

：AB為。。的直徑,

AZACB=90°,

VZBCD=100°,

ZACD=ZBCD-NACB=10°,

：.ZE=ZACD=10°，

故答案為：10°.

【點評】本題考查了圓周角定理，熟記“直徑所對的圓周角為直角”是解題的關(guān)鍵.

15.（2025?蓬江區(qū)校級一模）如圖，4B為半圓的直徑，且AB=4,半圓繞點8順時針旋轉(zhuǎn)45°,點A旋

轉(zhuǎn)到A'的位置，則圖中陰影部分的面積為影

【考點】扇形面積的計算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】計算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得S半iaAB=S半圓AB,ZABA'=45°,由于S陰影部分+S半圓AB=S半圓4B,+S扇

形ABA，,則S陰影部分=5扇形ABA，,然后根據(jù)扇形面積公式求解.

【解答】解：???半圓繞點8順時針旋轉(zhuǎn)45°,點A旋轉(zhuǎn)到A'的位置,

..?S半圓AB=S半圓4,B,ZABA'=45°,

?'?5陰影部分+S半圓AB=S半圓A，B，+S扇形ABA，,

45-7T-42

?'S陰影部分=S扇形ABA，==2TT.

360

故答案為2n.

【點評】本題考查了扇形面積計算：設(shè)圓心角是/,圓的半徑為R的扇形面積為S,則S扇形=等迎網(wǎng)

或S扇形=3R（其中/為扇形的弧長）.求陰影面積常用的方法：直接用公式法；和差法；割補法.

解答題（共5小題）

16.（2025?泉州校級模擬）如圖，過圓錐的頂點S和底面圓的圓心。的平面截圓錐得截面△SAB,其中SA

=SB,A8是圓錐底面圓。的直徑，已知SA=7c〃z,AB=4cm,求截面△SAB的面積.

o

【考點】圓錐的計算.

【專題】計算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】先利用勾股定理計算出SO,然后根據(jù)三角形面積公式求解.

【解答】解：在RtZkAOS中，'：OA=^AB=2,SA=7,

：.SO=y/SA2-AO2=3V5,

截面△SAB的面積另X4X3西=6愿(cm2).

【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長,

扇形的半徑等于圓錐的母線長.

17.(2025?靈武市一模)如圖，是。。的直徑，C為上一點，點。在的延長線上，NBCD=N

A.

(1)求證：C￡＞是。。的切線；

(2)若/。=30°,。。的半徑為6cm.求圓中陰影部分的面積.

【考點】切線的判定與性質(zhì)；扇形面積的計算；圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】(1)證明見解答過程；

(2)(12n-9V3)cm2.

【分析】(1)連接。C,根據(jù)圓周角定理求出/AC8=90°,求出/ACB=/ACO+/BCO=/Z)CB+/

BC0=N0CD=9U°,根據(jù)切線判定定理推出即可；

(2)過。作于E,解直角三角形求出NAOC=120°,CE=3百，根據(jù)圓中陰影部分的面積=

S扇形。4C-SA40C求解即可.

ZACB=90°,

ZACO^ZBCO=90°,

9：0A=0C,

：.ZACO=ZA,

VZBC￡>=ZA,

NACO=NBCD,

：.ZBCD+ZBCO=9Q°,

即NOCZ)=90°,

???OCLCD,

TOC是。。的半徑，

???CO是。。的切線；

：.Z.C0D=6Q°,ZAOC=ZD+ZOCD=120°,

??CELAB于E,

：.CE=^fOD=3y/3cm,

S^AOC=1x6x3V3=9V3cm2,S扇形OAC="黑*=12ncm2,

...圓中陰影部分的面積=S扇形。AC-SAAOC=(12n-9V3)cm2.

【點評】本題考查了切線的判定，解題的關(guān)鍵是通過角的計算求出/。。=90°.

18.(2024秋?喀什地區(qū)期末)如圖，已知A8為。。的直徑，CO是弦，且A8_LCD于點E,連接AC、OC、

BC.

(1)求證：/ACO=NBCD；

(2)若EB=2,CZ)=8,求OO的半徑.

B

【考點】圓周角定理；勾股定理；垂徑定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【答案】(1)證明見解析；

(2)5.

【分析】(1)根據(jù)同角的余角相等，又因為△AOC是等腰三角形，即可求證.

(2)根據(jù)勾股定理，求出各邊之間的關(guān)系，即可確定半徑.

【解答】(1)證明：為。。的直徑，

AZACB=90°,ZBCD+ZACE^90°,

,：AB1CD,

：.ZACE+ZCAE=90°,

ZBCD=ZBAC,

：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

：.ZACO=/BCD；

(2)解：設(shè)。。的半徑為

9：EB=2,

：.OE=OB-EB=r-2.

VAB±CD,CD=8,

CE=i(7￡)=4,

在RtZkCEO中，由勾股定理可得：OC2=O￡2+CE2,

即?=(r-2)2+42,

解得r=5.

答：。。的半徑為5.

【點評】本題考查垂弦定理、圓心角、圓周角的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理和圓的性質(zhì)，同弧的圓

周角相解答.

19.(2024秋?蒙城縣期末)如圖，AB是。。的直徑，ZXABC內(nèi)接于。0,點/為△ABC的內(nèi)心，連接C/

并延長交。。于點。，E是比上任意一點，連接A。，BD,BE,CE.

(1)若NABC=25°,求NCEB的度數(shù)；

(2)求證：DI=DA.

【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；垂徑定理；圓周角定理；三角形的外接圓與外心.

【專題】三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【答案】(1)115°；

(2)見解析.

【分析】(1)利用圓周角定理得到/ACB=90°,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求/CAB=65°,然后利

用圓內(nèi)接四邊形的對角互補求解即可；

(2)連接A/,由三角形的內(nèi)心性質(zhì)得到內(nèi)心，ZCAI=ZBAI,ZACI=ZBCI,然后利用圓周角定理得

到AD=BD,利用三角形的外角性質(zhì)證得然后利用等角對等

邊可得結(jié)論

【解答】(1)解：TAB是O。的直徑，

AZADB=ZACB=9Qa,又NA8C=25°,

：.ZCAB=90°-25°=65°，

,/四邊形ABEC是O。內(nèi)接四邊形,

：.ZCEB+ZCAB=1?.Q0,

AZCEB=180°-ZCAB=U5°；

(2)證明：連接A/,

D

:點/為△ABC的內(nèi)心，

1

ZCAI=ZBAI,ZACI=ZBCI=^ACB=45°,

：.AD=BD,

：./DAB=ZDCB=ZACI,AD=BD,

,：ZDAI=ZDAB+ZBAI,ZDIA=ZACI+ZCAI,

：.ZDAI=ZDIA,

：.DI^DA；

【點評】本題考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)心性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)知識，熟

練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵.

20.(2025?南山區(qū)模擬)如圖，ZVIBC內(nèi)接于4B為。。的直徑，C。平分/ACB交。。于點交

AB于點R過點。作。。的切線OE交CA的延長線于點E.

(1)求證：AB//DE；

(2)連接A。，如果42=10,8=8,求。尸的長.

-------/

【考點】切線的性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理；三角形的外接圓與外心.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【答案】(1)見解析;

⑵DF=E.

【分析】(1)連接證明NAOO=2/ACZ)=90°,由。E為。。的切線得到/OOE=90°,即可

證明AB//DE；

(2)連接8。，求出4。=5四.證明△AOFs^cZM,則而=而，即可求出。尸的長.

【解答】(1)證明：連接。￡>,如圖.

:為O。的直徑，

/.ZACB=90°,

平分NAC8,

AZACD=ZBCD=45°,

.,.NAO￡)=2NACr>=90°,

E為O。的切線，

：.ZODE=90°,

AZAOZ)+ZODE=180°,

:.AB〃DE；

(2)解：連接BZ),

為。。的直徑，

AZADB=90°,

,：ZBAD=ZBCD=45°,AB=10,

：.AD=5V2,

??ZBCD=ZDCA=/BAD,ZADF=ZCDA,

：.AADF^ACDA,

.DFAD

??—,

ADCD

'：AD=5V2,CD=8,

.DF5V2

‘南=V'

【點評】此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，掌握以上性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

考點卡片

1.截一個幾何體

(1)截面：用一個平面去截一個幾何體，截出的面叫做截面.

(2)截面的形狀隨截法的不同而改變，一般為多邊形或圓，也可能是不規(guī)則圖形，一般的截面與幾何體

的幾個面相交就得到幾條交線，截面就是幾邊形，因此，若一個幾何體有幾個面，則截面最多為幾邊形.

2.等邊三角形的性質(zhì)

(1)等邊三角形的定義:三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形.

①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況.在等邊三角形中，腰和底、頂

角和底角是相對而言的.

(2)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°.

等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線

是對稱軸.

3.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么/+必=,2.

(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

22

(3)勾股定理公式/+廬=C2的變形有：a=Vc—b,b=7c2—a?及c=Va2+爐.

(4)由于『+/；2=c2>a2,所以。>小同理即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角

邊.

4.勾股定理的應(yīng)用

(1)在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形.

(2)在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中

抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.

(3)常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度.

②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形

的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和.

③勾股定理在實際問題中的應(yīng)用：運用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實世界的實際問題.

④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三

角形的斜邊.

5.多邊形內(nèi)角與外角

(1)多邊形內(nèi)角和定理：(力-2)780°且引為整數(shù))

此公式推導(dǎo)的基本方法是從〃邊形的一個頂點出發(fā)引出(?-3)條對角線，將〃邊形分割為(w-2)個三

角形，這(〃-2)個三角形的所有內(nèi)角之和正好是〃邊形的內(nèi)角和.除此方法之和還有其他幾種方法，但

這些方法的基本思想是一樣的.即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問題常用的方法.

(2)多邊形的外角和等于360。.

①多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則n邊形取n個外角，無論邊數(shù)是幾,其外角和永遠(yuǎn)為360。.

②借助內(nèi)角和和鄰補角概念共同推出以下結(jié)論：外角和=180°n-(?-2)-180°=360°.

6.圓的認(rèn)識

(1)圓的定義

定義①：在一個平面內(nèi)，線段繞它固定的一個端點。旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓.固

定的端點。叫做圓心，線段OA叫做半徑.以。點為圓心的圓，記作“O?！?，讀作“圓

定義②：圓可以看做是所有到定點。的距離等于定長r的點的集合.

(2)與圓有關(guān)的概念

弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等.

連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意

一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣

弧.

(3)圓的基本性質(zhì)：①軸對稱性.②中心對稱性.

7.垂徑定理

(1)垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

(2)垂徑定理的推論

推論1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

8.圓心角、弧、弦的關(guān)系

(1)定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

(2)推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其

余各組量都分別相等.

說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧

或劣弧.

(3)正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推

二”，一項相等，其余二項皆相等.這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與

原圖形完全重合.

(4)在具體應(yīng)用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分.

9.圓周角定理

(1)圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上.②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可.

(2)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

(3)在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌

握.

(4)注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形.利用等腰三角形的頂點和底角

的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”—圓心角轉(zhuǎn)化.③定理成立的條件是“同

一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當(dāng)成同一

條弧所對的圓周角和圓心角.

10.點與圓的位置關(guān)系

(1)點與圓的位置關(guān)系有3種.設(shè)OO的半徑為廠，點P到圓心的距離OP=d,則有：

①點P在圓外廠

②點P在圓上u>d=r

①點P在圓內(nèi)

(2)點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定

該點與圓的位置關(guān)系.

(3)符號讀作“等價于”，它表示從符號“Q”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端.

11.確定圓的條件

不在同一直線上的三點確定一個圓.

注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不

能畫一個圓.“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一

點可畫無數(shù)個圓，過兩點也能畫無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓.

12.三角形的外接圓與外心

(1)外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓.

(2)外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心.

(3)概念說明：

①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點.

②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而

一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個.

13.